北师版九年级数学上册期末复习（易错题60题31个考点）

期末复习（易错题60题31个考点）一．解一元二次方程-配方法（共1小题）1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1二．根的判别式（共2小题）2．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或363．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．三．根与系数的关系（共1小题）4．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（）A． B．1 C． D．四．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）5．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182五．配方法的应用（共1小题）6．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为．（2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值；（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．六．反比例函数的图象（共1小题）7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（）A． B． C． D．七．反比例函数系数k的几何意义（共6小题）8．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．39．如图，是反比例函数y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（）A．8 B．6 C．4 D．210．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k＝．11．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为．12．如图，A，B是双曲线y＝上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为．13．如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，过点C的反比例函数的图象交正方形对角线BD于点E．若正方形的面积为40，且点E是BD的中点，则k的值为．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，AB∥x轴，点C的坐标为（6，3），反比例函数y＝的图象经过A，P两点，则k的值是（）A．4 B．3 C．2 D．115．如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：．九．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）16．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（）A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞317．如图，直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．18．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（6，n）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接AC．点A，B的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD为2，OB＝2，设直线AC的解析式为y＝kx+b．（1）请结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集；（2）求直线AC的解析式；（3）平行于y轴的直线x＝n（2＜n＜4）与AC交于点E，与反比例函数图象交于点F，当这条直线左右平移时，线段EF的长为，求n的值．一十．反比例函数的应用（共1小题）20．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）动力臂（L/m）…0.51.01.52.02.5…动力（F/N）…300150100a60…请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（）A．150N B．90N C．75N D．60N一十一．反比例函数综合题（共1小题）21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+m与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A，B的坐标分别为（1，4）和（﹣2，n）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）请直接写出不等式2x+m＜的解．（3）若点E在反比例函数图象上且∠CAE＝45°，求点E的坐标．一十二．二次函数的性质（共2小题）22．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为s；23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝t，两个不同点（3，m），（t+1，n）在抛物线上．（1）若m＝n，求t的值；（2）若n＜m＜c，求t的取值范围．一十三．二次函数图象与系数的关系（共3小题）24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．326．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且该图象与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，并经过点（﹣2.3，y1）与点（1.5，y2），则下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③y1＞y2；④对于任意实数m，都有am2+bm＜a+b．其中正确结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4一十四．抛物线与x轴的交点（共1小题）27．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是．一十五．二次函数的应用（共3小题）28．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？29．某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg，每日销售y/（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝kx+b，部分数据如表：销售单价x（元/kg）12…10每日销售量（kg）49004800…4000经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）．（1）y与x的函数关系式是，x的范围是；w与x的函数关系式是；（2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？（3）网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a的值．30．北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝ax2+x+c运动．（1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为米．求出a，c的值；（2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请求出a的取值范围．一十六．二次函数综合题（共6小题）31．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．32．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD．（1）求抛物线的解析式和b值；（2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．35．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣5），连接BC．N是线段BC上方抛物线上一点，过点N作NM⊥BC于M．（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；（2）求线段NM的最大值；（3）若点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．36．蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线的一部分AED构成（以下简记为“抛物线AED”），其中AB＝4m，BC＝6m，现取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，OE＝7m，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，其中L，R在抛物线AED上，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；（3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为BK，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线AED交于点P，求线段PK的长．一十七．菱形的性质（共1小题）37．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．一十八．菱形的判定与性质（共1小题）38．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．一十九．矩形的性质（共2小题）39．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（）A． B． C．5 D．740．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变二十．正方形的性质（共3小题）41．在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个的面积分别是a、b、c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（）A．a+b+c B．a+c C．a+2b+c D．a﹣b+c42．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N．（1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM＝EN；（2）如图2，若E点不与O点重合：①EM还等于EN吗？说明理由；②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由．43．正方形ABCD的边长为6，正方形DEFG的顶点E、F分别在正方形ABCD的对角线AC和BC边上，BF＝2CF，连接CG．（1）求证：AE＝CG；（2）求AE2+CE2的值．二十一．垂径定理（共1小题）44．已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD的距离是（）A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．无法判断二十二．垂径定理的应用（共1小题）45．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是cm．二十三．圆周角定理（共1小题）46．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（）A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°二十四．圆内接四边形的性质（共1小题）47．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．二十五．三角形的外接圆与外心（共2小题）48．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣49．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆．（1）求⊙O的半径；（2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长．二十六．平行线分线段成比例（共1小题）50．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．二十七．相似三角形的判定（共2小题）51．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．52．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）．（1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．二十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）53．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（）A．2 B． C． D．54．矩形ABCD中，BC＝2AB，M为AD边的中点，点P为对角线BD的中点，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F．（1）如图，则＝．（2）求证：BE﹣2MF＝AB．（3）作射线EF与射线BD交于点G，若BE：AF＝3：4，EF＝，求DG的长．二十九．位似变换（共2小题）55．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为（）A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）56．在平面直角坐标系中，△COD与△AOB位似比为，位似中心为原点O，若点C的坐标为（﹣3，﹣2），则其对应点A的坐标是．三十．解直角三角形的应用（共1小题）57．学科综合我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．观察实验为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度数．（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，）三十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）58．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）59．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）60．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

期末复习（易错题60题31个考点）一．解一元二次方程-配方法（共1小题）1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1【答案】D【解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝﹣8+9，（x﹣3）2＝1，故选：D．二．根的判别式（共2小题）2．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【答案】A【解答】解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）＝4+12m2＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得：，解得：，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3m2＝﹣3，∴m＝±1，∴m的值为±1．三．根与系数的关系（共1小题）4．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（）A． B．1 C． D．【答案】B【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1，所以+＝＝＝1．故选：B．四．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）5．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182【答案】B【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．五．配方法的应用（共1小题）6．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为﹣2．（2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值；（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．【答案】（1）﹣2；（2）8；（3）﹣21．【解答】解：（1）当x＝1时，（x﹣1）2﹣2有最小值，是﹣2，故答案为：﹣2；（2）x2﹣10x+33＝（x﹣5）2+8，则代数式x2﹣10x+33的最小值是8；（3）∵﹣x2+7x+y+12＝0，∴y＝x2﹣7x﹣12，∴x+y＝x2﹣6x﹣12＝（x﹣3）2﹣21，∴x+y的最小值是﹣21．六．反比例函数的图象（共1小题）7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于一、三象限，若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于二、四象限，若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于二、四象限，若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于一、三象限，故选：A．七．反比例函数系数k的几何意义（共6小题）8．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【答案】A【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．9．如图，是反比例函数y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解答】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，S△BOC＝S△AOC＝∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB＝3∴﹣＝3∴k2﹣k1＝6故选：B．10．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k＝16．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△BCE的面积为8，∴，∴BC•OE＝16，∵点D为斜边AC的中点，∴BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，又∠EOB＝∠ABC，∴△EOB∽△ABC，∴，∴AB•OB＝BC•OE∴k＝AB•BO＝BC•OE＝16．故答案为：16．11．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：OB＝OD，AB＝CD，∵四边形ABCD的面积等于S△ADB+S△BDC，∵A（1，1），B（1，0），C（﹣1，﹣1），D（﹣1，0）∴S△ADB＝（DO+OB）×AB＝×2×1＝1，S△BDC＝（DO+OB）×DC＝×2×1＝1，∴四边形ABCD的面积＝2．故答案为：2．12．如图，A，B是双曲线y＝上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过B作BE⊥x轴于E，∵AC⊥x轴于C，∴△ACO与△BEO的面积相等，∴△ADO的面积与梯形CDBE的面积相等，又∵DC∥BE，∴△OCD∽△OEB，∵D为BO的中点，∴＝，即＝，解得S△OCD＝，∴S△OEB＝1+＝，即|k|＝，解得k＝±，又∵k＜0，∴k＝﹣，故答案为：﹣．13．如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，过点C的反比例函数的图象交正方形对角线BD于点E．若正方形的面积为40，且点E是BD的中点，则k的值为16．【答案】16．【解答】解：作CG⊥x轴于G，设C（a，），又由四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABO+∠BCG＝90°．又∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠GBC．又∠AOB＝∠BGC＝90°，∴△AOB≌△BGC（AAS）．∴OB＝CG，AO＝BG．又CG＝，OG＝OB+BG＝a，∴AO＝BG＝OG﹣OB＝a﹣．∴A（0，a﹣）．∵四边形ABCD为正方形，∴对角线AC与BD互相平分．∵E为BD的中点，∴E为AC的中点．∴E（，）．又E在反比例函数y＝，∴k＝a2．∴a2＝4k．又正方形的面积为AB2＝40，且AB2＝OA2+OB2，∴（a﹣）2+（）2＝40．∴a2﹣2k+2×＝40．∴2k+k＝40．∴k＝16．故答案为：16．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，AB∥x轴，点C的坐标为（6，3），反比例函数y＝的图象经过A，P两点，则k的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线BD与AC互相垂直且平分，∴PA＝PC，∵AC经过原点O，且反比例函数y＝的图象恰好经过A，P两点，∴由反比例函数y＝图象的对称性知：OA＝OP＝AP＝CP，∴OP＝OC．过点P和点C作x轴的垂线，垂足为E和F，∴△OPE∽△OCF，∴OP：OC＝OE：OF＝PE：CF＝1：3，∵点C的坐标为（6，3），∴OF＝6，CF＝3，∴OE＝2，PE＝1，∴点P的坐标为（2，1），∴k＝2×1＝2．故选：C．15．如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：k＝4（答案不唯一）．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知：k＞0，∵反比例函数y＝（k＞0）的图象与线段AB有交点，且点A（3，3），B（3，1），∴把B（3，1）代入y＝得，k＝3，把A（3，3）代入y＝得，k＝3×3＝9，∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9的整数，故k＝4（答案不唯一），故答案为：k＝4（答案不唯一）．九．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）16．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（）A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3【答案】A【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，∴k＝6．又B（m，﹣2）在反比例函数上，∴m＝﹣3．∴B（﹣3，﹣2）．结合图象，∴当ax+b＞时，﹣3＜x＜0或x＞2．故选：A．17．如图，直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y＝，可得k＝1×3＝3，∴y与x之间的函数关系式为：y＝；（2）∵A（1，3），∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；（3）y1＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4，∴点B的坐标为（4，0），把A（1，3）代入y2＝x+b，可得3＝+b，∴b＝，∴y2＝x+，令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0），∴BC＝7，∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，∴CP＝BC＝，或BP＝BC＝，∴OP＝3﹣＝，或OP＝4﹣＝，∴P（﹣，0）或（，0）．18．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（6，n）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将A（﹣3，4）代入y＝，得m＝﹣3×4＝﹣12∴反比例函数的解析式为y＝﹣；将B（6，n）代入y＝﹣，得6n＝﹣12，解得n＝﹣2，∴B（6，﹣2），将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴所求的一次函数的解析式为y＝﹣x+2；（2）当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝3，∴C（3，0），∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOC＝×3×2＝3，∴S△AOB＝6+3＝9；（3）存在．过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图，∴∠AP1C＝90°，∵A点坐标为（﹣3，4），∴P1点的坐标为（﹣3，0）；∵∠P2AC＝90°，∴∠P2AP1+∠P1AC＝90°，而∠AP2P1+∠P2AP1＝90°，∴∠AP2P1＝∠P1AC，∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，∴＝，即＝，∴P1P2＝，∴OP2＝3+＝，∴P2点的坐标为（﹣，0），∴满足条件的P点坐标为（﹣3，0）、（﹣，0）．19．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接AC．点A，B的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD为2，OB＝2，设直线AC的解析式为y＝kx+b．（1）请结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集；（2）求直线AC的解析式；（3）平行于y轴的直线x＝n（2＜n＜4）与AC交于点E，与反比例函数图象交于点F，当这条直线左右平移时，线段EF的长为，求n的值．【答案】（1）2＜x＜4；（2）y＝﹣x+；（3）或3．【解答】解：（1）根据图象可知：不等式kx+b＞的解集为：2＜x＜4；（2）将A点坐标（2，3）代入y＝，得：m＝xy＝2×3＝6，∴y＝；又OD＝4，∴C（4，1.5），将A（2，3）和C（4，1.5）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+；（3）当x＝n时，点E的纵坐标为﹣n+，点F的纵坐标为，依题意，得：﹣n+﹣＝，解得n＝或n＝3．一十．反比例函数的应用（共1小题）20．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）动力臂（L/m）…0.51.01.52.02.5…动力（F/N）…300150100a60…请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（）A．150N B．90N C．75N D．60N【答案】C【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，设方程为：L＝，从表中取一个有序数对，可取（0.5，300）代入L＝，∴K＝150．∴L＝．把L＝2.0m代入上式，∴F＝75N．故选：C．一十一．反比例函数综合题（共1小题）21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+m与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A，B的坐标分别为（1，4）和（﹣2，n）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）请直接写出不等式2x+m＜的解．（3）若点E在反比例函数图象上且∠CAE＝45°，求点E的坐标．【答案】（1）直线AB的解析式为y＝2x+2，反比例函数的解析式为y＝；（2）x＜﹣2或0＜x＜1；（3）E（，3）或（﹣12，﹣）．【解答】解：（1）把A（1，4）分别代入y＝2x+m和y＝得，4＝2+m，4＝，∴m＝2，k＝4，∴直线AB的解析式为y＝2x+2，反比例函数的解析式为y＝；（2）把（﹣2，n）代入y＝2x+2得n＝2×（﹣2）+2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），∴不等式2x+m＜的解为x＜﹣2或0＜x＜1；（3）∵直线ABy＝2x+2与x轴交于点C，∴C（﹣1，0），如图，过点A作AM⊥x轴于点M，∴AM＝4，CM＝2，∠AMC＝90°，∴AC＝2，设点E使得∠CAE＝45°，延长AE交x轴于点F，过点F作FN⊥AC于点N，∴∠CNF＝∠AMC＝90°，∵∠ACM＝∠FCN，∴△ACM∽△FCN，∴AM：CM＝FN：CN＝2：1，即FN＝2CN，∵∠CAE＝45°，∴∠AFN＝∠CAE＝45°，∴AN＝NF＝2CN，∵AN+CN＝AC，∴2CN+CN＝2，∴CN＝，NF＝，∴CF＝CN＝，∴OF＝，即F（，0），设直线AF的解析式为：y＝k′x+b，∴，解得，∴直线AF的解析式为：y＝﹣3x+7，令＝﹣3x+7，解得x＝1（舍）或x＝，∴E（，3）；如图，过点A作AG⊥AF与反比函数交于一点E′，∴直线AG的解析式为：y＝x+，令＝x+，解得x＝1或x＝﹣12，∴E′（﹣12，﹣）．综上，符合题意的点E的坐标为E（，3）或（﹣12，﹣）．一十二．二次函数的性质（共2小题）22．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为4s；【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间，则t＝﹣20×＝4s，故答案为4s．23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝t，两个不同点（3，m），（t+1，n）在抛物线上．（1）若m＝n，求t的值；（2）若n＜m＜c，求t的取值范围．【答案】（1）t＝4．（2）＜t＜2或t＞4．【解答】解：（1）∵m＝n，∴点（3，m）与（t+1，n）关于对称轴x＝t对称，∴＝t，∴t＝4．（2）①如图1，当t＜0时，当x＝3时，m＞c，不符合题意．②当t＝0时，c是最小值，不符合题意．③如图2，当t＞0时，∵m＜c，∴3＜2t，∴t＞，∵m＞n，∴点（3，m）到对称轴x＝t的距离要大于点（t+1，n）到对称轴x＝t的距离，∴|3﹣t|＞1，当t＞3时，t﹣3＞1，∴t＞4，当t＜3时，3﹣t＞1，∴t＜2，综上得，t的取值范围为：＜t＜2或t＞4．一十三．二次函数图象与系数的关系（共3小题）24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a＜﹣c，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＞0；∵对称轴是直线x＝﹣1，则＝﹣1，∴b＝2a．∵a＞0，∴b＞a；再取x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0．∴①、③正确．故选：C．26．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且该图象与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，并经过点（﹣2.3，y1）与点（1.5，y2），则下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③y1＞y2；④对于任意实数m，都有am2+bm＜a+b．其中正确结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，所以c＞0，∴abc＞0，①正确，符合题意．∵图象与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，对称轴为直线x＝﹣1，∴图象与x轴的另一个交点在点（1，0）和（2，0）之间，∴x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c＞0，②正确，符合题意．∵1.5﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2.3），∴点（﹣2.3，y1）到对称轴的距离小于点（1.5，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2，③正确，符合题意．∵x＝﹣1时y＝a﹣b+c为函数最大值，∴m≠1时，﹣m≠﹣1，即am2﹣bm+c＜a﹣b+c，∴am2﹣bm＜a﹣b，存在m，当x＝m时，am2+bm≥a+b，故④错误，不符合题意．故选：C．一十四．抛物线与x轴的交点（共1小题）27．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：对于y＝x2﹣4x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，解得x＝1或3，故点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（1，0）、（3，0），函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，则点D（4，3），过点D作y轴的对称点H（﹣4，3），连接BH交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，理由：∵点H、D关于y轴对称，则EH＝ED，则DE+EF＝HE+EF＝HF为最小，则DE+EF最小＝HF＝HB﹣1＝﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．一十五．二次函数的应用（共3小题）28．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（30，150）；（80，100）分别代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；（2）设利润为w元，由题意得：w＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；令﹣x2+210x﹣5400＝3600，解得x＝60或x＝150（舍），∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；（3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，∵﹣1＜0，∴当x≤105时，w随x的增大而增大，∵30≤x≤80，∴当x＝80时，w最大，最大为5000元．∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元．29．某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg，每日销售y/（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝kx+b，部分数据如表：销售单价x（元/kg）12…10每日销售量（kg）49004800…4000经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）．（1）y与x的函数关系式是y＝﹣100x+5000，x的范围是6≤x≤30；w与x的函数关系式是w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）；（2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？（3）网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a的值．【答案】（1）y＝﹣100x+5000；6≤x≤30；w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）．（2）销售单价定为28元时，获利最大，为46400元；（3）a＝2．【解答】解：（1）由表中数据可得，当x＝1时，y＝4900，当x＝2时，y＝4800，代入y＝kx+b得，，解得，∴y与x的函数关系式是y＝﹣100x+5000，且x＞1；由于销售单价不低于成本价格（6元＞且不高于30元/kg，则w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）．故答案为：y＝﹣100x+5000；6≤x≤30；w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）．（2）由（1）知，w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）．∵a＝﹣100＜0，∴函数图象开口向下，有最大值，函数图象的对称轴为x＝﹣＝28，∵6≤x≤30，∴当x＝28时，函数w有最大值，为46400，∴销售单价定为28元时，获利最大，为46400元；（3）收取α元后，利润为w＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，∵a＝﹣100＜0，∴函数图象开口向下，有最大值，又函数图象的对称轴为x＝﹣＝28+a，∵a＜4，∴当x＝28+a时，获利最大值为42100元，将x＝28+a代入得，（28+a﹣6﹣a）[﹣100（28+a）+5000]﹣2000＝42100，解得a＝2或a＝86（舍），∴a＝2．30．北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝ax2+x+c运动．（1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为米．求出a，c的值；（2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请求出a的取值范围．【答案】（1）a＝﹣，c＝4；（2）﹣≤a＜0．【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝ax2+x+c过点（0，4）和（6，），将其代入得：，解得，．∴a＝﹣，c＝4；（2）∵抛物线C2经过点（0，4），∴c＝4，抛物线C1：y＝﹣＝﹣（x﹣8）2+，当x＝8时，运动员到达坡顶，即82a+8×+4＞+，解得a≥﹣，∴﹣≤a＜0．一十六．二次函数综合题（共6小题）31．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函数的解析式为：y＝，（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y＝，过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图设D（m，），则点F（m，），∴DF＝﹣（）＝，∴S△ADE＝S△ADF+S△EDF＝×DF×AG+DF×EH＝×DF×（AG+EH）＝×4×DF＝2×（）＝，∴当m＝时，△ADE的面积取得最大值为．（3）y＝的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；当PA2＝AE2时，9+n2＝20，解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．32．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．（2）t的值为2或；（3）点P在一条定直线y＝2x﹣2上．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，当x＝0时，y＝﹣8，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．（2）∵F是直线x＝t与抛物线C1的交点，∴F（t，t2﹣2t﹣8）．①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时．则∠BCF1＝∠CBO，∴CF1∥OB．∵C（0，﹣8），∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．解得：t＝0（舍去）或t＝2．②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．过F2作F2T⊥y轴于点T．∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，∴∠F2CT＝∠OBC，又∵∠CTF2＝∠BOC，∴△BCO∽△CF2T，∴，∵B（4，0），C（0，﹣8），∴OB＝4，OC＝8．∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，∴＝，∴2t2﹣3t＝0，解得：t＝0（舍去）或，综上，符合题意的t的值为2或；（3）点P在一条定直线上．由题意知抛物线C2：y＝x2，∵直线OG的解析式为y＝2x，∴G（2，4）．∵H是OG的中点，∴H（1，2）．设M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1．则，解得：，∴直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．∵直线MN经过点H（1，2），∴mn＝m+n﹣2．同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．联立，得，∵直线OM与NG相交于点P，∴n﹣m+2≠0．解得：，∵mn＝m+n﹣2，∴P（，）．设点P在直线y＝kx+b上，则，整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比较系数，得，∴k＝2，b＝﹣2．∴当k＝2，b＝﹣2时，无论m，n为何值时，等式恒成立．∴点P在定直线y＝2x﹣2上．33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．（2）点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4），（3）E的坐标为（﹣1，）．【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（﹣，2），设点D的坐标为（a，b），则有，解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4），②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0），设点D的坐标为（a，b），则有，解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4），③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（，2），设点D的坐标为（a，b），则有，解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4），综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；（3）存在，理由如下：∵tan∠ACO＝＝＜1，∴∠ACO＜45°，∴E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上，当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作EM⊥AC，如图：根据点A（﹣3，0）和点C（0，4）可得直线AC的解析式为y＝，设直线AC与对称轴交于点H，∴点H（﹣1，），HC＝，∵EH∥y轴，∴∠EHM＝∠HCO，∴tan∠EHM＝tan∠HCO＝＝，∴EM＝HM，∵∠ACE＝45°，∴EM＝CM，∴HC＝HM+CM，即＝HM+HM，解得HM＝，∴EM＝，在Rt△EMH中，EH＝，解得EH＝，∴E的纵坐标为＝，∴点E的坐标为（﹣1，）．34．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD．（1）求抛物线的解析式和b值；（2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4；（2）在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）﹣8＜n＜﹣4．【解答】解：（1）∵D（0，4），∴OD＝4，∵OA＝OD，点A在x的负半轴上，∴A（﹣4，0），把A（﹣4，0），D（0，4）分别代入y1＝ax2﹣3x+c，得，解得：，∴该抛物线的解析式为y1＝﹣x2﹣3x+4，把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0，解得：b＝﹣4；（2）存在．在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），如图1，设直线y2＝﹣x﹣4与y轴交于点G，则G（0，﹣4），∴OG＝4，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∴OA＝OG，∴△AOG是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，当∠APB＝90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°，∴∠ABP＝45°＝∠BAP，∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH＝BH，即H是AB的中点，∴H（﹣，0），∴点P的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣，∴P1（﹣，﹣）；当∠ABP＝90°时，则∠APB＝∠BAP＝45°，∴BP＝AB＝5，∴P2（1，﹣5）；综上所述，在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴抛物线y1＝﹣x2﹣3x+4的顶点为（﹣，），沿x轴翻折后的解析式为y＝（x+）2﹣，把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0，解得：n＝﹣4，联立抛物线y＝（x+）2﹣与直线y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n，整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0，当Δ＝16+4（n+4）＝0时，n＝﹣8，∴当直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点时，﹣8＜n＜﹣4．35．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣5），连接BC．N是线段BC上方抛物线上一点，过点N作NM⊥BC于M．（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；（2）求线段NM的最大值；（3）若点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣5，B（﹣5，0）；（2）NM的最大值为．（3）以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，点P（0，﹣1），（0，）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，﹣5）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣5，令﹣x2﹣6x﹣5＝0，解得，x1＝﹣5，x2＝﹣1，∴B（﹣5，0）；（2）如图，过点N作NG⊥x轴与BC交于点G，设直线BC的解析式为y＝kx+m，把B（﹣5，0），C（0，﹣5）分别代入得：，解得，，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣5，∴NG＝（﹣x2﹣6x﹣5）﹣（﹣x﹣5）＝﹣x2﹣5x，∴当x＝﹣＝﹣时，NG有最大值为，又∵MN＝NG，∴NM的最大值为．（3）存在，以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，此时点P（0，﹣1），（0，）；理由如下：∵C（0，﹣5），∴OC＝5，∵A（﹣1，0），B（﹣5，0），∴OB＝5，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BAC＜135°，即点P只能在点C上方的y轴上，∴∠PCB＝∠ABC＝45°，设P（0，a），则a＞﹣5，∴AB＝4，BC＝5，CP＝a+5，∵以点B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△PCB∽△ABC，∴PC：AB＝BC：BC＝1，即（5+a）：4＝1，解得a＝﹣1，∴P（0，﹣1）；②△BCP∽△ABC，∴BC：AB＝PC：BC，即5：4＝（5+a）：5，解得a＝，∴P（0，）．综上，以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，此时P（0，﹣1），（0，）．36．蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线的一部分AED构成（以下简记为“抛物线AED”），其中AB＝4m，BC＝6m，现取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，OE＝7m，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，其中L，R在抛物线AED上，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；（3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为BK，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线AED交于点P，求线段PK的长．【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+7；（2）3﹣）m；（3）PK＝m．【解答】解：（1）由题意可知四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线，∴AD＝BC＝6m，则OB＝3m，∵AB＝4m，OE＝7m，∴A（﹣3，4），D（3，4），E（0，7），设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+7；（2）∵四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，FL＝NR＝0.75m，∴MN＝FG＝FL＝NR＝0.75m，延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABFH均为矩形，∴FH＝AB＝4m，FN＝HL，∴HL＝HF+FL＝4.75m，∵y＝﹣x2+7，当y＝4.75时，4.75＝﹣x2+7，解得x＝±，∴H（﹣，0），J（，0），∴FN＝HJ＝3m，∴GM＝FN﹣FG﹣MN＝（3﹣）m；（3）∵BC＝6m，OE垂直平分BC，∴OB＝OC＝3m，∴B（﹣3，0），C（3，0），∵A（﹣3，4），∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+2，∵太阳光为平行光，设过点K平行于AC的光线的解析式为：y＝﹣x+t，由题意可得，y＝﹣x+t与抛物线相切，令﹣x+t＝﹣x2+7，整理得，x2﹣2x+3t﹣21＝0，则Δ＝（﹣2）2﹣4（3t﹣21）＝0，解得t＝；∴y＝﹣x+，x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，∴P（1，），当y＝0时，x＝11，即K（11，0），∴PK＝＝m．一十七．菱形的性质（共1小题）37．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．【答案】D【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故选：D．一十八．菱形的判定与性质（共1小题）38．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）AC的长为10．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形；（2）解：∵四边形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，∵点D是BC的中点，∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，∴AB•AC＝40，∴×8•AC＝40，∴AC＝10，∴AC的长为10．一十九．矩形的性质（共2小题）39．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（）A． B． C．5 D．7【答案】B【解答】解：如图，连接AP、EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四边形AEPF为矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵点P从B点沿着BD往D点移动，∴当AP⊥BD时，AP取最小值．下面求此时AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝＝10．∵S△ABD＝＝，∴AP＝＝＝．∴EF的长度最小为：．故本题选B．40．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变【答案】C【解答】解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意．BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意，四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意．故选：C．二十．正方形的性质（共3小题）41．在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放