中考数学专项复习：提公因式法分解因式（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第07讲提公因式法分解因式

01学习目标

k

课程标准学习目标

1.掌握因式分解的概念，并能够熟练的判断式子因式分解变形是否正确。

①因式分解的概念

2.掌握公因式的概念以及提公因式分解因式的方法，并能快速判断多项

②提公因式法分解因式

式的公因式以及根据方法准确无误的进行分解。

02思维导图

L

分熔因式的徽念

03知识清单

知识点01因式分解的概念

1.分解因式的概念：

把一个多项式写成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也

叫做把这个多项式分解因式。与整式的乘法互为逆运算。

(整式的乘法)>(因式分解)

m(a+b+c)—〃也+mb+mc―+Z?+c)

左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相

等。

【即学即练1】

1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x(x+1)—x2+xB.(cz+Z?)(a-b)—cr-b2

C.7+4x+4=(x+2)2D.x+l=x(lJ)

【分析】根据因式分解的意义进行判断即可.

【解答】解：A.x(x+1)=/+x是整式的乘法，故A不是因式分解；

B.(a+b)(a-/?)=/-必是整式的乘法，故6不是因式分解；

C.X2+4X+4=(X+2)2是因式分解，故C正确；

D.x+l=x(1+1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也

X

叫做分解因式，右边1+工不是整式，故。不是因式分解；

X

故选：C.

【即学即练2】

2.把/+5%+c分解因式，得(x+2)(x+3),则c的值=6.

【分析】本题可先将(1+2)G+3)化简，得出一个二次多项式，再根据对应项系数相等可得c的值.

【角军答】解：(x+2)(x+3),

=/+2x+3x+6,

=/+5x+6,

又f+5x+6=(x+2)(x+3),

所以c=6.

知识点02提公因式法分解因式

1.公因式的概念：

多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式。如多项式加a+〃历+mc,各项都有一

个公因式—上则它就是这个多项式的公因式。

2.公因式的求法：

公因式=系数的最大公约数义相同字母(式子)的最低次上。若多项式首项为负号，则公因

式为负。

3.多项式提取公因式后的另一个因式的求法：

多项式提取公因式后，另一个因式=多项式的每一项+公因式。

4.提公因式分解因式：

一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式

与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

【即学即练1】

3.将多项式-61/-3/廿+12/63分解因式时，应提取的公因式是()

A.-3a1?B.-3abC.-3a2bD.-3//

【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次累.同时注意首项系数通常要

变成正数.

【解答】解：系数最大公约数是-3,

相同字母的最低指数次塞是/、b2,

应提取的公因式是-3a2店.

故选：A.

【即学即练2】

4.多项式27-4孙+2x提取公因式2天后，另一个因式为x-2y+l

【分析】直接提取公因式2x,进而分解因式得出答案.

【解答】解：2X2-4xy+2x=2x(x-2y+l).

故答案为：尤-2y+l.

【即学即练3】

5.把下列各式因式分解：

(1)-20a-15ax；

(2)-4a3b3+6a2b-2ab；

(3)-l0a2bc+l5bc2-20ab2c.

【分析】利用提取公因式法直接分解因式即可.

【解答】解：(1)-20a-15ox

=-5a(4+3x)；

(2)-4cr'b3+6cTb-lab

--2ab(Icrtr-3a+l)；

(3)-10/%。+156c2-20ab2c

=-5bc(2a2-3c+4ab).

题型精讲

题型01判断因式分解的变形

【典例1】下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是()

A.尤③-左=尤(%-1)(尤+1)B.a2(a-1)—a3-a2

C.cr-2a-Y—a(a-2)-1D.(a-3)(a+3)—a^-9

【分析】根据因式分解的意义判断即可.

【解答】解：A从左向右的变形为因式分解，

符合题意；

BD从右向左的变形为因式分解，

.••BD不符合题意；

C没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，

不符合题意.

故选：A.

【变式1】下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是()

A.x2-4+4x=(x+2)(x-2)+4x

B.(x+3)(x-1)=X2+2X-3

C.x2-6x=x(x-6)

D.〃(x-y)=ax-ay

【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可.

【解答】解：A./-4+以=(x+2)(x-2)+4x,等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解,

不符合题意；

B.(x+3)(x-1)=X2+2X-3,是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；

C.x2-6x=x(x-6),符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意；

D.a(x-y)=ax-ay,是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；

故选：C.

【变式2】下列变形是因式分解的是()

A.x(x+1)=f+xB.X2+2X+1=(X+1)2

C.x2+xy-3=x(x+y)-3D./+6x+4=(x+3)2-5

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案.

【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；

5、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故5正确；

C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；

。、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故。错误；

故选：B.

【变式3】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x2-y2=(x+y)(X-y')B.X2-1=(X-1)2

C.(x-2)(x-3)=/-51+6D.x2-5x+6=x(x-5)+6

【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因

式，据此逐项判断即可.

【解答】解：/72=(Ay)(X-y)符合因式分解的定义，则A符合题意；

1X2-1W(X-1)2,则5不符合题意；

(x-2)(x-3)-5x+6是乘法运算，则C不符合题意；

x2-5x+6=x(x-5)+6中等号右边不是积的形式，则D不符合题意；

故选：A.

题型02利用因式分解的变形求值

【典例1］若W+mx-18能分解为(x-9)(x+〃)，那么相、〃的值是()

A.7、2B.-7、2C.-7、-2D.7、-2

【分析】将分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出m

与〃的值.

【解答】解：根据题意得：J?+mx-18=(x-9)(x+〃)=/+(w-9)x-9n,

,\m=n-9,-18=-9n,

解得：m--7,n—2.

故选：B.

【变式1】已知在炉+:依-16=(x+a)(x+b)中，a,%为整数，能使这个因式分解过程成立的初值的个

数有()

A.4个B.5个C.8个D.10个

【分析】-16=-1X16=-2X8=-4X4=4X(-4)=2X(-8)=1X(-16)=a义b,m=a+b,

m的取值有五种可能.

【解答】解：V-16=-1X16=-2X8=-4X4=4X(-4)=2义(-8)=1X(-16)=aXb,

.力〃=。+6=-1+16或-2+8或-4+4或4+(-4)或2+(-8)或1+(-16),

即m=±15或±6或0.

则用的可能值的个数为5,

故选：B.

【变式2】已知多项式o^+bx+c分解因式后结果2(尤-3)(x+1),则6,c的值为()

A.b—3,c--1B.b=-6,c=2C.b--6,c=-4D.b--4,c=-6

【分析】首先把2(x-3)(x+1),利用整式的乘法计算得出结果，与多项式—+a+c的每一项相对应，

求出a、b、c的数值即可.

【解答】解：2(x-3)(x+1)

=2(x2-2x-3)

=27-4x-6,

a^+bx+c—Tx2-4尤-6

所以a=2,b=-4,c=-6.

故选：

【变式3】若将多项式2?-/+m进行因式分解后，有一个因式是x+1,则7〃的值为3.

【分析】由多项式2?-7+根进行因式分解后，有一个因式是尤+1,可得当x=-l时，多项式=0,从

而得出一个关于m的方程式，解得即可.

【解答】解：•..多项式2笳-/+小进行因式分解后，有一个因式是x+i,

当x=-1时，2丁-x2+m=0,

即2义(-1)3-(-1)2+rn=0,

解得m=3.

故答案为：3.

【变式4】多项式2x2-13尤+6中，有一个因式为(了一5),则b的值为()

A.-15B.-3C.15D.3

【分析】设另一个因式为(2彳+机)，根据因式分解的意义计算(尤-5)(2x+m)后即可求得答案.

【解答】解：设另一个因式为（2x+m）,

贝!J（x-5）（2x+m）=22-13x+。，

整理得：2f+（m-10）x-5m=2x2-13x+。，

贝ljm-10=-13,b=-5m,

那么m=-3,Z?=15,

故选：C.

题型03求多项式的公因式

【典例1】在多项式8a3庐-4a3品中，各项的公因式是（）

A.cc'bB.4a%C.4cz3D.-a3

【分析】利用公因式的确定方法可得答案.

【解答】解：这两项系数的最大公约数是4,两项的字母部分//与/儿都含有字母a和b,其中a

的最低次数是3,6的最低次数是1,因此多项式8/庐-4/儿中各项的公因式是4/乩

故选：B.

【变式1】多项式-8fyz4+12x4y2z3的公因式是（）

244322

A.4?yzB.-8?yzC.12%/2D.4XJZ

【分析】根据找公因式的规律找出即可.

【解答】解：多项式dyz2-S^yz^lTx^z3的公因式是4x2yz2.

故选：D.

【变式2］多项式2Wy"7-4/-V（m,n均为大于1的整数）各项的公因式是（）

A.4/一1”一1B.C.2^ynD.4^/

【分析】直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式.

【解答】解：多项式2/y”1-4”、"（如〃均为大于1的整数）各项的公因式是：

故选：B.

【变式3］若A=10/+3启-5a+5,B=cr+3b2-8a+5,则A-8的值与-91d的公因式为（）

A.aB.-3C.943b2D.3a

【分析】根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每项都含有的因式，可得答案.

【解答】解：A-B=9a2+3a,

A-B的值与-9a3户的公因式为3a,

故选：D.

题型04求多项式提取公因式后的式子

【典例1】把多项式-lab-14abx+49aby分解因式，提公因式-lab后，另一个因式是（）

A.l+2x-7yB.1-2x-7yC.-l+2x+2yD.-1-2x+7y

【分析】-lab-I4abx+49aby的公因式为-lab,提取公因式后化简即可.

【解答】解：~lab-l^abx+^9aby

=-lab(1+2%-7y).

故选：A.

【变式1】把5(a-b)+m(。-〃)提公因式后一个因式是(。")，则另一个因式是(

A.5-mB.5+mC.m-5D.-m-5

【分析】根据提公因式，可得答案.

【解答】解：原式=5(.a-/?)-m(a-b)=(a-b)(5-m),

另一个因式是(5-m),

故选：A.

【变式2】把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式m-1后，另一个因式为(

A.m+1B.2mC.2D.m+2

【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答.

【解答】解：(m+1)(m-1)+(m-1)

=(m-1)(m+1+1)

=(m-1)(m+2),

所以，把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式根-1后，另一个因式为(m+2),

故选：£).

【变式3】多项式X2>(〃-b)-xy(b-a)+y(a-b)提公因式后，另一个因式为()

A.x2-x+1B.x2+x+lC.x2-x-1D.x2+x-1

【分析】根据提公因式，可得答案.

【解答】解：原式=(。-。)y(7+x+l),

公因式是(〃-b)y,

故选：B.

题型05提公因式法分解因式

【典例1］分解因式：2/d-3/曲=/2(24-3)

【分析】提公因式即可解答.

【解答】解:原式=。2户(2a-3).

故答案为：苑(2a-3).

【变式11把下列各式分解因式：

(1)-8a3Z?2+6t7Z?3c；

(2)x(x-y)~-y(y-尤).

【分析】(1)提取公因式-2裙2分解因式即可；

(2)提取公因式(尤-y)分解因式即可.

【解答】解：(1)原式=-2〃庐(4。2-3反)；

(2)原式=(x-y)[x(x-y)+y]

=(x-y)(x2-孙+y).

【变式2】因式分解：

(1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z.

(2)5x(x-2y)3-20y(2y-x)3.

【分析】(1)利用提公因式法因式分解即可；

(2)利用提公因式法因式分解即可.

【解答】解：(1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z=4xy2(xy+2xz-3z)；

(2)5x(%-2y)3-20y(2y-x)3

=5x(x-2j)3+20yG-2y)3

=5(x-2y)3(x+4y).

【变式3】把下列各式因式分解：

(1)(x-y)2+(y-x){

(2)ab(3x-y)+ac(y-3x)-ad(y-3x).

【分析】(1)直接利用提取公因式法提取公因式(x-y)2,即可得到答案;

(2)直接利用提取公因式法提取公因式〃(3x-y),即可得到答案.

【解答】解：(1)(x-y)2+(yr)3

=(X-y)2+(y-x)2.()一%)

=(x-y)2+(x-y)2.(y-x)

=(x-y)2[1+(y-x)]

=(x-y)2(1-x+y)；

(2)ab(3x-y)+ac(y-3%)-ad(y-3x)

—ab(31-y)-ac(3%-y)+ad(3x-y)

=a(3%-y)(Z?-c+d).

05强化训练

i.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A./+2x+l=x(x+2)+1B.a(2。-46)=2a2-4ab

C.x(x+2y)=x2+2xyD.x2-2xy=x(x-2y)

【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因

式，据此逐项判断即可.

【解答】解：f+2x+l=x(x+2)+1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意；

a(2.-4。)=2/-4ab是乘法运算，则8不符合题意；

x(x+2y)=/+2盯是乘法运算，则。不符合题意；

7-2孙=%(x-2y)符合因式分解的定义，则。符合题意；

故选：D.

2.多项式-8的3+12孙?z3-240次的公因式是()

A.-xyzB.-4x3y3z3C.-4xyzD.-x3,y3z3

【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解.

232332

【解答】解：多项式-8xyz+12xyz-24xyz的公因式是-4xyzf

故选：C.

3.已知多项式2x2+析+。分解因式为2(x-3)(x+1),则b、c的值为()

A.b=3,c=-1B.b=-6,c=2C.b=-6,c=-4D.b=-4,c=-6

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案.

【解答】解：由多项式2/+fec+c分解因式为2(x-3)(x+1),得

2j^+bx+c=2(x-3)(x+1)-4x-6.

b--4,c--6,

故选：D.

4.已知关于x的二次三项式％2+7%+〃有一个因式为(%+5),则〃的值为()

A.-18B.2C.10D.12

【分析】设另一个因式为x+m,则％2+7%+孔=(x+m)(x+5),根据多项式乘以多项式法则展开，即可得

出答案.

【解答】解：设另一个因式为X+M,

贝！J/+7%+y=(x+m)(x+5),

而(x+m)(x+5)=W+(5+m)x+5m,

所以5+m=7,

解得：m=2,

几=5X2=10,

故选：C.

5.如图，长宽分别为。、匕的长方形周长为16,面积为12,则〃2计必2的值为()

b

<a

A.80B.96C.192D.240

【分析】根据题意得出〃+。=8,"=12,然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可

【解答】解：・・•边长为小。的长方形周长为16,面积为12,

a+b=8,ab=12,

=ab（〃+。）

=12X8

=96.

故选：B.

6.若（x+y）3-xy（x+y）=（x+yWO）,则M是（）

A.f+y2B.x2-xy+y2C.x2-3xy+y2D./+孙+9

【分析】运用提公因式法将等式左边的多项式进行因式分解即可求解.

【解答】解：（%+》）3-孙（%+y）

=（x+y）[（x+9-xy]

=（%+＞）（/+孙+》2）

*.*（x+y）3-xy（x+y）=（x+j）*M（x+yWO）,

.\M=j?+xy+y1,

故选：D.

7.如果q-b=3,ab=7,那么〃28-〃房的值是（）

A.-21B.-10C.21D.10

【分析】首先分解因式，再代入求值即可.

【解答】解：c^b-ab2=ab（〃-。）=7X3=21,

故选：C.

8.计算（-5）2。13+（-5）2。14的结果是（）

A.4X52013B.-5C.-4X52013D.-4

【分析】先将原算式变式后，运用提公因式因式分解法进行求解.

【解答】解：（-5）2013+（_5）2014

__2013^2014

=5X52013_52013

=52013X（5-1）

=4X52013,

故选：A.

9.已知a-b=5,b-c=-6,则代数式a2-ac-b（a-c）的值为（）

A.-30B.30C.-5D.-6

【分析】将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可.

【解答】解：:a-。=5,b-c=-6,

a-c--1,

cr-ac-bCa-c)

=a(〃-c)-b(a-c)

—(q-c)(〃-b)

=5X(-1)

-5；

故选：c.

10.计算l-a-a(l-a)-a(l-a)2-a(l-°)3-…-a(i-a)20i3_[(]_q)2014-3]的结果为()

A.3B.1

C.(1-a)2015D.(1-a)2°i5+3

【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案.

【解答】解：1-。-。(1-a)-a(1_a)"-a(l_cz)~-a(1_a)2013_[(1_a)""4-3]

—1-a~a(1-fl)-a(1-cz)~-a(1_a)-a(1-cz)-(1-a)^^+3

=(1-a)2-。(1-a)2-a(1-a)-a(1-a)-(1-o)2014+3

=(1-a)2013-«(l-«)2013-(l-«)2014+3

=(l-«)2014-(1-a)2014+3

=3.

故选：A.

11.单项式1202b2与9/6的公因式是3fb.

【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次累，即可确定公因式.

【解答】解：12和9的最大公因数为3,取相同字母的最低指数次幕得到

12/廿与9a3b的公因式为301b.

故答案为：301b.

12.请你写出一个整式A,使得多项式7+4能因式分解，这个整式A可以是xy(答案不唯一).

【分析】根据因式分解的定义解答即可.

【解答】解：这个整式A可以是：孙(答案不唯一).

故答案为：孙(答案不唯一).

13.计算：20232-2023X2022=2023.

【分析】运用提公因式法进行简便运算.

【解答】解：20232-2023X2022

=2023X(2023-2022)

=2023X1

=2023.

故答案为：2023.

14.(1)若关于尤的二次三项式/+日+》因式分解为(x-1)(尤-3),则k+b的值为-1.

(2)若/-4x+/"=(x-2)(x+〃)，m=4,n=-2.

【分析】(1)根据已知得出算式b=-IX(-3),左=7+(-3),求出即可.

(2)根据已知得出等式-4=-2+〃，-2%求出即可.

【解答】解：(1)：/+日+6因式分解为(x-1)(x-3),

:,b=-IX(-3)=3,k—-1+(-3)=-4,

.•・女+。=3+(-4)=-1,

故答案为：-1.

(2)*.*x2-4x+m=(x-2)(x+〃)，

-4—-2+〃,m=~2n,

m=4,n--2,

故答案为：4,-2.

15.已知x+y=10,xy=l,则代数式/y+x/的值为10.

【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y=10,xy=l即可求解.

【解答】解：•・“+》=10,xy=\,

•'•x^y+xy2

=xy(x+y)

=1X10

=10.

16.分解因式：

(1)6m2n-15n2m+30m2«2

(2)x(x-y)2-y(x-y)

【分析】(1)先确定公因式是3m小然后提取公因式即可.

(1)先确定公因式是(x-y),然后提取公因式并整理即可.

【解答】解：(1)6m2n-15n2m+30m2n2=3mH(2m-5n+10mn)；

(2)x(x-y)2-y(x-y)=(x-y)(x2-xy-y).

17.简便计算：

①1.992+1.99X0.01

②20132+2013-20142.

【分析】①直接提取公因式1.99,进而求出答案；

②将前两项提取公因式2013,进而分解因式得出答案.

【解答】解：①1.992+1.99X0.01

=1.99X(1.99+0.01)

=3.98；

②20132+2013-20142

=2013[(2013+1)]-20142

=2013X2014-20142

=2014X(2013-2014)

=-2014.

18.已知：a+b=3,ab=2,求下列各式的值：

(1)a^b+ab2；

(2)«2+Z?2.

【分析】(1)把代数式提取公因式而后把〃+。=3,"=2整体代入求解;

(2)利用完全平方公式把代数式化为己知的形式求解.

【解答】解：(1)a2b+ab2=ab(a+6)=2X3=6；

(2)(a+6)2-2+2"+房

.".ai+b2=(a+6)2-2ab,

=32-2X2,

=5.

19.先阅读下面的内容，再解决问题.

如果一个整式A等于整式3与整式。之积，则称整式B和整式C为整式A的因式.

如：①因为36=4X9,所以4和9是36的因数；

因为了一元一2=(x+1)(%-2),所以1+1和%-2是f-x-2的因式.

②若x+1是/+QX-2的因式，则求常数a的值的过程如下：

解：是？+依-2的因式

；・存在一个整式(mx+几)，使得/