中考数学专项复习：整式乘法 重难点题型（解析版）

专题02整式乘法重难点题型

题型1同底数塞的乘法及其逆用

1.（2021•江苏鼓楼•）计算的结果是（）

A.a3B.a5C.abD.a8

【答案】B

【分析】直接运用同底数幕乘法公式计算即可.

【详解】解：a2-a3^a5.故选B.

【点睛】本题主要考查了同底数幕乘法，掌握并灵活利用暧是解答本题的关键.

2.（2021•山东大学附属中学其他）若2*=4,2y=5,则2*+y=.

【答案】20

【分析】根据同底数幕的乘法法则可得出答案.

【解析】解：V2X=4,2y=5,.•.2x+y=2xx2y=4x5=20.故答案为：20.

【点睛】本题考查了同底数暴的乘法，哥的乘方的应用，用了整体代入思想.

3.（2021•漳州市普通教育教学研究室）若加=3",3加=3万，贝同=—.（用含。的式子表示）

【答案】a+1

【分析】根据幕的乘法运算法则以及同底数暴的乘法法则解答即可.

【详解】解：•••加=3",，3加=3"+|=3".6=。+1故答案为：a+1

【点睛】本题主要考查了同底数幕的乘法，熟记累的运算法则是解答本题的关键.

4.（2020•浙江杭州市•七年级其他模拟）计算机存储设备中常用T,G,M,K,5等作为储存容量的单位，例

如，老师常用的U盘的容量是64G,一张比较清晰的照片的大小是4M等.已知lT=2i°G，

lG=2i°M，1M=21OK«1K=21OB,目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到16T,那么它的容量

是（）个B.

A.232B.244C.256D.236

【答案】B

【分析】由单位互化可得：大化小，用乘法，从而可得：16T=16x2i°x2i°x2i°x2i°8,再利用同底数幕

的乘法可得答案.

【详解】解：16T=16x2i°x2i°x2i°x2i°=24x2"=244A故选：B.

【点睛】本题考查的是同底数幕的乘法，掌握同底数累的乘法是解题的关键.

5.(2021•山东青岛•七年级期中)观察下列等式：31=3,32=9,3=27,34=81,35=243,36=729,

37=2187.解答下列问题：3沏7-27x3?必的末位数字是.

【答案】2

【分析】通过观察m=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,3，=2187…可以发现末位数字分别是3,9,

7,1,3,9,7,1,可知每四个为一个循环，从而可以求得到3刈7-27><32。2|的末位数字是多少.

【详解】:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187...,

可以发现末位数字分别是3,9,7,1,3,9,7,1,可知每四个为一个循环，

•.•2017+4=504余1,.•J.的末位数字与3相同,即为3,

,/27x32021=33x32021=32024，2024-4=506,27x3的的末位数字与才相同，即为1,

.•.32。17-27x32°”的末位数字=3-1=2,故答案为：2.

【点睛】本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律.

6.(2021•苏州市工业园区第一中学七年级月考)已知10x102=1000=103,102x102=10000=104,

102x103=100000=105.(1)猜想106x104=,|0«>xl0"=.(冽，〃均为正整数)

6

(2)运用上述猜想计算下列式子：①(1.5x104)x(1.2x105).②(-6.4x103)x(2xl0).

【答案】(1)1010,10m+«；(2)①1.8x109；②一1.28x101°

【分析】(1)根据所给式子进行猜想即可；

(2)①由(1)的猜想进行计算即可；②由(1)的猜想进行计算即可.

【详解】解：(1)V10xl02=1000=103,102x102=10000=103102x103=100000=105

.,.1O6X1O4=1O10,10mxl0«=10m+«故答案为:101°,10m+n

(2)①(1.5x104)X(1.2x105)=1.5X1,2X104X105=1,8X109

②(-6.4x103)x(2x106)=_6.4x2xlO3xlO6=-12.8xlO9=-1.28xlO10

【点睛】此题主要考查了同底数塞的乘法，正确得出运算规律是解答本题的关键.

题型2嘉的乘方及其逆用

1.(2021•贵州铜仁•七年级期末)已知2加=°,16"="贝！］2328"=(用含a、6的式子表示).

【答案】苏〃

【详解】利用嘉的乘方的逆运算和同底数塞的乘法的逆运算法则进行变形计算求解.

m3232

【解答】解：原式=23%28"=(2D3.(24)2”=(2)«(16")=<2Z>,故答案为：a3b2.

【点睛】本题主要考查了幕的乘方的逆运算和同底数幕的乘法的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相

关计算法则.

2.（2021•全国八年级课时练习）（1）若（03）〔。=/9,则》=.⑵若/=5,贝U

a6x=.

【答案】625

【分析】（1）根据幕的乘方及同底数幕乘法计算；（2）根据幕的乘方逆运算解答.

【详解】解：（1）:⑷＞咤/,..0=储9,

：.a3x+l=a19,/.3x+l=19,解得x=6,故答案为：6；

（2）a3x=5,：.afa=（a3A）2=52=25,故答案为：25.

【点睛】此题考查整式乘法的计算公式，幕的乘方及逆运算，同底数幕乘法计算法则，熟记计算法则是解

题的关键.

3.（2021・武汉一初慧泉中学）计算：［（-«）4］3x［（-a）3］2=；

【答案】

【分析】先根据积的乘方的计算法则计算，再根据同底数塞的乘法法则进行计算即可.

【详解】解：［（-。）4］鼠［（-4］2=（/）3*（一/）2=/./="8.故答案为38.

【点睛】本题考查了积的乘方、幕的乘方、同底数幕的乘除法和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的

关键.

4.（2021•天津育贤中学八年级期中）已知N"=3,求G3"）2-3（%2）2”的结果（）

A.1B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根据事的乘方和暴的乘方的逆运算的计算法则求解即可.

【详解】解:（x3n）2-3（x2）2"=（N洋3-3（X2"）2=33-3x32=27-27=0,故选C.

【点睛】本题主要考查了幕的乘方和哥的乘方的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行

求解.

5.（2021•江苏姑苏・苏州草桥中学七年级月考）（1）已知：2x+3y-4=0,求4、8的值.

（2）己知〃为正整数，且短"=4,求-2（一/的值.

【答案】⑴16；（2）32.

【分析】（1）逆运用哥的乘方公式给所求代数式适当变形后将2x+3.y=4直接代入计算即可；

（2）运用幕的乘方公式给所求代数式适当变形后将X?"=4直接代入计算即可

【详解】解：(1)V2x+3^-4=0,；.2x+3y-4,/.4X-S5,=22x-23y=22X+3J,=24=16;

(2),/x2"=4,­,.(x2n)3-2(x2")2=43-2x42=32.

【点睛】本题考查幕的乘方运算.掌握幕的乘方公式并能逆运用公式给所求代数式正确变形是解题关键.

6.(2021•江苏江都•)已知2”=3,2"=5(1)求户""的值；(2)求Z?"1-2'"的值.

【答案】(1)675；(2)-116

【分析】(1)根据塞的乘方和同底数嘉的乘法及有理数的乘方进行计算即可；

(2)根据幕的乘方和有理数的乘方运算求解

【详解】(1)23m+2"=(2"Tx(2")2=33x52=27x25=675

(2)22Kl-23H=(2m)2-(2")3=32-53=9-125=-116

【点睛】本题考查了哥的乘方和同底数暴的乘法及有理数的乘方等运算，正确的计算是解题的关键.

题型3积的乘方及其逆运算

1.(2021•兰州市第五十五中学七年级月考)计算：(一2孙)2=()

A.4xyB.~2x2y2C.4x2y2D.~4x2y2

【答案】C

【分析】直接利用幕的乘方和积的乘方运算法则计算得出答案.

【详解】解：(-2肛丫=4》》，故选c.

【点睛】此题主要考查了幕的乘方和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键.

2.(2021・通道侗族自治县教育科学研究室七年级期中)计算-(-3/丫的结果是()

A.—6a6B.—9a6C.6a6D.-9a9

【答案】B

【分析】根据积的乘方的运算法则求解即可.

【详解】解：-(-3/丫=一(9产2)=_9/故答案为：B

【点睛】此题考查了积的乘方的运算法，积的乘方等于乘方的积；累的乘方法则：底数不变，指数相乘，

熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

3.Q021•江苏南京•初一期中)计算(心/)2=/.卜3)2=/.46=/,其中，第一步运算的依据是()

A.同底数塞的乘法法则B.察的乘方法则C.乘法分配律D.积的乘方法则

【答案】D

【分析】根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积.

【解析】解：计算：（心/）2=/.（/）2=/./=/,其中，第一步运算的依据是积的乘方法则.

故选：D.

【点睛】本题主要考查幕的运算，关键是熟练掌握累的运算法则是解题的关键.

4.（2021•河北滦南•）y2加2可以改写成（）

A.ym+y2B.（ym）2C.ym,y2D.2ym

【答案】B

【分析】根据积的乘方法则的逆运用，即可得到答案.

【详解】解：/"於=（y加）2,故选B.

【点睛】本题主要考查积的乘方法则的逆运用，掌握积的乘方法则是解题的关键.

5.（2021•隆昌市知行中学八年级月考）计算（-0.125产。x82。21的结果是（）

A.8B.0.125C.-8D.-0.125

【答案】A

（1v020

【分析】利用同底数幕的乘法与积的乘方的逆运算把原式化为-；x8x8,从而可得答案.

z1\2020/、2020

【详解】解：(-0.125)2°2°x82°2i=bwX8202()X8=-1x8jx8=(-1产°x8=8.故选：A.

【点睛】本题考查的是同底数募的乘法与积的乘方的逆运算，掌握屋""=。"’・屋,优6"=（必）"（加，〃为正整

数）是解题的关键.

6.（2021•全国）已知a=2020,6是。的倒数，则（屋斤）•""<=

【答案】2020.

【分析】由b是。的倒数，可知6=盛，再化简代数式进行计算.

【详解】由题意知：*=2^-（anb1\abn-2=ana-b1bn-2=an+'bn,

把a=2020,6=^—代入得：。"+%"=2020向・[^—]=2020・12020x_l—1=2020,故填：2020.

2020(2020)(2020J

【点睛】本题考查同底数幕的乘法、积的乘方法则，熟练掌握公式的正用、逆用是关键.

7.（2021•江苏江宁•七年级月考）（1）积的乘方公式：（ab）”=（"是正整数），请写出这一

公式的推理过程.（2）计算420KtX（A。?。.

【答案】（1）a"b",见解析（2）1

【分析】（1）根据乘方的定义，分式乘法法则，以及乘法的意义进行计算即可；

（2）利用幕的乘方的逆向运算及积的乘方求解即可.

【详解】解：（而〃=…（S=加.故答案为：出".

〃个“个〃个

2010402020120102010

（2）4x（--）=42°1°义（，）2*2010=4°x（—）=（4x-）=1.

【点睛】此题考查了幕的乘方与积的乘方，熟记募的乘方与积的乘方有关法则是解题的关键.

题型3同底数塞的除法及其逆用

1.（2021•重庆八中初一期中）已知a—2b=2,c=2"+46,则/一2b的值是.

【答案】16

【分析】根据题意利用同底数暴的除法以及暴的乘方的运算法则进行变形与代入运算即可.

【解析】解：:"22=2,。=2、46=2、2幼=203,

2

：.c=2=4,以=42=16.故答案为：16.

【点睛】本题考查幕的运算，熟练掌握同底数幕的除法以及塞的乘方的运算法则是解题的关键.

2.（2021•上海•初一期末）下列运算正确的是（）

A.（a2）3=a5B.[一g/]=yj4C.a6^-a3=a2D,a2-a3=a5

【答案】D

【分析】利用嘉的乘方、积的乘方、同底数幕的乘法以及同底数累的除法的性质求解即可求得答案.注意

掌握排除法在选择题中的应用.

24

【解析】解：A.（〃2）3=06,故本选项错误；B.（--/）2=—4,故本选项错误；

3'9

C.a64-a3=a3,故本选项错误；D.a2«a3=a5,故本选项正确.故选D.

【点睛】本题考查了幕的乘方、积的乘方、同底数幕的乘法以及同底数幕的除法.此题比较简单，注意掌

握指数的变化是解答此题的关键.

3.（2020•河北开平•初三一模）计算3-（）=-9M1，则括号内应填入的式子为（）

A.3n+1B.3n+2C.-3n+2D.-3n+1

【答案】C

，n+12

【解析】解：•.-9=-（3）n+l=.32n+2=.3n+n+2=3n.（一3n+2）,.•.括号内应填入的式子为-3什2.故选C.

4.（2021•沈阳市第一二七中学期中）若存0,化简下列各式，正确的个数有（）

（1）a0*a'a5—a5；（2）（a2）3—a6；（3）（-2a4）3=-6a12；（4）=（5）a6+a6—2a12；

（6）2二+寥X28=32；（7）层.（-°）7.〃i=-a20

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】分别根据零整数指数幕的定义，同底数事的乘除法法则，暴的乘方与积的乘方运算法则，合并同

类项法则以及负整数指数幕的定义逐一判断即可.

【解析】解：。。“/=酒故（1）错误；（/）3=“故（2）正确；（-2/）3=-842,故（3）错误;

故（4）正确；a6-\-a6=2a6,故（5）错误；2"+25X28=2,故（6）错误；

昌（“）7.川=”20,故0）正确，所以正确的个数为3个.故选：C.

【点睛】本题考查零整数指数幕的定义，同底数幕的乘除法法则，募的乘方与积的乘方运算法则，合并同

类项法则以及负整数指数幕等知识，熟练掌握法则是关键.

5.（2021•浙江金华市•七年级期中）若优=3，/=2，则24一等于（）

A.9B.18C.11D.14

【答案】A

【分析】根据同底数累的除法法则将24厂＞转化为252工十/）,即可求解.

【详解】解：：优=3，4=2,，2a2r=2（〃工+/）=2[（，）2+/]=2*（9+2）=9.故选：A.

【点睛】本题主要考查了同底数幕的除法，解答本题的关键是掌握同底数幕的除法与幕的乘方法则.

6.（2021•余姚市兰江中学七年级期中）若3工+32〉=27，则x-2y=.

【答案】3

【分析】根据同底数幕相除，底数不变，指数相减即可即可求解.

【详解】V3x-32y=27.A3（x-2y）=27-/.x-2j=3,故答案为：3.

【点睛】本题主要考查同底数塞的除法的性质，解题的关键是熟练掌握同底数累的除法的运算性质.

题型4暴的混合运算

解题技巧：根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；利用塞的相关

法则，转化为指数之间的关系。

1.（2021・长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）下列计算正确的是（）

A././=/B.（2a『=2/C.（tz3）2=a5D.（-2xl02）3=-8xl06

【答案】D

【分析】分别根据同底数幕的乘法法则，积的乘方运算法则，以及哥的乘方法则逐一判断即可.

【详解】解：A././=/片储2,故本选项不符合题意；B.（2）2=4/w2a2,故本选项不合题意；

C.（/）-=/#/,故本选项不合题意；D.（-2x10）3=-8x103故本选项符合题意；故选：D.

【点睛】本题考查了同底数累的乘法法则，积的乘方运算法则，以及幕的乘方法则，掌握相关运算法则是

解题的关键.

2.（2021•湖南荷塘•七年级期末）下列各式运算正确的是（）

2352626

A.a+a=aB.（-3a）-=6aC.（/）=aD.（a/?）=ab

【答案】C

【分析】直接利用积的乘方以及累的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案.

【详解】解：A、/与/不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；

B、（-3"）2=9/原计算错误，该选项不符合题意；C、（/）?=/原计算正确，该选项符合题意；

D、（。〃丫=。％6原计算错误，该选项不符合题意；故选c.

【点睛】本题主要考查了积的乘方以及幕的乘方运算法则、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键.

3.（2021•山东济宁学院附属中学）下列运算正确的是（）

A.（a3）4=〃2B.a3-a4=anC.a2+a2=a4D.（ab）2=ab2

【答案】A

【分析】利用幕的乘方的性质、同底数幕的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即

可.

【详解】解：A、（〃）4=〃2,故原题计算正确；B、故原题计算错误；

C、。2+标=202,故原题计算错误；D、（ab）2=^2,故原题计算错误；故选：A.

【点睛】本题主要考查幕的乘方、同底数幕的乘法、合并同类项、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法

则.

4.（2021•贵州印江•）下列计算：①Mx4=xi6；②（—2°）2=4*③（研3=曲；④（/）2=〃.其中

正确的有（）

A.①②B.②C.①③D.④

【答案】B

【分析】根据同底数嘉的乘法、积的乘方、募的乘方法则逐个解题：

atn•an=am+n/）\n-amn,（/abi）\m=am•ibm.

【详解】解：@X4»X4=X8,故①错误；②（-2°）2=4°2,故正确；③（"2）3=〃66,故③错误：④（°5）

2=排。，故错误，故正确的是：②，故选：B.

【点睛】本题考查幕的运算，涉及同底数暴的乘法、积的乘方、累的乘方等知识，是基础考点，掌握相关

知识是解题关键.

5.（2021•扬州市江都区实验初级中学七年级期中）下列计算正确的是（）

A.。3.a2=06B.（层）3=々6c.（2x2）3=6x6D.（-ab）2=-a2b2

【答案】B

【分析】分别根据同底数塞的乘法法则，塞的乘方运算法则，积的乘方运算法则逐一判断即可.

【详解】解：A、a3*a2—a5,故A错误；B、（a2）3—a6,故B正确；

C、（2N）3=跃6,故C错误；D、（"6）2=a262,故D错误；故选：B.

【点睛】本题主要考查同底数相乘、幕的乘方和积的乘方运算，解决本题的关键是要熟练掌握幕的运算法

则.

6.（2021•浙江省衢州市衢江区实验中学）下列算式①22x33；②（2x62）x（3x63）；③63+63；④（22）3x

（33）2中，结果等于66的有（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【分析】根据同底数幕的乘法、积的乘方、累的乘方分别计算即可求解.

【详解】解：①22*33=2）333=62乂3/66,故不符合题意；

@（2X62）X（3X63）=2X3X62X63=6X65=66,故符合题意；

③63+S=2x6^63故不符合题意；④（22）葭（33『=26、36=66,故符合题意故选：D

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法、幕的乘方和积的乘方运算，属于基础的运算求解题，难度不大.解

题的关键是熟练掌握相关的运算法则.有关乘方的运算需注意两点：一是乘方的本质是乘法运算；二是找

准乘方的底数.

题型5募的运算法则与方程思想

1.（2020•江苏姑苏•苏州草桥中学初一期中）已知3*+2.5X+2=153x1,求。一1）2一3式六2）-4的值.

【答案】x=3,原式=-9.

【分析】首先由3*+2・5*+2=153%可得3*+2/+2=(15)X+2=153M,即可得方程X+2=3X-4,解此方程即可求得

X的值，然后化简(x-l)2-3x(x-2)-4,再将x=3代入，即可求得答案.

【解析】解:•.•3X+2・5X+2=(15)X+2=153X-4,；.X+2=3X-4,解得:x=3,

(x-1)2-3x(x-2)-4=x2-2x+1-3x2+6x-4=-2x2+4x-3=-2x9+4x3-3=-9.故答案为-9.

【点睛】此题考查了积的乘方的性质与化简求值问题，熟练掌握是解题的关键.

2.(2020•江苏苏州•七年级期中)(1)已知4，=2"3,求x的值，(2)若/=3,b"=L求

4

(-历产.

3

【答案】⑴x=3；(2)—

16

【分析】(1)根据事的乘方的逆用可直接进行求解；

(2)根据积的乘方和幕的乘方的逆用可直接进行求解.

【详解】解：(1)：4*=2川，/.22X=2X+3，，2x=x+3,解得：x=3；

(2)Va2"=3,b"=~,：.(-abV"=a2n-(b"]2=3x—=—.

4v7''1616

【点睛】本题主要考查积的乘方和幕的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方和嘉的乘方的逆用是解题的关键.

3.(2021•奈曼旗第二中学期中)如果(2优'""")3=8/6巴求m和n的值.

【答案】m=3,n=2

【分析】根据积的乘方和事的乘方即可求出结论.

【解析】解：：(2优？'"")3=8as5/.Sa3mb3*3"=8az5

3m=9m=3

解得:〃二2眠m=3,n=2.

3m+3n=15

【点睛】此题考查的是幕的运算性质，掌握积的乘方和累的乘方是解题关键.

4.(2021•德惠市第三中学八年级月考)如果(2优"6"7=8/6%则加力=.

【答案】15

【分析】根据积的乘方和哥的乘方求出加，〃的值，代入即可求出.

【详解】(2amZ>n)3=8a9Z>15,'.3m=9,3„=15m=?>,w=5；./n"=15故答案为:15

【点睛】此题考查的是积的乘方和暴的乘方运算性质，掌握积的乘方和累的乘方法则是解题关键.

5.(2021•河南八年级月考)规定a*6=3"x3J求：

（1）求1*2；（2）若2*（x+l）=81,求x的值.

【答案】（1）27；（2）x=l

【分析】（1）根据规定即可完成；（2）根据规定及幕的运算，可得关于x的方程，解方程即可.

【详解】（1）■.-a*b=rx3b,1*2=3'x32=3x9=27：

（2）,••2*（x+l）=81,32x3加=34,.•.37=34贝lJx+3=4,解得：x=l.

【点睛】本题是新定义运算问题，考查了同底数幕的运算，解方程等知识，理解新定义运算是解题的关

键.

6.（2021•全国初一■课时练习）若a"+i0"+"=*,且加-2〃=1,求加"的值.

【答案】⑪=3.

【分析】根据a*•型+"=〃，可得根+2〃=5,然后与机-2力=1联立，解方程组即可.

【解析】解：由题意得，a"+i*am+n—am+2n+l—a6,则加+2〃=5,

m+2n=5[m=3

•••〈c,，；•〈，，故””=3.

m-2n=I[n=1

【点睛】本题考查同底数幕的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组是解答本题的关

键.

7.（2021•浙江杭州•七年级期中）若科"=32”则卢+4，”的值是（）

1

A.—B.16C.20D.24

16

【答案】C

【分析】根据乘方、幕的乘方的性质，通过列一元一次方程并求解，再根据代数式的性质计算，即可得到

答案.

2+mm+l32+，5+1

[详解】8=32（2）"=（2）"'26+3m=25m+56+3m=5m+52m=1m=—

44”+42，”=42+4=]6+4=20故选：C.

【点睛】本题考查了乘方、幕的乘方、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握塞的乘方的

性质，从而完成求解.

题型6利用塞运算比较大小.

1.（2020•苏州新草桥中学七年级月考）已知。=255,6=344"=433,把访b,C从小到大排列

__________________.（用”连接）

【答案】a<c<b

【分析】首先利用褰的性质将原式都变为指数相同的数，进而比较底数即可.

【详解】•."=255^25)11=32"，6=344=(34)11=81",C=433=(43)11=6411,

a<c<b.故答案为：a<c<b.

【点睛】本题主要考查累的乘方运算及逆运算，正确利用幕的性质将原式都变为指数相同的数是解题关

键.

61

2.(2020•山东中区•初一期末)已知、=8巴6=273c=9,b、c的大小关系是()

A.d>b>cB.d>c>bC.a<b<cD.b>c>a

【答案】A

【分析】先把a,b,c化成以3为底数的基的形式，再比较大小.

【解析】解：a=8131=3124,6=3巴c=961=3%a〉b>c.故选A.

【点睛】此题重点考察学生对幕的大小比较，掌握同底数幕的大小比较方法是解题的关键.

3.(2021•全国)比较大小：(1)比较21°°和375的大小；(2)已知。、b为正数，且/=2,及=3,试比

较a、b的大小.

10075

【答案】⑴2<3；(2)a<b.

【分析】⑴根据2必=(247=16%，375=03)25=2725,从而比较大小即可；

(2)由/=2,/=3,可以得到。6=(.2)3=23=8,加=仅3)2=32=9,由此求解即可.

【详解】解:(1)•.•2KW=(24>=1625,375=(33)25=2725,

2100=(24)25=1625<375=(33)25=2725，:.2100<375；

(2)a1=216，=3,a6=(02)=23=8,66=伊)=3。=9,a6<b6>

又,：a、6都是正数二。<数

【点睛】本题主要考查了幕的乘方的逆运算，哥的乘方，实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相

关知识进行求解.

4.(2021•四川省内江市第六中学八年级开学考试)比较2⑼与3'5的大小：因为*0=(24)”=1625,

375=(3)"=2725,而16<27,所以1625<2725,即2Kxi<375.据此可知3$5、4"、533的大小关系是()

A.355<444<533B.533<444<355C.444<533<355D.533<355<4^

【答案】D

【分析】利用基的乘法把355、4”、533化为指数都为11的哥，然后比较底数的大小即可.

5113331111

【详解】解:因为355=（3）11=243%444=（44）n=256,5=（5）=125,

而125<243<256,所以1251y2431y256、即533<355<444.故选：D.

【点睛】本题考查了幕的乘方与积的乘方：幕的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（〃"）"=心"（m,n

是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，即（"）"=。丐"（〃是正整

数）.

61

5.（2021•杭州绿城育华学校七年级月考）已知4=8131,6=273c=9,则下列关系中正确的是（）

A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.

【答案】c

【分析】直接利用幕的乘方运算法则将原式变形进而得出答案.

【详解】解：Va=8131=3124,6=2741=3123,c=961=3122,：.a>b>c.故选：C.

【点睛】此题主要考查了幕的乘方运算，正确将原式变形是解题关键.

6.（2021•河北衡水市•八年级期末）已知。=8产，6=27*,c=9611则“c的大小关系是（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

【答案】B

【分析】根据嘉的乘方和积的乘方的运算法则求解.

31124

【详解】解：a=81=3-buz7’=.，0=961=3122,

*；a、b、c的底数相同，；.a>b>c.故选：B.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，募的乘方，解答本题的关键是掌握哥的乘方的运算法则.

题型7利用塞运算进行代数式表示

1.（2020•汉中市杨河学校初一月考）按题目要求计算：

（1）已知2"'—1=2，求3+4"'的值；（2）已知78=4、g=b，用含有。、b的式子表示5656.

78

【答案】⑴12；（2）ab

【分析】（1）将已知变形为2"=3,再将中化为底数为2的形式，然后将2m=3代入求值即可；

（2）将5656化为（7x二仁了.⑹。然后代入求解即可.

mm2mm22

【解析】(1)V2"'-1=2>/.2=3,/.3+4=3+2=3+(2)=3+3=12：

（2）5656=（7X8）7X8=77X8X87X8=（78）?.（87）8=//.

【点睛】本题考查了幕的乘方和积的乘方，掌握运算法则并灵活运用募的乘方和积的乘方的逆运算是解答

本题的关键.

2.（2021•山东寒亭•七年级期中）若*3,4=5,8。=15,则（）

A.a+2b=3cB.a+b=cC.a+2b=cD.2a+b=c

【答案】A

【分析】直接利用同底数幕的乘法运算法则以及幕的乘方运算法则将所给出的条件式进行变形得出答案.

【详解】解：：2。=3,41=5,8。=15,/.2,=3,226=5,230=15,

■:3x5=152ax226=23c，即T+lb=23ca+2b=3c故选：A

【点睛】此题主要考查了同底数幕的乘法以及哥的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键.

3.（2021•江苏南京钟英中学）若=优（。＞0且awl,相、〃是正整数），则加=〃.利用上面结论解决

下面的问题：（1）如果2+8*-16*=25,求x的值；（2）如果2"2+2川=24,求x的值；

（3）若x=5"—3,y=4-25m,用含x的代数式表示y.

【答案】（1）x=4：（2）x=2-.（3）y=-x2-6x-5

【分析】（1）先,将底数都化为2,再利用同底数幕的乘除法法则计算；（2）利用积的乘方逆运算解答；

（3）利用等式的性质及幕的乘方逆运算将式子变形为x+3=5"',4-y=25'"=52m,即可得到x与y的关系

式，由此得到答案.

【详解】解:（1）,.,2-8r-16v=25,A2-23x-24'=25，Al-3x+4x=5,解得x=4；

（2）V2x+2+2x+1=24,A2r.22+2x-2=24，2*（4+2）=24,2工=4=2Z,x=2；

（3）Vx=5m-3,y=4-25m,，x+3=5",4-y=25m=52m,

4-y=（无+3）2,y=4-（x+3）2=-x2-6x-5.

【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幕相乘、同底数暴相除、积的乘方以及塞的乘方的计算法则，

熟记法则及其逆运算是解题的关键.

4.（2020•江苏高港实验学校初一期中）若3壮L27,2工=4'—,则无-产.

【答案】0

【分析】首先化成同底数可得x+l=3,x=2y-2,解方程可得x、y的值，进而可得答案.

【解析】由题意得27=33,4=22,，x+l=3,x=2y-2,解得:x=2,y=2,x-y=0.故答案为：0.

【点睛】此题考查同底数累的乘法，解题关键在于掌握运算法则.

5.(2021•浙江八年级期末)我们知道下面的结论：若储"=a"(。>0,且,则加=".利用这个结

论解决下列问题：设3"，=2,3"=6,3。=18.现给出加，"，?三者之间的三个关系式：@m+p=?.n,②

3m+n=4p-6,③/2-2加=3.其中正确的是()

A.①②B.①③C.②③D.①

【答案】B

【分析】根据同底数累的乘除法公式即可求出〃?、〃、〃的关系.

【详解】解：；3"=6=3x2=3x3'"=3'"+1，〃=1+加，m=n-\,

3P=18=3x6=3x3"=3"",."./?=1+n=1+1+m=2+m,

①m+/?="-l+l+"=2",故正确；②3加+〃=3(0-2)+p-l=4p-7,故错误；

22

(3)p-n-2m=(p+n)(<p-n)-2m=(2+m+l+m)(2+m-l-m)-2m=3,故正确；故选B.

【点睛】本题考查同底数暴的乘除法，解题的关键是熟练运用同底数暴的乘除法公式，本题属于中等题

型.

题型7与募运算有关的新定义

1.(2021・仪征市第三中学)如果4=6,那么我们规定(a,b)=c.例如：因为23=8,所以(2,8)=

3.(1)根据上述规定，填空：(3,27)=,(4,16)=,(2,16)=.

(2)记(3,5)—a,(3,6)—b,(3,30)—c.求证：a+b—c.

【答案】(1)3,2,4；(2)详见解析

【分析】(1)由题意直接根据规定的两数之间的运算法则进行分析即可解答；

(2)由题意根据积的乘方法则，结合定义进行分析计算即可.

【详解】解：(1)=33=27,(3,27)=3；V42=16,/.(4,16)=2；

：24=16,/.(2,16)=4；故答案为：3；2；4；

(2)证明：(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)—c,

：.3a=5,3b=6,3c=30,；.3ax3b=30,.,.3a+b=30,

:3。=30,.\3a+b=3c,；.a+b=c

【点睛】本题考查的是幕的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，熟练掌握幕的乘方和积的乘方法则是

解题的关键.

2.(2021・镇江实验学校)规定两数a,6之间的一种运算，记作(。⑼，如果"=6,贝U(a,b)=c.我们叫

(。,6)为“雅对”.例如：因为23=8,所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)

成立.证明如下：

设(3,3)=%,(3,5)=〃，贝!13M=3,3"=5,

故3"'.3"=3"""=3x5=15,

则(3,15)=m+n,即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根据上述规定，填空：(2,0.25)=；(5,1)=；(—,16)=4.

(2)计算(5,2)+(5,7)=,并说明理由.

⑶利用“雅对”定义证明：(2",3")=(2,3),对于任意自然数〃都成立.

【答案】(1)-2,0,2；(2)(5,14)；(3)见解析

【分析】(1)根据上述规定即可得到结论；

(2)设(5,2)=x,(5,7)=y，根据同底数基的乘法法则即可求解；

(3)设(2",3")=x,于是得到(2")*=3",即(2，)〃=3"根据“雅对”定义即可得到结论.

【详解】解：(1)V2-2=0.25,A(2,0.25)=-2；

,.•5°=1,(5,1)=0；:24=16,；.(2,16)=4,

故答案为：-2,0,2；

(2)设(5,2)=x,(5,7)=y,贝U5*=2,*=7,5y=14,

(5,14)=x+y,；.(5,2)+(5,7)=(5,14),故答案为：(5,14)；

(3)设(2",3")=x,则(2")』3",即(2工)"=3",

所以2工=3,即(2,3)=x,所以(2",3")=(2,3).

【点睛】此题考查了有理数的运算，幕的乘方，同底数幕的乘法，弄清题中的新运算是解本题的关键.

3.(2021・河南金水•)如果/=6,那么我们规定(a,6)=c.例如；因为23=8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定填空：(4,16)=,(3,1)=,(2,0.25)=；

(2)若(3,4)=a,(3,6)=6,(3,96)=c.判断。也c之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)2;0;-2；(2)2a+b=c；理由见解析.

【分析】(1)根据代入数运算即可；(2)根据题意列出等式求解即可.

【详解】⑴(4,16)=2;(3,1)=0;(2,0.25)=-2

(2)因为(3,4)=/(3,6)=6,(3,96)=。3"=4,3*=6,3°=96,

(3a)2x3z,=16x6=3c=96,32ax3b=3c,：.2a+b=c.

【点睛】此题考查了新定义问题和同底数募的乘法结合问题，解题的关键是根据题意列出等式.

4.(2021・安徽安庆・七年级期末)规定两数之间的一种运算，记作(。力)；如果箫=人那么m6)=c,

例如：因为2，=8,所以(2,8)=3

(1)根据上述规定，填空：(5,125)=；(5,1)=,〔2,.

(2)小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数“，(3",4")=(3,4).小明给了如下的证明：设

(3",4")=x,(3")"=4",(3»=4”,所以3,=4,(3,4)=x,所以(3",4)=(3,4),请根据以上规律：计算：

(16,10000)-(64,1000000).(3)证明下面这个等式：(3,20)-(3,4)=(3,5).

【答案】⑴3,0,-2；(2)0；(3)见解析

【分析】(1)根据题目中的规定，进行运算即可得出结果(2)(16,10000)可转化为(24,104),(64,1000000)

可转化为②，106),从而可求解；(3)设(3,20)=仁(3,4)=九贝I]3^=20,3，'=4,从而可得3、3y=5,得

3r=5,即有(3,5)=x-y,从而得证.

【详解】(1)解：•/53=125,(5,125)=3；♦；5。=1,(5,1)=0；

■■-2-2=^,：.(2-)=-2.故答案为：3,0,-2；

(2)解：(16,10000)-(64,1000000)=(24,104)-(26,106)=(2,10)-(2,10)=0；

(3)证明：设(3,20)=x,(3,4)=y,贝3"=20，3y=4,

:.r^3y,=20+4,=5,.-.(3,5)=x->,

又；(3,20)-(3,4)=x-y,:.(3,20)-(3,4)=(3,5)

【点睛】本题考查了幕的乘方，熟练掌握暴的乘方是解题的关键.

5.(2020•浙江杭州市•七年级其他模拟)我们知道，同底数暴的乘法法则为a".a"=am+n(其中ah0,

m、”为正整数),类似地我们规定关于任意正整数切、〃的一种新运算：h(m+〃)=h(m)•h(〃)；比如

h(2)-3,贝(]4(4)=>(2+2)=3x3=9,若h(2)=k(k力0),那么力(8)=,h(2n)-7?(2020)=

【答案】k4j^n+1010

【分析】根据h(m+n)=h(m)-h(n),通过对所求式子变形，然后根据同底数幕的乘法计算即可解答本

题.

【详解】解：：%(％+〃)=%(%)•%(〃),hQ)=k(k手0),

力(8)=7/(2+2+2+2)=力(2)•力(2)•力(2)•力(2)=/,

,:h(2)=k(k丰0),

力(2〃).1(2020)=2(2+2+…+2)・。(2+2+…+2)=〃(2).h(2)...-力(2)x〃(2).h⑵…•〃(2)

n+101

=kn.k1010=kn+1010；故答案为：甘,k°.

【点睛】本题考查同底数事的乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的

值.

6.(2021•镇江市外国语学校七年级月考)一般地，〃个相同的因数a相乘。"；记为a"；如

2x2x2=23=8,止匕时；3叫做以2为底8的对数，记为log?8(即10gz8=3).一般地，若a"=b(。>0且

g1,b>0),则〃叫做以。为底6的对数，记为log*(BPlogab=n).如34=81,则4叫做以3为底

81的对数，记为1叫81(gpiog381=4).(1)计算下列各对数的值：1(^4=；log216=；

log264=；

(2)你能得到log?4、log216、log?64之间满足怎样的关系式：；

(3)由(2)的结果，请你归纳出log.河、bg“N、log.九W之间满足的关系式：,

(4)根据哥的运算以及对数的含义验证(3)的结论.

【答案】(1)2,4,6；(2)Iog2^+log216=/og264；(3)logaM+logaN=loga(.MN)；(4)见解析

【分析】(1)根据对数的定义求解；(2)认真观察，不难找到规律：根据4x16=64,可判断

Iog24+log216=/og264；

(3)由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga(MN)；

(4)首先可设触声=仇，loSaN=b2,再根据塞的运算法则：心型=产加以及对数的含义证明结论.

24