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文档简介

辽宁省辽阳市重点中学2025届高三第三次测评数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过直线上一点作圆的两条切线,,,为切点,当直线,关于直线对称时,()A. B. C. D.2.已知.给出下列判断:①若,且,则;②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称;③若在上恰有7个零点,则的取值范围为;④若在上单调递增,则的取值范围为.其中,判断正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.已知满足,,,则在上的投影为()A. B. C. D.24.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.25.已知函数的图象如图所示,则下列说法错误的是()A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数的对称中心是D.函数的对称轴是6.已知当,,时,,则以下判断正确的是A. B.C. D.与的大小关系不确定7.已知双曲线:的焦点为,,且上点满足,,,则双曲线的离心率为A. B. C. D.58.已知等差数列中,则()A.10 B.16 C.20 D.249.已知集合,,则()A. B.C. D.10.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()A.5 B.11 C.20 D.2511.已知向量,,当时,()A. B. C. D.12.已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设函数满足,且当时,又函数,则函数在上的零点个数为___________.14.若向量满足,则实数的取值范围是____________.15.若曲线(其中常数)在点处的切线的斜率为1,则________.16.春天即将来临,某学校开展以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株,设为其中成活的株数,若的方差,,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知点到抛物线C:y1=1px准线的距离为1.(Ⅰ)求C的方程及焦点F的坐标;(Ⅱ)设点P关于原点O的对称点为点Q,过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A,B,直线PA,PB,分别交x轴于M,N两点,求的值.18.(12分)一张边长为的正方形薄铝板(图甲),点,分别在,上,且(单位:).现将该薄铝板沿裁开,再将沿折叠,沿折叠,使,重合,且重合于点,制作成一个无盖的三棱锥形容器(图乙),记该容器的容积为(单位:),(注:薄铝板的厚度忽略不计)(1)若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖,求,的值;(2)试确定的值,使得无盖三棱锥容器的容积最大.19.(12分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为,三人各射击一次,击中目标的次数记为.(1)求的分布列及数学期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求实数的取值范围.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点在上,点在上,求的最小值以及此时的直角坐标.21.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,设,证明:,,使.22.(10分)已知函数,.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

判断圆心与直线的关系,确定直线,关于直线对称的充要条件是与直线垂直,从而等于到直线的距离,由切线性质求出,得,从而得.【详解】如图,设圆的圆心为,半径为,点不在直线上,要满足直线,关于直线对称,则必垂直于直线,∴,设,则,,∴,.故选:C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查直线的对称性,解题关键是由圆的两条切线关于直线对称,得出与直线垂直,从而得就是圆心到直线的距离,这样在直角三角形中可求得角.2、B【解析】

对函数化简可得,进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换,对四个命题逐个分析,可选出答案.【详解】因为,所以周期.对于①,因为,所以,即,故①错误;对于②,函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为,其图象关于轴对称,则,解得,故对任意整数,,所以②错误;对于③,令,可得,则,因为,所以在上第1个零点,且,所以第7个零点,若存在第8个零点,则,所以,即,解得,故③正确;对于④,因为,且,所以,解得,又,所以,故④正确.故选:B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换,考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于中档题.3、A【解析】

根据向量投影的定义,即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影,属于基础题.4、A【解析】

根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.5、B【解析】

根据图象求得函数的解析式,结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】由图象可得,函数的周期,所以.将点代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函数在上单调递减,当时,函数在上单调递减,故A正确;令,得,故函数在上单调递增.当时,函数在上单调递增,故B错误;令,得,故函数的对称中心是,故C正确;令,得,故函数的对称轴是,故D正确.故选:B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式,同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.6、C【解析】

由函数的增减性及导数的应用得:设,求得可得为增函数,又,,时,根据条件得,即可得结果.【详解】解:设,则,即为增函数,又,,,,即,所以,所以.故选:C.【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用,属中档题.7、D【解析】

根据双曲线定义可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出离心率.【详解】依题意得,,,因此该双曲线的离心率.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率,考查了运算能力.8、C【解析】

根据等差数列性质得到,再计算得到答案.【详解】已知等差数列中,故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质,是数列的常考题型.9、C【解析】

求出集合,计算出和,即可得出结论.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.10、D【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2,可知数列单调递减,则,,中最大,最小,又,,为三角形的三边长,且最大内角为,由余弦定理得,设首项为,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前项和.故的最大值为.故选:D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.11、A【解析】

根据向量的坐标运算,求出,,即可求解.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系,属于中档题.12、A【解析】

根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍,可得出,结合,得出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解:由双曲线可知,焦点在轴上,则双曲线的渐近线方程为:,由于焦距是虚轴长的2倍,可得:,∴,即:,,所以双曲线的渐近线方程为:.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,以及双曲线的渐近线方程.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

判断函数为偶函数,周期为2,判断为偶函数,计算,,画出函数图像,根据图像到答案.【详解】知,函数为偶函数,,函数关于对称。,故函数为周期为2的周期函数,且。为偶函数,,,当时,,,函数先增后减。当时,,,函数先增后减。在同一坐标系下作出两函数在上的图像,发现在内图像共有1个公共点,则函数在上的零点个数为1.故答案为:.【点睛】本题考查了函数零点问题,确定函数的奇偶性,对称性,周期性,画出函数图像是解题的关键.14、【解析】

根据题意计算,解得答案.【详解】,故,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.15、【解析】

利用导数的几何意义,由解方程即可.【详解】由已知,,所以,解得.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.16、【解析】

由题意可知:,且,从而可得值.【详解】由题意可知:∴,即,∴故答案为:【点睛】本题考查二项分布的实际应用,考查分析问题解决问题的能力,考查计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0);(Ⅱ)1【解析】

(Ⅰ)根据抛物线定义求出p,即可求C的方程及焦点F的坐标;

(Ⅱ)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1),由题意直线AB斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0),与抛物线联立可得ky1-4y+4k-8=0,利用韦达定理以及弦长公式,转化求解|MF|•|NF|的值.【详解】(Ⅰ)由已知得,所以p=1.所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0);(II)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1),由题意直线AB斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0).由得,则,.因为点A,B在抛物线C上,所以,.因为PF⊥x轴,所以,所以|MF|⋅|NF|的值为1.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题,常用韦达定理设而不求来求解,本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解,属于中等题.18、(1),;(2)当值为时,无盖三棱锥容器的容积最大.【解析】

(1)由已知求得,求得三角形的面积,再由已知得到平面,代入三棱锥体积公式求的值;(2)由题意知,在等腰三角形中,,则,,写出三角形面积,求其平方导数的最值,则答案可求.【详解】解:(1)由题意,为等腰直角三角形,又,,恰好是该零件的盖,,则,由图甲知,,,则在图乙中,,,,又,平面,平面,;(2)由题意知,在等腰三角形中,,则,,.令,,,.可得:当时,,当,时,,当时,有最大值.由(1)知,平面,该三棱锥容积的最大值为,且.当时,取得最大值,无盖三棱锥容器的容积最大.答:当值为时,无盖三棱锥容器的容积最大.【点睛】本题考查棱锥体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用导数求最值,属于中档题.19、(1),ξ的分布列为ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中,3-ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列为ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

ξ的数学期望为E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a);P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=;P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.由和0<a<1,得0<a≤,即a的取值范围是.20、(1):,:;(2),此时.【解析】试题分析:(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)由题意,可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.试题解析:(1)的普通方程为,的直角坐标方程为.(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,.当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.考点:坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法消参法;混合消参法等.把曲线的普通方程化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变化范围.21、(1)见解析;(2)证明见解析.【解析】

(1

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