中考数学复习：最值模型之将军饮马 专项讲练

专题2.2最值模型之将军饮马专项讲练

三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉

有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中

都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是①两点之间，线段最短②垂

线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之

差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

注意：本专题部分题目涉及勾股定理，希望大家学习完第3章后再完成该专题训练。

【解题技巧】

图形

P1MN1

将军,

原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系

饮马

48为定点，/为定直线，42为定点，/为定直线，

模型A,8为定点，/为定直线，为直线/

特征P为直线/上的一个动P为直线/上的一个动

上的一条动线段，求NA1+5N的最小值

点，求4P+AP的最小值点，求冏最大值

作其中一个定点关于定先平移或8N使N重合，然后作其中一个定点关于定

转化

直线/的对称点作其中一个定点关于定直线/的对称点直线1的对称点

题型1：求两条线段和最小值

例1.（2022•湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，RtZsOAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4,

0）,ZAOB=30°,点E的坐标为（1,0）,点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为

【答案】VB

（分析］作A关于0B的对称点D,连接ED交0B于P,连接AP,过D作DN_LOA于N,则此时PA+PC

的值最小，求出AM和AD,再求出DN、EN,根据勾股定理求出ED,即可得出答案.

【解析】作A关于OB的对称点D,连接ED交OB于P,连接AP,过D作DNLOA于N,

则此时PA+PC的值最小，：DP=PA,/.PA+PE=PD+PE=ED,

:点A的坐标为(4,0),ZAOB=30°,.1.OA=4,AM=工OA=2,；.AD=2x2=4,

2

VZAMB=90°,ZB=60°,AZBAM=30°,

VZDNO=ZOAB=90°,；.DN〃AB,ZNDA=ZBAM=30°,

；.AN二;AD=2,由勾股定理得：DN=J£）/2_NN2="2—22=2班,

VE(1,0),.\EN=4-1-2=1,在RtZiDNE中，由勾股定理得：口田飞DN?+EN?

~\/13，

即PA+PC的最小值是旧.故答案为：V13.

【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定

理的应用，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PE的最小值的线段是解题的关

键.

变式1.（2022•甘肃西峰•八年级期末）如图，在等边A48C中，£为NC边的中点，垂直平分8C,P是

40上的动点.若40=6,则EP+CP的最小值为.

【答案】6

【分析】要求KP+C尸的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP,CP的值，从而找出其最小值求解.

【详解】解：作点E关于AD的对称点F,连接CF,

•；△N3C是等边三角形，40是3c边上的中垂线，

点E关于AD的对应点为点F,：.CF就是EP+CP的最小值.

•.•△48C是等边三角形，E是NC边的中点，...厂是的中点，

:.CF=AD=6,即EP+CP的最小值为6,故答案为6.

【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关

键.

变式2.（2022•广东新丰•八年级期末）如图所示，在A/5C中，AB=AC,直线即是的垂直平分线，D

是8c的中点，M是M上一个动点，A/BC的面积为12,BC=4,贝限ADM周长的最小值是.

【答案】8

【分析】连接40,AM,由即是线段48的垂直平分线，得到则△2DW的周长

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想的周长最小，即要使/V+DM的值最小，故当/、M、。三点共

线时，最小，即为ND,由此再根据三线合一定理求解即可.

【详解】解：如图所示，连接AD,：即是线段的垂直平分线，

ABDM的周长要想的周长最小,即要使AM+DM的值最小，

...当/、M、。三点共线时，4W+DM最小，即为N。，

'：AB=AC,。为8c的中点，：.AD±BC,BD=-BC=2,：.S.=-AD-BC=12,

2ABC2

：.AD=6,.,.△8。/的周长最小值=/。+8。=8,故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当“、

M、。三点共线时，NA/+DM最小，即为/D

变式3.（2021・湖北洪山•八年级期中）如图，将A48C沿折叠使得顶点。恰好落在边上的点/处,

。在2c上，点尸在线段上移动，若/C=6,CD=3,BD=1,则周长的最小值为—.

【答案】18

【分析】首先明确要使得周长最小，即使得PM+P8最小，再根据翻折的性质可知尸M=PC,从而可

得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可.

【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC,PM=PC,点为48上一个固定点，则8邮长度固定,

4PMB周&PM+PB+BM,：.要使得儿出周长最小，即使得PM+PB最小,

,:PM=PC,满足尸C+P3最小即可，显然，当尸、B、。三点共线时，满足尸C+P2最小，如图所示,

此时，P点与。点重合，PC+PB=BC,.•.△PMB周长最小值即为3C+8M,

此时，作于S点，O7U/C延长线于T点，8c延长线于0点,

由题意，为/①1C的角平分线，•.•S/CB=g/C・D7=；CDW0，

S4ABD-2AB-DS=2-BD-AQ,

v-AB-DS-BD-AQ

2二2AB_BDAU7

A—=7,解得：AB=14,

''V~AC~~CD

3ACD-AC^DT-CD^AQ63

22

\'AM=AC=6,：.BM=14-6=S,周长最小值为3C+2M=3+7+8=18,故答案为：18.

【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推

理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键.

变式4.（2021•江阴市敢山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线/同旁有两个定点4、B,在直线/上存在点尸，使得R4+P8的值最小.解法：如图1,作点4关

于直线/的对称点连接则H8与直线/的交点即为尸，且P/+P8的最小值为H5.

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图2,A48c中，ZC=90°,AC=BC=2,E是48的中点，尸是8C边上的一

动点，则尸幺+PE的最小值为；

（2）几何拓展：如图3,AA8C中，AC=2,乙4=30°,若在45、ZC上各取一点M、N使

O0+7W的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由.

【分析】（1）作点A关于BC的对称点A，，连接A，E交BC于P,此时PA+PE的值最小.连接BA1先根

据勾股定理求出BA，的长，再判断出NA，BA=90。，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C关于直线AB

的对称点C-作CNLAC于N交AB于M,连接AC,根据等边三角形的性质解答.

【详解】解：（1）如图2所示，作点A关于BC的对称点A，，连接A，E交BC于P,此时PA+PE的值最

小.连接BA、由勾股定理得，BA，=BA=JBC2+"2:6+22=2血,

•.,£是48的中点，；卫£=。8人=血，

VZC=90°,AC=BC=2,/.ZA,BC=ZABC=45°,/.ZA,BA=90°,

2//—\2

/.PA+PE的最小值=人化=+BE?=+=VTo.故答案为：VTo；

B

B

(2)如图3,作点C关于直线AB的对称点C，，作CNLAC于N交AB于M,连接AC,则CA=CA=2,

ZC,AB=ZCAB=30°,△CAC为等边三角形，；./ACN=30。，；.AN=Lc，A=l,

2

Z.CM+MN的最小值为C/N=722-l2=V3.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30。角的直角三角

形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为

一条线段.

例2.(2022・重庆初二月考)如图，已知直线。〃/2,6、L之间的距离为8,点P到直线/i的距离为6,点。

到直线h的距离为4,尸0=4回，在直线1\上有一动点4直线L上有一动点B,满足48^/2,且尸/+/2+B。

最小，此时P/+2Q=

O

【答案】16.

【详解】

作PE_Lh于E交b于F,在PF上截取PC=8,连接QC交卜于B,作BA_LL于A,此时PA+AB+BQ最

短.作QD_LPF于D.在RSPQD中，：/D=90。，PQ=4,质，PD=18,、,”6，

：AB=PC=8,AB/7PC,二四边形ABCP是平行四边形，；.PA=BC,CD=10,，PA+BQ=CB+BQ=QC=

唱酗=16.故答案为16.

变式5.(2022.山东青岛九年级一模)如图，已知/(3,1)与B(1,0),P0是直线y=x上的一条动线段

【解答】解：作点8关于直线y=x的对称点8(0,1),过点/作直线MN,使得平行于直线y=x,

并沿MN向下平移加单位后得H(2,0)连接交直线y=x于点0,如图

理由如下：：/4=尸。=&，44，〃90；.四边形/「。©是平行四边形：.AP=A'Q

'：AP+PQ+QB=B'Q+A'Q+PQMPQ=42；•当4。+9。值最小时，/P+PQ+Q8值最小

根据两点之间线段最短，即4,Q,3,三点共线时4。+2'0值最小

'：B'(0,1),A'(2,0)，直线4夕的解析式y=-*x+l

.,.x=-—x+l,即x=2点坐标(Z,2)故选：A.

2333

变式6.(2022・广东・深圳市福田区莲花中学八年级期中)如图，8是直线x=l上长度固定为1的一条动

线段.已知N(-1,0),B(0,4),则四边形/BCD周长的最小值为

【答案】3V2+V17+6

【解析】

【分析】在夕轴上取点E,使BE=CD=L则四边形8cDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB,作点/

关于直线x=l的对称点4,得到4、E、。三点共线时，最小值为4E的长，根据勾股定理求出

A'E,即可得解；

【详解】解：如图，在y轴上取点E,使AE=CD=1,则四边形2CDE为平行四边形，

,:B(0,4),/(-1,0),；.OB=4,OA=\,：.OE=3,/8=后不=而，

作点/关于直线x=l的对称点H,(3,0),AD=A'D,

：.AD+DE^A'D+DE,即4、E、。三点共线时，/O+DE■最小值为的长，

在Rt^AOE中，由勾股定理得/£=5万=3夜，

C四边形ABCD最小值=N3+CD+8C+/£>=N8+CD+4E=后+1+5=历+6.故答案为：

3V2+V17+6.

【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关

键.

题型2:求两条线段差最大值

例3.（2022・江苏・无锡市江南中学八年级期末）如图，点A,8在直线的同侧，A到的距离

NC=8,8到网的距离3。=5,已知CD=4,尸是直线回V上的一个动点，记尸/+尸8的最小值为

归/-尸却的最大值为b,则/一^的值为（）

A.160B.150C.140D.130

【答案】A

【分析】作点/关于直线MN的对称点连接43交直线于点尸，则点尸即为所求点，过点/'作直

线在根据勾股定理求出线段的长，即为P/+PB的最小值，延长N8交于点P,此时

P'A-P'B=AB,由三角形三边关系可知43>|取-尸却，故当点尸运动到P时司最大，过点8作

由勾股定理求出AB的长就是|"-必|的最大值，代入计算即可得.

【详解】解：如图所示，作点/关于直线的对称点H,连接43交直线于点P,则点尸即为所求

点，过点H作直线

-：AC=S,BD=5,CD=4,A'C=8,BE=8+5=13,A'E=CD=4,

在中，根据勾股定理得，A'B^BE+A'E=V132+42=V185.即尸么+尸2的最小值是。=闹;

如图所示，延长交血W于点P,

•:PA-PB=AB,”>眼-即，当点尸运动到P点时，|尸/-尸却最大，

过点2作HEL/C,则2E=CD=4,AE=AC-BD=S-5=3,

在尺》E8中，根据勾股定理得，AB=y)AE2+BE2=732+42=5-

:.\PA-PB\=5,BPZ>=5,.-.a2-/,2=(V185)2-52=160,故选A.

【点睛】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关

系.

变式7.(2022•河北承德•八年级期末)如图，点/,2在直线的同侧，点/到的距离ZC=8,点2

到MV的距离80=5,已知CZ)=4,P是直线MV上的一个动点，记P/+P8的最小值为a,|取-即的最

【答案】V185160

【分析】作点/关于直线MN的对称点⑷，连接⑷8交直线儿处于点尸，过点⑷作直线⑷£18。的延长线

于点E,再根据勾股定理求出42的长就是尸/+尸3的最小值；延长交于点P,此时P/-P3=

AB,由三角形三边关系可知/8>|尸/-尸8|,故当点尸运动到P点时|尸/-尸耳最大，作BELO1,由勾股定理

即可求出AB的长就是尸的最大值.进一步代入求得答案即可.

【详解】解：如图，

A

作点/关于直线MN的对称点⑷，连接⑷8交直线于点P,则点尸即为所求点.

过点⑷作直线⑷E18Z）的延长线于点E,则线段/8的长即为尸N+P8的最小值.

"AC=S,BD=5,C£）=4,.•.⑷C=8,8E=8+5=13,A'E=CD=4,

•S'8=J132+/=屈？,即尸/+尸2的最小值是。=Ji砺.如图，

延长交JW于点P,•••P》-P8=/8,•••当点尸运动至UP点时，|尸/一心|最大，

■.■BD=5,CD=4,AC=8,过点8作8KBC,则8石=。。=4,AE=AC-BD=8-5=3,

：.AB=V42+32=5.二|尸/-PJ|=5为最大,即6=5,-185-25=160.故答案为：160.

【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类

问题的关键.

题型3:求三条（周长）最小值（双动点问题）

【模型图示】

要求：点尸位定点，在直线/1，4上分别找点川，N,使^尸人加周长（即尸加+9+1加）最小

操作：分别作点尸关于直线小4的对称点P'和尸"，连结P'P”与直线小4的交点为M，N,

（C△尸ACV）最小值=P'P"

求「'尸"长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°,30°,45°,60°,75°）/,连结4P',

AP,AP”，由对称性可求NP'4P”=2NN也为特殊角（30°,60°,90°,120°,150°）,

AP'=AP=4P”，可得特殊等腰△4P'P”，利用三边关系求出P'P”

要求：点尸，。为定点，直线4上分别找河，N,使尸QW周长（即PQ+W+PN+MN）小

操作：分别作点尸，。关于直线4，4的对称点P'和。'，连结P'。'与直线A，4的交点为N，N,

（°四边形7WN）最小值=PQ+尸。

例4.（2022•上虞市初二月考）如图，点尸是NNOB内任意一点，OP=6cm,点M和点N分另U是射线。/和

射线08上的动点，若△尸儿W周长的最小值是6cm,则的度数是（）

A.15B.30C.45D.60

【答案】B

【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、

OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=DM,OP=OC,ZCOA=ZPOA；PN=DN,OP=OD,ZDOB=

ZPOB,得出/AOB=L/COD,证出aOCD是等边三角形，得出/COD=60。，即可得出结果.

2

【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,

D

分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示：

•••点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,；.PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

丁点P关于OB的对称点为C,/.PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,.\OC=OP=OD,ZAOB=—ZCOD,

2

「△PMN周长的最小值是6cm,；.PM+PN+MN=6,；.DM+CN+MN=6,

即CD=6=0P,.,.OC=OD=CD,即aOCD是等边三角形，.,.ZCOD=60°,.*.ZAOB=30o,故选：B.

【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证

明三角形是等边三角形是解题的关键.

变式8.（2022・安徽安庆・八年级期末）如图，在四边形N2CD中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,在2C、

CD上分别取一点M、N,使的周长最小，则°,

【答案】80

【分析】作点/关于3C、CD的对称点出、A2,根据轴对称确定最短路线问题，连接血、血分别交3C、

DC于点M、N,利用三角形的内角和定理列式求出再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得

AMAN.

【详解】如图，作点“关于8C、CD的对称点小、A2,连接出、上分别交3C、0c于点M、N,连接/M、

VZBCD=50°,NB=ND=90°,AZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

AZA1+ZA2=\S0°-130°=50°,丁点4关于BC、CO的对称点为小、A2,：.NA=NA2,MA=MAj

：.ZA2=ZNAD,ZA!=ZMAB,：.ZNAD+ZMAB=ZAI+ZA2=50°,

AZMAN^ZBAD-(ZNAD+ZMAB)=130°-50°=80°，故答案为：80.

【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是

解决本题的关键.

课后训练：

1.Q022•河南八年级期末）如图，在RtZx/BC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,平分NC4B

交8c于点。，E,尸分别是4D,NC边上的动点，则CE+斯的最小值为.

12

【答案】y

【分析】在48上取点尸'，使=/斤，连接EF,过点（7作8_1/2,垂足为利用角的对称性，可

知EF=EF',则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段CH的长度，进而即可求解.

【详解】解：如图，在上取点/，使/尸=4F,连接E尸，过点C作垂足为

---AD平分NCAB,：.根据对称可知EF=EF'.

■：S八=-AB-CH=-AC-BC,:.CH=ACBC=".

22AB5

■：EF+CE=EF'+EC,

1212

・•・当点C、E、P共线，且点P与点〃重合时，FE+EC的值最小，最小值为CH=《，故答案为了.

【点睛】本题考查了轴对称-线段和最小值问题，添加辅助线，把两条线段的和的最小值化为点到直线的距

离问题，是解题的关键.

2.（2022・四川成都•七年级期末）如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧，两

弧交于点M和点N,在直线上取一点C,连接C4,C2,点。是线段/C的延长线上一点，且CD=

点尸是直线肱V上一动点，连接PD,PB,若8c=4,则尸。+尸8的最小值为.

2-------

【答案】6

【分析】根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可;

【详解】解：由作法得，垂直平分N5,

:.CA=CB=4,PA=PB,

■.-CD=^AC=1,

■■■AD=6,

■.-PA+PD<AD（点/、P、。共线时取等号），

-.PA+PD的最小值为6,

■.PB+PD的最小值为6.

故答案为6.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题的关键.

3.（2022•安徽芜湖市•八年级期末）如图，在中.AC1BC,若/C=5,BC=U,48=13,将

比△/BC折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD,点P为AD上一动点，则△PE3的周

长最小值为.

【答案】20.

［分析］根据\ADE由NACD沿AD对称，得到AE^AC,进而表示出PB+PE=PB+PC3BC,最后求APEB

周长即可.

（详解】AADE由A4CZ）沿AD对称得到，则E与C关于直线AD对称，

AE=AC=5,：.BEAB-AE=13-5=8,如图,连接尸C,

由题意得尸C=PE,/.PB+PE=PB+PC3BC=12,

当P在BC边上，即D点时取得最小值12,

:.APEB周长为PE+PB+BE,最小值为12+8=20.故答案为:20.

【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键.

4.（云南省红河哈尼族彝族自治州建水县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在等边

中，8c边上的高/。=6,£是高/。上的一个动点，尸是边的中点，在点£运动的过程中，EB+EF存

在最小值，则这个最小值是（）

A

BDC

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】先连接CE,再根据M=EC,将FE+E5转化为EE+CE,最后根据两点之间线段最短，求得C尸的

长，即为EE+E5的最小值.

【详解】解：如图，连接CE,

A

BDC

•.♦等边A48C中，是8C边上的中线，

以。是8C边上的高线，即/。垂直平分8C,

：.EB=EC,：.BE+EF=CE+EF,

.••当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF,

•••等边A48C中，尸是48边的中点，••.Z£）=CF=6,

即£7升5£1的最小值为6.故选：B

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及

轴对称的性质是解决本题的关键.解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短

等结论.

5.（2022•山东山东•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，线段NC所在直线的解析式为V=r+4,E

是48的中点，尸是NC上一动点，则尸3+PE的最小值是（)

A.472B.2^C.275D.至

【答案】C

【分析】作点5关于/C的对称点片，连接*E，与/C的交点，即符和条件的尸点，再求出"，E的坐标,

根据勾股定理求出的值，即为P3+PE的最小值.

【详解】作点B关于/C的对称点连接8'E交/C于P,

此时，？8+尸£=/<8+〃£的值最小，最小值为的长,

•.•线段/C所在直线的解析式为y=-x+4,

；./（O,4）,C（4,0）,

AB=4,BC=4,

是43的中点，

・•.£（0,2）,

"是点B关于/C的对称点，

BB'1AC,OB=OB'=-AC,AO=CO,

2

二.四边形/5C9是正方形,

.•㈤（4,4）,

PB+PE的最小值是B'E=#2+（4-2）2=26.

故选：C.

【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称日最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称日最短路径

的确定方法是解题的关键.

6.（2022•河南安阳市•八年级期末）如图，在△48。中，AC=BC,AB=6,4/台。的面积为12,

CD1AB于点D,直线EF垂直平分BC交AB于点£,交BC于点RP是线段昉上的一个动点，则丛PBD

的周长的最小值是（）

A.6B.7C.10D.12

【答案】B

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知S为A48C底边4B上的高线，根据面积关系即可求得

8的长，根据垂直平分线的性质可知点3和点。关于直线跖对称，所以当P与G重合时，PB+PD

的值最小，根据CD和BD的长度即可求得△PAD周长的最小值.

【详解】如图

：△X8C的面积为12,CDLAB：.-AB-CD=12,BD=AD=-AB=3,解得，CD=4,

22

,/直线EF垂直平分BC交4B于点E,A点3和点C关于直线EF对称，

当尸与G重合时，必+尸。的值最小，最小值等于CD的长，

△PAD周长的最小值是AD+CO=3+4=7,故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积

等，解题的关键是准确找出尸点的位置.

7.（2022•芜湖期末）如图，在锐角三角形N8C中，AB=A,△N8C的面积为8,BD平分NABC.若加；N

分别是2。、2c上的动点，则的最小值是（）

B

A.2B.4C.6D.8

【分析】过点C作CEL48于点E,交AD于点初'，过点AT作N'L8C于M,则CE即为

的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CW+MN的最小值.

【答案】解：过点C作于点£,交BD千点、M'，过点m作儿LBC于N「

B

；BD平分NABC,M'于点E,M'N'LBC于N：.M'N'=M'E,：.CE=CM'+M'E

当点加■与重合，点N与N'重合时，QW+MN的最小值.

:三角形4BC的面积为8,48=4,...LX4・CE=8,：.CE=4.

2

即CA/+MN的最小值为4.故选：B.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角

三角函数的定义求解是解答此题的关键.

8.2022•河南・安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在A4BC中，48=/C,边/C的垂直平分线

分别交AB,NC于点M,N,点。是边2c的中点，点P是初N上任意一点，连接尸。，PC,若//=a,

4CPD=B,△尸CD周长最小时，a,/之间的关系是（）

C.a=/3D.7=90°—，

【答案】C

【分析】连接NP,根据线段垂直垂直平分线的性质可知尸/=PC,ZPAC=ZPCA.由

L^PCD=DP+PC+CD,即得出〃PCD=OP+P/+CD，由此可知当/、尸、。在同一直线上时，4CD最

小.再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知为ZB/C的平分线，即==最后根据三

角形外角性质即得出£=NP/C+NPC4,由此即可判断&=尸.

【详解】如图，连接/尸，

••・直线是线段/C的垂直平分线，且尸在线段上，

；.PA=PC,APAC=APCA.

,：LAr「,n门j=DP+PC+，CDAI：K.^LUpm-DP+PA+CD.

由图可知CD为定值，当4、P、。在同一直线上时，。尸+PN最小，即为ND的长，.•.此时最小.

•・•£）是边2C的中点，4B=/C,为N3/C的平分线，.•.NPNC=；//=ga.

­,•ACPD=ZPAC+ZPCA,即/?=/P/C+/PC4,.•.a=〃.

BDC

【点睛】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性

质.根据题意理解当“、P、。在同一直线上时4Ps最小是解题关键.

9.（2022•广东广州•八年级期末）如图，点。是NE48内的定点且/。=2,若点C、£分别是射线/RAB

上异于点/的动点，且△CDE周长的最小值是2时，NE42的度数是（）

【答案】A

【分析】作。点分别关于NR43的对称点G、H,连接G8分别交/斤、4B于。、E',利用轴对称的性质

得4G=4D=4H=2,利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC'+DE'+C'E'=GH=2,可得A4G，

是等边三角形，进而可得4以5的度数.

【详解】解:如图，作。点分别关于/RAB的对称点G、H,连接G8分别交NR45于C、E',连接

DC,DE',

此时△CDE周长最小为DC'+DE'+C'E'=GH=2,

根据轴对称的性质，AG=AD=AH=2,乙D4F=^GAF,乙DAB=4HAB,

-'-AG=AH=GH=2,

.•・A4G”是等边三角形，

：.^GAH=60°,

；/FAB=g乙GAH=30°,故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最

短问题.

11.（2022•湖北・武汉市六中位育中学八年级）如图，AB//DP,£为。尸上一动点，AB=CB=CD,过A

作交直线EC于N,过。作交直线EC于点/，若48=114。，当的值最大时,

则ZACE=

E

【答案】123°

【分析】当。M与。尸重合，NN与重合时，的值最大，此时MN-£M=N8，画出相应的图形,

根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果.

【详解】解：当。河与。P重合，/N与48重合时，⑷V-DM的值最大，此时⑷V-r)M=4B，

■：^ABC=U4°,

.•zCDE=180°-114°=66°,

.•.zA/CD=90°-66°=24°,

又•:AB=BC,

:2CB=(180°-114°)+2=33°,

.♦.乙4CE=180°-乙4C3-NDCM=180°-33°-24°=123°,

故答案为：123。.

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画

出相应图形是解决问题的关键.

12.(2021•全国•八年级专题练习)如图，四边形A8C。中，AB//CD,CE1AB,AE=BC=10,CE=S,

CD=BE=6,点尸为直线CE左侧平面上一点，ACFE的面积为8,则尸C|的最大值为

【分析】如图，过点F作FHLEC于H.过点F作直线1//EC,作点C关于直线1的对称点C,连接AC交直

线1于F,此时FA-FC1的值最大，即|FA-FC|的值最大，最大值为线段AC的长.

【详解】解：如图，过点F作FH1EC于H.

•••△CFE的面积为8,即:ECFH=8,CE=8,

.•,FH=2,

过点F作直线1//EC,作点C关于直线1的对称点C,连接AC交直线1于F',此时IFA-FC的值最大,即|FA-FC|

的值最大，最大值为线段AC的长，过点C作CK1AB于K.•.NCKB=NKEC=NECC=90°,

••・四边形CEKC是矩形，

.-.CC'=EK=4,EC=KC'=8,

•••AE=10,

•••AK=AE-EK=10-4=6,

•,-AC'=^AK2+KC'2=>/62+82=10，

•••|FA-FC|的最大值为10.

故答案为10.

【点睛】本题考查轴对称-最短问题，三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决

最值问题，属于中考填空题中的压轴题.

13.(2022・湖北十堰•八年级期末)如图，在四边形/8CD中，^BAD=100°,ZB=ZD=90°.在BC,CD

上分别找一点v，N,使周长最小，则44MV+N㈤W的度数为.

【答案】160°

【分析】要使A/W周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点/关于3C和CD

的对称点即可得到//'+乙4〃=80。，进而求得N/MN+NMW=2(NH+N/〃)，即可得到答案.

作点/关于BC和CD的对称点4小，连接/'/〃，交BC于M,交C。于N,

---ZB=ZD=90°

则A'A"即为AAMN周长最小值

ZBAD=100°

=80°

N4'=NMAB,ZA"=ZNAD,ZAMN=NH+ZMAB,ZANM=ZA"+ZNAD

2AMN+AANM=NH+NMAB+ZA"+ZNAD=2(N4+NA〃)=2x80°=l60°

故答案为：160。.

【点睛】本题考查的是轴对称一最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和

垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

14.（2022•河南濮阳•八年级期末）如图，等边三角形/8C的边长为5,/、B、4三点在一条直线上，且

.若D为线段8。上一动点,则AD+CD的最小值是.

【答案】10

【分析】连接。/交于点£,C、出关于直线8G对称，推出当点。与5重合时，AD+CD的值最小,

最小值为线段44/的长=10.

【详解】解：连接。/交8。于点E,过点2作直线/L48,如图，

是等边三角形，^