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文档简介
2025届四川省内江铁路中学高考数学押题试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()A. B. C. D.2.如图,在△ABC中,点M是边BC的中点,将△ABM沿着AM翻折成△AB'M,且点B'不在平面AMC内,点P是线段B'C上一点.若二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等,则直线AP经过△AB'CA.重心 B.垂心 C.内心 D.外心3.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.4.已知集合,,,则()A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图,则输出的()A.2 B.3 C. D.6.如图,平面与平面相交于,,,点,点,则下列叙述错误的是()A.直线与异面B.过只有唯一平面与平行C.过点只能作唯一平面与垂直D.过一定能作一平面与垂直7.设,命题“存在,使方程有实根”的否定是()A.任意,使方程无实根B.任意,使方程有实根C.存在,使方程无实根D.存在,使方程有实根8.已知函数在区间上恰有四个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.10.已知椭圆内有一条以点为中点的弦,则直线的方程为()A. B.C. D.11.已知数列的通项公式是,则()A.0 B.55 C.66 D.7812.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.平面向量,,(R),且与的夹角等于与的夹角,则.14.在某批次的某种灯泡中,随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下:寿命(天)频数频率40600.30.4200.1合计2001某人从灯泡样品中随机地购买了个,如果这个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样所得的结果相同,则的最小值为______.15.甲,乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛,甲队有编号为1,2,3的三名运动员,乙队有编号为1,2,3,4的四名运动员,若两队各出一名队员进行比赛,则出场的两名运动员编号相同的概率为______.16.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点,过点的直线交椭圆于,两点,直线,分别交直线于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)以线段为直径的圆是否过定点?若是,写出所有定点的坐标;若不是,请说明理由.18.(12分)已知动圆恒过点,且与直线相切.(1)求圆心的轨迹的方程;(2)设是轨迹上横坐标为2的点,的平行线交轨迹于,两点,交轨迹在处的切线于点,问:是否存在实常数使,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.19.(12分)已知椭圆与x轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆C交于两点,连接AM,AN并延长交直线x=4于两点,若,直线MN是否恒过定点,如果是,请求出定点坐标,如果不是,请说明理由.20.(12分)如图1,四边形是边长为2的菱形,,为的中点,以为折痕将折起到的位置,使得平面平面,如图2.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.21.(12分)对于非负整数集合(非空),若对任意,或者,或者,则称为一个好集合.以下记为的元素个数.(1)给出所有的元素均小于的好集合.(给出结论即可)(2)求出所有满足的好集合.(同时说明理由)(3)若好集合满足,求证:中存在元素,使得中所有元素均为的整数倍.22.(10分)如图所示,四棱柱中,底面为梯形,,,,,,.(1)求证:;(2)若平面平面,求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,设,得,求出的值,即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,所以,.设,则,又.故,所以.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、A【解析】
根据题意P到两个平面的距离相等,根据等体积法得到SΔPB'M【详解】二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等,故P到两个平面的距离相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P为CB'中点.故选:A.【点睛】本题考查了二面角,等体积法,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3、D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.4、D【解析】
根据集合的基本运算即可求解.【详解】解:,,,则故选:D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.5、B【解析】
运行程序,依次进行循环,结合判断框,可得输出值.【详解】起始阶段有,,第一次循环后,,第二次循环后,,第三次循环后,,第四次循环后,,所有后面的循环具有周期性,周期为3,当时,再次循环输出的,,此时,循环结束,输出,故选:B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识,经过几次循环找出规律是关键,属于基础题型.6、D【解析】
根据异面直线的判定定理、定义和性质,结合线面垂直的关系,对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面,则A,D,B,C共面,则AB,CD共面,与,矛盾,故正确.B.根据异面直线的性质知,过只有唯一平面与平行,故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知,故正确.D.根据异面直线的性质知,过不一定能作一平面与垂直,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线的定义,性质以及线面关系,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.7、A【解析】
只需将“存在”改成“任意”,有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题,知“存在,使方程有实根”的否定是“任意,使方程无实根”.故选:A【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,此类问题要注意在两个方面作出变化:1.量词,2.结论,是一道基础题.8、A【解析】
函数的零点就是方程的解,设,方程可化为,即或,求出的导数,利用导数得出函数的单调性和最值,由此可根据方程解的个数得出的范围.【详解】由题意得有四个大于的不等实根,记,则上述方程转化为,即,所以或.因为,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在处取得最小值,最小值为.因为,所以有两个符合条件的实数解,故在区间上恰有四个不相等的零点,需且.故选:A.【点睛】本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想,函数零点转化为方程的解,方程的解再转化为研究函数的性质,本题考查了学生分析问题解决问题的能力.9、B【解析】
设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.10、C【解析】
设,,则,,相减得到,解得答案.【详解】设,,设直线斜率为,则,,相减得到:,的中点为,即,故,直线的方程为:.故选:.【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.11、D【解析】
先分为奇数和偶数两种情况计算出的值,可进一步得到数列的通项公式,然后代入转化计算,再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解:由题意得,当为奇数时,,当为偶数时,所以当为奇数时,;当为偶数时,,所以故选:D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题,以及数列求和,考查了正弦函数的性质应用,等差数列的求和公式,属于中档题.12、C【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径,再分别求出三角形和内切圆的面积,根据几何概型的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意,直角三角形的斜边长为,利用等面积法,可得其内切圆的半径为,所以向次三角形内投掷豆子,则落在其内切圆内的概率为.故选:C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题,其中解答中熟练应用直角三角形的性质,求得其内切圆的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】试题分析:,与的夹角等于与的夹角,所以考点:向量的坐标运算与向量夹角14、10【解析】
先求出a,b,根据分层抽样的比例引入正整数k表示n,从而得出的最小值.【详解】由题意得,a=0.2,b=80,由表可知,灯泡样品第一组有40个,第二组有60个,第三组有80个,第四组有20个,所以四个组的比例为2:3:4:1,所以按分层抽样法,购买的灯泡数为n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值为10.【点睛】本题考查分层抽样基本原理的应用,涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算,属于基础题.15、【解析】
出场运动员编号相同的事件显然有3种,计算出总的基本事件数,由古典概型概率计算公式求得答案.【详解】甲队有编号为1,2,3的三名运动员,乙队有编号为1,2,3,4的四名运动员,出场的两名运动员编号相同的事件数为3,出现的基本事件总数,则出场的两名运动员编号相同的概率为.故答案为:【点睛】本题考查求古典概率的概率问题,属于基础题.16、【解析】
先令可得其展开式各项系数的和,又由题意得,解得,进而可得其展开式的通项,即可得答案.【详解】令,则有,解得,则二项式的展开式的通项为,令,则其展开式中的第4项的系数为,故答案为:【点睛】此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)是,定点坐标为或【解析】
(1)根据相切得到,根据离心率得到,得到椭圆方程.(2)设直线的方程为,点、的坐标分别为,,联立方程得到,,计算点的坐标为,点的坐标为,圆的方程可化为,得到答案.【详解】(1)根据题意:,因为,所以,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,点、的坐标分别为,,把直线的方程代入椭圆方程化简得到,所以,,所以,,因为直线的斜率,所以直线的方程,所以点的坐标为,同理,点的坐标为,故以为直径的圆的方程为,又因为,,所以圆的方程可化为,令,则有,所以定点坐标为或.【点睛】本题考查了椭圆方程,圆过定点问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、(1);(2)存在,.【解析】
(1)根据抛物线的定义,容易知其轨迹为抛物线;结合已知点的坐标,即可求得方程;(2)由抛物线方程求得点的坐标,设出直线的方程,利用导数求得点的坐标,联立直线的方程和抛物线方程,结合韦达定理,求得,进而求得与之间的大小关系,即可求得参数.【详解】(1)由题意得,点与点的距离始终等于点到直线的距离,由抛物线的定义知圆心的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线,则,.∴圆心的轨迹方程为.(2)因为是轨迹上横坐标为2的点,由(1)不妨取,所以直线的斜率为1.因为,所以设直线的方程为,.由,得,则在点处的切线斜率为2,所以在点处的切线方程为.由得所以,所以.由消去得,由,得且.设,,则,.因为点,,在直线上,所以,,所以,所以.∴故存在,使得.【点睛】本题考查抛物线轨迹方程的求解,以及抛物线中定值问题的求解,涉及导数的几何意义,属综合性中档题.19、(1)(2)直线恒过定点,详见解析【解析】
(1)依题意由椭圆的简单性质可求出,即得椭圆C的方程;(2)设直线的方程为:,联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标,同理可求出点的坐标,根据的坐标可求出直线的方程,将其化简成点斜式,即可求出定点坐标.【详解】(1)由题有,.∴,∴.∴椭圆方程为.(2)设直线的方程为:,则∴或,∴,同理,当时,由有.∴,同理,又∴,当时,∴直线的方程为∴直线恒过定点,当时,此时也过定点..综上:直线恒过定点.【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系应用,定点问题的求法等,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于难题.20、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由题意可证得,,所以平面,则平面平面可证;(2)解法一:利用等体积法由可求出点到平面的距离;解法二:由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离,过点作的垂线,垂足,证明平面,计算出即可.【详解】解法一:(1)依题意知,因为,所以.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.由已知,是等边三角形,且为的中点,所以.因为,所以.又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)在中,,,所以.由(1)知,平面,且,所以三棱锥的体积.在中,,,得,由(1)知,平面,所以,所以,设点到平面的距离,则三棱锥的体积,得.解法二:(1)同解法一;(2)因为,平面,平面,所以平面.所以点到平面的距离等于点到平面的距离.过点作的垂线,垂足,即.由(1)知,平面平面,平面平面,平面,所以平面,即为点到平面的距离.由(1)知,,在中,,,得.又,所以.所以点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离,考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解:①等体积法;②作(找)出点到平面的垂线段,进行计算即可.21、(1),,,.(2);证明见解析.(3)证明见解析.【解析】
(1)根据好集合的定义列举即可得到结果;(2)设,其中,由知;由可知或,分别讨论两种情况可的结果;(3)记,则,
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