轴对称（解析版）-2024-2025学年八年级数学上学期期中试题分类汇编

专题03轴对称

等■（等边）三角形

8

■

题型归纳.

砒

经典基础题

I

题型01轴对称图形

1.（2023秋•红花岗区期中）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（

A.±B.C.2D.

【分析】利用轴对称图形的概念可得答案.

【解答】解：四个数学符号中，是轴对称图形的是：±,

故选：A.

2.（2023秋•钟山区期中）下列四个汉字中，属于轴对称图形的是（)

A.c.中D.

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个

图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：4不是轴对称图形，故此选项错误;

8、不是轴对称图形，故此选项错误;

C、是轴对称图形，故此选项正确;

。、不是轴对称图形，故此选项错误.

故选：C.

3.（2023春•绥阳县期中）下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（

c."

A.B.

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解：4不是轴对称图形，故本选项错误;

B.不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

。、是轴对称图形，故本选项正确.

故选：D.

4.(2023秋•花溪区期中)甲骨文是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强，下列甲骨文图画是

轴对称图形的是()

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这

条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称.

【解答】解：4该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B.该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；

C.该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D.该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B.

轴对称变换作图

1.(2023秋•绥阳县期中)AABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A(-2,2),点8(-3,-1),

点C(-1,1).

(1)画出△ABC关于y轴对称的B'C,并写出点A'的坐标;

(2)求出△ABC的面积.

【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案.

（2）利用割补法求三角形的面积即可.

【解答】解：（1）如图，B'C'即为所求.

点A'的坐标为（2,2）.

⑵△48C的面积为（1+2）X3-1-X2X2-yXIX1=2.

2.（2023秋•红花岗区期中）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（3,

4）.

（1）画出△ABC关于y轴对称的△ALBICi,并写出Ci的坐标；

（2）在x轴上有一点P,使得尸8+PC的和最小，画出点P的位置.（用实线保留画图的痕迹）

【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案.

（2）取点B关于x轴的对称点8，连接8C,交x轴于点P,则点尸即为所求.

【解答】解：（1）如图，△481。即为所求.

Ci的坐标为（-3,2）.

（2）如图，取点B关于无轴的对称点8,连接B'C,交x轴于点尸，连接BP,

止匕时P8+PC=PB+PC=CB',为最小值，

则点P即为所求.

3.（2023春•六盘水期中）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求

画图.

（1）画△481C1,使它与△ABC关于直线/成轴对称；

（2）在直线/上找一点P,使点P到点A、B的距离之和最短；

（3）在直线/上找一点Q,使点。到边AC、BC的距离相等.

【分析】（1）分别作出A,B,C的对应点4,Bi,G即可.

（2）连接4B交直线/于点P,点尸即为所求作.

（3）NACB的角平分线与直线/的交点。即为所求作.

【解答】解：（1）如图，△481C1即为所求作.

(2)如图，点P即为所求作.

(3)如图，点。即为所求作.

4.(2023秋•绥阳县期中)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.A、B、C三点在格点上.

(1)在图中作出△ABC关于y轴对称图形△481Q；

(2)写出点4、Bi、Ci的坐标；

(3)作点Bi关于x轴的对称点8,，连接A3,交无轴于点P,连接B1P,点P即为所求.

【解答】解：(1)如图，△4B1C1即为所求.

(2)Ai(-2,4)、Bi(-1,1)、Ci(-3,2).

（3）如图，点P即为所求.

线段的垂直平分线

1.（2024春•清镇市期中）如图，P为线段的垂直平分线上一点，若PB=3c?n,则出的长为（

【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可.

【解答】解：；尸为线段A8的垂直平分线上一点，PB=3cm,

.'.PA=PB=3cm,

故选：D.

2.（2024春•南明区校级期中）如图，A8的中垂线为CP交AB于点P,且AC=2CP.甲、乙两人想在A2

上取。、E两点，使得AD=DC=CE=EB,其作法如下：甲作/ACP、NBCP的角平分线，分别交A8

于。、E两点，则。、E即为所求；乙作AC、8C的中垂线，分别交A8于。、E两点，则。、E即为所

求.对于甲、乙两人的作法，下列正确的是（）

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

【分析】求出NA=30°,ZACP=60°,求出NAC£>=30°=ZA,即可推出AZ）=C。，同理BE=CE,

即可判断甲，根据线段垂直平定县性质得出AO=CD,BE=CE,即可判断乙.

解：甲、乙都正确，

理由是：是线段48的垂直平分线,

：.BC=AC,ZAPC=ZBPC=9Q°,

：AC=2CP,

AZA=30°,

AZACP=60°,

AZACD^l.ZACP=30o,

2

ZACD^ZA,

：.AD=DC,

同理CE=BE,

即£＞、E为所求；

在AC的垂直平分线上，

：.AD=CD,

同理CE=BE,

即。、E为所求，

故选：A.

3.（2023秋•印江县期中）如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于尸点，若AB=5"i,BC

=3c机，则△PBC的周长等于（）

【分析】先根据等腰三角形的性质得出AC=AB=5cm,再根据线段垂直平分线的性质得出AP=BP,故

AP+PC=AC,由此即可得出结论.

【解答】解：•.,△ABC中，AB=AC,AB=5cm,

・・AC=5C771,

的垂直平分线交AC于。点，

：.BP+PC=AC,

的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=5+3=8cm.

故选：C.

4.（2023春•水城区期中）如图，线段A5,5C的垂直平分线/1、/2相交于点0.若Nl=40°,则NAOC

C.90°D.100°

【分析】连接50,并延长3。到尸，根据线段的垂直平分线的性质得49=03=0。和NBOO=NBEO

=90°,根据四边形的内角和为360°得NOOE+NA3C=180°,根据外角的性质得NAOP=NA+N

ABO,NCOP=NC+/OBC,相加可得结论.

【解答】解：连接50,并延长30到P,

/2相交于点O,

：.AO=OB=OCfZBDO=ZBEO=90°,

：.ZDOE+ZABC=180°,

VZZ）OE+Zl=180o,

AZABC=Z1=40°,

*：OA=OB=OC,

：.ZA=ZABO,ZOBC=ZC,

VZAOP=ZA+ZABO,ZCOP=ZC+ZOBC,

・・・NAOC=NAOP+NCOP=NA+NABC+NC=2X40°=80°；

故选：B.

5.（2023春・水城区期中）如图，/4=80°,0是人3,4?垂直平分线的交点，则/50。的度数是160

A

DA\F.

O

B

【分析】连接04根据三角形内角和定理求出NA8C+NAC5=10(r,根据线段的垂直平分线的性质得

到0A=08,OA=OC,根据等腰三角形的性质计算即可.

【解答】解：连接。4、0B,

VZA=80°,

：.ZABC+ZACB=100°,

・・・。是AB,AC垂直平分线的交点，

：・0A=0B,OA=OC,

：.ZOAB=ZOBAfZOCA=ZOAC,OB=OCf

：.ZOBA+ZOCA=SO°,

・・・NO8C+NOC8=100°-80°=20°,

•：OB=OC,

：.ZBCO=ZCBO=10°,

ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=160°,

故答案为：160°.

6.(2023春•六盘水期中)如图，△A5C中，ADLBC,EF垂直平分AC,交AC于点R交BC于点、E,且

BD=DE,连接AE

(1)求证：AB=EC；

(2)若△ABC的周长为18an,AC=Scmf求。。长.

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AE=ECAB=AE,等量代换证明结论；

(2)根据三角形的周长公式得到AB+3C+AC=18cm,根据A8=EC,计算，得到答案.

【解答】(1)证明：・・・EF垂直平分AC,

：.AE=EC,

VA£>±BC,BD=DE,

：.AB=AEf

：.AB=EC；

(2)解：•二△ABC的周长为18cm,

：.AB+BC+AC=1SCem),

VAC=8cm,

'.AB+BC—10(cm),

*：AB=EC,BD=DE,

：.DC=DE+EC=1.(AB+BC)=5(cm).

2

1.(2023秋•绥阳县期中)在直角坐标系中，点A(2,-8)、B关于y轴对称，则点8的坐标是()

A.(-2,-8)B.(2,8)C.(-2,8)D.(8,2)

【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案.

【解答】解：：点A与点B关于y轴对称，点A的坐标是(2,-8),

.,.点B的坐标是：(-2,-8).

故选：A.

2.(2023秋•织金县校级期中)在平面直角坐标系中，点A(m,2)与点、B(3,”)关于x轴对称，贝b"、

n的值分别为()

A.3,2B.-3,2C.2,3D.3,-2

【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、”的值，进而可

得答案.

【解答】解：：点A(m,2)与点B(3,n)关于x轴对称，

••m~~3j~2.

故选：D.

3.(2023秋•绥阳县期中)已知M(〃，3)和N(4,b)关于y轴对称，贝U。+万的值为-1.

【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出。、。的值，然后相加计算即

可得解.

【解答】解：・.・加(〃，3)和N(4,b)关于y轴对称，

.•.〃=-4,b=3,

-4+3=-1.

故答案为：-1.

4.(2023秋•云岩区校级期中)在社团剪纸活动中，小罗同学将剪好的窗花放在适当的平面直角坐标系内,

点A(3,«)与点8Cm,2)恰好关于％轴对称，则用的值为1.

【分析】根据关于X轴对称的点的坐标特点可得以加的值，进而可得〃产的值.

【解答】解：•.•点A(3,n)与点B(m,2)关于x轴对称，

~2,

.".mn=32=—,

9

故答案为：1.

9

5.(2023春•绥阳县期中)已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是-

l<a<3.

2-

【分析】点、P(a+1,a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则点尸(a+1,a-3)在第四象限，符号为

(+,-).

【解答】解：依题意得夕点在第四象限，

.\+1>0

，，，,2a-3<0，

解得：-1<a<—.

2

故答案为：-l<a<旦.

2

6.(2023秋•七星关区校级期中)已知点A(o-1,5)和点2(2,b-1)关于x轴对称，求(a+b)2。23的

值.

【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得。，6的值，再根据负数的奇数

次幕是负数，可得答案.

【解答】解：；点A(a-1,5)和点8(2,b-1)关于无轴对称，

'.a-1=2,1=-5,

解得a=3,b=-4,

则(a+Z?)2023=(-1)2。23=一].

题型05等腰(等边)三角形的性质

1

1.(2024春•清镇市期中)等腰三角形的一个角为50°,则这个等腰三角形的底角为()

A.65°B.65°或80°C.50°或65°D.40°

【分析】已知给出了一个内角是50°,没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用

内角和定理去验证每种情况是不是都成立.

【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为(180°-50°)X_l=65°；

2

当50°是底角时亦可.

故选：C.

2.(2023秋•印江县期中)如图，△ABC中，。为A8上一点，E为BC上一点,且AC=CZ)=8£)=BE,Z

4=50°,则NCZ5E的度数为()

A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°

【分析】由AC=CD,根据等边对等角，得NA=/CZM,由NA的度数得到NCZM的度数；由C£>=BZ),

根据等边对等角，得/B=NDCB,由NCD4=/B+/DCB得到的度数；由80=BE,根据等边对

等角，得/BDE=NBED,由NB=25°得到N2DE1的度数，再根据NCDE=180°-NCDA-/EDB得

到答案.

【解答】解：,:AC=CD=BD=BE,

：./XACD.△BC。、△BOE是3个等腰三角形，

又；NA=50°,

ZA=ZCDA=50°,ZB=ZDCB,ZBDE=ABED.

；NB+NDCB=NCDA=50°,

：.ZB=25°.

VZB+ZEDB+ZDEB=180°,

：.ZBDE=ZBED=1.(180°-25°)=77.5°,

2

：.ZCDE=1800-ZCDA-Z£Z)B=180°-50°-77.5°=52.5°.

故选：D.

3.(2023秋•绥阳县期中)如图，在△ABC中，AB=AC,点E在BC边上，在线段AC的延长线上取点

使得CD=CE,连接。E,CF是△(?£)£的中线，若NFCE=52°,则/A的度数为()

、D

A.38°B.34°C.32°D.28°

【分析】利用等腰三角形的三线合一求出NEC。，再求出NACB即可解决问题.

【解答】解：•.•CE=C£>,FE=FD,

尸=/DCP=52°,

：.ZACB=180°-104°=76°,

'：AB=AC,

：.ZB=ZACB=16°,

—180°-152°=28°,

故选：D.

4.（2023春•碧江区校级期中）若（a-2）2+\b-4|=0,则以心。为边长的等腰三角形的周长为（）

A.6B.8C.10D.8或10

【分析】根据非负数的性质列式求出小b的值，再分a是腰长与底边两种情况讨论求解.

【解答】解：根据题意得，a-2=0,b-4=0,

解得a=2,6=4,

①a=4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2,

•；4、4、2能组成三角形，

...三角形的周长为10,

②。=2是腰长时，三角形的三边分别为4、2、2,

不能组成三角形，

综上所述，三角形的周长为10.

故选：C.

5.（2024春•清镇市期中）已知一个等腰三角形两边分别为4c机和9aw,则腰长是9c?n.

【分析】分4cm是等腰三角形的底边长和9cm是底边长两种情况讨论即可.

【解答】解：当4ctti是等腰三角形的底边长时，腰长为9c%,9cm,符合题意；

当9c”是等腰三角形的底边长时，腰长为4cm4cm,4+4<9,不能构成三角形，不符合题意.

故答案为：9.

6.（2023春•水城区期中）若等腰三角形的周长为26cd底边为11cm则腰长为（）

A.11cmB.IICTM或7.5an

C.7.5cmD.以上都不对

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论.

【解答】解：..Tic机是底边，

.•.腰长=工（26-11）=75cm,

2

故选：c.

7.（2023秋•绥阳县期中）在等腰AABC中，AB=AC,一腰上的中线8。将这个三角形的周长分为15和

12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）

A.7B.7或11C.11D.7或10

【分析】因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种

情况讨论.

【解答】解：根据题意，

①当15是腰长与腰长一半时，AC+1AC=15,解得AC=10,

2

所以底边长=12-Ax10=7；

2

②当12是腰长与腰长一半时，AC+1AC=12,解得AC=8,

2

所以底边长=15-AX8=11.

2

所以底边长等于7或11.

故选：B.

8.（2023春•铜仁市期中）如图，AB//CD,ZkACE为等边三角形，ZBAE=20°,则NDCE1等于（）

【分析】过点E作E/〃CD利用等边三角形的性质以及平行线的性质求解即可.

【解答】解：过点E作E7〃CD

••・△ACE是等边三角形，

AZAEC=60°,

VAB/7CZ),EJ//CD,

：.AB//EJ,

：.ZAEJ=ZBAE=20°,

：.ZCEJ=60°-20°=40°,

：.ZDCE=ZCEJ=40°,

故选：B.

9.(2023春•碧江区校级期中)如图，在△ABC中，AB=AC,点。是BC上一点，点E是AC上一点，且

DEYAD.若/8AO=55°,ZB=50°,求/QEC的度数.

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到NC=50°,进而得到N8AC=80°,由NBA。

=55°,得到/ZME=25°,由£>E_LAD,进而求出结论.

【解答】W：\-AB=AC,

VZB=50°,

：.ZC=50°,

：.ZBAC=180°-50°-50°=80°,

\'ZBAD^55°,

：.ZDAE=25°,

:DELAD,

：.ZADE=90°,

ZDEC=ZDAE+ZADE=115°.

10.(2023春•铜仁市期中)如图，等边三角形△ABC中，8。是中线，延长8C至E使得CE=」8C,作

2

DFLBE于F.

(1)求证：BF=EF；

(2)若AB=10,求CE.

【分析】(1)先依据等腰三角形三线合一的性质可得到。C=LC=』BC,从而可求得DC=CE,从而

22

可求得/E的度数，然后依据NOBE=/E,最后，在依据等腰三角形三线合一的性质进行证明即可；

(2)依据等腰三角形的三线合一的性质可求得DC的长，然后依据CE=DC其解即可.

【解答】解：(1)'.•△ABC为等边三角形，是中线,

,-.DC=ABC.

2

又；CE=IBC,

2

•**DC=CE,

：.ZE=ZCDE,而N£>CB=NE+NCDE=60°,

：.ZE=30°,

'：DA=DC.

:.NDBC=!/ABC=30°,

2

:・DB=DE；

■:DF2BC,

：.BF=EF.

(2))•.•△ABC为等边三角形，

；.AC=AB=10.

VCE=ABC,

2

：.CE=DC=5.

含30°的直角三角形

1.（2023春•七星关区期中）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成

30°角，这棵树在折断前的高度为（）

―

A.6米B.9米C.12米D.15米

【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面

的距离就是折断前树的高度.

【解答】解：如图，根据题意2C=3米，

,：ZBAC=3Q°,

：.AB=2BC=2X3=6（米），

；.3+6=9（米）.

故选：B.

2.（2023春•水城区期中）在RtZkA2C中，NC=90°,ZA=30°,AB=2,则BC=（）

A.1B.2C.V3D.V5

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可.

【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC=1AB=1.

2

故选：A.

3.（2023春•云岩区校级期中）如图，在中，ZACB=90°,N5=60°,CD是AA5c的高，且

BD=1,则的长为（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

【分析】先求出NA=NBCD=30°,再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得.

【解答】解：,・・CO是△A5C的高，ZB=60°,

AZBCD=90°-ZB=30°,

：.BC=2BD=2X1=2,

VZACB=90°,NB=60°,

ZA=90°-ZB=30°,

：.AB=2BC=2X2=4,

：.AD=AB-BD=4-1=3,

故选：B.

4.（2023春•贵阳期中）如图，已知NAO3=60°,点尸在边。4上，。尸=12,点“，N在边03上，PM

=PN,若MN=2,则OM的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】过尸作PC，ON,根据等腰三角形形三线合一及直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半即

可得到答案.

【解答】解：过尸作PCLON,

VZAOB=6Q°,PC±ON,

AZOPC=90°-60°=30°,

：。尸=12,

OC=1-OP=6,

2

,:PCLON,PM=PN,MN=2,

：.MC=1-MN=\,

2

：.OM=OC-MC=6-1=5,

故选：c.

5.如图，RtZXABC中，ZB=60°,AZ）是高，BD=2,8=7,则AB长为（）

【分析】根据直角三角形的性质求出NR4D=30°,再根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等

于斜边的一半”求解即可.

【解答】解：:A。是高，

AZADB=90°,

AZB+ZBA£>=90°,

VZB=60°,

：.ZBAD=30°,

：.AB=2BD=4f

故选：A.

6.（2023春•贵阳期中）如图，在等边三角形A3C中，点。，E分别在边5C,AC上，＞DE//AB,过点E

作EfUDE,交5C的延长线于点?

（1）求NF的度数；

（2）若CD=2,求。歹的长.

【分析】（1）证明△OCE中的三个角均为60°,然后再求得N尸=30°,则可得出答案;

（2）先求得C尸然后由EC=DC进行求解即可.

【解答】解：（1）;△ABC是等边三角形，

ZA=ZB=ZACB=60°.

'：DE//AB,

；・/B=NEDC=60°,/A=NCED=60°,

NEDC=NECD=/DEC=60°,

'：EF±ED9

：.ZDEF=90°,

：.ZF=30°；

(2)VZF+ZFEC=ZECD=60°,

：.ZF=ZFEC=30°,

：.CE=CF.

•:/EDC=/ECD=/DEC=60°,

：.CE=DC=2.

:・CF=2.

：.DF=DC+CF=2+2=4.

优选提升题

等腰（等边）三角形的判定与性质

1.（2023秋•钟山区期中）如图，已知/ABC=60°,点。为边上一点，8。=8,点。为线段8。上的

中点，以点。为圆心，线段。2的长为半径作弧，交BC于点、E,连接。E,则BE的长是（

c

B0DA

A.3A/2B.4C.4A/2D.473

【分析】根据题意和等边三角形的判定，可以得到BE的长.

【解答】解：连接0E,

由已知可得，OE=OB=LBD=4,

2

VZABC=60°,

.•.△20E是等边三角形,

.•.2E=02=4,

故选：B.

2.（2023春•铜仁市期中）如图，/A8C和NACB的角平分线相交于点且过点M的直线OE〃8C,分

另IJ交AB、AC于。、E两点，若48=12,AC=10,则△AOE的周长为22.

【分析】由/ABC和/ACB的角平分线相交于点M,且过点M的直线DE//BC,易证得与△ECM

是等腰三角形，继而可得△入£»£的周长等于AB+AC.

【解答】解：'：DE//BC,

：.NDMB=ZMBC,/EMC=ZMCB,

'：ZABC和NACB的角平分线相交于点M,

：.ZDBM=ZMBC,ZECM=ZMCB,

：.ZDBM=ZDMB,/ECM=/EMC,

J.DM^DB,EM=EC,

.,.△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=12+10=22.

故答案为：22.

3.（2023秋•印江县期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边△ABC

和等边△COE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点。，连结PQ.以下五个结论：

①AD=BE；②尸。〃AE；③OP=OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤/AOB=60°.其中正确的有①②

④⑤.（注：把你认为正确的答案序号都写上）

【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACDZZXBCE,即可得出AD=BE,①正确.

④先证明AACP也△8C。，即可判断出CP=C。，即可得④正确；

②根据/尸。。=60°,可得△PC。为等边三角形，证出NPQC=/OCE=60°,得出PQ〃AE,②正确.

③没有条件证出。尸=。。，得出③错误；

@ZAOB^ZDAE+ZAEO^ZDAE+ZADC=ZDCE^60°,⑤正确；即可得出结论.

【解答】解：:△ABC和△CUE都是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE^60°,

ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.NACD=NBCE,

在△ACD和中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,CD=CE,

：.(SAS),

；.AD=BE,结论①正确.

,?△ACDgABCE,

：.ZCAD=ZCBE,

又；NACB=NDCE=60°,

AZBC£>=180°-60°-60°=60°,

：.ZACP=ZBCQ=6Q°,

在△ACP和△BCQ中，

ZACP=ZBCQ,ZCAP=ZCBQ,AC=BC,

：./\ACP^/\BCQ(A4S),

：.AP=BQ,CP=CQ,

又•.,/PCQ=60°,

.•.△PC。为等边三角形，结论④正确；

：.ZPQC=ZDCE=60°,

J.PQ//AE,结论②正确.

AACD冬4BCE,

：.ZADC^ZAEO,

：.ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=NDCE=6Q°,

结论⑤正确.

没有条件证出0P=。。，③错误；

综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤.

故答案为：①②④⑤.

4.（2023春•绥阳县期中）已知：在锐角△ABC中，AB=AC.。为底边8C上一点，E为线段AD上一点，

且/BED=NBAC=2NDEC,连接CE.

（1）求证：ZABE^ZDAC；

（2）若NA4C=60。，试判断出）与C。有怎样的数量关系，并证明你的结论；

（3）若NBAC=a,那么（2）中的结论是否还成立.若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.

【分析】（1）根据外角的性质，推出由/BAC=/BAE+/ZMC,根据

N8AC进行等量代换即可；

（2）在AQ上截取AF=BE,连接CF,作CG〃BE交直线AO于G,NBED=/BAC,结合（1）所推

出的结论，求证△ACFgABAE,根据全等三角形的性质、三角形内角和定理推出NC/G=180°-ZAFC

=180°-ZBEA=ZBED,由CG〃BE,可得/CGF=NBED,BD-.CD=BE：CG,继而推出NCFG=

ZCGF,即CG=CR通过等量代换可得BE=AF=2CR把比例式中的BE、CG用2CRCT代换、整

理后即可推出Br>=2Z）C,总上所述8。与C。的数量关系与NB4C的度数无关；

（3）根据（2）所推出的结论即可推出若NBAC=a,那么（2）中的结论仍然还成立.

【解答】（1）证明：VZBED=ZABE+ZBAE,NBED=/BAC,

：./ABE+NBAE=ZBAC,

,：ZBAC=ZBAE+ZDAC,

：.ZDAC=ZABE；

（2）解：在AZ）上截取连接CF,作CG〃BE交直线A。于G,ZBED=ZBAC,

"：ZFAC=ZEBA,

・••在AAC尸和△氏!£中，

'CA二AB

,NFAC=NEBA，

AF=BE

AAACF^ABAE(SAS),

CF=AE,ZACF=ZBAE,ZAFC=ZAEB.

ZAFC=ZBEA

/.180°-ZAFC=180°-ZBEA

:・/CFG=/BEF,

：.ZCFG=1SO°-ZAFC=1SO°-NBEA=NBED,

•・•CG//BE,

：・NCGF=/BED,

:・/CFG=/CGF,

：.CG=CF,

•：/BED=2/DEC,

•:/CFG=/DEC+NECF,NCFG=/BED,

：.ZECF=ZDEC,

：.CF=EF,

：・BE=AF=2CF,

■:CG//BE,

：.BD：CD=BE：CG,

：.BD：CD=2CF：CF=2,

:.BD=2DC,

：.BD与CD的数量关系与NA4c的度数无关；

(3)解：・・・8。与CO的数量关系与NBAC的度数无关,

・••若N8AC=a,那么(2)中的结论仍然还成立.

A

E

5.(2023春•七星关区期中)如图，在等边△ABC中，NABC与NACB的平分线相交于点。，且。

OE//AC.

(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

(2)若BC=10,求△ODE的周长.

【分析】(1)证明NABC=NACB=60°；证明NODE=/A2C=60°,ZOED=ZACB^6Q°,即可

解决问题.

(2)证明2£>=。£>；同理可证CE=OE；即可解决问题.

【解答】解：(1)△ODE是等边三角形；理由如下：

•..△ABC是等边三角形，

ZABC=ZACB=6Q°；

,JOD//AB,OE//AC,

：.ZODE=ZABC=60Q,ZOED=ZACB=60°,

.♦.△OOE为等边三角形.

(2)：03平分NABC,OD//AB,

：.ZABO^ZDOB,ZABO=ZDBO,

：.ZDOB=ZDBO,

：.BD=OD-,同理可证CK=OE；

MODE的周长=BC=10.

BDE

!产型02]垂直平分线（角平分线）的基本作图

1.（2023春•铜仁市期中）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,分别以边A、8为圆心，大于」泊8

2

的长为半径画弧，两弧分别交于RG两点，连接RG分别交于A3于E、BC于D,连接A。，若CD

A.6B.6A/3C.9D.3我

【分析】利用基本作图得到。E垂直平分AB,则根据线段垂直平分线的性质得到。B=D4,所以ND4B

=/2=30°,再计算出/。。=30°,接着利用含30度角直角三角形三边的关系求AD,从而得到BD

的长，然后计算BD+C。即可.

【解答】解：由作法得。£垂直平分A8,

：.DB=DA,

.,./。42=/2=30°,

VZC=90°,ZB=30°,

：.ZBAC=60°,

AZCAD=30°,

在RtZsACD中，AD=2CD=6,

：.BD=6,

：.BC=BD+CD=6+3=9.

故选：C.

2.（2023秋•贵阳期中）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,BC=5,CD=3.按下列步骤作图：①以点

。为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA,DC于E,尸两点；②分别以点尸为圆心以大于/EF的

长为半径画弧，两弧交于点尸；③连接。尸并延长交3C于点G.则5G的长是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG=CD,进而得到3G的长.

【解答】解：由题可得，OG是NAOC的平分线.

工NADG=NCDG,

,:AD〃BC,

：.NADG=NCGD,

:・/CDG=/CGD,

：.CG=CD=3,

：.BG=CB-CG=5-3=2.

故选：A.

3.（2023春•六盘水期中）如图，在已知的AABC中，按以下步骤作图：

①分别以8,C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

②作直线交于点。，连接CD若AC=3,AB=9,则△AC。的周长为（）

B

A.12B.11C.10D.9

【分析】证明。B=OC,推出△AOC的周长=AC+4B,可得结论.

【解答】解：由作图可知垂直平分线段8C,

:.DB=DC,

：.AADC的周长=AC+CD+AC=AC+£>B+AD=AC+AB=3+9=12.

故选：A.

4.（2024春•清镇市期中）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交

AC,AB于点N两点，再分别以点M,N为圆心，大于工的长为半径作弧，两弧交于点P,射线

2

AP交边于点。，若CD=3cm,AB=lQcm,则△A3。的面积等于15cm2.

【分析】由作图过程可知，AD为NBAC的平分线.过点。作OELA8于点E,由角平分线的性质可得

CD=DE=3cm,再利用三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：如图，过点。作于点E,

由作图过程可知，为NA4C的平分线，

VZC=90°,

:.CD=DE=3cm,

：./\ABD的面积等于Ag.DE=/x10X3=15(。渥).

故答案为：15.

5.(2023秋•绥阳县期中)如图，在△ABC中，AB^AC,ZA=36°.

(1)尺规作图：作AB的垂直平分线交AC于点£>,连接2。；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)求/DBC的度数.

【分析】(1)根据要求作出图形；

(2)分别求出NABZ)=36°,NABC=72°可得结论.

【解答】解：(1)如图，直线即为所求.

A

KN/\

■M

B

(2)：MN垂直平分线段AB,

：.DA=DB,

：.ZA^ZDBA^36°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=1.(180°-36°)=72°,

2

AZDBC=AABC-ZABD=12°-36°=36°.

6.(2023秋•红花岗区期中)如图，在△ABC中，是8c边上的高.

(1)求作：NB的平分线交A。于点E,交AC于点E(尺规作图，不写画法，保留作图痕迹)

(2)当NA8C=50°时，求/AEF的度数.

【分析】(1)利用基本作图作/ABC的平分线即可；

(2)先根据高的定义和角平分线的定义得到/4。2=90°,NCBF=25°,再根据三角形内角和计算出

NBED,然后根据对顶角相等得到的度数.

【解答】解：(1)如图，8尸为所作；

(2):AD是BC边上的高，

ZADB=90°,

"/平分NA8C,

AZCBF=-LzABC=^X50°=25°,

22

：.ZBED=90°-ZDBE