重庆市某中学2025届高三年级上册11月阶段性检测数学试卷（含解析）

西南大学附中高2025届高三上11月阶段性检测

数学试题

（满分：150分：考试时间：120分钟）

注意事项：

1.答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.

2、答选择题时、必须使用2B铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书

写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.

3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

A=Jx|—<2X<8LB=（X|X2+5X>O）

1.已知集合I16JJ则4口3=（）

A.（T,3）B.（0,3）C.（-3,0）D.（T,0）

【答案】B

【解析】

【分析】先分别求出集合AB,再进行集合的交集运算

【详解】由‘<2'<8解得-4〈尤<3,A={x|—4<尤<3},

由f+5x>0解得x>0或％<—5，

所以3={尤>。或％<-5},

所以AnB=（0,3）

故选：B.

2.己知点A（L2）,3（—l,4）C（x,l）,若A,B,C三点共线，则x的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量共线的坐标表示即可得解.

【详解】因为A（l,2）,5（—l,4）,C（x,l）,

所以初=（一2,2）,*=（%_1,_1）,

因为A,B,C三点共线，则无反前共线，

则一2x（—l）=2x（x—1）,解得尤=2.

故选：B.

3.“无>1”是“一工<1”的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】将-工<1化简，再根据充分必要条件关系判断.

X

1尤+1

【详解】—v10---->0。x（x+l）>0=%<一1或%>。，

xx

由犬>1成立可以推出x<-1或0,但x<-1或0成立不能推出x>l,

所以%>1是-4<1的充分不必要条件.

X

故选：A.

4.若a==,c=log3-1,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【解析】

【分析】首先化解。力，再根据中间值1,以及幕函数的单调性比较大小，即可判断.

【详解】。=（『=3。」>1，bc=log3|G（0,l）,

丁=%°」在（0,+”）上单调递增，3>|,所以a>6,

所以a>Z?>c.

故选：D

5.设%，〃是不同的直线，。，分为不同的平面，下列命题正确的是（）

N.若a，B，ac/3=n,m，n,则mJ_a.

B,若aCBIIa,则zn//〃.

C.若7口烫a,mlI/3,n/1/3,则。///?.

D.若m」ln,mLa,n1/3,则o//〃.

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断.

【详解】对于A,直线机与平面々可能平行、相交或直线机在平面a内，故错误；

对于B,ml巾或muB,故错误；

对于C,平面a与平面夕平行或相交，故错误；

对于D,m//",m_La,则〃J_tz,又“」分，所以a///7,D正确；

故选：D.

1sintz-costz

6.若曲线/'(X)=1M+1在x=2处的切线的倾斜角为a,则cosc(l_sin2a)=()

175175A/17

A.——B.——C.——D.

126517

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数的几何意义先求出函数/(%)在x=2处的导数值，即可得到在尤=2处切线的斜率，进而

得到倾斜角a的正切值，再根据tana求出题中式子的值.

【详解】由题意得，/f(x)=--4-所以/■'(2)=」一工=」，

x%244

于是/(%)在尤=2处切线的斜率为：，tan«=-.

44

sina-cos。_sina-cosa

又cosa(l-sin2a)cos6Z(sin2a-Ismacosa+cos2a)

_sina-cosa_1

cosa(sina-cosa)2cosa(sina-cosa)

s.m2a+cos2a

~~sinacosa-cos2a'

将原式分子分母同时除以cos?a得,

si•n2a+cos2atan7+11

2='

sinacosa-cosatana-I

I17

代入tana=—可得最终答案为----.

412

故选：A.

7.已知数列｛〃/的首项为=2025,前〃项和S〃，满足S〃="2Q〃，则。2024=()

]-------B.-------C.-------D.-------

2025202410121013

【答案】C

【解析】

【分析】根据S“=〃2q,得到s,T=(〃-1)241，两式相减得到4=〃2a“=("11)2%_1，求出4即可求解,

【详解】因为5"=成小所以S“T=("—l)2qi(〃22),

两式相减得a”——

an—1_.ciu,da0〃一1〃-23—12—12

所以工n------5z22),所以^——•二.二=-----------LT--------------

n〃〃

%i〃+1an_xan_2a2al〃+13+12+1(+l)

所吟二小(心2),所以4=黑(〃”，

1^7以“2024=,

20241012

故选：C.

8.已知X]是函数/(X)=%-2-111(%—1)的零点，%是函数g(x)=%2+2ax-6a-6的零点，且满足

归一々|<j则实数。的取值范围是()

A.[0—3,+oo)B.6一3,得)

7125)

D.后TJ

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数八％)存在唯一零点，即%=2,可得g(x)在弓,?)有零

点，利用参变分离可求解.

1r_2

【详解】由y(x)=x—2—ln(x—1),X>1,可得尸(x)=l-----=——

x—1x—1

当l<x<2时，此时/(%)在。,2)单调递减；

当x>2时，/'(x)>0,此时了(%)在(2,y)单调递增；

又因为/(2)=0,所以函数八％)存在唯一的零点，即%=2.

因为归_工21=〔2—司<；,解得々eg，?)

即g(x)=x2+2ax—6a—6在甘,上有零点,

故方程2a=———在|r|上有解，

x-3144J

A_2orQ-

而匚土=-3-x---=-6+(3-%)+——,

3—xx—33—x

511

因为xe，故3-故2G<(3-%)H--—<—，

4'T(44；3-%4

所以20—642a〈生，故6—3Va(生

48

故选：B.

【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限

制的题型可以直接运用判别式解答(本题属于这种类型)；二是未知量在区间(加,〃)上的题型，一般采取

列不等式组(主要考虑判别式、对称轴、/(加),/(")的符号)的方法解答.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.在下列函数中，最小正周期为久且在为减函数的是()

A./(x)=|cosx|B./(x)=sin|

C.f(x)=cos2%-sin2xD./(x)=tan

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据三角函数图象与性质，以及复合函数的单调性判断方法逐项判断即可.

【详解】对于A,/(x)=|cosR的最小正周期为兀，当时，cosx>0,

/(x)=|cosx|=COSX,

根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故A正确；

对于B,/(£)=5由［5%一三)的最小正周期一工一"，故B不正确；

2兀

对于C,f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,所以最小正周期T=《-=兀,

当时，2xe(0,71),根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故C正确；

F兀(71I71［7171)

对于D,最小正周期丁=问=兀，当时，--,-J,

由复合函数单调性判断方法可知，此时/(x)=tan［；-x］单调递减，故D正确.

故选：ACD.

10.VABC中，BC=2叵,边上的中线AD=2，则下列说法正确的有()

A.|AB+AC|=4B.zg.就为定值

c.AC-+AB2=20D.的最大值为45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】由中线的性质结合向量的线性运算判断A选项；由中线的性质和向量数量积的运算有

AB-AC=AD2-DB»求值判断B选项；C选项，由NAD5+NADC=兀，结合余弦定理求AC?+人笈的

Ao2.0

值；D选项，中，余弦定理得cosNBAD=,结合均值不等式求解.

4AB

【详解】A.|须+%@=|2汨卜4,故A正确;

B.AB-AC^(AD+DB)-(AD+DQ=(AD+DB)■(AD-i5B)=AD-DB^4-2^2^故B正确;

C.ZADB+ZADC-Ti,cosZADB+cosZADC=0,

AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC24+2-64+2-3

由余弦定理知,---------------1---------------0,即472+4&=0,

2AD-BD2ADCD

化简得4。2+刈2=12,故C错误；

D..“。s/BAD;6+22―©+2；2及AB二0,当且仅当=0时等号成立，

4c4AB4AB2

由于0<NR4£><90°，所以NR4T）的最大值为45°，故D正确;

故选：ABD.

11.在正方体ABC。—45cl2中，AB=6,P,Q分别为GA和。2的中点，M为线段4c上一动

点，N为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）

A.直线Bq,平面4G。

兀兀

B.异面直线40与4。所成角的取值范围是

C.过点5RQ的截面周长为6而+30

D.当ANL3N时，三棱锥A-NBC体积最大时其外接球的体积为720兀

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质可判断A正确；由||与C转化异面直线所成的

角，在等边4c中分析可知选项B错误；找出截面图形，利用几何特征计算周长可得选项C正确；确

定三棱锥体积最大时点N的位置，利用公式可求外接球的半径和体积，得到选项D正确.

【详解】A.

46-LB[Dy1BB[,BRQBBX=4，

BAu平面BDD[B[,BB[u平面BDDXBX,

：.AG_L平面，

BD[u平面BDD[B],

：.AG_LBD1,

同理可证，DC]LBD],

AGcD£=£,4Gu平面AG。，。。]<=平面4£。，

，直线22J•平面4G。，选项A正确.

B.如图,连接AB”AC,

由题意得，AD||BXC,AB]=AC=B[C=6拒,

直线AM与\D所成的角等于直线AM与四C所成的角,

JT

在等边△?14c中，当点M与四,C两点重合时，直线40与50所成的角为

TT

当点v与3。中点重合时，AMLB{C,此时直线AM与3。所成的角为J,

故直线AM与4。所成角的取值范围是[g,1],选项B错误.

C.如图，作直线尸。分别与直线CG，C。交于点S,T,连接3S与瓦G交于点E，连接与AD交于

点、F,则五边形3EPQ尸即是截面.

由题意得，△SPG为等腰直角三角形，PG=SG=3,

BB,B.E〜

由即〃CS得，一L=^=2,

1eGSCE

：.B[E=4,GE=2,

BE=742+62=A/52=2713>PE=M+m=岳,

同理可得，BF=2岳,QF=岳,

vp,Q分别为£4和DD,的中点，

/.PQ=3A/2,

截面周长为6g+3应，选项C正确.

D.

当ANL5N时，点N的轨迹为以A3为直径的球，球心为中点，半径为3,

三棱锥A-NBC的体积即为三棱锥N—ABC的体积，

点N到平面ABC距离的最大值为球的半径，此时点N在正方形的中心处，三棱锥A-体

积有最大值.

由题意得，平面Ml5A平面ABC,ANAB,VA3C均为等腰直角三角形，的外接圆半径为

AnAri—

^i=—=3,VABC的外接圆半径为马二三二30,

三棱锥A-NBC的外接球半径7?=X2+^2-牛=J9+18-y=372，

二外接球体积为^兀代=：兀？(3四了72叵兀,选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：本题为立体几何综合问题，求三棱锥外接球半径方法为：

心

(1)在三棱锥A—BCD中若有ABL平面5CD,设三棱锥外接球半径为R,贝|7?2=/+一，其中r

4

为底面△BCD的外接圆半径，〃为三棱锥的高即的长.

(2)在三棱锥A-BCD中若有平面平面5CD,设三棱锥外接球半径为R,则

H2=T+$-J,其中K2分别为AABC,△及力的外接圆半径，/为△/屹。心3。公共边3C的长.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.复数z=2-一—(i是虚数单位)，则复数z的模为.

1-1

【答案】V2

【解析】

【分析】利用复数除法运算化简，再由复数模的计算公式求解.

22(l+i),、

【详解】z=2--=2-\=2-1+i=l-i,

l-i(l-i)(l+i)

|z|=A/1+1=V2.

故答案为：也.

13.在数列｛an｝中，％=19+1=32+4,若对于任意的〃€川,上(4+2)23〃一5恒成立，则实数4的最

小值为.

4

【答案】一

27

【解析】

【分析】利用构造法分析得数列｛4+2｝是等比数列，进而求得4+2,从而将问题转化为左2号「恒成

立,令〃〃)=今。("eN*),分析数列｛/(叫的最值,从而得解.

【详解】由4+1=3。”+4,得a.+2=3(。“+2),又%+2=1+2=3,

故数列｛4+2｝为首项为3,公比为3的等比数列，

所以。“+2=3x3"T=3",

则不等式k(an+i)>3n-5可化为k>与°,令f(n)=与eN*),

当”=1时，/(«)<0；当“22时，/⑺>0；

_x3n-23n-513-6n

又小+1)-0=后——歹=下厂，

则当〃=2时，/(3)>/(2),当“23时，/(«+1)</(«),

3x3-5444

所以〃小<八3)=——,则%>——，即实数上的最小值为一.

v4*78v733272727

4

故答案为：—.

27

14.若定义在(0,+8)的函数/(%)满足/(%+y)=/(x)+/(y)+6盯，且有对〃wN*恒成

8

立，则E于①的最小值为.

1=1

【答案】612

【解析】

【分析】由条件等式变形为〃x+y)—3(x+y)2=/(x)—3V+/(y)_3y2,再构造函数

g(%)=/(%)-3x2,得到g(x+y)=g(x)+g(y),并迭代得到g(")=〃"⑴一3],由此得到

f(n)=3n2+\_f(l)-3]n>3n,,并求和，利用放缩法，即可求解最小值.

【详解】因为〃x+y)=〃尤)+〃y)+6孙,

所以/(x+y)-3(x+y)2=/(%)-3/+/(丁)一3y%

设g(x)=/(%)-3x?,则g(x+y)=g(x)+g(y)，

因此g(〃)=g(〃_l)+g(l)=g(〃_2)+g(l)+g(l)=g(〃_2)+2g(l)

=...=g(2)+(n-2)g(l)=ng(1)=«[/(1)-3],

所以/(〃)=3而—3]〃N3〃,

取〃=1,得/⑴23,

8888

所以之/。)=3之产+[/(1)-3]22=612,

z=lz=li=lz=l

8

所以27⑺的最小值为612.

Z=1

故答案：612.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.平面四边形ABCD中，已知AB=4BC,NABC=120°,AC=JiT

(1)求VA3C的面积；

(2)若NBC£>=150°,AD=36，求ZADC的大小.

【答案】(1)V3

(2)60°

【解析】

【分析】(1)由已知，设BC=x,则AB=4x,由余弦定理，可得x=l,利用三角形的面积公式即可求

得VABC的面积；

(2)在VA6C中，由正弦定理，可求得sinNAC3=2互，进而求得cosNACB=亘，进而求得

77

sin/ACD=2旦，在AACD中，由正弦定理，求得sin/ADC=走，即可求得NAOC的大小.

142

【小问1详解】

由已知，设JBC=X,则AB=4X,

在VA3C中，由余弦定理，AC2=AB2+BC--2AB-BCcosZABC;

因为NABC=120°,AC=V21，

所以21=16/+为2+4%2=252,

解得x=l,所以BC=1,AB=4,

所以S△A/ID”C=-AB-BCsinZABC=-x4xlx

22

【小问2详解】

sinZACBsinZABC

在VA5C中，由正弦定理,

ABAC

因为/43。=120。,4。=9，AB=4,

出

所〜…3*产=4嗡一

又在VABC中，ZABC=120°,贝U0。<NACB<60。,

所以cosZACB=Vl-Sin2ZACB=包

7

因为4CD=150。,

所以sinZACD=sin(150°-ZACB)

=sin150°cosZACB-cos150°sinZACB

1A/212币3A/21

=­X---------X---------二-------------

27714

sinZADCsinZACD

在△ACO中，由正弦定理,

ACAD

3721

又AD=36,则sin/ADC_14

V213百

解得sinNADC=走,

2

又因为老包>也，所以N4CD>60°,

142

因为0°<NAZ)C<180°,

则NADC=60°.

16.如图，在直三棱柱ABC耳G中，AB，AC,AC=3,AB=4^=4,211,N,P分别为AB,8c小男的

中点.

(1)求证：BP//平面G"N；

(2)求二面角P—V。—N的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)J店.

65

【解析】

【分析】(1)先证明”,N,£,A四点共面，再证明MAII5P,由线面平行的判定定理可证；

(2)以A为原点，分别以AB,AC,A4所在直线为苍％z轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运

算以及二面角公式，带入求解即可.

【小问1详解】

证明：连接4加，因为M,N分别为A58c的中点，则"N〃人C,

在三棱柱A3C—4与。］中，•.•AC〃4G，则MN〃4G，则M,N，A，G四点共面，

AB=A.B,,且48〃44，分别为A3，A4的中点，则5Mli总且5M=24］，

则四边形9P为平行四边形，则MAII3P,•••BPa平面GMN,平面GMN,

则BP//平面G"N.

【小问2详解】

在直棱柱ABC—A§IG中，LAB,LAC,ABLAC,

则以A为原点，分别以AB,AC,A&所在直线为苍y,z轴建立空间直角坐标系：

3

则有A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,3,0),M(2,0,0),NQ,-,0),尸(2,0,4),G(0,3,4),

——►—►3—►

MC]=(—2,3,4),MN=(0,-,0),MP=(0,0,4),

设平面MPCi的一个法向量为机=(x,y,z)，平面MNCi的一个法向量为3=(。,仇。)，

ri-MC]=—2a+3b+4c=0

m-MCX=-lx+3y+4z=0

则及《―►3，

m-MP=4z=0n-MN=-b=0

<2

令％=3,c=l,则有方=(3,2,0),为=(2,0,1),

玩,五_6_6^/65

/同同A/32+22^22+1265

因为二面角P-MC.-N为钝角，则所求二面角的余弦值为—殳叵.

65

17.已知双曲线。：[—与=1(。〉0]〉0)的一条渐近线方程为｝；=@%,点。(4,3)在双曲线。上.

ab2

(1)求双曲线。的方程.

(2)设过点(-1,0)的直线/与双曲线C交于M,N两点，问在无轴上是否存在定点。，使得西•西为

常数？若存在，求出。点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.

22

【答案】(1)二-匕=1;

43

(2)存在，。(—§,0),誓.

864

【解析】

b

【分析】(1)根据题意由双曲线的渐近线方程得到一的值，再根据尸(4,3)在双曲线上，将坐标代入双曲线

a

方程即可解得。涉的值.

(2)设出直线/方程与M,N点坐标(石,%),(%，%)，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可表示出

%+%2、占々、%+%、%%，再设出。坐标"，。)，则可以表示出丽'，的坐标，即可用坐标表示出

西•西的值，再结合具体代数式分析当QM-QN为常数时t的值.

【小问1详解】

由题意得，因为双曲线渐近线方程为y=@x，

2

所以2力二b;也a，

a22

169

又点P(4,3)在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：三-5=1，

ab

169

~~----产-1a=2I-

联立两式解得/是,5=6，

22

所以双曲线的标准方程为：土-匕=1.

43

【小问2详解】

如图所示，

点E(-1,0),直线/与双曲线交于监N两点,

由题意得，设直线/的方程为工=冲-1,。点坐标为0,0),

[22

土-匕=1

联立＜43得，(3/w2-4)y2-6/W-9=0,

x=my—1

设Af(X，y),设孙为)，

6m-9

则%+为

3疗一4

6nr2_8

X]+9=(切1-1)+(rny_1)=m{y+y)-2=

2x23m2-43m2-4

-12疗-4

为々=(my-l)(mj-1)=m2yy-m(%+y)+l=

l2l223m2-4

M=(%—/,%),QN=(x2-t,y2),

xx

所以QM-QN=（xl一。（w-o+X%=\2-f（i+%）+/+y1y2

-12m2-48-92

=----2-------t----2-----1----7-----t

3m—43m—43m—4

-12疗-13-8/2_-4（3布—4）-8-292

3疗-4-4

8%+292

=-4-----------+r,

3m2-4

所以若要使得上式为常数，则8/+29=0,

2Q____CQC

即”—一-,此时两k•丽=上，

864

2Q____kCQC

所以存在定点。（-七,0）,使得函■•丽为常数K.

864

【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题关键首先在用适当的形式设出直线/的方程，当已知直线过x轴上

的定点5,0）时，可设直线方程为X=〃9+“，这样可简化运算，其次在于化简西•西时计算要仔细,

最后判断何时为常数时要抓住“消掉机”这个关键，即最后的代数式中没有我们设出的机

18.已知函数/'（x）=2sinx-xcosx-x.

（1）求八％）在X=7T处的切线方程；

⑵证明：“X）在（0,2兀）上有且仅有一个零点；

（3）若xe（0,+oo）时，g（x）=sin¥的图象恒在妆工）=加+x的图象上方,求。的取值范围.

【答案】（1）2x+y-27r=0

（2）证明见解析（3）a<--

兀

【解析】

分析】（1）根据解析式求出切点，再根据导函数求出斜率，点斜式可得到切线方程；

（2）先分析函数的单调性，需要二次求导，再结合函数值的情况进行判断；

（3）对于函数图象的位置关系问题，可先特值探路求出参数的取值范围，再证明在该条件不等式恒成立即

可.

【小问1详解】

/（x）=2siax-%co&x-x,当彳=兀时，/（兀）=2sin兀一兀cos兀一兀=0,

所以切点为（兀,0）,

所以斜线方程的斜率左=/'（兀）=cos兀+兀sin7i—l=-2,

根据点斜式可得y—0=-2（%—兀）可得2x+y—2兀=0,

所以"%）在》=兀处的切线方程为2x+y—2%=0；

【小问2详解】

由（1）可得/'（x）=cosx+xsinx-l,

令g（x）=/'（x）=c0sx+xsinx—1,

所以（x）=-sinx+sin%+xcosx=xcos%,

当m和xe（与,2兀）时,cosx>0,g<x）>0,g（x）单调递增;

（兀3兀।

当工,［于耳）时’cosx<0,g'（x）<0,g（x）单调递减;

717t7t.7C.7t.„

g（0）=cosO+0xsinO_1=0,g=cos—+—xsin----1=----1>0,

2222

g（2TI）=cos2TI+2TIsin2兀一1二0,

存在天£仁,可使得g（%o）=0,

所以/（X）在（0,%）上单调递增，在（％,2兀）单调递减，

X/（0）=2sin0-0xcos0=0,/（7i）=2sin7i-7Lxcos7i-7r=0,

f（2兀）=2sin2兀-2兀cos2兀-2兀=-4兀,

所以/（同在（0,2兀）上有且仅有一个零点；

【小问3详解】

因为x£（0,+e）时，g（x）=sinx的图象恒在/?（X）=依2十%的图象上方,

即sinx>ox?+%恒成立，等价于a<‘in：>恒成立,

x

、“、一sin7i-7i1

当x=兀时，有。<------=—，

7171

下证：X>-—即证sinx一%〉一工工2,x£(O,+a?)恒成立，

X7171

令s(犬)=sin%一%十一12,

兀

1

当xN2兀时，sinx-x+—x9>sin九一2兀+4兀>0,

71

2

当工£(0,2兀)时，s'(x)=COSX-1+—X,

71

22

设小%)=cosx-l+—x,则f(x)=-sinx+—,

兀兀

此时%'(同=0在(0,2兀)有两个不同解玉<兀，

且当0<%<%或马<犬<2兀时，f(%)>0,

当玉vxv/时，f(%)<0,

故力(%)在(冷％2)上为减函数，在(。，石)，(%2,2兀)上为增函数,

而%(0)="d=M71)=。/(2兀)=4>0,

故当0<%〈工时，r(x)>0,当四<%<兀时，?(%)<0,

22

当兀<%<2兀时，］(x)>0,

故s(x)在］o,|J上为增函数，在g兀］为减函数，在(兀,2兀)为增函数，

而s(0)=s㈤=0,故］e(0,2兀)时，s(x)。。恒成立,

综上a<—.

兀

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图

象，然后将问题转化为函数图象与左轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形

结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线丁=。与函数y=g(x)

的图象的交点问题.

19.数列也｝满足4+；■+*H---卜2"‘i="'也｝前〃项和为北，等差数列｛"〃｝满足

%=4，%=n，等差数列前〃项和为s“.

（1）求数列｛%｝,｛,｝的通项公式;

（2）设数列｛«„｝中的项落在区间8+1,a,+1）中的项数为cm（meN*）,求数列｛cm｝的前〃和Hn.

S+T

（3）是否存在正整数相，使得Y~詈是｛4｝或抄“｝中的项.若有，请求出全部的“并说明理由；若

没有，请给出证明.

【答案】（1）4=2〃-1,b“=2"T

r\2m+li

（2）H=------2m+-

m33

（3）m=1■m=2或根=5

【解析】

【分析】（1）先利用数列通项与前n项和的关系求出勿=2"i,然后得到a=2〃T为等差数列，求得I,,

再求得a】,%，计算数列｛即｝的通项公式即可；

（2）先求出区间（7；+1，5“+1）的端点值，然后明确｛%J的项为奇数，得到（1,+1,十„,+1）中奇数的个数,

得到％（meN*）通项公式，然后求和即可；

S+T

（3）先假设存在，由（1）求得S“=〃2,丁=2"—1,令T~十二L