数值分析 试卷及答案 共2套

数值分析试卷（I）及答案一.(8分)用复化梯形公式计算积分，问区间应分多少等分，才能保证计算结果有五位有效数字？解：由又由于（3）其截断误差应满足：（3）n=68即可满足要求（2）二.(10分)求函数y=arctanx在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式(保留6位小数)解：(4)解方程组，(5)(1)三.(18分)设函数满足表中条件:01210-221)填写均差计算表(标有*号处不填):001******110***22-2(2)分别求出满足条件的2次Lagrange和Newton差值多项式.(3)求出一个三次插值多项式,使其满足表中所有条件.解：（1）001******110-1***22-2-2-0.5（5）（2）(6)(3)令则（7）四.(18分)(1).用Romberg方法计算,将计算结果填入下表(*号处不填).0*********1******2***3(2).对于求积公式求待定系数使该求积公式的代数精度尽量高，并指明求积公式的代数精度；用该公式计算积分解：（1）00.74924*********10.474200.38252******20.390760.362940.36164***30.368650.361280.361170.36116(8)(2)a)当f(x)=1,x时，令解得将求积公式具有三次代数精度(7)b)(3)五.(18分)对于方程（1）分析方程的正根范围.（2）可以构造迭代公式：，分析两种迭代法的收敛性（2）用Newton迭代法计算方程正根解的近似值.(要求精度满足:).解：（1）设当所以正根在（1,2）内，并且是唯一正根。（5）（2）对于迭代格式对于迭代格式（6）（7）六.(10分)用直接三角分解（LU分解）法求解线性方程组:其中解：（4）令（3）（3）七.(10分)已知初值问题且，计算公式，判断计算公式精度阶数.解：通过对比，计算公式具有2阶精度（10）八（8分）给出方程组=写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代公式，并说明迭代公式的收敛性。解：Jacobi迭代法：（3）Gauss-seidel迭代法：（3）由于矩阵为严格对角占优矩阵，所以两种迭代法收敛。（2）试卷2一、(10分)设，如果用作为的近似值，误差限是多少，能有几位有效数字？求出的相对误差限。(小数点后保留5位)解：,又因为，，又误差限…………6分因此，具有2位有效数字;…………8分.…………10分二、（16分）设节点1、用Langrange插值和牛顿插值公式求三个节点的二次插值多项式；2、当增加一个条件：时，求对应的三次Hermite插值多项式解：1、…………6分012******1242***231283…………12分2、，，，，，…………16分三、(10分)已知一组实验数据如下：123444.558用直线拟合.解：，,，.由法方程得，所求直线为.………10分四、（10分）方程，讨论如下几种迭代求根方法在区间上的敛散性：1.改写方程为，相应的迭代格式为；2.改写方程为，相应的迭代格式为.解：1、令，则，由于，因此迭代发散。2、令，则，由于，.且当时，，因此迭代收敛。………10分五、（10分）试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度.解：令上式对于，，准确成立，可列出方程…………7分求解上述方程组得，，令，左边=，右边=，左边≠右边该式的代数精度为2阶。……………10分 六、（10分）利用改进的Euler方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长计算）解:令，则改进的Euler公式为： . 取得，. ………………6分计算结果如下：111.21.461.42.06521.62.84754 ……………10分七、（10分）利用矩阵的LU分解法解方程组.解：................6分令得，得................10分八、（10分）用Romberg方法计算,将计算结果填入下表(*号处不填).（保留5位小数）0*********1***2***3解：，, ,,. ,,.,,.00.27563*********10.174450.14072******20.143750.133520.13304***30.135610.132900.132860