中考数学专项复习：二次函数的图像和性质-解析版

专题02二次函数的图像和性质

★知识点1:v=ax?的图像和性质

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>。时，y随x的增大而增大；x<。时，y随X的增大而减

a>0向上（0,0）y轴

小；x=0时，y有最小值0.

x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增

a<0向下（0.0）y轴

大；x=。时，y有最大值0.

典例分析

【例1】（2023秋•海南省直辖县级单位•九年级统考期末）关于抛物线夕=-3/,下列说法

错误的是（）

A.图象关于直线x=0对称B.抛物线开口向下

C.»随着x的增大而减小D.图象的顶点为原点

【答案】C

【分析】由抛物线解析式可得到开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案.

【详解】解：•；y=-3x2,

••・抛物线开口向下，对称轴为了轴，顶点坐标是（o,o）,

・•・A、B、D选项说法正确，

a=3>0,对称轴为x=0,

.•.当x>0时，了随x的增大而减小，

・•.C选项说法错误，

故选：C.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

【例2】（2022秋•天津宝诋•九年级校考期中）已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别

为①y二次:②^=<&2③y=bx2④y=ax?则比较0、△、。、”的大小为（）

A.c>d>a>bB.d>c>a>bC.c<d<b<aD.d<c<b<a

【答案】A

【分析】根据开口判断。、b、c、d与0的关系，在根据张口的大小关系判断a、b、c、d绝

对值的大小即可得到答案.

【详解】解：由图像开口方向可得，

c>0,d>0,b<0,a<0,

根据张口大小可得，

|c|>\d\,|Z)|>\a\,

：-c>d>a>b,

故选A.

【点睛】本题考查抛物线的性质：开口向上，”。开口向下，|。|的绝对值越大张口越

小.

【即学即练】

1.Q023•浙江•九年级假期作业)已知二次函数了=(2-0%1-3有最大值，则。的值为()

A.V5B.±V5C.-V5D.0

【答案】A

【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解，再根据二次函数了=(2-a)x『-3有最大值

就说明图象开口向下，2-a<0,分别解得即可.

【详解】解：由二次函数定义可知/_3=2,

解得a=±V5,

•••二次函数丁=(2-有最大值，

•••2-Q<0,

a>2,

a—Vs-

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的定义及二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关

键.

2.（2023・全国•九年级假期作业）对于函数y=3-，下列说法正确的是（）

A.y的值总为正B.图像开口向下C.图像顶点在原点D.y随x的增大而增大

【答案】C

【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标，进而求解.

【详解】解：=

二抛物线开口向上，顶点在原点上，了20,当xVO时，y随x增大而减小，当x>0时，y

随x增大而增大，

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

★知识点2:y=ax2+c的图像和性质

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>。时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减

a>0向上（0,C）y轴

小；x=。时，y有最小值c.

x>。时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增

a<0向下（°，Jy轴

大；x=0时，y有最大值c.

典例分析

【例1】（2023秋・浙江•九年级专题练习）关于二次函数y=-2x2+l的图象，下列说法中，

正确的是（）.

A.对称轴为直线x=lB.顶点坐标为（-2,1）

C.可以由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位得到

D.在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降

【答案】D

【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可.

【详解】解：A.二次函数y=-2x2+l的对称轴为直线x=0,故A选项不符合题意；

B.二次函数y=-2x2+l的顶点坐标（0,1）,故B选项不符合题意；

C.二次函数y=-2x2+l的图像可以由二次函数了=-2/的图像向上平移1个单位得到,

故C选项不符合题意；

D.二次函数了=-2/+1的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图

像下降，故D选项符合题意.

故答案为：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解

答本题的关键.

【例2】（2022秋•安徽滁州•九年级校考期中）对于二次函数昨3+3,下列说法，不正

确的是（）

A.抛物线的开口向下B.当x<0时，歹随x的增大而减小

C.图象是轴对称图形D.当x=0时，了有最大值3

【答案】B

【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A；利用对称性左侧的增减性可判断B；利

用二次函数的对称轴可判断C,利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D.

【详解】解A、•.•二次函数”一+3中，。=-1<0,••.此抛物线开口向下，故本选项正确,

不符合题意；

B、・.•抛物线的对称轴x=-3=0,.•.当x<0时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而增

2a

大，故本选项错误，符合题意；

C、二次函数的图象是轴对称图形，故本选项正确，不符合题意；

D、,•,抛物线开口向下，,此函数有最大值，当x=0时，y有最大值是3,故本选项正确，不

符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的性质，开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性

质是解题的关键.

即学即练

1.（2022秋・广东广州•九年级校考阶段练习）己知（-1，%）,（2,%），（-3,%）都在函数

y=/+c图象上，贝I]%，%,%的大小关系为（）.

A.必<%<%B.y2cMC.<必D.必<%<力

【答案】A

【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计

算出M，为，%的值，然后比较它们的大小.

【详解】解：当X=-1时，%=/+c=l+c；

2

当x=2时，y2=X+C=4+C；

2

当x=-3时，y3=x+c=9+c,

所以必<%<%.

故选：A.

【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式.

2.（2023•浙江•九年级假期作业）关于二次函数^=-1工2-1的图像，下列说法错误的是

（）

A.抛物线开口向下B.对称轴为直线x=0C.顶点坐标为（0,-1）

D.当x<0时，了随X的增大而减小，当x>0时，y随X的增大而增大

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质依次判断.

【详解】解：

抛物线开口向下，对称轴为直线x=0,顶点坐标为（0,-1）,

当x<0时，了随x的增大而增大，当x>0时，了随x的增大而减小，

:.A,B,C正确，D错误，

故选：D.

【点睛】此题考查了二次函数>=a/+c的性质，熟记二次函数y=a/+c的性质是解题的

关键.

★知识点3:y=a（x-h）2的图像和性质

开口方顶点坐对称

a的符号性质

向标轴

X>h时，y随X的增大而增大；X<h时，y随X的增

a>0向上(h,0)X=h

大而减小；x=h时，y有最小值0.

x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增

a<0向下(h,o)X=h

大而增大；x=h时，y有最大值0.

典例分析

【例1】（2023•浙江•九年级假期作业）二次函数y=-2（x-3）2的图像的对称轴是（）

A.直线x=-2B.直线x=-3C.直线x=3D.直线x=l

【答案】C

【分析】根据抛物线的顶点式可直线得出抛物线的对称轴.

【详解】解：•••y=-2（x-3）2,

••・抛物线对称轴为直线x=3.

故选C.

【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式方程是解题的关键，即在

y=+左中其顶点坐标为（瓦k）.

【例2】.（2023・浙江•九年级假期作业）设函数9=卜-°了，％=卜-生），

2%，力的图象分别交于点/他心），B（b,c）,

y3=（X-6Z3）.直线x=b的图象与函数乂，2

)

A.若6＜a＜。2＜。3,贝1B.若为＜6＜。2＜。3,贝！

C.若为＜。2＜6＜。3,则D.若则

【答案】D

【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线X=b与二次函数图象的交点进行判断

即可.

【详解】解：如图所示，

A.由图象可知，若6＜见＜。2＜。3,当X=b时，cx＜c2＜c3,故选项错误，不符合题意；

B.由图象可知，若为＜6＜。2＜。3,,当X=b时，不一定成立，故选项错误，不

符合题意；

C.由图象可知，若a1＜。2＜b＜ci3,当x=b时，。3＜。2＜。1不一定成立，故选项错误，不符

合题意；

D.由图象可知，若为＜见＜见＜6,当X=b时，故选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键.

即学即练

1.(2023秋・安徽六安•九年级校考期末)将抛物线y=(x+l)2向右平移3个单位，再向上

平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是()

A.y=(x+4)2+lB.y=(x+4)2-lC.=(x-2)2-ID.y=(x-2)2+l

【答案】D

【分析】由抛物线平移不改变二次项系数。的值，根据点的平移规律“左移减，右移加，上

移加，下移减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式.

【详解】解y=(x+iy的顶点坐标为(TO),把点(TO)向右平移3个单位，再向上平移1

个单位得到的对应点的坐标为(2,1),

所以平移后的抛物线的解析式是y=(X-2)2+1.

故选：D.

【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：“左

移减，右移加，上移加，下移减”是解题的关键.

2.(2023•浙江•九年级假期作业)已知某二次函数，当x<l时，y随x的增大而增大当x>l

时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是()

A.y=2(x+l『B.y=C.y=-2(x+l)2D.y=-2(x-l)2

【答案】D

【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,然后对各选项进

行判断.

【详解】解：,•・当X<1时，y随X的增大而增大；当x>l时，y随X的增大而减小，

抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,

.•.了=-2(x-符合条件，

故选：D

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线x=l是

解题的关键.

★知识点4y=a(x-h/+k的图像和性质

开口顶点坐对称

a的符号性质

方向标轴

X>h时，y随X的增大而增大；X<h时，y随X的

a>0向上(h,kX=h

增大而减小；x=h时，y有最小值k.

x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的

a<0向下(h,kX=h

增大而增大；x=h时，y有最大值k.

【例1】（2023秋•湖南长沙•九年级统考期末）关于抛物线y=2（x-l）2+3的特征，下列说

法错误的是（）

A.开口向上B.对称轴为直线x=l

C.顶点坐标是（1,3）D.当x<l时，V随X的增大而增大

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质，可得抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为

（1,3）,逐项分析判断即可求解.

【详解】解关于抛物线>=2（x-l『+3的特征，抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,顶

点坐标为（,3）,

••.A,B,C选项正确，

当x<l时，了随x的增大而减小，故D选项错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

【例2】（2023•安徽•九年级专题练习）二次函数y=a（x+机）2-〃的图象如图所示，则一次

函数了=加工+〃的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限

【答案】B

【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出与〃

的正负，即可作出判断.

【详解】解：由题意得抛物线顶点坐标为（-办-力），

由函数图象得抛物线的顶点在第四象限，

[—m>0

,•jf<0，

[m<0

>0，

・•・一次函数y=〃zx+〃的图象经过第一、二、四象限，

故选B.

【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数

的图象与性质是解题的关键.

即学即练

1.（2023・陕西•统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=M+加工+加之一加（加为

常数）的图像经过点（0,6）,其对称轴在V轴左侧，则该二次函数有（）

A.最大值5B.最大值与C.最小值5D.最小值?

44

【答案】D

【分析】将（。，6）代入二次函数解析式，进而得出机的值，再利用对称轴在了轴左侧，得出

m=3,再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值.

【详解】解：将（0,6）代入二次函数解析式了=/+加x+得：6=m2-3m,解得：

加1=3,m2=-2,

bvvi

••,二次函数歹=，+加工+加2一加,对称轴在歹轴左侧，即1=-----=-----<0,

2a2

m>0,

m=3,

._223丫15

,•y—x+3x+6—xH—,

I2J4

.•・当％=-彳2时，二次函数有最小值，最小值为135，

34

故选：D.

【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出加的值是解题关

键.

2.(2023秋•辽宁葫芦岛•九年级统考期末)抛物线了=3(尤-2)2-1的顶点坐标为()

A.(2,-1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(-1,2)

【答案】A

【分析】根据二次函数的顶点式解析式的特点即可求解.

【详解】解：,•・抛物线>=a(x-//)2+左的顶点坐标是("k),

••・抛物线y=3(x-2)2-1的顶点坐标是(2--1),

故选:A.

【点睛】本题考查了二次函数的顶点式解析式，对抛物线的顶点坐标的理解是解题的关

键.

★知识点5二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

用配方法可化成：y=。(冗一九)2+九的形式，其中九=一4，fc=4ac-b2

二次函数/二司臣+民+0(a丰0)的顶点坐标是(-~,对称轴直线x=-

2a4a

上~,二次函数y=a*+bA+c(a手0)的图象具有如下性质：

2a

①当a>0时，抛物线y=axL+bx^c(a#=0)的开口向上，x<-上■时，y随x的增大而减小;

2a

X>-互时，y随X的增大而增大；x=-互时，y取得最小值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当a<0时，抛物线y=a^+bx^c(a*0)的开口向下，x<-上"时，y随x的增大而增大;

2a

X>-互时，y随X的增大而减小；x=--L时，V取得最大值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线y=a*+b/c(5#=0)的图象可由抛物线y=a上的图象向右或向左平移|-上二|个

2a

单位，再向上或向下平移个单位得到的.

4a

典例分析

【例1】(2023•湖南长沙•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模)关于二次函数

y=*+2x+2的最值，说法正确的是()

A.最小值为1B.最小值为2C.最大值为3D.最大值为-1

【答案】C

【分析】将二次函数解析式一般式化为顶点式即〉=-/+2X+2=-(X-1)2+3,再根据二次

函数的性质即可解答.

【详解】解：•••二次函数的解析式为》=-^+2无+2,

y=—%2+2无+2=—(x-1)+3,

a--1<0,

.-.y=-x2+2x+2有最大值为3；

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关

键.

【例2】(2021•浙江杭州•校考一模)已知函数了='])：二若使>=后成立的x值

[(x—5)-l(x>3)

恰好有三个，则左的值为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

-l(x<3)

【分析】首先在坐标系中画出已知函数>=2,的图象，利用数形结合的方法

(x-5)-l(x>3)

即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的左值.

(x-1)2-1(%<3)

【详解】解：函数夕=)；2〉的图象如图：

根据图象知道当y=3时，对应成立的x值恰好有三个，

■•■k=3.

【点睛】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题

转换为根据函数图象找交点的问题.

即学即练

1.（2023•河南驻马店•统考一模）下列关于二次函数>=-3无2+3》+6的图象和性质的叙述

中，正确的是（）

A.点（-1,4）在函数图象上B.开口方向向上

C.对称轴是直线x=lD.当尤>1时，了随x的增大而减小

【答案】D

【分析】将x=-l代入解析式，得出（T，。）在函数图象上，即可判断A选项，根据

«=-3<0,可得抛物线开口向下，即可判断B选项，根据对称轴公式可得抛物线的对称轴

为x=1,即可判断C,D选项.

2

【详解】解：A.当x=-l时，y=-3-3+6=0,则点（-1,0）不在函数图象上，故该选项不

正确，不符合题意；

B.,.,a=-3<0,.•.抛物线开口方向向下，故该选项不正确，不符合题意；

,b31

C.•••了=-3尤2+3无+6的对称轴是直线无=-五=-K：河=5，故该选项不正确，不符合

题意；

D.•••抛物线对称轴为直线x=1,开口向下，则当x>l时，》随x的增大而减小，故该选

项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

2.（2023•全国•九年级专题练习）已知二次函数y=-2/+fcc+c（其中6<0,c为常数），

则该函数的图象可能为（）

【答案】D

【分析】根据。=-2<0,b<0,即可得出抛物线开口向下，对称轴再y轴的左侧，据此可

得出答案.

【详解】解：=-2<0,b<0,

bb

抛物线开口向下，对称轴苫=-五=一两罚<°，

选项A、B、C不符合题意，D符合题意

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是

解题的关键.

★知识点6:二次函数的图像与各系数的符号关系

字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

水0开口向下

b=0对称轴为卜轴

b36>0（a与6同号）对称轴在V轴左侧

石灰0（a与6异号）对称轴在JZ轴右侧

经过原点

cc>0与JZ轴正半轴相交

c<0与P轴负半轴相交

N-4石°二0与X轴有唯一交点（顶点）

"-4ac按-4ac>0与X轴有两个交点

5-4ac<0与X轴没有交点

典例分析

［例1］Q022秋•吉林松原•九年级校联考期中）二次函数、=-2/+bx+c的图象如图所示,

下列说法正确的是（）

A.b<0,c<0B.b>0,c>0C.6>0,c<0D.b<0,c>0

【答案】D

【分析】由抛物线对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断6,c的符号.

［详解】••・抛物线对称轴在7轴左侧，

•・•抛物线与y轴交点在X轴上方，

・•.当x=0时，y=c>Of

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意数形

结合思想的运用.

【例2】（2022秋•山西吕梁•九年级校考阶段练习）已知二次函数了="2+法+。（。20）的

图象如图所示，该函数对称轴为x=l,且经过点（-1,0）下列结论中不正确的是（）

A.abc>0B.函数最大值为a+6+cC.当-1W3时，y>QD.4a-2b+c<0.

【答案】A

【分析】根据二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，得到。<0,oO,再由二次函数对

称轴为直线x=l,得到6=-2a>0,由此即可判断①；二次函数开口向下，对称轴为直线

x=l,则当x=l时，函数有最大值，最大值为a+b+c,由此即可判断②；求出二次函数

与X轴的另一个交点坐标为（3,0）,根据函数图象即可判断③；根据当x=-2时，y<0,即

可判断④.

【详解】解：••・二次函数开口向下，与夕轴交于正半轴，

•••Q<0,C>0,

・・•二次函数对称轴为直线％=1,

._±1

一2a=，

b=-2a>0,

故A结论错误，符合题意；

•・•二次函数开口向下，对称轴为直线x=l,

・•.当x=l时，函数有最大值，最大值为Q+6+C,故B结论正确，不符合题意；

•••二次函数经过点（T,。），

・•・二次函数与x轴的另一个交点坐标为（3,0）,

.•.当TVxW3时，^>0,故C结论正确，不符合题意；

,・,当工二一2时，歹<0,

・••4Q-2b+c<0,故D结论正确，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次

函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键.

即学即练

1.（2020秋•广东广州•九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知二次函数

y=ax2+bx+c（a/0）的图象如图所示，有下列结论：

①”，b同号；②当x=l和x=3时，函数值相等；③4c=56；④-l<x<5时，y<0.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据抛物线开口向上，得到。>0,再由抛物线对称轴为直线x=2,可得当x=l和

x=3时，函数值相等，b=-4a<0,由此可判断①②；根据当x=-l时，y=0,可得

c=5b,即可判断③；求出当x=5时，y=0,即可判断④.

【详解】解：••・抛物线开口向上，

■■.a>Q,

••・抛物线对称轴为直线x=2,

当x=l和x=3时，函数值相等，故②正确；

2a

:'b=-4a<0,

■■-a,6异号，故①错误；

•.•当x=-l时，y=o,

■■-a-b+c-Q,

-4b-b+c=O,

:.c=5b,故③错误；

••,抛物线对称轴为直线x=2,当x=-l时，y=0,

二当x=5时，y=0,

."l<x<5时，y<0,故④正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称轴，二次函数与不等

式的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键.

2.（2023・贵州・统考中考真题）已知，二次数了="无2+云+。的图象如图所示，则点尸（。力）

所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断。和6的符号，从而得出点尸（。力）所在象

限.

【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

a>0,----->0,

2a

b<0,

・••尸（。,6）在第四象限,

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据

二次函数的图象判断出。和方的符号.

★知识点7:一次函数与二次函数图像的综合判断

典例分析

【例1】.2023秋•全国•九年级专题练习）下列图象中，当仍>0时，函数1一与了=办+6

【分析】分别根据四个选项中一次函数和二次函数的图象判断出。和6的正负，然后通过比

较求解即可.

【详解】解：A、对于直线〉=办+6,得。>0,6<0,与〃6>0矛盾，所以A选项错误；

B、由抛物线y=a/开口向上得到。>0,而由直线>=办+6经过第二、四象限得到a<0,

所以B选项错误；

C、由抛物线开口向下得到a<0,而由直线V=办+6经过第一、三象限得到a>0,

所以C选项错误；

D、由抛物线>=如2开口向下得到a<0,则直线y=办+6经过第二、四象限，由于浦>0,

则6<0,所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像和一次函数图像的性质，掌握函数关系式的系数与图

像的位置之间的关系是解题的关键.

【例2】（2023•安徽•九年级专题练习）已知二次函数0）和一次函数

y=6x+c（6w0）的图象如图所示，则函数了="2+法-。的图象可能是（）

【答案】D

【分析】根据题干中的函数图象，可知。＞0）＜0,。＞0,然后即可得到函数＞=加+云-。

的图象的开口方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题

【详解】解：由图象得，

二次函数）="2（小0）图象开口向上，

二二次项系数。＞0,

一次函数y=6x+c（6w0）的图象过第一、二、四象限，

6＜0,c＞0,

---＞0,—c＜0

2a

函数＞=办2+区-。的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断

。、6、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答.

即学即练

1.2023秋•浙江•九年级专题练习）同一坐标系中，二次函数y=（x-a）2与一次函数＞=0+◎

的图象可能是（）

【答案】D

【分析】可先根据一次函数的图象判断4,6的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符,

判断正误.

【详解】解：A、由一次函数>=〃+◎的图象可得：两个。的符号不一致，故错误；

B、由一次函数V=。+"的图象可得：a<0,此时二次函数y=（x-a）?的顶点（。,0）,a>0,

矛盾，故错误；

C、由一次函数了=•+◎的图象可得：a<0,由其与y轴的交点可知。>0,矛盾，故错误；

D、由一次函数>+"的图象可得：a>0,此时二次函数y=（x-a）2的顶点（。,0）,

a>0,故正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所

在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.

2.（2022秋•安徽铜陵•九年级统考期末）一次函数y=cx+6与二次函数'="2+反+。在

【答案】B

【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的仇。的符合，即可求解.

【详解】解：A.一次函数^=<^+6中c>0,6>0,二次函数ysf+bx+c中，

a>0,b<0,c>0,矛盾，不合题意；

B.一次函数了=cx+6中c>0,b<0,二次函数了=办2+法+。中，a>0,b<Q,c>0,符合题

忌；

C.一次函数了=。*+6中c>0,Z?>0,二次函数y=ax2+Z?x+c中，a<Q,b>0,c<0,矛盾，

不合题意；

D.一次函数卜=，苫+6中c>0,6>0,二次函数y=办2+乐+。中，a<0,b<Q,c>0,矛盾，

不合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解

题的关键.

★知识点8:反比例函数与二次函数图像的综合判断

典例分析

【例1】（2023•山东东营•统考二模）二次函数>=办2+*+。（。*0）的图象如图所示，

则一次函数>=依-6（。*0）与反比例函数_y=£（cr0）在同一平面直角坐标系中的图

x

【答案】A

【分析】由二次函数的图象可得：a>0,b>0,c<0,可得一次函数y=的图象经过

一，三，四象限，>=£的图象在二，四象限，从而可得答案.

x

【详解】解：由二次函数的图象可得：a>Q,b>Q,c<0,

・•・一次函数P=^-6的图象经过一，三，四象限，

>=£的图象在二，四象限，

x

・•.B,C,D不符合题意，A符合题意；

故选A

【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图

象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键.

【例2】（2023•辽宁朝阳•校考一模）二次函数广分+云+c的图象如图所示，则反比例函

数〉=竺与一次函数）=-◎+二在同一坐标系内的大致图象是（）

x2a

【答案】A

【分析】首先利用二次函数图象得出。，从c的取值范围，进而结合反比例函数以及一次函

数的性质得出答案.

【详解】解：由二次函数开口向上可得：a>0,

对称轴在y轴左侧，故a,6同号，贝!Jb>0,

与V轴的交点在原点下方，贝h<0，

*'•uc<0，—a<0,—>0,

2a

故反比例函数>=上的图象分布在第二、四象限，

x

一次函数丁=-"+二的图象经过第一、二、四象限.

2a

观察四个选项，只有选项A符合题意，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a,b,c的取

值范围是解题的关键.

即学即练

k

1.（2023•贵州铜仁•校考一模）函数》=—与左=0）在同一直角坐标系中的图象大

y

Ox

【答案】A

【分析】根据左<0,k>0,结合两个函数的图象及其性质分类讨论.

【详解】解：分两种情况讨论：

k

①当％<0时，反比例函数V=—,在二、四象限，而二次函数了=息2-无开口向下，与丁轴

交点在原点上方，故选项B、C、D都不符合题意，选项A符合题意；

k

②当先>0时，反比例函数y=—,在一、三象限，而二次函数》=近2-左开口向上，与y轴

x

交点在原点下方，故选项A、B、C、D都不符合题意，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）

先根据图象的特点判断左取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与夕轴的交点

是否符合要求.

2.（2022秋•新疆昌吉•九年级校考期末）二次函数了="2+加+。的图象如图，反比例函数

了=区与正比例函数了=加在同一坐标系内的大致图象是（）.

【答案】c

【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得。、6的值，根据。、6的值，可得相应

的函数图象.

【详解】

解：由y=办2+6x+c的图象开口向下，得a<0.

由图象，得对称轴在y轴右侧，则-乡>0.

由不等式的性质，得b>0.

a<0,则图象位于二、四象限，

b>0,则y=6x图象位于一、三象限，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是

解题关键.

★知识点9:根据图像判断式子的符号

常用公式及方法：

（1）二次函数三种表达式：

表达式顶点坐标对称轴

（772、

b44ac-bb

一般式y=ax2+Zzx+cx=---

、2。’4a,2a

顶点式y=a{x-hf+k（h,k）x=h

X]+%2Q（X]一%2）_Xi+X2

交点式J=6Z（X-X）（X-X）12，4Jx

122

（2）韦达定理：若二次函数y=+及+。图象与X轴有两个交点且交点坐标为（X],

bc

0）和（X,0）,贝[JX]+=---，X]•/=1°

2__aa

（3）赋值法：在二次函数y=+bx+c中，令％=则天=。+6+。；令％=一1,贝”

y=a-b+c；令x=2,则y=4〃+2b+c；令％=—2,则y=4a-26+c；利用图象上

对应点的位置来判断含有a、b>。的关系式的正确性。

英柯芬诉

[例1]（2023・全国•九年级专题练习）某二次函数丁="2+区+°（。/0）的部分图象如图所

示，下列结论中一定成立的有（）

（T）abc>0；（2）a-b+c<0；@a=;（4）8a+c>0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与了轴的交点判断丁与0的关系，

然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①函数的对称轴在V轴右侧，则。6<0,抛物线与了轴交于负半轴，则c<0,

则a6c>0,故①正确;

②函数的对称轴为x=l,函数和x轴的一个交点是（3,0）,则另外一个交点为（-1,0）,当

x=-l时，y=a-b+c=Q,故②错误；

③函数的对称轴为》=-3=1,即。=-2，故③错误；

2a2

④由②③得，b=-2a,a-b+c=0,故3a+c=0,而抛物线开口向上，则a>0,即

5a>0,故8a+c>0,故④正确；

故选：B.

【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与6的关系,

以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键.

【例2】（2020秋・广东东莞•九年级校联考期中）二次函数>=如2+云+以。*0）图象如图,

下列结论(T)abc>0；②2a+6=0；③4a+26+c>0；④a-6+c>0.其中正确的是()

A.②③④B.①②④C.②③D.①②③④

【答案】C

【分析】由二次函数图象可知，"0,b>o,c>0即可判断①；由二次函数的对称轴为

直线》=-3=1即可判断②；将x=2代入>=姓2+加+。（。*0）即可判断③；将x=-l代入

2a

y=ax2+bx+c[aw0）即可判断④.

【详解】解：①•・•开口向下，

•••a<0,

•・,对称轴为x=一一—=1>0

2a

/.Z?>0,

・••二次函数图象与y轴交于正半轴

・•・c〉0

・•.abc<0,

故①错误；

・•・对称轴为X=-g=l

2a

■-b--2a,即2。+6=0,故②正确；

由图象可得，

当x=2时，y=4a+2b+c>0,故③正确；

由图象可得，

当x=_]时，y=a-b+c<0,故④错误.

综上所述，正确的有②③.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关

键.

即学即练

1（2023・安徽芜湖•芜湖市第二十九中学校考二模）如图所示，点4,B,C是抛物线

y=ax2+bx+c（a^0）（x为任意实数）上三点，则下列结论：

①-3=2；②函数y=a/+6x+c最大值大于4；③a+b+c>2；其中正确的有（）

2a

九1

5-

4----------B

3

2

1

JI-.-c--

-102345x

-1

A.②③B.②③C.①③D.①②

【答案】B

【分析】由图可得：抛物线的开口方向向下，当x=l,y>2,即°+b+c>2,可判断结

论③正确；当x=1与x=3时,函数值不相等，可得抛物线的对称轴不是直线x=2,即-3N2,

函