中考数学专项复习：反比例函数与一次函数 压轴题练习（解析版）

A卷18题：【反比例函数与一次函数压轴】专题练习

1.(2022•成都中考)如图，在平面直角坐标系xQy中，一次函数y=-2x+6的图象与反比例函数y=勺的

X

图象相交于4(。,4),B两点.

⑴求反比例函数的表达式及点3的坐标；

(2)过点A作直线NC,交反比例函数图象于另一点C,连接3C,当线段NC被了轴分成长度比为1:2的两

部分时，求的长；

(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”.设尸是第三

象限内的反比例函数图象上一点，。是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求尸，。两点的坐

(2)4夜或平

⑶(-4,-1),(-1,5)

【分析】(1)首先把点/的坐标代入了=-2X+6,即可求得点/的坐标，再把点/的坐标代入＞=&,即可

X

求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点8的坐标；

(2)设直线/C的解析式为y=fcc+6,点C的坐标为[加直线NC与y轴的交点为点。，把点/、。的

坐标分别代入产a+b,可求得点。的坐标为，，+£],可求得N。、CD的长，再分两种情况分别计算，

即可分别求得；

4

(3)方法一：如图，过点3作尸5,45,父》=—的另一支于点夕，过点。作不轴的平行线，过点3作x轴的

垂线，交于点C,作8c交于点D,设80,4P交于点刊，根据A/DBSABCP,求得点P的坐标，进

而求得4P的解析式，设点。的坐标为(a,b),根据定义N0=AS以及M在直线4户上，建立方程组，即可

求得点。的坐标.

【详解】(1)解：把点/的坐标代入了=-2%+6,

得4=-2°+6,解得a=l,

故点/的坐标为(1,4),

k

把点4的坐标代入丁=一，

x

得k=4,

4

故反比例函数的表达式为歹=—,

x

y=-2x+6

<4，

y=-

IX

得f—3x+2=0，

解得%=1,马=2,

故点/的坐标为(1,4),点3的坐标为(2,2)；

(2)解：设直线NC的解析式为产区+6,点C的坐标为[相，:)直线/C与y轴的交点为点。，

把点4、C的坐标分别代入^=履+6,得

%+6=4

<774，

mk+b=一

、m

k=~—

解得m,

6=4+3

、m

故点。的坐标为(o,4+\J,

"=J(OT『+[4+:4]

CD=.(m-O)2+f—-4-—1=J/+16,

Vm)

如图：当/O:CD=1:2时，连接BC,

解得加2=4或加2=—16（舍去），

故加二-2或冽=2（舍去），

故此时点C的坐标为（・2,・2）,

/.BC=J（-2-2/+（—2-2『二彳夜,

2+16_1]A

得I诏―2，得4加2_版+63=0,

V加2

得痴+63m2-16=0,

解得加2=_^或疗=_]6（舍去），

故机=一；或加=；（舍去），

故此时点c的坐标为1-g,-q,

+（「）丁孚

综上，8C的长为4逝或%收；

4

（3）解：如图，过点5作尸8,力8,交丁二一的另一支于点尸，过点。作入轴的平行线，过点8作工轴的

x

垂线，交于点C,作/。工8C交于点。，设8。,/月交于点新，如图

。（2,4）

设尸机,3,m<Q,则尸C=2—用,8C=2—2,。8=2,4。=1

Vrn）m

-ZABP=90°

/./ABD=90°-ZPBC=ZBPC

又/D=/C

「•AADBS^BCP

.AD_DB

'~BC~~PC

1_2

即D42—m

z-----

m

解得冽=-4或冽=2（舍去）

则点P（-4,一1）

设直线PN的解析式为y=sx+r,将点/(1,4),尸(-4,-1)

(~4s+t=-1

[s+/=4

[s=1

解得*.

:•直线尸/的解析式为x+3

设QS，6)，根据题意，2。的中点M在直线P8上，则M

QA=AB=ylAD2+DB2=V22+l2=也

a+2,b+2

------+3=-------

则《22

("1)2+(1)2=5

[<7=­1[a=0

解得八〈或入〃(在直线N8上，舍去)

\b=5p=6

■■.2(-1,5).

综上所述,^(-4,-1),2(-1,5).

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平

面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求

解析式是解决本题的关键.

2.(2022•四川省成都市七中育才学校二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b经过点-1,0),

k

与>轴正半轴交于8点，与反比例函数V=-(x>0)交于点C,且4C=348,AD〃x轴交反比例函数

(2)如图1,若点£为线段3c上一点，设E的横坐标为加，过点E作E尸〃3。，交反比例函数y=&(x>0)

X

于点F.若=求相的值.

(3)如图2,在(2)的条件下，连接阳并延长，交x轴于点G,连接OD,在直线OD上方是否存在点”，

使得与AODG相似(不含全等)？若存在，请求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)3,18

(2)m=l

(3)存在，0，勺或口⑶或色彳"1^，，

【分析】(1)将点A代入一次函数求出6的值，然后根据NC=3/8求出点C的坐标，即可求出反比例函

数的解析式；

(2)将E点横坐标代入>=3x+3,求出纵坐标，根据斯〃8。即可知道厂的纵坐标，代入反比例函数的

解析式，求出厂的横坐标，即可表示出E尸的长度，同理将8点纵坐标代入反比例函数求出。点横坐标，

从而表示出BD的长，根据EF=；BD列方程即可求解加的值；

(3)根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，当/HO£>=/DOG时，当/"OD=/DG。时，当

=时三种情况，分别画出图形，列出等式求解即可.

(1)

作CMLx轴于如图1：

图1

•••ZBOA=ZCMA,ZBAO=ZCAM,

/.ABOAsKMA,

•.・直线y=3x+b经过点

—3+b=0,

解得6=3,

•・•直线解析式为：V=3X+3,

・•・5(0,3),

AC=3ABf

CM=3BO=9,AM=30A=3,

.•・C点坐标为(2,9),

将C点坐标代入y=8,

得左=18.

（2）

BD//x轴,

1Q

.:。点的纵坐标为3,代入了=一,

X

得x=6,

・：£＞点坐标为（6,3）,

将E点横坐标代入y=3x+3,

得》=3加+3,

・・•EF//BD

二."点纵坐标为3加+3,

418

代入户一，

x

得X=；,

m+1

：.F点坐标为［—^―,3加+31，

I机+1）

-EF=-BD,

3

61，

------771=—X0,

m+1-----3

解方程得加=1或-4（舍），

:.m=\.

（3）

存在，理由如下：

如图2,过点。作轴于点。，

由⑵知。（3,6）,尸（6,3）,

直线FD的解析式为：y=-x+9,00=6,00=3,

0G=9,

-DQ.G0=3,

ZQGD=ZQDG=45°.

OD=3y/5,DG=372.

I、当/〃OD=NOOG时，如图2所示，设BD与OH交于点、P,

，ZBDO=ZDOG,

ZBDO=ZHOD,

:.OP=PD,

设OP=m,则BP=6-m,

在必AOBP中，由勾股定理可得，32+m2=(6-m)2,解得加=，；

4

•・•直线OP的解析式为：y=§x；

①若AODGSAODH,则OD：OD=OG：OH=l,不符合题意，舍去;

②若AODGSAOHD,

OD：OH=OG：OD,即3A/5：OH=9：3旧,

解得丽=5,

设“(3/,包，

⑶。+(4炉=52,

解得"1,负值舍去，

.•・”(3,4)；

II、当时，

图3

①若AODGSADHO,如图4,

ZDOG=ZODH,DG：OH=OG：DO,

:.DHHOG,即点〃在2。上，3亚：OH=9：36,

:.0H=屈,

BH=1,

・•・”(1,3),直线OH的解析式为：y=3x；

②若"DGsAHDO,

:.DG：OD=OG：OH,即3后：3A/5=9：OH,

解得OH=为低，

2

设

9

解得"5,负值舍去，

，直线S的解析式为：＞=—x；

①若AODGsADOH,则。OD=OG：DH=\,不符合题意，舍去;

②若AODGSAHOD,如图5,

OD：OH=DG：OD,即36：OH=3c:375，

解得OH="也，

2

设H&f,

.•/2+（T）2=（qi）2,

解得/=-£,正值舍去，

【点睛】本题属于反比例函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，分类

讨论思想；用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键.

3.(2022・四川成都•二模)在平面直角坐标系xOy中，直线y=-与反比例函数夕=色的图象交于A

2x

(2,m),3两点.

图1图2

(1)求直线的函数表达式；

(2)如图1,过点/的直线分别与x轴，了轴交于点“，N,若AM=MN,连接求△ZBM的面积；

k

(3)如图2,以为边作平行四边形/BCD,点。在y轴负半轴上，点D在反比例函数y=—(左V0)的

x

图象上，线段与反比例函数>=右(左<0)的图象交于点E,若空=；,求左的值.

xAE1

【答案】(1%=-1x+4

(2)7

⑶-3

【分析】(1)将/(2,加)代入直线>=-与反比例函数y=£,可得答案；

2X

(2)首先求出交点2的坐标，过点/作轴于尸，利用△MWs/^vp/,可得。”的长，从而得出

的长，再计算S^ABM=SAADM-S4BDM即可；

(3)设C(0,。)，利用平行四边形的性质可得。(-4,。+2),过。作x轴的平行线/,过点4£作/

的垂线，垂足分别为G,H,根据△DEGs△£>/”,表示出点£的坐标，从而得出方程解决问题.

(1)

解：当x=2时，反比例函数y=g=3,

：.A(2,3),

将点/(2,3)代入y=-yx+b,得

3=-yx2+b,

解得：6=4,

一次函数的解析式为y=-yx+4；

(2)

解：联立两函数解析式，得

14

y=——x+4

玉=2X=6

/2,解得:2

6/=3%=1

y

X

・・・8(6,1),

当y=0时，-1~x+4=0,

.*.x=8,

AD(8,0),

过点4作4尸，歹轴于尸，

图1

9：OM//AP,

：.ANOMsANPA,

.OMMN

,・AP~AN'

VAP=2,AM=MN,

,OM_1

••一,

22

OM=1,

:.MD=7,

：.S^ABM=S^ADM-SABDM=；x7x(3-l)=7；

(3)

设C(0,a),

•/四边形N3CD是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

:.D(-4,a+2),

过。作x轴的平行线/,过点/,垂足分别为G,H,

：./AHD=ZEGD,NEDG=ZADH,

：.△DEGs^DAH,

.DGEGDE_1

''DH~AH~AD~3'

,1111

..DG——DH—2,EG=—AH--------a,

3333

27

...点£(-2,—ClH—),

33

■:点D、E都在反比例函数尸与上，

27

-2X(—dH—)=-4(a+2)，

33

解得。=-

4

：.k=-4(a+2)=-4X(--+2)=-3.

4

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数

图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题

的关键.

4.(2022・四川成都・二模)如图，在平面直角坐标系中，直线尸-gx+3与x轴、y轴分别交于尸，E

两点，与反比例函数歹=；(》>0)的图象交于点4(3,々)和点丛

图1备用图

(1)求反比例函数解析式和B点坐标；

(2)如图1,连接CM,尸为线段。尸上一点，使得S△4求P点坐标；

9

(3)在反比例函数y=5(x>0)图象上是否存在一点M(不与/重合)，直线分别与x轴，y轴交于点C,

。两点，使得以4C,尸为顶点的三角形与VADE相似，若存在，请求出此时直线的解析式；若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)夕=9;3(6,1)

(2*(4,0)

(3)存在，y=-3x+11

【分析】(1)把点力的坐标代入直线解析式即可求得点力的坐标，再代入反比例函数即可求得反比例函数

的解析式；设点2口,-；1+3)代入反比例函数中，可求得点8坐标；

(2)由直线解析式可求得£、厂两点的坐标，利用面积关系及割补思想即可求得点P的坐标；

(3)过点/作轴于点“，利用相似三角形的性质可求得点C的坐标，即可求得直线的解析式.

(1)

由题意，把点/坐标代入直线y=-gx+3中，得：a=-1x3+3=2,

即4(3,2)；

把点/代入反比例函数解析式中得：左=2x3=6,

...反比例函数的解析式为＞=9；

X

设点+代入反比例函数了=：中，得：x(-；x+3]=6,

解得：项=6,々=3(舍去)，

则_gx6+3=l,

.•.点2坐标为(6,1)；

(2)

如图，设点尸的坐标为(a,0).

在直线N=-;x+3中，令产0,得产3；令产0,得x=9,

即E(0,3),F(9,0)；

191

X

S△&AOc/zEs=—2x3x3=—2,S△AAuOrF=2—9X2=9,

•SAPAB=gSAOAE，SAPAB=S“OF-SAAOP-S&BPF，

1159

A9——ax2——(9-tz)xl=-x-,

2292

Q=4,

即点尸坐标为(4,0)；

(3)

存在；

过点4作轴于点H

当NCDO=N4/。时，

/DAE=NFAC,

：.ADAEsAFAC,

VZDOC=ZFOE=90°,

/.△DOCsBOE,

.OPOF9

''~OC~~OE~3~

即OD=3OC；

,JAH//OD,

：.AAHCsADOC,

.AH_0D

••一—3,

HCOC

即AH=3HC；

•・Z(3,2)

：.OH=3,AH=2,

：.HC=-AH=~,

33

211

.・・OC=OH+HC=3+-=—,

33

即点C坐标为

设直线的解析式为y=去+b,

3左+6=2

由题意得：,11,,八,

——k+b=O

[3

解得:

6=11

直线NM的解析式为N=-3x+ll.

【点睛】本题是反比例函数的综合，考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三

角形的判定与性质，三角形面积，函数图象上点的坐标特征等知识，灵活运用这些知识是解决问题的关

键.

k

5.（2022・四川成都・二模）如图1,一次函数/=-3》+12的图象与反比例函数＞=—（左＞0）的图象相交于

（1）当人=9时，求A,B两点的坐标；

⑵在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P,使』上43是以点B为直角顶点的直角三

角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2,连接/。并延长交反比例函数＞=&（左＞0）图象的另一支于点C,连接8C交y轴于点G.若

X

||=2,求反比例函数的表达式.

CG

【答案】⑴/(1,9),B(3,3)

(2)(-9,-1)

32

9

【分析】（1）把心9代入反比例解析式，得尸三，联立两函数解析式，得方程组，求解即可；

x

（2）当N4BP=90。，过点3作于证明求出M坐标，再求直线BM交点、

即可；

BsBG

（3）过点5作5S_Ly轴于点S,过点。作CTUy轴于点T,证△CTGSZ\5SG,得一=——=2,所以

CTGC

kkkkk

BS=2CT,设C（-加,---），B（2m,~一），则4（加，一），把4（冽，一），B（2m,--）代入^=-31+12,得

m2mmm2m

。…k

-3m+12=一

m

＜7,解之求出左值即可.

-6m+l2=----

、2m

(1)

9

解：当Q9时，则反比例函数解析式为y=—,

x

7=3+12r1(3

联立得9,解得:0,2°

y=-〔耳=91%=3

IX

：A在3的左侧，

：.A(1,9),B(3,3)；

(2)

：.OH=3,BH=3,

由(2)①知0E=4,

：.HE=1,

；BH_LOE于H,

：.ZBHE=90°,

由勾股定理，得BE=YJBH2+HE2="+F=V10，

ZBHE=ZEBM=90°,

,：/BEH=/MEB,

：.ABHEsAMBE,

.B^_HE_mV101

ME~BE'ME一回

：.ME=10,

：.OM=ME-OE=10-4=6,,

：.M(-6,0),

设直线BM解析式为：y=mx+n，

1

-6m+n=0m=—

,解得:3,

3加+〃=3

n=2

二直线/N解析式为：歹=；x+2,

1c

y=—x+2

3xx=-9x2=3

联立,解得:

9必二T力=3

歹二一

：.P(-9,-1)；

综上，点尸的坐标为(-9,-1).

(3)

解：过点3作轴于点S,过点C作CTUy轴于点T,

:.^CTGs丛BSG,

,BSBG

••------------=2,

CTGC

：.BS=2CT,

kk

设C(-冽,)，5(2m,—),

m2加

・・•点4、。在反比例函数图象上，4C过原点,

・••点/与点。关于原点对称，

.\A(m,一),

m

把4(m,1),5(2冽代入尸-3x+12,得

m2m

4

-3m+12=—m=­

\，解得:3

-6m+12=—

2m

32

反比例函数的表达式为：尸w=

x3x

【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，正确

的作出辅助线是解题的关键.

6.(2022・四川成都•二模)如图，一次函数歹=丘-4左的图象与x轴、了轴分别交于点/、点3与反比例

2

函数y=Jx>0)的图象交于点C、点D

(1)直接写出点8的坐标；

(2)作轴于E,作。尸_Lx轴于尸.连接E尸，求证：EF//CD,

⑶若点N在x轴上，且满足/CND=90。的N点有且只有一个，求人的值.

【答案】(1)(4,0)

⑵见详解

(3次的值为-1

【分析】(1)一次函数了=依-4左，令尸0,解方程可得x的值，可得点2的坐标；

(2)设点C、点。的横坐标分别为孙n,联立一次函数与反比例函数，可得加+力=4,由题意可得点/的

OFnOF

坐标为(0,-4左)，可得=：==,进而可证瓦7/CD；

7O7AT4OB

CPPN

(3)过点C、。分别作CP、DQ垂直于x轴，易得ACNPs4NDQ,可得而=而，设N(x,0),代

入可得关于尤的一元二次方程，因为存在唯一的点N,所以方程有两个相等的实数根，可得左的值.

(1)

解：点8的坐标为(4,0)

点8为一次函数与x轴的交点，当y=0时，kx-4k=Q,x=4,

.•.点8的坐标为(4,0).

(2)

2

证明：一次函数歹=h-4后的图象与反比例函数>=((x>0)的图象交于点°、点。两点,

2

kx—4k——,

x

kx2—4Ax—2=0，

设点。、点。的横坐标分别为加，n,

则m+n=4,

如图，由点C是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，

2

**•点C的纵坐标为一，

m

22

代入一次函数解析式得：—=km—4k,则左二1―-,

mm(rn—4)

由题意可得，点4的坐标为(0,-4左)，

2_

OE_~m_1_1_m-4

，示―与—_2加左—2m2—4'

又m+n=4,

m-4=-n,

.OE_m-4_-n_n

，U~OA~-4~^4~4

OFnOE

2

解：一次函数歹=履-4左的图象与反比例函数歹=((x〉0)的图象交于点。、点。两点,

2

kx-4k=—,

x

**.kx1—Akx—2=0,

设点C、点。的横坐标分别为加，n

贝!Jm+〃=4,mn=—

k

如图，过点C、D分别作CP、DQ垂直于X轴,

O\PNQ4x

当ZCND=90°时，ZCNP+ZDNQ=90°,

又/CNP+/NCP=90°,

ZNCP=ZDNQ,

:ACNPs丛NDQ,

.CPNP

,•而一而‘

设N(x,0),

2_

r,x-m

则一^m=—,

n—x/

-x2+(加+n)x-mn=—,

mn

7

即X1-Ax——2左=0,

2X

当△=(_4)9一4(——2左)=16+—+8左=0时,

kk

即4-1时，满足/。\。=90。的N点有且只有一个

即左的值为-1.

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，一元二次方程根

与系数的关系，根的判别式，比例线段等，综合分析问题，灵活运用所学知识是解题的关键.

7.（2022・四川成都•二模）如图1,在平面直角坐标系中，矩形OA8C的边04,OC分别在x轴和>轴

上，顶点8的坐标为（4,2）,反比例函数>=々》>0）的图象经过对角线㉓的中点£,与矩形的边8C,氏4分

X

别交于点尸，G,设直线尸G的函数表达式为了="+以

备用图

k

(2)利用图象，直接写出当G+64—时x的取值范围;

X

⑶若点P在矩形的边。/上，且△PPG为等腰三角形，求点P的坐标.

【答案】⑴发《，

(2)0<xVl或xZ4

小，。］或

：,0)或(4一而,0).

(3)

k2)

【分析】(过点作于点先证明则篇=黑=器=!

1)EAOMESAOCB,然后求出点

(JBnCC/C2

E的坐标；然后再求出点尸G的坐标，利用待定系数法即可求出答案；

(2)利用图像法，即可求出办+64公时x的取值范围；

X

(3)由题意，可分为3种情况进行分析：当G/=尸尸时；当尸尸=PG时；当G/=PG时;分别求出每一

种情况的答案即可.

(1)

NOME=ZOCB=90°,ZMOE=ZCOB.

AOMES^OCB.

点片为对角线03的中点,

,OEMEOM\

"'OB~^C~~OC~2,

V5(4,2),

OM=—OC=1,EM=—BC=2.

22

・・・E(2,l).

・・,反比例函数歹="a〉o)的图象经过点E,

x

k

.\1=-,即左=2.

2

2

・•・、=一.

x

・・,点RG分别在矩形的边5。,区4上，

・・・设厂(加,2),G(4/).

2

•・•点R6在歹=一上，

x

m=l,n=—.

2

尸(1,2),G(4,\.

将尸(1,2),G(4,.分别代入广办+b得：

a+b=2

I4a+b7=—1，

I2

1

a=——

解得J,

b=-

l2

・15

,•y——xH—.

22

k=2,a——,b=一.

22

(2)

解：•.•歹(1,2),63，，

...结合图象可知：当0<xWl或X之4时，^ax+b<~.

X

(3)

解：：△PPG为等腰三角形，设尸(x,0),

V尸(l,2),G［4,g］,

GF2=9+1=y,PF2=(x-1)2+4,PG2=(x-4)2+.

45

当GP=P尸时，y=(X-1)2+4,

解得：x=丝.(负值舍去)

2

当尸尸=PG时，同理可得：x=—.

8

当GA=PG时，同理可得x=4土而.(4+a1舍去)

综上，点尸的坐标为［"g,。］或0］或(4-而,0).

12J18J

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，一次函数的图像和性质，等腰三角形

的定义等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用数形结合的思想进行分析.

8.(2022・四川成都•二模)如图，直线>=2x与反比例函数y=?(x>0)的图象交于点/(加,6),以。4为边

作出AA8。，使点B在第二象限，ZAOB=90°,AO=2BO.

X

(2)求直线的表达式；

k

(3)过点B的反比例函数》=：(%<0)与直线AB的另一个交点为C,求NBOC的面积.

1Q

【答案】⑴V—

315

⑵尸产了;

【分析】(1)先求出点A的坐标为(3,6),再代入反比例函数丁=?(x>0)即可求出勺=18；

(2)过A作轴，垂足为点。，过8作轴，垂足为点£,证明ABOESAOAD,根据相似的

性质得到813,1),根据待定系数法即可求出直线45的解析式；

(3)求出反比例函数>=幺的表达式为>=-之，与直线N8联立方程组求出点C坐标，设43交7轴于

x2x

F,则则O尸=9,利用割补法即可求出ASOC的面积.

(1)

角军：把4(机,6)带入y=2x得6=2加，

m=3,

二/(3,6),

把A(m,6)带入反比例函数y=\(x>0)得6=g,

《=18,

1o

反比例函数的表达式为""；

X

(2)

解：过A作4D_Lx轴，垂足为点。，过8作8瓦Lx轴，垂足为点E,

・•・N4=N5=90°,N2+N3=90°,

IZAOB=90°，

・•・Zl+Z2=90°,

・•・N1=N3,

fZ4=Z5

在MOE和AO4。中〈八「，

=N3

^BOESAOAD,

,BEEO_BO

"'OD~^A~~OA，

.BE_EO

••—―，

362

3

:.BE=—,EO=3,

设直线45的解析式为V=b+"

/3、3左+6=6

把点/(3,6),8-3,不代入得-3,

k2)-3k+b=—

解得；

b=—

I4

315

•・•直线"的解析式为广片+了;

(3)

解：把《-3,3带入反比例函数y=}(x<0)得心=-|,

反比例函数”^的表达式为>=-2,

x2x

石二—3

3

设N8交y轴于尸，则尸则OF^―

4

：.NBOC的面积=！x"x3-』x"义2="

24248

【点睛】本题为反比例函数与一次函数综合题，考查了相似等知识，综合性较强，熟知相关知识，添加辅

助线，构造相似是解题关键.

9.(2022•四川成都•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+6经过点/(-1,0),与夕轴正

左k

半轴交于5点，与反比例函数>=一(x>0)交于点C,S.AC=3AB,AD〃x轴交反比例函数〉=一(x>

xx

0)于点D.

⑴求直线y=3x+6的表达式;

⑵求人的值.

k

(3)若点E为射线2c上一点，设E的横坐标为机，过点,E作EF〃BD,交反比例函数>=一(x>0)于点

x

F.若EF=；BD,求m的值.

【答案】(l»=3x+3

(2)418

(3)m=l或1+厂

【分析】(1)将点/代入一次函数求出6的值，即可求得一次函数的解析式；

(2)根据NC=3/2,结合相似三角形的判定和性质求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式；

(3)将E点横坐标代入y=3x+3,求出纵坐标，根据防〃即可知道尸的纵坐标，代入反比例函数的

解析式，求出厂的横坐标，即可表示出£尸的长度，同理将8点纵坐标代入反比例函数求出。点横坐标，

从而表示出BD的长，根据8。列方程即可求解加的值.

(1)

解：：直线尸3x+b经过点4(-1,0),

.,.-3+6=0,

解得6=3,

・,•直线解析式为：y=3x+3；

(2)

作C〃J_x轴于“，如图所示：

VZBOA=ZCHA,ZBAO=ZCAH,

：.△BOAs^CHA,

...由（1）可知点2（0,3）,

；AC=3AB,

：.CH=3BO=9,4H=304=3,

.•.点C坐标为（2,9）,

•••将点C坐标代入y=X,得QI8.

X

（3）

,・・瓦）〃次轴,

1Q

・••点。的纵坐标为3,代入y=一,得尸6,

x

二点。坐标为（6,3）,

将点E横坐标代入y=3x+3,

得产3冽+3,

•：EF〃BD,

・•・点/纵坐标为3加+3,

,;BD=6,EF=-BD

39

・••点T7坐标为（m+2,3m+3）或（冽-2,3冽+3）,

.・.（加+2）（3加+3）=18①或（加—2）（3加+3）=18②

解方程①得m=l或-4,

解方程②得机=上叵，

2

・・,点E为射线BC上一点,

・1—p.1+、33

..m=l或------.

2

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的

关键.

10.（2022・四川成都•二模）如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=g（x>0）的图象

上（点3在点A右侧），过点A作X轴的平行线，过点B作歹轴的平行线，两线相交于点C,OC交4B于

点、E,过点B作8O〃x轴交OC于点。，连接4D.设点A的横坐标为1,点B的横坐标为加.

(1)求点A的坐标及直线0C的表达式(直线OC表达式用含加的式子表示);

⑵求证：四边形为矩形；

(3)若44OC=2乙4c。，求加的值.

【答案】(1)/(1,1),OD的表达式为〉

m

(2)见解析

⑶2+百

【分析】(1)根据反比例函数解析式以及点A的横坐标为1,点8的横坐标为冽，分别求得点43的坐

标，然后求得点C的坐标，即可求得直线。。的表达式；

(2)根据直线0C的解析式，求得点。的坐标，进而证明/DIB。，结合BCLBD,/C/BC即可证明

ADBC是矩形；

(3)根据题意可得4。=/£,求得点£的坐标，即可求得加的值.

(1)

•・•点A,8在反比例函数y=g(x>0)的图象上，点A的横坐标为1,点B的横坐标为心，

・・,/C〃x轴，轴,

:.ACLBC,

••・3C〃y轴，AD〃x轴，

/.BCLBD,

设直线OC的表达式为y=kx,则1=碗，

解得左=L

m

直线OC的表达式为V=Lx；

m

(2)

•.,。在歹=4■上，点3的横坐标为机.轴,

/.40〃y轴，

AD1BD,

■:BC1BD,AC1BC,

ZADB=ZDBC=/ACB=90°,

.•・四边形/CB。为矩形；

(3)

v四边形为矩形；

AE=CE

ZEAC=ZECA

NAEO=2ZACO

yZAOC=2ZACO

ZAEO=ZAOC

:.AO=AE

•・T（l」），5m,—

m

1+m\+m

2'2m

AO=41+1=42,AE=

角牟得"？=2+行或机=2-g或加=-1（舍）

・••点8在点A右侧，则/77>1,

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，矩形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，数形结合是解

题的关键.

II.（2022•四川成都•二模）如图，点和点3是反比例函数必=?后>0,x>0）图象上的两点，一次

函数>2="+2（。wo）的图象经过点A,与歹轴交于点C,过点8作轴，垂足为。，连接

OA.OB.已知AOAC与AOBD的面积满足S^OAC:S^OBD=2:3.

⑴求AQ4c的面积和k的值；

(2)求直线NC的表达式；

⑶过点B的直线分别交x轴和V轴于两点，NB=2MB,若点尸为NMON的平分线上一点，且满

足OP1=OM>ON,请求出点P的坐标.

【答案】(1)],3

(2)%=x+2

【分析】(1)首先可知C的坐标，从而得出△O/C的面积，再根据工。数：4。皿=2：3得工。处的值，则可

根据反比例函数的人的几何定理，即可解答；

(2)由点/(I,加)在反比例函数图象上，代入/点坐标求出机值，从而得出/点坐标，则可利用待定系数

法求直线NC解析式；

(3)设2(a,b),分两种情况讨论，即点N在〉轴正半轴上或点N在y轴负半轴，分别根据相似三角形的

判定与性质求出和ON的长，从而得出OP的长，即可得出答案.

(1)

解：(1):一次函数》=◎+2与〉轴交于C,

.,.C(0,2),

OC=2,

S

AU/iL=—2x2x2x1=1,

•^\OAC-SbOBD=2•3，

・S-I

,,QQBD-2'

..•点8在反比例函数弘=幺上，

X

3„

左=2x—=3；

2

(2)

3

解：•・•点4(1,加)在反比例函数弘=一上，

x

m=3,

・•・力(I,3),

将/(I,3)代入一次函数”="+2得，

。+2=3,

a=l,

一次函数为=x+2；

(3)

解：设b)，

当点N在了轴正半轴上时，作AWLy轴于〃,

当点N在了轴负半轴上时，如图,

同理可得，OM=；BH=~a，ON=OH=b,

・•・OP=JOMxON=jgaxb,

・・•点P为/MON的平分线上一点，

・•・ZMON=90°,

・••点P到x轴和歹轴的距离相等为且，

2

综上所述，尸（孚，孚］或.

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了