中考数学复习：最值问题综合训练题（解析版）

中考数学专题复习最值问题综合训练题

一、选择题

1.如图，点4方的坐标分别为42,0)*(0,2),点C为坐标平面内一点，3c=1,点〃为线段/C

的中点，连接。加，则0M的最大值为()

A.72+1B.V2+-1C.2>/2+1D.2亚-g

【答案】B

【分析】

如图所示，取AB的中点N,连接ON,MN,根据三角形的三边关系可知OMVON+MN,则当ON与

MN共线时，OM=ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答.

【解析】

解：如图所示，取AB的中点N,连接ON,MN,三角形的三边关系可知OMVON+MN,则当ON与

MN共线时，0M=ON+MN最大，

•.•4(2,0),3(0,2),

则aABO为等腰直角三角形，

AB=yloA2+OB2=2V2,N为AB的中点，

.*.0N=-^=V2,

2

又•:M为AC的中点，

...MN为△ABC的中位线，BC=L

则MN=pc=；,

.\0M=0N+MN=V2+1,

•,•0M的最大值为行+；

故答案选：B.

本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共

线时，0M=ON+MN最大.

2.如图，在欧中，AB=2,ZABC=Q0°,ZACB=45°,〃是呢的中点，直线/经过点

D,AEV1,BFL1,垂足分别为其F,则力加"的最大值为（）

C.2V3D.372

【答案】A

【分析】

把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段,然后再根据垂线段最短来进行计算即可.

【解析】

解：如图，过点C作CKL1于点K,过点A作AHLBC于点H,

在RtAAHB中，

VZABC=60°,AB=2,

/.BH=1,AH=V3,

在Rt^AHC中，ZACB=45°,

AC=4AH2+CH2=7(V3)2+(V3)2=V6,

•点D为BC中点，

；.BD=CD,

在4BFD与△0©中，

ZBFD=ZCKD=90°

<NBDF=ZCDK

BD=CD

：.ABFD^ACKD(AAS),

.*.BF=CK,

延长AE,过点C作CNLAE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RSACN中，AN<AC,

当直线1±AC时，最大值为新，

综上所述，AE+BF的最大值为八.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题

的关键.

a

3.如图，点/(。，3),8S,1)都在双曲线y上，点C,D分别是x轴、y轴上的动点(C,D不

同时与原点重合)，则四边形ABCD的周长的最小值为()

C.2V10+2V2D.8也

【分析】

先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作

A点关于y轴的对称点P,B点关于x轴的对称点Q,根据对称的性质得到P点坐标为(-1,

3),Q点坐标为(3,-1),PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时

四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得.

【解析】

分别把点点。，3),3(41)代入y得

。=1,6=3,则点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(3,1).

如图，分别作点A关于y轴的对称点P,点B关于x轴的对称点Q,则点P的坐标为(-1,3),

点Q的坐标为GT)；连接PQ分别交x轴、y轴于点C、点D,此时四边形ABCD的周长最小,

四边形ABCD周长为：O/+DC+C8+A8=OP+Z)C+C0+A8=PQ+/2

=7(-1-3)2+(3+1)2+7(1-3)2+(3-1)2

=4亚+2亚=6五.

故选B.

【点睛】

考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最

短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键.

4.如图，正方形2■力内接于线段腑在对角线加上运动，若。。的面积为2n,MN=\,

则△力掰V周长的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】__

解：。。的面积为2n,则圆的半径为如，则-2血=月6；

由正方形的性质，知点。是点力关于物的对称点，

过点。作。'//BD,且使。'=1,

连接A4'交.BD千点、N,取MU1,连接4ACM,则点火以为所求点,

理由：\'A'C//MN,且HC=MN,则四边形腕冲"为平行四边形，

贝A'N=CM=AM,

故△力腑的周长必上47+1为最小，

则/"右仃=3,

则△力掰V的周长的最小值为3+1=4,

故选：B.

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡

是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称

点.

5.如图，圆与坐标轴分别交于原点。，点［(6,0)和8(0,2),点月是圆上一个动点，点。

(0,-3),则所长度的最小值为()

A.472-710B.872-710C.2旄-技D-5--./10

【答案】D

【解析】

解：连接力£,取4?的中点7,连接67,PT.

,：A(6,0),B(0,2),

(24=6,OB=2,

AB=VOB2-K)A2=2

TB=AT=PT=yp^,

.•.7(3,1),

,"(0,-3),

*'*CT=-^32+^2=5,

：.PC^CT-PT=5-V10»

的最小值为5-710.

故选：D.

二、填空题

6.如图，一个牧童在小河的南4km的力处牧马，而他正位于他的小屋方的西8km北7km处,

他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是

km.

小河

b..............5小屋

【答案】17

【分析】

如图（见解析），将小河看成直线腑由题意先作力关于脉的对称点，连接46,构建直角三

角形，则力、8就是最短路线在以如中，/ADB=90°,除8km,A'&A沙A'A,利用勾股

定理即可求出AB.

【解析】

如图，做出点A关于小河腑的对称点A',连接月'£交MN千点、P,则就是牧童要完成这件

事情所走的最短路程长度.

在Rt/\ADB中，由勾股定理求得/'8=J/'D2+082=J（7+4+4）2+82=17（km）.

则他要完成这件事情所走的最短路程是17km.

【点睛】

本题考查了轴对称一最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键.

7.已知点MU）,3（3,5）,在x轴上的点C,使得/C+BC最小，则点C的横坐标为.

【答案】I4

【分析】

作点A关于x轴的对称点A,连接AB,与x轴的交点即为点C,连接AC,则力C+6C的最小

值等于4方的长，利用待定系数法求得直线4方的解析式，即可得到点。的坐标.

【解析】

解：如图所示，作点力关于x轴的对称点0,连接08与x轴的交点即为点C,

连接力C,则4＞式1的最小值等于46的长，

,：A(1,1),

：.A(1,-1),

设直线A'£的解析式为尸kx+b(CO),

-\=k+b

把4(1,-1),B(3,5)代入得

5=3k+b'

解得

y=3广4,

4

当y=O时，,

4

点。的横坐标为

4

故答案为：~■

【点睛】

本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合

轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

8.如图，已知矩形/比248=4,况1=6,点〃为矩形内一点，点£为a1边上任意一点，则

MA+MD+ME的最小值为.

【答案】4+3省

【解析】

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段.

分别以力〃、4/为边构造等边等边△如管，连接尸G,

易证△月肱匡△力仍：.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

过尸作FHLBC交欧于〃点，线段9的长即为所求的最小值.

9.如图，/月如=45°,角内有一点己P0=10,在角两边上有两点0、、（均不同于点。）,

则的周长最小值是；当周长最小时，的度数=_.

【答案】10V290°

【解析】

思路引领根据轴对称图形的性质，作出尸关于以、如的对称点以N,连接力£,根据两点之

间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出仞V的值即可.

根据对称的性质求得AOMN^Z.ONM=ZOP》ZOPR,即可求得ZQPR的度数.

答案解析：分别作尸关于以、如的对称点以N.

连接就交力、如交于aR,则△&/?符合条件.

连接OM、ON,

则OM=ON=OP=\Q,

/MON=/乂0热/N0P=2/A0B=2X45°=90°,

故△就W为等腰直角三角形.

/.M^7IO2+IO2^IOV2.

根据对称的性质得到/幽LN〃沟，/ONM=/OPR,

：.ZOMNyZ.ONM=ZOPb/OPR,

,：△加亚为等腰直角三角形，

：.4OMNv/ONM=9G,

：./OP//OPR=9Q°,

即N07?=9O°.

故答案为10夜，90°.

A\A

10.如图，0M的半径为4,圆心〃的坐标为(5,12),点尸是0M上的任意一点，PALPB,且

P4、尸B与X轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点。对称，则AB的最小值为_.

A0\Bx

【答案】18

【分析】

由RtAAPB中4B=2OP知要使取得最小值，则尸。需取得最小值，连接OM,交0”于点P,当

点尸位于P位置时，OP取得最小值，据此求解可得.

【解析】

解：连接OP,

PAVPB,

AAPB=90°,

\'AO=BO,

AB=2PO,

若要使45取得最小值，则尸。需取得最小值，

连接OM,交。〃于点P,当点P位于P位置时，OP取得最小值，

过点M作轴于点。，

则00=5,MQ=n,

:.OM=13,

又MP'=4,

OP'=9,

AB=2OP'=18,

故答案是：18.

【点睛】

本嬴主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

得出26取得最小值时点尸的位置.

11.如图，在口△45。中，ZACB=9Q°,N£=30°,AB=4,。是况1上一动点，连接2〃过

点。作血助于E,过点£作”在交理于点F,则6F的最大值是

【答案】,

【分析】

如图，取熊的中点。，连接阳OF,延长也交相于T.证明%'=3241,推出点£的在以

。为圆心，1为半径的圆上运动，推出当“与。。相切时，6F的值最大.

【解析】

解：如图，取力。的中点。，连接阳OF,延长播交相于T.

,：ZACB=9Q°,力6=4,/夕=30°,

：.ZCAB=QQ°,AC=^AB=2,

,：CELAD,

./月比―90°,

'AO=OC=\,

OE=yAC=1,

.•.点£在以。为圆心，1为半径的圆上运动，

.•.当a与。。相切时，）的值最大，

•.,直线5直线"都是。。的切线，

：.FC=FE,

：./FCE=AFEC,

"：ZCA^ZACE=9Q°,/力®N£6F=90°,

：./CAE=/FCE,

'：4CER/AET=9N,N4//刃T=90°,

：.AFEC=AEAT,

：.ZCAE=ZEAT=30°,

VCF=FE,OC=OE,

：.OFVEC,

■:AD上CE,

'：OF//AD,

：.ZCOF^ZCAD=30°,

...CF=tan30°=—,

3

•••〃的最大值为，.

故答案为：理.

【点睛】

本以主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等

知识，解决本题的关键是发现点£在以。为圆心，1为半径的圆上运动，推出当7T与。。相切

时，成的值最大.

12.如图，ZA0B=30°，点M、N分别在边0A、0B上，且0M=l,0N=3,点P、Q分别在边0B、

0A上，则MP+PQ+QN的最小值是.

【答案】V10

【解析】

试题分析：作M关于0B的对称点M',N关于0A的对称点N',连接两对称点M'N',交OB、0A

于P、Q.此时MP+PQ+QN有最小值，根据线段垂直平分线性质和两点之间线段最短，MP+PQ+

QN=M'P+PQ+QN'=M'N',M'N'的长度就是所求的MP+PQ+QN的最小值.分别连接

0M',0N',NN'0A=NA0B=30°,NM'0B=NA0B=30°,所以NM'ON'=90º,所以三角形

M'ON'是直角三角形,0M'=0M=l,0N'=0N=4,由勾股定理得M'N'为如.所以MP+PQ+QN的最

小值是

考点：1.线段垂直平分线性质；2.勾股定理；3.求最小值问题.

13.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5,P是矩形内部一动点，且满足NPAB=NPBC,则线段

CP的最小值是.

【答案】a-4.

【分析】

连接0C与圆0交于点P,先证明点P在以AB为直径的圆0上，再利用勾股定理求出0C即可.

【解析】

VZABC=90°,

AZABP+ZPBC=90°,

VZPAB=ZPBC,

AZBAP+ZABP=90°,

AZAPB=90°,

,-.OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），

...点P在以AB为直径的。0上，连接0C交。0于点P,此时PC最小，

,在矩形ABCD中,AB=8,BC=5,

在RIYXBCO中，VZOBC-9O0,BC=5,0B=4,

oc=^BO2+BC2=V41，

.\PC=OC-0P=V41-4.

••.PC最小值为"1-4.

故答案为d-4.

【点睛】

本题考查了点与圆的的位置关系、圆周角定理及最短路径等知识，会求圆外一点到圆的最大距

离和最小距离是解题的关键.

14.如图平行四边形ABCD中AB=AD=6,ZDAB=60°,F为AC上一点，E为AB中点，则EF+BF

的最小值为

【答案】373.

【解析】

试题分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D,连接ED,EF+BF

最小值=ED,然后解直角三角形即可求解：

平行四边形ABCD中AB=AD=6,...平行四边形ABCD是菱形.

...AC与BD互相垂直平分.，点B、D关于AC对称.

如图，连接BD,ED,则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段.

为AB的中点，ZDAB=60°,ADE±AB,

ED=4AD2-AE2=A/62-32=373.

/.EF+BF的最小值为3g.

考点：1.轴对称-最短路线问题；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定和性质；4.勾股定理.

三、解答题

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线-x?+6x+c经过点月（4,0）、B（0,4）、C.其对

称轴1交x轴于点D,交直线46于点F,交抛物线于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点夕为直线/上的动点，求周长的最小值；

（3）点儿为直线力£上的一点（点"不与点尸重合），在抛物线上是否存在一点以使以点£、

F、N、〃为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点〃的坐标，不存在，说明理由.

【答案】（1）y=-f+3£+4；（2）V17+4V2；（3）存在，点〃的坐标为（七包，一2±友1）,

24

（…一上拽!）或（［=）.

2424

【分析】

(1)把点/(4,0)、B(0,4)代入抛物线尸-三+陵+c中，求得6和c即可；

(2)作点6关于直线)的对称轴“，连接4C交/于一点尸，点刀即为使周长最小的点,

由对称可知，PB'=PB,即△45T周长的最小值为：BC+Cff.

(3)设MQm,一讲+3勿+4),①当成为边时，贝|/〃四则少(加，一〃+4),所以加仁册=

j即I-0+3勿+4-(-h+4)|=y,求出加的值，代入即可；②当绪为对角线时，成的中

335

点为(7，k)，由中点坐标公式可求得点儿的坐标，再由点儿是直线拉?上一点，可知-3+%+

ZO

1Q

4=档3/+1，解得力的值即可.

【解析】

解：(1)把点力(4,0)、B(0,4)代入抛物线尸-f+bx+c中,

-16+4/7+c=0Egb=3

得,I,解得c=4

抛物线的解析式为：y=-f+3户4,

(2)由抛物线解析式可知，hx=~,C(-l,0),

如图，作点8关于直线)的对称轴4,连接交/于一点尸，点尸即为使△4%周长最小的

设直线8C的解析式为广加x+〃，代入£(3,4),(7(-1,0)

4=3m+n

得

0=-m+n

m=1

解得

n=1

・二直线少Gy=x+L

335

当x=5'7=2+1=2

:.p(I,I),

,：B(0,4),<7(-1,0),B'(3,4),

••BC^J42+F=VP7,CB'=J(-1-3)~+(-4)=4V2,

△小周长的最小值为：BC+CB'=07+4上.

（3）存在，以点及F、N、〃为顶点的四边形为平行四边形的点〃的坐标为（山豆,

2

一^^）,（且一或（5在理

42424

325

•抛物线的解析式为：y=-f+3x+4=-（x-彳）2+—

325

・•.£（］,J

设直线力方的解析式为尸px+q

0=4p+q

代入4(4,0)、B(0,4)得4=q

P=-l

解得

q=4

直线力£的解析式为：y=-x+4,

、1,335

当x=5，y=--+4=-

设M（m,-庐3研4）,

①当绪为边时，则"〃就

N（m,-加4）,

:,NM=EF=,,即|-万+3加4-（-加4）I=,，

解得片:（舍）或1或七包或H,

2222

.•・〃（；，弓）或（。，一士四），（上回，一ZzE

242424

335

②当露为对角线时，露的中点为（J,—）,

2o

19

・•.点儿的坐标为（3-勿，nf-3/77+y）,

1935

二・-3+研4=冰一3%+彳，解得力二万（舍），m=-,

综上，满足以点区F、N、〃为顶点的四边形为平行四边形的点〃的坐标为（处包，

2

7+2用、4-7317-2用、T/521、

-----）,（z,-------）或（彳，「）.

42424

【点睛】

本题主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形存在性问题，解题过程中注意需要分类讨

论.

16.如图，在矩形月氏/中，A8=6,四=8,点£,夕分别是边切，欧上的动点，且N*F=90°

(1)证明：XABFsXFCE；

(2)当"取何值时，/AED最大.

【答案】(1)见解析；(2)y

【分析】

(1)根据题意可得N£=NC=90°,/AFB=4FEC,即可得出结论；

(2)取力£的中点0,连接切、0F,根据N4方=N4宏=90°,得出4、D、E、产四点共圆,

当。。与欧相切时，N加。的值最大，根据相似三角形的性质解答即可.

【解析】

解：(1)证明：•.•四边形相切是矩形，

：.ZB=ZC^=90o,

,：ZAFE^Q°,

：.ZAFB+ZEFC=90°,,:4EFC+/FEC=9Q°,

/.AAFB=/FEC,

:.XABFsXFCE.

(2)取四的中点0,连接必、OF.

’:/AFE=4ADE=9Q°,

0A=0D=0E=OF,

.•"、D、E、尸四点共圆，

ZAED=ZAFD,

.•.当。。与欧相切时，N加力的值最大,

:.BF=CF=4,

*：XABFSXFCE,

.AB_BF

''~FC~^C，

.6=J_

…1―EC

Q1A

DE=DC-CE=6--=—,

33

.•.当=g时，即的值最大.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出。。与欧相切时，N4”的值

最大是解题的关键.

17.如图，在四边形/BCD中，NB=ND=90。,E,尸分别是2C,C。上的点，连接/E,AF,EF.

(1)如图①，AB=AD,/B/D=120°,ZEAF=60°.求证：EF=BE+DF-

(2)如图②，NBAD=120。,当ANEF周长最小时，求4EF+4FE的度数；

(3)如图③，若四边形A3。为正方形，点£、尸分别在边8C、CD上,且NE/F=45。，若

BE=3,DF=2,请求出线段E尸的长度.

【答案】(1)见解析；(2)ZAEF+ZAFE=120°(3)EF=5.

【分析】

(1)延长FD到点G,使。G=8E,连接AG,首先证明^ABE^ADG,则有/£=AG,ZBAE=ZDAG,

然后利用角度之间的关系得出/£/尸=/E4G=60。，进而可证明△£■//0△G/R,贝I]

EF=FG=DG+DF,则结论可证；

(2)分别作点A关于8c和的对称点4,A",连接44,交2。于点£,交CD于点尸,根据

轴对称的性质有/'E=/E,4"尸=4尸，当点发、E、F、4在同一条直线上时，©/〃即为△/跖

周长的最小值，然后利用N/E尸+乙4五£=/£'4/+/区44+/尸/。+44"求解即可；

(3)旋转△/BE至的位置，首先证明△尸/尸丝△£1//,则有昉=FP,最后利用

£尸=尸尸=尸。+。尸=2石+£)厂求解即可.

【解析】

(1)证明：如解图①，延长阳到点G,使。G=8£,连接/G,

在LABE和&ADG中,

AB=AD,

NABE=/ADG,

BE=DG,

:.^ABE^ADG(SAS),

：.AE=AG9ZBAE=ZDAG,

vZBAD=120°,ZEAF=60°,

/BAE+/FAD=ZDAG+/FAD=60°.

/./LEAF=/FAG=60°,

在AEAF和AGAF中，

AE=AG,

<ZEAF=/GAF,

AF=AF,

:AEAF知GAF(SAS).

：.EF=FG=DG+DF,:.EF=BE+DF；

(2)解如解图，分别作点A关于8c和CO的对称点4,A",连接交5c于点E,交CD

于点厂.

由对称的性质可得A'E=AE,A"F=AF,

止匕时AAEF的周长为AE+EF+AF=A'E+EF+A'F=A'A".

二当点4、E、F、/在同一条直线上时，即为A/E尸周长的最小值.

­：ZDAB=12G°,

AAAE+N/〃=180°—120。=60°.

•・.NEAA=NEAA,/FAD=ZA",ZEAfA+NEAA=ZAEF,NFAD+NA〃=ZAFE,

ZAEF+ZAFE=NEAA+/EAA+/FAD+/A"=2(/44%+N/〃)=2x60。=120。；

(3)解：如解图，旋转△/HE至△功P的位置，

/PAE=/DAE+/PAD=/DAE+/EAB=90°,

AP=AE,ZPAF=ZPAE-ZEAF=90°-45°=45°=ZEAF.

在APAF和LEAF中,

AP=AE,

<ZPAF=ZEAF,

AF=AF,

:./\PAF^/\EAF{SAS'）.

EF=FP.

：.EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题

的关键.

18.如图，四边形ABCD是正方形，4ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意

一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.

⑴求证：aAMB咨AENB；

⑵①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

⑶当AM+BM+CM的最小值为6+1时，求正方形的边长.

【答案】（1）见解析；（2）①当M点落在BD的中点时；②当M点位于BD与CE的交点处时,

AM+BM+CM的值最小，理由见解析；（3）41

【解析】

解：⑴,.•△ABE是等边三角形，

，BA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,

...ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.

即NBMA=NNBE.

又；MB=NB,

AAAMB^AENB（SAS）

⑵①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小

②如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小.

理由如下：连接MN.由⑴知，AAMB^AENB,

.\AM=EN.

VZMBN=60°,MB=NB,

...△BMN是等边三角形.

/.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短"，得EN+MN+CM=EC最短

...当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长

⑶过E点作EF±BC交CB的延长线于F,

，NEBF=90°-60°=30°.

设正方形的边长为x,则BF=gx,EF=f.

在RtZ\EFC中，

VEF2+FC2=EC2,

(1)2+(3x+x)2=(V3+1)2

解得，x=&(舍去负值).

•••正方形的边长为0.

19.如图，正方形ABCD中，AB=2近，0是BC边的中点，点E是正方形内一动点，0E=2,连接

DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF.

(1)求证：AE=CF；

(2)若A,E,0三点共线，连接0F,求线段OF的长.

(3)求线段0F长的最小值._

【答案】(1)证明见解析；(2)V26;(3)5a-2

【分析】

(1)根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明4ADE丝ZXCDF,即可得到AE=CF；

(2)先利用A4DE三ACD尸，求得CF长，\ABO^\CPF,求得CP=2尸产，然后设PF=x利

用勾股定理求得x的值，即可求得0F的长；

(3)本题考查了利用三角形全等转化的思想解决问题.

【解析】

(1)证明：如图1,由旋转得：/EDF=90。，ED=DF,

四边形ABCD是正方形，

NADC=90°,AD=CD,

/ADC=NEDF,

即/ADE+/EDC=/EDC+NCDF,

/ADE=/CDF,

在AADE和ACDF中，

AD=CD

•「<NADE=ZCDF,

DE二DF

AADE=ACDF,

z.AE=CF；

（2）解：如图2,过尸作OC的垂线，交BC的延长线于尸,

・・・0是BC的中点，且AB=BC=26，

・・・A,E,。三点共线，

OB=-yj'5,

由勾股定理得：AO=5,

vOE=2,

，AE=5—2=3,

由（1）知：AADE=ACDF,

/DAE=/DCF,CF=AE=3,

•・•/BAD=/DCP,

/./OAB=/PCF,

•//ABO=/P=90。，

AABO^ACPF,

.ABCP2>/5c

,•——/=~=2,

OBPF旧

CP=2PF,

设PF=x,则CP=2x,

由勾股定理得：32=X2+（2X）2,

x=£l或一Wi（舍），

55

.”=述，OPf+述:辿，

555

(3)解：如图3,由于0E=2,所以E点可以看作是以。为圆心，2为半径的半圆上运动,

延长8人到「点，使得AP=OC,连接PE,

AE=CF,/PAE=/OCF,

APAE三AOCF,

PE=OF,

当PE最小时，为。、E、P三点共线，

OP=7OB2+PB2=’(石『+(3可=572,

PE=OF=OP-OE=5V2-2,

.〔OF的最小值是5拒-2.

图1

【点睛】

本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识，解题

关键是注意构造辅助线进行解答.

20.如图，抛物线y=a尤2-23a（a为常数，«<0）与x轴分别交于48两点（点力在点8

的左侧），与P轴交于点C,且OB=OC.

备用国

⑴求a的值；

⑵点〃是该抛物线的顶点，点夕（加，〃）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接MBC、

CD、BP,当N/®4=N物时，求加的值；

⑶点4为坐标平面内一点，〃=2,点〃为线段砍的中点，连接4K当力〃最大时，求点”

的坐标.

【答案】（1）-1

⑵T

⑶((6g+134A+52

-1313-

【分析】

(1)先求得4名C点的坐标，进而根据。8=。。即可求得。的值；

(2)过点P作PE，x轴于点E,证明△BCD是直角三角形，进而ABCDSABEP,根据相似的性

质列出比例式进而代入点尸的坐标解方程即可；

(3)接2D,取2。的中点0,连接。河，根据题意，点K在以。为圆心，2为半径的圆上，则M

在以。为圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得的解析式为

J=|X+1,根据⑷/〃DK,设直线DK的解析式为v=；x+6,将点。代入求得6,进而设

K(m,|加+g),根据DK=2,进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可.

【解析】

2

(1),**y=ax—2ax—3a—a(x?—2x—3)=Q(X—3)(x+l)

令歹=0,解得再=一1,、2二3

令X=o,y=-3a

,••抛物线》="2—2办-3〃《为常数，。＜0)与x轴分别交于46两点(点/在点6的左侧),

与P轴交于点C,

二•抛物线与工轴的交点为4T0),3(3,0)。(0,-3a)

:.0B=3

•;OB=OC

/.0C=3

C(0,3)

/.—3a=3

解得"T

⑵如图，过点尸作轴于点E,

y——x~+2x+3=—（x—1）~+4

•■-B（3,0）,C（3,0）

.•.CZ）=jF+f打+32=3"瓦）=J（3-iy+42=2退

:.CD2+BC2=20,BD2=20

:.CD2+BC2=BD2

.•.△38是直角三角形，且/BCQ=90。

PE_LAB

ZPEB=ZPCD=90°

又丁ZPBA=ZCBD

:心BCDSREP

,CDBC

,PE~BE

P[m,n）在抛物线y=-/+2x+3上,

n=-m2+2/+3

PE=-n=m2-2m-3,BE=3-m

-.-----V-2----=-3-V-2-

m2—2m—33—m

整理得（3机+4）（加-3）=0

4

解得叫=-],啊=3（舍）

•••尸（见”）在第三象限，

:.m<0

4

m=—

3

（3）

如图，连接5。，取&D的中点。，连接跳,

:.QM=；DK=1

根据题意点K在以。为圆心，2为半径的圆上，

则〃在以。为圆心，1为半径的圆上运动，

当4。,“三点共线，且M在/。的延长线上时，最大，如图,

•••S(3,0),D(l,4)

二。(号，券)即。(2,2)

V4T0),。(2,2)

设直线的解析式为尸质+d，代入点N(T,0),Q(2,2),

f0=—k+d

“2=2上+d

解得；

b=-

[3

・•・直线/〃的解析式为＞=2；2

•・•DK//QM

设直线OK的解析式为＞=+6

:A=-+b

3

解得6=g

210

则OK的解析式为＞=+?

设点K(加■加+/)(机＞0),

•・,。(1,4),DK=2

解得町=而+

6g+13-613（舍去）

1313

6V13+13

二.m=------------

13

21026713+13104713+52

--=—x------1=-------

33313313

上,6布+134后+52、

K[------------,-------------）

1313

【点睛】

本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的

添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键.

21.在A/3C中，Z5=90°,〃为欧延长线上一点，点£为线段47,5的垂直平分线的交点,

连接用，EC,ED.

图I图2图3

（1）如图1,当ZB/C=50。时，则乙1瓦）=°；

（2）当N8/C=60。时，

①如图2,连接力〃判断即的形状，并证明；

②如图3,直线小与协交于点E满足NC/*=NC4E.9为直线小上一动点.当尸E-PD的

值最大时，用等式表示如心与力6之间的数量关系为,并证明.

【答案】（1）80；（2）是等边三角形；（3）PE-PD=2AB.

【分析】

（1）根据垂直平分线性质可知/E=EC=ED,再结合等腰三角形性质可得Z£4C=/EC4,

/EDC=NECD,利用平角定义和四边形内角和定理可得=由此求解即可；

（2）根据（1）的结论求出乙4独=244c3=60。即可证明“即是等边三角形；

（3）根据利用对称和三角形两边之差小于第三边，找到当依-尸。的值最大时的尸点位置，再

证明对称点邮与两点构成三角形为等边三角形，利用旋转全等模型即可证明"CD泌EDD,

从而可知PE-PO=PE-尸O'=EO'=/C,再根据30°直角三角形性质可知/C=2/3即可得出结

论.

【解析】

解：（1）,•♦点£为线段力乙5的垂直平分线的交点，

/.AE=EC=ED,

：.ZEAC=ZECA,/EDC=/ECD,

：.NEAC+ZEDC=ZACE+/ECD=ZACD,

NEAC+ZEDC+ZACD+ZAED=360°,

/.2ZACD+ZAED=360°,

ZACD+ZACB=1SO°,

：.ZAED=2ZACB,

•・•在"台。中，ZB=90。，ABAC=50°9

/.ZACB=40°,

ZAED=2ZACB=80°9

故答案为：80°.

（2）①结论：是等边三角形.

证明：\•在△ZBC中，ZS=90°,44c=60。,

ZACB=30°f

由（1）得：ZAED=2ZACB=60°,AE=EC=ED,

・・・功是等边三角形.

②结论：PE-PD=2AB.

证明：如解图1,取〃点关于直线4尸的对称点。外连接如、PD'-

解图1

PD'=PD,

V\PE-PD'\<ED',等号仅只E、邮三点在一条直线上成立,

如解图2,P、E、加三点在一条直线上，

解图2

由⑴得：ZCAE+ZEDC=ZACD,

又ZCFD=NCAE,

：.NCFD+NCDE=NACD,

又,/AACD+AACB=\80°,NCFD+NCDE+ZPCD=180°,

，ZPCD=ZACB=30°,

,••点〃、点)是关于直线力少的对称点，

CD=CD',/D'CD=2NPCD=60°,

△。'⑺是等边三角形，

/.CD=DD',ZCDD'=60°,

•••△/ED是等边三角形，

/.AD=ED,NADE=60°,

，NADC+ND'DA=ZD'DA+NEDD,

/.NADC=ZEDD',

在△/(%>和AE。。中，

AD=ED

ZADC=ZEDD',

CD=D'D

:."CD三AED'D(S4S)

/.AC=ED',

'：PD'=PD,

/.PE-PD^PE-PD'=ED'=AC,

在A/3C中，ZB=90。，ZACB=30°,

，AC=2AB,

：.PE-PD=2AB

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质和判定，全等三角形性质和

判定等知识点，解题关键是利用对称将尸E-PD转化为三角形三边关系找到尸的位置，并证明

对称点加与力。两点构成三角形为等边三角形.

22.如图，抛物线了=办2+瓜-6交x轴于4-2,0),5(6,0)两点，交y轴于点C(0,-6),点0为线段

8c上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求。4+0。的最小值；

(3)过点。作交抛物线的第四象限部分于点己连接尸4%，记△尸/。与△依。的面

积分别为MS,，设5=&+邑，当S最大时，求点尸的坐标，并求S的最大值.

【答案】⑴N竹卢2尸6；(2)有最小值10；(3)P(3,-y)时，S有最大值自

【分析】

(1)运用待定系数法设尸a(x+2)(尸6),将。(0,-6)代入，即可求得答案；

(2)如图1,作点。关于直线比1的对称点，连接2。，QO',CO',BO',由久。，关

于直线欧对称，得出四边形功是正方形，根据，+0。^AO',QO'=0。，得出答案；

(3)运用待定系数法求出直线式；AC.&的解析式，设尸(加，g/2叱6),联立方程组，得

=

yx—622

■‘=_3x升-4m年+用m_6,求得。(以士券乜，皿+”。),再运用三角形面积公式求得答案•

【解析】

解：(1),•,抛物线交X轴于力(-2,0),B(6,0)两点，

...设尸a(x+2)(k6),将。(0,-6)代入，

得：—12a=-6,

解得：a—y,

y=y(x+2)(尸6)/2尸6,

・••抛物线的解析式为y=1卢2尸6；

(2)如图1,作点。关于直线理的对称点，连接力，Q0',CO',BO',

'：0B=0C=6,ZB0C=9Q°,

:"BCO=45°,

,：0、O'关于直线式'对称，

...加垂直平分，

00'垂直平分比；

四边形£“少是正方形，

AO'(6,-6),

在Rt/\ABO'中，AO'=YIAB^+O'B2=Vs2+62=io,

VQAA-QO'?AO',QO'=QO,

：.QO+QA=QA+QO'^AO'=5,即点0位于直线月O'与直线理交点时,

仇叶力有最小值10；

(3)设直线比'的解析式为尸履+d,

'：B(6,0),C(0,-6),

6左+d=05/口k=\

人-6，解得:

d=-6

...直线式1的解析式为y=^6,

设直线4。的解析式为y=mx+n,

,：A(-2,0),C(0,-6),

—2加+〃=0,_m=—3

6，解得:

n-----on=-6

直线4。的解析式为尸-3尸6,

'：PQ//AC,

•••直线网的解析式可设为y=~3x+b,

由(1)可设尸(出g科2片6),代入直线内的解析式,

得：g档2疗6=-3/+8,

解得：b=Wnf~\~m-6,

直线尸0的解析式为y=-3x+g加+zzr6,

y=x-6

联立方程组，得：12,

y=-3x+一加+加-6

2

m2+2m-12

x=-----------------

解得：8

m2+2m-60

y=------------------

8

m2+2m-12m2+2m-60

.•.0(),

88

由题意：SAPACPVSAPBQ=SAPAB-SAQAB,

':P,0都在第四象限，

:.p,0的纵坐标均为负数,

.•.5=y\AB\<-nf+2m+^-y|初・(-贮号二丝)

32cr3,215

=——2m+9m—o=——2(m—3)H---2-,，

由题意，得0</<6,

.•.勿=3时，S最大，

即9(3,-y)时，S有最大值

【点睛】

本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，将军饮

马的最值问题，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形

结合思想是解题关键.

23.如图，已知正方形力以切的边长为4、点夕是2夕边上的一个动点，连接你过点夕作用

的垂线交力。于点£,以此'为边作正方形以7衣顶点G在线段所上，对角线£久"相交于点

0.

(1)若AP=1,贝I]AE=；

(2)①点。与△加石的位置关系是,并说明理由；

②当点夕从点2运动到点8时，点〃也随之运动，求点。经过的路径长；

(3)在点夕从点力到点方的运动过程中，线段力£的大小也在改变，当AP=,AE达

到最大值，最大值是.

3

【答案】(1)(2)①点。在△力比的外接圆上，见解析；②2拒；(3)2,1

【分析】

【解析】

解：(1)；四边形力比上四边形阳密是正方形，

:./A=NB=/EPGS,PFLEG,AB=BC=4,/0EP^45°,

：./AER/APE=90°,/BPC+NAPE=gQ°,

/./AEP=ZBPC,

:.XAPEsXBCP,

.AEAP„AE1

..——=——，即n——=-,

BPBC4-14

3

解得