中考数学专项复习：几何证明 知识归纳与题型突破（21类题型清单）（原卷版）

第十九章几何证明知识归纳与题型突破（21类题型清单）

01思维导图

02知识速记

03题型归纳

题型一命题

1.下列命题中，是真命题的是（）

A.对顶角相等B.内错角相等

C.若m2=〃2,则加二〃D.若a>b,贝!］一5。>一5/?

2.下列选项中，可以用来证明命题“若则/>1”的逆命题是假命题的反例是（）

A.〃=—2B.a=—lC.a=lD.a=2

3.下列命题是真命题的有（）

A.若〃2=/,则。=一

B.若m6是有理数,则k+4=同+科

C.内错角相等，两直线平行

D.如果NA=ZB,那么'A与是对顶角

巩固训练

1.如图，锐角三角形ABC中，NABC=ZACB,点D,E分别在边48,AC上，连接BE,CD.下列命

题中，假命理是（）

A.若ZACD=ZABE,则CD=3EB.若BD=CE,则BE=C£>

C.若CD=BE,则ZACD=ZABED.若AD=AE,则/CBE=/OC8

2.下列四个命题其中正确的有（填序号）.

①全等三角形的对应角相等；

®AB=DE,BC=EF,ZC=ZF=120°,则△ABC=△£>/；

③ZA=ZD,NC=NF,BC=DE,则VABC和DEF全等;

④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等.

3.写出下列命题的条件和结论.

（D如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；

（3）等角的补角相等.

题型二证明

4.A,B,C,D,E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强.A说：“如果我进入，那么3也进

入.”8说：“如果我进入，那么C也进入.”C说：“如果我进入，那么D也进入.”£）说：“如果我进入，

那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（）

A.A,B,CB.B,C,DC.C,D,ED.D,E,A

5.如图，在AABC中，ZABC=45°,AC=5,F是高AD和BE的交点，则BF的长（）

A.7B.6C.5D.4

@Z1=Z3；®Z3=Z5；@Z4+Z7=180°；@Z5+Z3=180°.能判断a||b的是().

A.①②④B,①③④C.①②③④D.①③

巩固训练

1.利用反证法证明命题”在/4BC中,若AB=AC,则4<90。”时，应假设（）

A.若AB=AC,贝l|ZB>90。B.若ABwAC,则/B<90°

C.若AB=AC,则NA.90。D.若ABHAC,贝ljNA.90。

2.如图所示，如果BD平分/ABC,补上一个条件作为己知，就能推出AB〃CD.

3.如图，现有以下3个论断：BD//EC；/D=/C；ZA=ZF.

（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题?

（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明.

题型三逆命题和逆定理

7.下列各命题的逆命题成立的是（）

A.对顶角相等

B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

C.两直线平行，同位角相等

D.如果两个角都是45。，那么这两个角相等

8.数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题.例如：如果a=2,那么

a2=4.下列命题中，具有以上特征的命题是（）

A.两直线平行，同位角相等B.如果同=1,那么。=1

c.全等三角形的对应角相等D.如果龙〉y,那么如＞冲

9.已知下列命题：①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③直角三角形的两个锐角互余；④三

条边对应相等的两个三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

巩固训练

1.已知下列命题：①若则同=-。；②若胸贝物AW；③三角形的中线把三角形分成面积相

等的两部分；④内错角相等，两直线平行•其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列命题中，其逆命题成立的是（填序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果三角形的三边长a,b,c（c为最长边）且满足〃+62=02,那么这个三角形是直角三角形.

③如果两个角是直角，那么它们相等;

④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

3.写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.

（1）若次则

（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

（3）若奶=0,贝!Ja=0.

题型四线段垂直平分线的性质

10.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分垂足为E,下列结论不正确的是（）

A.ABE8ADECB.BC=CD

C.AB=DCD.AC平分N3AD

11.如图，在RtZ\A3C中，ZC=90°,A3边的垂直平分线DE交BC于点，交AB于点E,连接A£）,AD

将一C4s分成两个角，且/C4D:/B4D=2:5,则NADC的度数是（）

12.如图，VABC边A3,AC的垂直平分线DM,EN相交于点O,M,N在BC边上，若/M4N=20。,

则NA4c的度数为（）

A.100°B.120°C.140°D.160°

巩固训练

1.A、氏C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一

个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在VABC的（）

A.三边中线的交点B.三边垂直平分线的交点

C.三条角平分线的交点D.三边上高的交点

2.如图，在.ABC中，AB=U,AC=16,BC=22,4B的垂直平分线分别交力B,BC于点、D、E,AC

的垂直平分线分别交AC,于点尸、G,则AEG的周长为.

3.如图，在VABC中，/是AC的垂直平分线，交3C于点。，AB=AD,ZBAD=2.0°.

（1）求zB的度数;

（2）求—C的度数.

题型五线段垂直平分线的判定

13.如图，在VABC中，已知点。在上，S.BD+AD=BC,下列说法正确的是（）

A.点。是8C的中点B.AD平分工BAC

C.点。在AC的垂直平分线上D.点。在AB的垂直平分线上

14.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABC。是一个筝形，其中AD=C。，AB=CB,

小明在探究筝形的性质时，连结了AC,BD,并设交点为。，得到了如下结论，其中错误的是（）

D

A.ACJ.BDB.AO=CO=-AC

2

C.AABD^ACBDD.AO+DO=BO

15.如图，点尸在直线/外，请阅读以下作图步骤：①以点P为圆心，以大于点尸到直线/的距离的长为半

径作弧，交/于点A和点8；②分别以点A和点B为圆心，大于《A3的同一长度为半径作弧，两弧相交于

点。，如图所示；③作射线尸。，连接R4,PB,AQ,BQ,根据以上作图，下列结论正确的是（）

B.Nl=/3且尸ABQ

C./2=/3且尸QSASD.N1=N2且

巩固训练

1.如图，将长方形纸片沿AC折叠后点8落在点E处,则下列关于线段BE与AC的关系描述正确的是（）

A.AC=BEB.AC和8E相互垂直平分

C.ACVBE^.AC=BED.AC_L3E且AC平分BE

2.风筝又称“纸莺”、“风莺”、“纸ST等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史，如图是

一款风筝骨架的简化图，已知=BC=CD,AC=90cm,BD=60cm,制作这个风筝需要的布料

至少为cm2.

A

3.如图，在VA3C中，边A3,AC的垂直平分线分别交2C于点E.

⑴若2C=15,DE=4,贝IJAD+AE=_；

(2)若ZBAC=100。，求1D4E的度数;

（3）设直线DM,EN交于点。，判断点。是否在8C的垂直平分线上.

题型六作垂线

16.如图，在VABC中，AC=3,BC=5,观察图中尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是（）

A.13B.11C.8D.6.5

17.如图，在VABC中，分别以A,8为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点。，E,

连结DE,交3c于点P.若AC=3,△ACP的周长为10,则2C的长为（）

D

B

E

A.6B.7C.8D.9

18.如图，在VABC中，分别以点A和点B为圆心，大于工A8长为半径画弧，两弧相交于点/、N,作

2

直线脑V,交5C于点。，连接若AC=7,BC=12,则八40。的周长为（)

C.19D.26

巩固训练

1.如图，在已知的VABC中，按以下步骤作图：①分别以8,C为圆心，以大于g8C的长为半径作弧，

两弧相交于两点跖N；②作直线肱V交于点D,连接CD若AC=3,AB=9,则ACD的周长为（）

2.如图，在VA3C中，按以下步骤作图：①分别以点8和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧

相交于点M和N；②作直线分别交边AB,BC于点。和E,连接CD.若/BC4=90。，AB=8,则

CD的长为.

3.已知：线段左，Za,利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法.

k

（1）求作：线段上的垂直平分线.

(2)求作：ABC,使AB=BC=k,/B=/a.

题型七角平分线的判定与性质

19.如图，在VA5c中，AB=8,AC=6,。为VABC角平分线的交点，若的面积为20,则△ACO

的面积为是（）

20.如图，在VABC中，ZABC=50°,ZACB=60°,点E在8C的延长线上，/ASC的平分线8。与/ACE

A.35°B.45°C.55°D.65°

21.如图，在RtAABC中，/A4c=90。，AB=\,M为边2C上的点，连接AM,如果将沿直线AM

翻折后，点8恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是（）

巩固训练

1.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD平分/BAC,交BC于点。.已知AB=16,CD=5,则△ABD

的面积为（）

A

A.50B.40C.30D.20

2.如图，是VABC的角平分线，DE±AB,DE=2,AB=8,VABC的面积为14,则3C=

3.如图，在RtZXABC中，？B90?.

(1)尺规作图：作/A的角平分线AP,交BC于点Z).(基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母)

(2)若AB=3,BC=4,AC=5,求的长及ACE)的面积.

题型八作角平分线

22.如图，在VA3C中，ZC=90°,利用尺规在AC,A3上分别截取AE,AD,使钻=AD,分别以

E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在4c内交于点尸，作射线AF交BC于点G.若CG=4,

AB=8,则ASG的面积为()

A.12B.16C.24D.32

23.如图，RtZ^ABC中，ZC=90°,利用尺规在BC,上分别截取BE,BD,使BE=BD,分别以DE

为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在NCSA内交于点尸，作射线班'交AC于点G.在AB上找

一点尸，使得AP=AG,若ZAPG=65。，则ZABG的度数为（）

A.40°B.20°C.18°D.15°

24.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,以顶点8为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、3c于点M、

N、再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧.两弧交于点P,作射线3尸交边AC于点D若

CD=6,AB=12,则△ABD的面积为（）

A.6A/3B.12A/3C.18也D.24出

巩固训练

1.如图，在VA3C中，ZC=90°,ZCAB=50°,按以下步骤作图：

①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交A3、AC于点£、F；

②分别以点E、尸为圆心，大于所长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；

③作射线AG,交BC边于点D.则/WC的度数为（）

A.40°B.55°C.65°D.75°

2.如图，在VABC中，ZC=90°,ZB=40°,以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC

于点M、N,再分别以点〃、N为圆心，大于;的长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP并延长，交BC

于点D则°.

3.如图，电信部门要在S区修建一座发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,

到两条高速公路相和”的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置.（尺规作图）

题型九直角三角形全等的判定与综合

25.如图，在VABC中，ZC=90°,DE_LAB于点E,CD=DE,NCBD=20°,则/A的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.20°

26.如图,是VABC的角平分线，DF，于点尸，点E,G分别在A8,AC上，且DE=DG,若SAADG=24,

S/\AED~18,贝I]DE尸的面积为（）

C.5D.6

27.如图，在VABC中，ZABC=90°,AD平分/BAC交BC于点D,DE=DC,若△ADC的面积为10,

△AEO的面积为6,贝!LOBE的面积为（）

B

£

D

A.2B.2.5C.3D.4

巩固训练

1.ABC中，NC=65。，AD是8C边上的高，A£>=8£>,点E在AC上，3E交4D于点/，BF=AC,

贝ljNAFB=()

C.55°D.65°

2.如图，点。在BC上，NBED=NCDF=90,BD=CF,BE=CD.若NA=40.则/即P=

3.如图，在VABC中AB=AC,尸是BC上的一点，BD±AF,CELAF的延长线于点E,AD=CE.

⑴求证：△ABD至△AEC.

(2)判断8。、DE、CE这三条线段之间的数量关系，并说明理由.

题型十含30度角的直角三角形

28.如图，在VA3C中，AB=AC,NC=30。，点。是A8的中点，过点。作DE垂直A8交3c于点E,

DE=2,则CE的长度为()

A

n

A.7B.9C.8D.10

29.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AD平分ZA4C,交AC边上的高BE于点尸.己知NC=30。,

BC=n,则()

A.2B.3C.4D.5

30.VABC中，AB=AC=12cm,尸在线段BC上，PE_LAB于E,PDJ.AC于。，若它一腰上的高与另

一腰所成的锐角等于60。，则PE+PD的值为（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

巩固训练

1.如图，ZAO8=30。，点。是—AO3平分线OC上一点，过点。作。E〃03交0A于点E,作。尸，OB,

垂足为点RDF=35,贝UDE的长为（）

C.7.5D.5

2.如图，在VABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CE=2,边AB的垂直平分线交48于点。，交AC于点E,

那么AE的长为.

3.如图，在VABC中，ZC=90°,NA=30。，AB=60cm,动点P、。同时从A、B两点出发，分别在A3、

BC边上匀速移动，点尸的运动速度为2cm/s,点。的运动速度为lcm/s,当点尸到达点8时，P、。两点

同时停止运动，设点尸的运动时间为/S.

(1)当/为何值时，PBQ为等边三角形?

(2)当/为何值时，P8Q为直角三角形?

题型十一斜边的中线等于斜边的一半

31.如图，在VABC中，。、E分别是AB、AC的中点，点下在£)£1上，且ZAFB=90。，若AB=8,EF=3,

则BC的长为()

A

BC

A.11B.12C.12.5D.14

32.如图，在Rt^ABC中，2C的中垂线与BC交于点。，与AC交于点E,连接BE,尸为BE的中点,

若DF=2,则AE的长为()

33.如图，在中，ZACB=90°,CD_LAB于点。，ZBCD=18°,E是斜边AB的中点，则/OCE

巩固训练

1.如图所示，AMON=90°,矩形ABC。的顶点A、8分别在边ON,ON上，当3在边ON上运动时，A随

之在上运动，矩形ABC。的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,运动过程中，点。到点。的最大距

C.75+1D.72+1

2.如图，在VABC中，/ABC=90。，点。是8C边上的一点，点石是凡。的中点，连结BE.若点。在边

AC的垂直平分线上，且OC=6,则BE的长为.

3.如图，在VABC中，中，48于点尸，3£，4。于点£,M为BC的中点.

(1)求证：历是等腰三角形；

⑵若N£BC=30。，BC=10cm,求CE的长度.

题型十二勾股定理的证明方法

34.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是()

ba

h

35.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中不能证

明勾股定理的是（）

36.在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的

是（）

A.甲正确，乙不正确B.甲不正确，乙正确

C.甲、乙都正确D.甲、乙都不正确

巩固训练

1.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（）

2.如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4个直角三角形面积+小正方形

面积=大正方形面积，即+=，化简得：a2+b2=c2.

3.我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对

的边叫斜边(如图①所示).数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的

平方.即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是。和6,斜边长度是c,那么/+62=02.

(1)直接填空:如图①，若。=3,6=4,则。=；若。+匕=4,。=3.则直角三角形的面积是.

(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AK在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系,

试说明片+匕2=°2.

题型十三以弦图为背景的计算题

37.如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积

是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为6,则(a+b)2的值为()

A.25B.19C.13D.169

38.如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案.已知大正方形面积为100.小正方形面

积为9.若用x，y表示直角三角形的两条直角边(x>y).下列说法正确的有()

®x2+y2=100；②x-y=3；®X+^=A/191；®xy=—

A.①②B.②③C,①②③D,①②③④

39.“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”

是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为

a，较短的直角边长为6,若ab=6,大正方形的面积为13,则小正方形的边长为.

巩固训练

1.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形A5CD,中间阴影部分是一个小正方形这样

就组成一个“赵爽弦图”.若AB=10,EF=2,则ABE的面积为（）

2.如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的

一个大正方形，若大正方形的边长是13cm,每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm,则小正方形

3.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.

a

a

（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的.用两种不同的方法

计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是二

（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（“6为直角边）和一个

正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究。、6、c之间满足怎样的等量关系.

题型十四勾股定理与网格问题

40.如图，在4x5的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若是VABC的高,

则5D的长为（）.

3L

A.2B.V3C.3D.-V3

41.如图，在3x2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,。都在格点上，以A为圆

心，48的长为半径画弧，交CD于点E,贝"CE的长为（）.

A.3-后B.币—2C.3-75D.2忘-2

42.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，下面结论：①AB=26；

②ZBAC=90。；③VABC的面积为10；④点A到直线2C的距离是2.正确的结论共有（）个

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练

1.如图所示边长为1的的正方形网格中，VABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点

三角形，则点A到的距离等于（）

2.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则下列结论：①AB=2'

②/ABC=90。；③VABC的面积为10；④点A到直线的距离是2,其中正确的是.（填序号）

3.（1）请你在图1中画一个边长为■的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上;

（2）如图2,面积为7的正方形ABC。的顶点A在数轴上，且点A表示的数为-1,若点E在数轴上，（点

E在点A的右侧）且=则点E所表示的数为_；

（3）以图1中1个方格的边长为单位1,画出数轴，然后在数轴上表示2+J万和2-

题型十五用勾股定理解三角形

43.如图，ZB=ZD=90°,AC=EC,AB=4,£0=2,点C在线段5。上，若NACE=90。，则"CE的

面积是（）

44.如图，Rt^ABC中，?B90?,E为48边上的一点，连接CE并延长，过点A作ADLCE,垂足为

D,若AD=7,AB=20,BC=15.记VADE的面积为岳，3CE的面积为S?，则$2-H的值为（）.

45.如图，在VABC中，NABC=90。，AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线上444，且4,

之间的距离为1,44之间的距离为2,则AC的值为（）

D.Vio

巩固训练

1.如图，直线/上有三个正方形mb,c.若a,b的面积分别为5和11,则c的面积为(

A.6B.16C.4D.55

2.如图，在RtABC中，ZABC=90°,AB=BC=2®，将一ABC绕点A逆时针旋转60。，得到

连接CE,则CE的长是

3.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线折叠，使

点C落在斜边上的点E处，试求C。的长.

⑴求跖的长;

(2)求的长.

题型十六勾股定理与折叠问题

46.如图，三角形纸片ABC中，ABAC=90°,AB=2,AC=3,沿AD和所将纸片折叠，使点B和点C

都落在边BC上的点尸处，则EC的长是（）

47.如图，Rt^ABC中，ZA=90°,AC=12,AB=9,DEJ.AC,CD=^BC,CE=：AC,尸是直线AC

上一点，把沿。尸所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP=（）.

48.如图，ZACB=90°,AC=6,BC=8,将边AC沿CE翻折，使点A落在48上的点。处；再将边8C沿

CP翻折，使点2落在CD的延长线上的点&处，两条折痕与斜边43分别交于点及F,则线段8下的长为

巩固训练

1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=6,AD=18,将此长方形纸片折叠，使点。与点3重合，点C落在

点H的位置，折痕为EP,则3E的长度为（）

A.6B.10C.24D.48

2.如图，在直角VABC中，直角边AC=6,3c=8,现要在BC上找一点使得将.ACD沿AD翻折后,

点C落在斜边A3上，则CD=.

3.如图，5C=20cm,宽AB=16cm的长方形纸片ABC。；将纸片沿着直线AE折叠，点。恰好落在BC边

上的点尸处，解答下列问题：

⑴求所的长;

（2）求EC的长.

题型十七勾股定理的应用1

49.如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的

顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（）

50.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹

子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（）

A.x2+62=102B.(10-X)2+62=X2

C.x2+(10-x)2=62D.X2+62=(10-X)2

51.如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A,离地距离AB=2米，当人体进入感应范围内时，感

应门就会自动打开，一个身高L5米的学生刚走到离门间距CB=1.2米的地方时，感应门自动打开，则

该感应器感应长度AD为（）

感应器”

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

巩固训练

1.一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那

么梯足将滑（）

A.0.5米B.0.75米C.1米D.2米

2.如图在一棵树的10m高的。处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只

爬到树顶C处后直接跃向池塘A处.如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高_m.

3.如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即C£>=8米），一只

小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？

题型十八勾股定理的应用2

52.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹

高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在VA3C中，

ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长，如果设AC=x,则可列方程为（）

222

A.x+(10-x)=3B.尤2+32=(10-x『

C.C+32=10?D.(10-X)2+32=X2

53.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这支铅笔在笔筒

内部的长度/的取值范围是（）

A.12cm</<15cmB.9cm<l<12cm

C.10cm<Z<15cmD.10cm<l<12cm

54.如图，铁路脑V和公路P。在点。处交汇，ZQON=30°.公路P。上A处距。点240米，如果火车行

驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿QV方向以20米/秒的速度行驶时，A

处受噪音影响的时间为（）

C.20秒D.30秒

巩固训练

1.《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一

根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问

折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尤尺，则可列方程为()

A.%2-4=(10-X)2B.%2-42=(10-X)2

C.X2+4=(10-%)2D.X2+42=(10-X)2

2.如图，有一个长方体盒子，其长、宽、高分别是8cm、6cm、V^Tcm,则该长方体盒子内可放入的木

棒(木棒的粗细忽略不计)的长度最长是cm.

D'c

\/D---------------

4B

3.今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏

力”又于19日登陆.A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市52km的8处(即AB=52km),正以8km/h

的速度沿BC直线方向移动.

B

(1)已知A市到BC的距离AD=20km,那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？

⑵如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长?

题型十九勾股定理的逆定理

55.如图，已知NA=90。，AC=AB=4,CD=2,BD=6.则NACD的度数为()

A.30°B.35°C.40°D.45°

56.若VA3C的三边长分别为2点,而衣则VABC的面积为()

A.2月B.2A/2C.4夕D.473

57.下列条件能判定VABC是直角三角形的是（）

A.ZA—NB=NCB.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.AB=6，BC=4，AC=V5D.AB-.BC:AC=2:2:3

巩固训练

1.VABC中，NA、/B、NC所对的边分别为0、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是()

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.ZA=ZB-ZC

C.a2-(b+c)(b-c)D.a:b:c=3:4:5

2.如图，VABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作ADLCE,垂足为。，若AD=7,

AB=20,BC=15,DC=2.4.

⑴4=________

（2）记VADE的面积为S-3CE的面积为邑，则S2-H的值为.

3.如图，在一块直角三角形（NACB=90。）土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计

中要求NA£>C=90。，AD=8,CD=6,AB=26,求绿地的面积.

题型二十最短路径问题

58.如图，一圆柱体的底面圆周长为12,高A5为8,8c是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱

()

C.4日D.10

59.如图，在长方体ASCD-AB'C'D'中，AB=BB'=4,AD=6,一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬

到C'点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（）

C.2yfnD.10

60.如图，要在河边/上修建一个水泵站，分别向A村和8村送水，已知A村、8村到河边的距离分别为2km

和5km,且C、。相距"Tkm,则铺水管的最短长度是（）

B

A

------3-----------------°-------/

—C--------------D——

A.5kmB.2&kmC.7km