中考数学复习：直线与角重难点题型归纳（原卷版）

专题01直线与角重难点题型归纳

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目录

【典型例题】...................................................................................1

【题型一"线段---双中点“模型】...............................

【题型二"角一一双角平分线”模型】.......................................................3

【题型三线段中的动点问题】...............................................................5

【题型四动角问题】.......................................................................8

【专项综合检测】..............................................................................11

题型归纳•

【题型一“线段一一双中点"模型】

【典型例题】

【例1】（2023上•七年级课时练习）如图，C,。是线段48上的两点，且=已知图中所

有线段的长度之和为81,贝。CD的长为.

I__I__________I_______________I

ACDB

【例2】（2023上•七年级课时练习）如图，点C是线段4B上一点，点M是力C的中点，点N是BC的中点，如

果MC比NC长2cm，则AC比8C长.

【例3】（2023上•山东潍坊•七年级校考阶段练习）如图，已知点C在线段48上，并且4C=8cm,BC=6

cm，E、尸分别是AC、C8的中点.

Ehrfijjl

(1)求线段EF的长度.

(2)在(1)中，如果力C=acm,BC=bcm,其他条件不变，你能求出EF的长度吗？

(3)对于(1)题，如果把“点C在线段2B上”：改成“点C在直线上”，其他的语句都不变，结果会有变化

吗？如果有，求出变化后的结果.

【强化训练】

1、(2023上•云南红河•七年级统考期末)如图，已知线段48=26,8c=18,点M是4C的中点.

IIIIMl

薪蟾嬷

(1)求线段4M的长;

(2)在CB上取一点N,使得CN:NB=1:2,求线段MN的长.

2、(2023上•全国•七年级课堂例题)(1)如图①，已知点C在线段2B上，线段/C=6cm,8C=4cm,M,N

分别是力GBC的中点，求线段MN的长;

(2)如图①，已知点C在线段4B上,线段4B=10cm，MN分别是力C,BC的中点，求线段MN的长;

(3)如图①，已知点C在线段上,线段A8=acm，M,N分别是的中点，求线段MN的长;

(4)如图②，已知点C在线段4B的延长线上，线段/8=acm,M,N分别是4&BC的中点，则线段MN的长

为________________

3、(2023上•福建厦门•七年级厦门市湖滨中学校考期末)如图已知线段力B、CD,

IIIIII

cMABND

(1)线段4B在线段CD上(点C、/在点8的左侧，点。在点C的右侧)

①若线段4B=6,CD=14,M、N分别为AC、BD的中点，求MN的长.

②M、N分别为4C、BD的中点，求证：MN=*AB+CD)

⑵线段CD在线段AB的延长线上，M、N分别为力C、BD的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接

写出结论

【题型二”角一一双角平分线"模型】

【典型例题】

【例4】(2023上•黑龙江大庆•七年级校考阶段练习)如图，。为直线上一点，NCOE=50。，。。平分

N力。C,OF平分NBOE,求NDOF的度数.

【例5】(2023上•七年级课时练习)已知44。8=80。，0C是过点。的一条射线，OD,0E分别平分

Z.AOC,Z-BOC.

⑴如图①，如果射线。C在40B的内部，且4。。=30。，求NDOE的度数；

(2)如图②，如果射线。。在N40B的内部绕点。旋转，NDOE的度数是多少？为什么？

【例6】(2022上•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试)已知，0M平分

N力。C,ON平分NBOC.

(1)如图1,若乙4。。=60。，ZBOC=78°,求NMON的度数；

(2)如图2,若NMON=146。，求乙40B度数;

(3)如图3,在(2)的条件下，。。为4CON内部的一条射线，4AON—乙MOD=28°,若。E为平面内一条射

线，zDOE=16°,求NBOE的度数.

【强化训练】

1、（2023上•重庆沙坪坝•七年级重庆一中校考期末）如图1,已知乙4OC=160。，0B是N40C内的射线

乙AOB=%BOC,射线。。、0E将NAOC分害IJ,使得NAOD:NBOD:NCOE=1:2:3,

图1图2

⑴求NDOE.

（2）如图2,作NB。。，NEOC的平分线。M,ON,求/MON的值

2、（2022上•河南郑州•七年级郑州外国语中学校考期中）如图，点/,O,3在同一条直线上,

^AOC=^BOD,OM,ON分另1J是NAOC,NB。。的平分线.

（1）若NC。。=80°,求NMON的度数；

⑵比较ADOM和NCON的大小，并说明理由.

3、（2022上•福建福州•七年级校考期末）已知乙10B=120。，OC,是过点。的射线，射线。河、ON分

别平分N/OC和/D02.

(1)如图①，若OC、是NNO8的三等分线，则NMON=°

(2)如图②，若NCOD=40。，乙AOC丰乙DOB,贝iJ/MON=0

(3)如图③，在N/O8内，若/。。。=醺0。＜戊＜60。)，则NM0N=°

⑷将(3)中的/C。。绕着点。逆时针旋转到的外部(0＜乙4。。＜180。，0＜zBOD＜180°),求

此时/MON的度数.

【题型三线段中的动点问题】

【典型例题】

【例7】(2023上•黑龙江大庆•六年级统考开学考试)如图，P是线段4B上一点，AB=12cm，C、。两点

分别从P、8出发以

lcm/s、2cm/s的速度沿直线2B向左运动(C在线段AP上，。在线段BP上)，运动的时间为t.

---------□

(1)当1=2时，PD=2AC,请求出4P的长；

(2)若C、。运动到任一时刻时，总有PD=22C,请求出4P的长；

(3)在(2)的条件下，。是直线上一点，且AQ—BQ=PQ,求尸。的长.

【例8】（2022上•湖北武汉•七年级湖北省水果湖第一中学校联考期中）如图线段N8和线段CD都在数轴

上，已知N2=2（单位长度），CD=4（单位长度），点/在数轴上表示的数是°,点C在数轴上表示的数

b.

BAOCDO

-1-161~~6

图i图2

（1）若|a+8|与（b—16）2互为相反数，求此时点4与点C之间相距多少单位长度？

（2）在（1）条件下线段42以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段8以2个单位长度/秒的速

度向左匀速运动.从开始算起，运动时间用/表示（单位：秒）

①数轴上/表示的数是」C表示的数是一（用含f的代数式表示），若点/与点C相距8个单位长度，求

f的值;

②已知点。是2c的中点，点P是4D的中点，在运动过程中，线段尸。长是不变化的，请说明理由，并指

出尸。的运动方向和速度.

【例9】（2023上•辽宁抚顺・七年级统考期末）如图，P是线段4B上一点，48=18cm，C,。两动点分别

从点P,B同时出发沿射线82向左运动，到达点/处即停止运动.

A1CPDB

（1）若点C,D的速度分别是lcm/s,2cm/s-

①若2cm<AP<14cm,当动点C,。运动了2s时，求4C+PD的值；

②若点C到达4P中点时，点。也刚好到达BP的中点，求力P:PB；

（2）若动点C,。的速度分别是lcm/s，3cm/s，点C，。在运动时，总有PD=34C,求4P的长度.

【强化训练】

1、（2022上•陕西西安•七年级统考期末）如图，在数轴上，点N表示的数为-6,点8表示的数为8,动

点尸从点/出发，以2个单位每秒的速度沿射线4B的方向向右运动，运动时间为t秒（t>0）.

----A1-----1-------B1-----A

-608

（1）线段4B=；点P表示的数为;

⑵若点P在线段48上，则线段BP=(用含/的代数式表示)；

⑶求经过多长时间，使得4B、P三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点？

2、(2023下•河南新乡•七年级校考阶段练习)如图，在数轴上有/、3两点，点。是数轴原点，点C是线

段4B的中点，AB=6,0/1=4.

__|____________________|_____|_____________

4COB

⑴求点C所表示的数；

(2)动点P、0分别从/、8同时出发，沿着数轴的正方向运动，点P、。的运动速度分别是每秒3个单位

长度和每秒2个单位长度(当P与0相遇，运动停止)，点M是线段的中点，设运动时间为/秒.

①请用含t的式子表示CM的长；

②当2cM=5PC时，求动点尸在数轴上对应的数字.(参考：在数轴上，点/对应的有理数为0,点8对

应的有理数为6,则以/、8为端点线段的中点对应的数为竽)

3、(2023上•江苏宿迁•七年级统考期末)如图，C是线段4B上一点，4C=5cm，点M从点力出发，沿以

3cm/s的速度匀速向点B运动.点N从点C出发，沿CB以lcm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果

点M比点N先到3s.设点M出发时间为t(s).

I,------aM、I------»NI,

ACB

(1)求线段力B的长.

(2)是否存在某个时刻，点C恰好是线段MN的中点？如果存在，请求出t的值.若不存在，请说明理由.

(3)求点M与点N重合时(未到达点B),t的值；

(4)直接写出点M与点N相距2cm时，t的值.

【题型四动角问题】

【典型例题】

【例10】(2023上•江苏常州•七年级统考期末)已知：AAOC=^BOD=a(0°<a<180°).

R

----------cZ__________

OOCIS)

阳l阳2

⑴如图1,若a=90。.

①写出图中一组相等的角(除直角外),

理由是.

②那么NC。。+/.AOB=°.

(2)如图2,乙40c与NB。。重合，若a=60。，将NB。。绕点。以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为/

(0<Z<24)秒.

①当仁秒时，OB^^AOC,

②试说明：当f为何值时，乙AOB='COD?

【例11】(2023上•七年级课时练习)把直角三角形MON的直角顶点。放在直线48上，射线OC平分

乙AON.

图I图2

(1)如图1,若NMOC=25。，求NBON的度数；

(2)若NMOC=zn。，贝IJNBON的度数为；

⑶由(1)和(2),我们发现NM0C和4BON之间的数量关系是；

(4)若将三角形M0N绕点。旋转到如图2所示的位置，试问NM0C和NBON之间的数量关系是否发生变化?

请说明理由.

【例12】(2023下・江西南昌•七年级南昌市第二十八中学校联考期中)若40、8三点共线,

48。。=40。，将一个三角板的直角顶点放在点。处(注:NDOE=90。，Z£DO=30°).

D

C

E

E

AODB

图1图2备用图

(1)如图1,使三角板的长直角边。。在射线08上，则“。£=_。；

⑵将图1中的三角板。0E绕点。以每秒5。的速度按逆时针方向旋转一周,

①若旋转到到图2位置，此时乙乙4。号求运动时间t的值；

②经过t秒后，直线。C恰好成为ND0E的三等分线，直接写出t的值.

【强化训练】

1、(2023上•河北唐山•七年级统考期末)如图，点。为直线2B上一点，将斜边为CD的直角三角板的直角顶

图1

(1)如图1,若乙4。。=30。，求NDOE的度数；

(2)将直角三角板绕顶点。顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究N40C和NDOE度数之间的关系，

写出你的结论，并说明理由；

(3)在图1中，AAOC=30°,OP与。。的起始位置重合，再将三角板COD绕点。按每秒10。的速度沿顺时针方

向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，射线。。恰好是锐角NBOP的三等分线，贝1的值为秒

(直接写出结果).

2、(2023上•江西赣州•七年级统考期末)将一副三角板的其中两个顶点重合于一点。，含45。角的三角板

保持不动，含60。的三角板绕着点。旋转，0B始终在NC。。内部，请回答问题：

⑴如图1放置，将含有60。角的一边与45。角的一边重合时，求N4OD的度数.

(2)绕着点。转动三角板40B,当。B恰好平分时，求乙4OD的度数.

(3)三角板40B在转动过程中NAOC的度数恰好等于NB。。度数的3倍，求的度数.

3、(2023上•河南漠河•七年级统考期末)如图，ZAOB=90°,ZCOD=60°.

⑴若OC平分乙18,求NBOC的度数；

(2)^ZBOC=^ZAOD,求N4OD的度数；

(3)若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12。的速度旋转，同时射线。。从射线04的

位置开始，绕点。按顺时针方向以每秒9。的速度旋转，射线。P旋转的时间为t(单位：秒)，且

0</<7.5,求当“OP=R1OP时t的值.

专项综合检测二

1.(2023下•山东泰安•七年级校考阶段练习)如图，AC=^AB,BD=^AB,AE=CD,贝|CE=()

AB.

D

2.（2023上•河北邢台•七年级校联考期末）如图，C是4B的中点，。是BC的中点，则下列等式：①

CD=AD—BD；②CD=AD-BC；③2CD=2AD—AB；@CD=^AB,其中正确的有（）

IIII

ACDB

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2023上•七年级课时练习）如图，点。是直线4B上一点，OC平分〃OE/DOE=90。，则以下结论：①

々OD与NBOE互为余角；®AAOD=^COE；③乙BOE=24COD；④若NBOE=58°,贝UNCOE=61°.其

中正确的是（）

A.只有①④B.只有①③④

C.只有③④D.①②③④

4.（2023上•河南驻马店•七年级统考期末）如图，已知乙4OB=130。，以点。为顶点作直角NCQ8,以点。

为端点作一条射线。D.通过折叠的方法，使0D与。C重合，点B落在点方处，0E所在的直线为折痕，若

NCOE=15。，贝1|乙2。夕=().

A.30°B.25°C.20°D.15°

5.（2023上•河南驻马店•七年级校考期末）如图，ZXOC=Z500=90°,0E是乙40B的平分线，且

/COE=75°,贝

6.（2023上•福建福州•七年级统考期末）如图，已知射线。C在N40B内部，。。平分N40C,0E平分

/8。。,。/平分44。8,以下四个结论：①ND0E=（N40B；®2ADOF=AAOF-ACOF；③

乙AOD=LBOC；④NEOF=*NCOF+NBOF）.其中正确的结论有（填序号）.

7.（2023上•黑龙江双鸭山•七年级校联考开学考试）如图，数轴上O,/两点的距离为4,一动点P从点

/出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点①处，第2次从4点跳动到乙。的中点4处，第3次

从4点跳动到4。的中点公处，按照这样的规律继续跳动到点心，人5,A6,4n处，那么线段44的长

度为.

8.（2023上•河北邢台•七年级校考期末）如图1,线段OP表示一条拉直的绳子，A,B两点在线段。P上,

OP=a,0A4P=3:7,B为。力的中点.固定点4将。力折向4P,使得。力重叠在4P上（如图2所示）.

...................W图］

I

也〃一—2”,/图2

X

(1)若a=10.

①绳子折叠前，A8的长为；

②绳子折叠后，0P的长为;

(2)若从如图2所示的点8及与点8重叠处一起剪开，使得绳子分成三段，三段绳子由小到大的长度比

为.

9.(2023上•河南郑州•七年级校联考阶段练习)如图，己知数轴上点/表示的数为8,3是数轴上一点，

且AB=14.动点尸从点N出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)

秒.

BA

----1--------------11----

08

(1)写出数轴上点8