圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点33圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1直线过定点问题】.....................................................................2

【题型2存在定点满足某条件问题】............................................................3

【题型3面积定值问题】.......................................................................5

【题型4斜率的和差商积定值问题】............................................................6

【题型5向量数量积定值问题】.................................................................8

【题型6线段定值问题】.......................................................................9

【题型7角度定值问题】......................................................................10

【题型8动点在定直线上问题】................................................................12

►命题规律

1、圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问

题考查频率较高，此类问题一般有直线过定点问题、满足某条件的定点问题、定值问题以及定直线问题等,

主要在解答题中考查，选择、填空题中考查较少，在解答题中考查时综合性强，难度较高.

►方法技巧总结

【知识点1圆锥曲线中的定点、定值问题】

1.圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点

问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思

想方法来处理，具体操作流程如下：

(1)变量一一选择合适的参变量；

(2)函数一一要证明为定值的量表示出参数的函数；

(3)定值一一化简函数解析式，消去参数得定值.

一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定

点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸.

2.定点问题的求解思路：

一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；

二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点.

3.过定点问题的两大类型及解法

(1)动直线/过定点问题

解法:设动直线方程(斜率存在)为y-kx+t,由题设条件将，用人表示为t-mk+n,得y=k[x+m)+

n,故动直线过定点(-m,ri)；

(2)动曲线。过定点问题

解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.

4.定值问题的求解思路：

将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关.

5.求解定值问题的三个步骤

(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)

无关；也可令系数等于零，得出定值；

⑶得出结论.

【知识点2圆锥曲线中的定直线问题】

1.圆锥曲线中的定直线问题

定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点

的轨迹，主要方法有：

(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；

(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；

(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.

►举一反三

【题型1直线过定点问题】

22

【例1】(2024•河南周口•模拟预测)已知椭圆+患=l(a>b>0)的焦距为2,不经过坐标原点。且斜

率为1的直线[与C交于P,。两点，力为线段的中点，直线。力的斜率为-去

⑴求椭圆C的方程；

(2)设B(2,0),直线尸3与C的另一个交点为M,直线。8与C的另一个交点为N,其中M,N均不为椭圆C的顶

点，证明：直线过定点.

22

【变式1-1](2024•江西九江•二模)已知双曲线。a―左=19>0,8>0)的离心率为百，点「(3,4)在。上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线/与双曲线C交于不同的两点A,B,若直线24,P8的斜率互为倒数，证明：直线2过定点.

【变式1-2](2024•云南•模拟预测)抛物线「:必=2Px(p>0)的图象经过点M(l,-2),焦点为F,过点F

且倾斜角为。的直线I与抛物线「交于点A,B,如图.

(1)求抛物线r的标准方程；

(2)当8=三时，求弦|4B|的长；

(3)已知点P(2,0),直线AP,BP分别与抛物线「交于点C,D.证明：直线CD过定点.

【变式1-3](2024・贵州贵阳•二模)已知椭圆E的一个焦点是(—值,0).直线Gy=以光+为与直线%：y=

k2x+电关于直线，：y=x+1对称，且相交于椭圆E的上顶点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)求上水2的值；

(3)设直线匕,％分别与椭圆E另交于P,Q两点，证明：直线PQ过定点.

【题型2存在定点满足某条件问题】

【例2】(2024•新疆喀什•三模)已知双曲线E：久2一3y2=3的左、右焦点分别为％,尻，4是直线八y=一£比

(其中a是实半轴长，c是半焦距)上不同于原点。的一个动点，斜率为好的直线4％与双曲线E交于M,N

两点，斜率为七的直线力七与双曲线E交于P,Q两点.

(1)求!+5的值；

kik2

(2)若直线。M,ON,OP9OQ的斜率分别为々OM，k°N，k°p,k°Q，问是否存在点4满足/COM+々ON+^OP+kOQ=

0,若存在，求出/点坐标；若不存在，说明理由.

【变式2-1](2024•陕西榆林•模拟预测)已知椭圆C：《+/=l(a>6>0)的左，右焦点分别为％(-c,0),

F2(C,0),过户2的直线与椭圆。交于M，N两点，且△MNF1的周长为8,△MF/2的最大面积为8.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设b>l,是否存在x轴上的定点P,使得△PMN的内心在x轴上，若存在，求出点尸的坐标，若不存在,

请说明理由.

【变式2-2](2024•四川雅安•一模)已知。为坐标原点，过点P(2,0)的动直线/与抛物线=4x相交于A,B

两点.

⑴求祝福

(2)在平面直角坐标系久。y中，是否存在不同于点P的定点Q,使得N4QP=NBQP恒成立？若存在，求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式2-3](2024•全国•模拟预测)在平面直角坐标系中，点(3,鱼)在双曲线C$—，=l(a>0,b>0)

上，渐近线方程为x-By=0.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点「(声,1)作直线/与双曲线C交于48两点，在x轴上是否存在一定点Q,使得直线Q4与QB的斜率之和

为定值？若存在，请求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

【题型3面积定值问题】

【例3】⑵-24高二下•贵州遵义•期中)已知双曲线C:5—r=l(a>0,b>0)的离心率为争虚轴长为2百.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若动直线/与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线。的两条渐近线交于尸，0两点，。为坐标原

点，证明：的面积为定值.

22

【变式3-1](2024•江苏苏州•模拟预测)已知椭圆y:^2+^=l(a>b>0),y与圆x?+y?=a?-/在

第一、第二象限分别交于。、P两点，且满足NPOQ=9PQ=1,

(1)求椭圆y的标准方程；

(2)/是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦BC使得OA"BC,OA=BC,求证:四边形CU8C的面积为定值.

【变式3-2](2024•广东广州•模拟预测)己知4(-1,0),8(1,0),平面上有动点P,且直线力P的斜率与直线8P

的斜率之积为1.

⑴求动点P的轨迹Q的方程.

(2)过点N的直线与。交于点M(M在第一象限)，过点B的直线与。交于点N(N在第三象限)，记直线AM,

BN的斜率分别为自，k2,且的=4的.试判断△力MN与△BMN的面积之比是否为定值，若为定值，请求出

该定值；若不为定值，请说明理由.

【变式3-3](2024•河北衡水•三模)已知抛物线C:/=2py(p>0)的焦点为尸，过F且倾斜角为5的直线，与C

交于4B两点.直线k,6与C相切，切点分别为4B,",办与》轴的交点分别为。，E两点，且|DE|=竽.

(1)求C的方程；

(2)若点P为C上一动点(与A,B及坐标原点均不重合)，直线&与C相切，切点为P,%与iG的交点分别为

G,H.记△DFG,△EFH的面积分别为Si，S2.

①请问：以G,H为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；

②证明：名为定值.

*

【题型4斜率的和差商积定值问题】

【例4】(2024・陕西西安•模拟预测)已知椭圆。9+/=15>6>0)的离心率为,，椭圆上的点到焦点的

距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设4,3两点为椭圆C的左、右顶点，点尸(异于左、右顶点)为椭圆C上一动点，直线E4,PB的斜率

分别为均,k2,求证：曲•七为定值.

【变式4-1](2024•浙江绍兴•三模)设双曲线C：5一3=1(a>0,b>0)的一条渐近线为x-3y=0,

焦点到渐近线的距离为1.4分别为双曲线C的左、右顶点，直线，过点7(2,0)交双曲线于点M,N,记

直线N4的斜率为即，k2.

⑴求双曲线C的方程；

(2)求证的定值.

【变式4-2](2024•全国•模拟预测)已知双曲线C:5一，=l(a>0,6>0)的离心率为右且点(—4位,3)

在双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)过点P(0,l)的直线，与双曲线C的左、右两支分别交于点4,8.问：在y轴上是否存在定点Q,使直线力Q与8Q

的斜率之和为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式4-3](2024•天津滨海新•三模)已知椭圆M：4+S=1(a>b〉0)的离心率为14B分别为椭圆

的左顶点和上顶点，Fi为左焦点，且△F"B的面积为日.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设椭圆M的右顶点为C,P是椭圆M上不与顶点重合的动点.

①若点P(l,yo)Wo>0)，点。在椭圆M上且位于乂轴下方，设△力PC和△DPC的面积分别为SrS2.若Si—S2=

求点。的坐标；

②若直线与直线CP交于点Q,直线8P交x轴于点N,设直线QN和直线QC的斜率为%v，kQC,求证：2kQN-

%c为定值，并求出此定值.

【题型5向量数量积定值问题】

【例5】(23-24高三上•天津河北•期末)设椭圆£■：5+，=l(a>b>0)的左右焦点分别为％,尸2，短轴的

两个端点为4B,且四边形尸遇尸28是边长为2的正方形.C,。分别是椭圆的左右顶点，动点M满足MD1CD,

连接CM,交椭圆E于点P.

⑴求椭圆E的方程；

(2)求证：丽•赤为定值.

【变式5-1](23-24高三上•上海嘉定•阶段练习)已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点2=

(1,夜)是它的一条渐近线的一个方向向量.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设P(0,l),M为双曲线右支上动点，当取得最小时，求四边形。“小的面积；

(3)若过点(一3,0)任意作一条直线与双曲线。交于/,3两点(4,3都不同于点。)，求证:五5•9为定值.

【变式5-2](2024•河北保定•三模)设椭圆C：；+/=1(0<。(位)的左、右顶点和椭圆1:(+9=1

的左、右焦点均为£,足尸是C上的一个动点(异于£,F),已知直线£尸交直线小刀=近于点/,直线

尸尸交直线%：久=一位于点区直线43与椭圆「交于点N,。为坐标原点.

(1)若6为定值，证明：瓦5•旗为定值；

(2)若直线OM,ON的斜率之积恒为求6.

【变式5-3](2024•河北石家庄•二模)已知M为平面上一个动点，M到定直线x=1的距离与到定点尸(2,0)

距离的比等于弓，记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点F的直线/与曲线C交于4B两点，在x轴上是否存在点P,使得方•丽为定值？若存在，求出该定值;

若不存在，请说明理由.

【题型6线段定值问题】

22

【例6】(2024•河南濮阳•模拟预测)已知双曲线。a―左=19>0/>0),%,尸2分别是。的左、右焦点.若

C的离心率e=2,且点(4,6)在C上.

(1)求C的方程；

(2)若过点出的直线，与C的左、右两支分别交于4B两点，与抛物线y2=16x交于P,Q两点，试问是否存在常

数人使得三-1为定值？若存在，求出常数4的值；若不存在，请说明理由.

【变式6-1](2024•山东荷泽•模拟预测)已知椭圆。5+《=19>。〉0)的左、右焦点分别为％,%，点

4(百,1)在椭圆C上，点B与点力关于原点对称，四边形力F/F2的面积为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线-=0与椭圆C交于P,Q两点.与x轴交于点N.试判断是否存在n€(-返,通)，使得

W+与为定值？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由•

【变式6-2]（2024•四川内江•三模）已知抛物线E的准线方程为：x=-l,过焦点尸的直线与抛物线E交

于/、8两点,分别过/、3两点作抛物线E的切线，两条切线分别与〉轴交于C、D两点,直线C尸与抛

物线£交于M、N两点，直线。尸与抛物线£交于尸、。两点.

（1）求抛物线E的标准方程;

⑵证明：高+高为定值・

【变式6-3]（2024•全国•模拟预测）己知双曲线”:会-俨=1的左、右焦点分别为Fi，尸2,左、右顶点分

别为&,42，椭圆E以40为为焦点，以FiB为长轴.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）设点71）满足机2<4n2,过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P,Q,过M且与PQ

平行的直线交H的渐近线于点S,T.证明：野为定值，并求出此定值.

【题型7角度定值问题】

【例7】（2024•山西•三模）已知抛物线5:y=20％。>0）的焦点尸到准线的距离为2,。为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)已知点r(t,O),若E上存在一点P,使得丽•时=—1,求才的取值范围；

(3)过M(—4,0)的直线交£于4,8两点，过N(—4,4b)的直线交£于4C两点，B,C位于x轴的同侧,

证明：4BOC为定值.

【变式7-11(23-24高三下•云南昆明•阶段练习)平面上一动点PQ:,y)满足-2尸+信_+2)2+y2=

2.

(1)求尸点轨迹r的方程；

⑵已知4(一2,0),B(l,0),延长口交「于点。，求实数%使得NPAB=m/PB力恒成立，并证明：乙PBQ为定

值

【变式7-2](2024•全国•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:/一9=1的右焦点为吃a,4

分别为双曲线C的左、右顶点，过F的直线I与C的右支相交于点M,N.

(1)若直线A1MaN分别与线段。42的垂直平分线相交于点RQ，求丽•丽的值.

(2)当直线/任意旋转时，试问：铛是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【变式7-3](2024•浙江宁波•二模)已知双曲线。产一支2=1,上顶点为。，直线/与双曲线。的两支分别交

于4B两点在第一象限),与x轴交于点T.设直线的倾斜角分别为a,0.

(1)若7停,0),

(i)若4(0,-1),求伙

(ii)求证：a+0为定值；

(2)若0=/直线与x轴交于点E,求△8ET与△力DT的外接圆半径之比的最大值.

【题型8动点在定直线上问题】

【例8】(2024•北京•三模)已知椭圆5:5+/=19>6>0)的短轴长为2百，左、右顶点分别为C,D,过

右焦点F(l,0)的直线2交椭圆E于4B两点(不与C,D重合),直线力C与直线BD交于点T.

(1)求椭圆E的方程；

(2)求证：点T在定直线上.

【变式8-1](2024・湖南娄底•一模)若抛物线r的方程为必=4无，焦点为F,设P,Q是抛物线「上两个不同

的动点.

(1)若|PF|=3,求直线PF的斜率；

(2)设PQ中点为R,若直线PQ斜率为乎，证明R在一条定直线上.

22

【变式8-2](2024•河北衡水•模拟预测)已知椭圆。京+力=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸口的，

是C上一点，且点M到点％,4的距离之和为2倔

⑴求C的方程；

（2）斜率为京勺直线1与C交于48两点，则的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若

不在，请说明理由.

【变式8-3］（2024・贵州遵义・一模）已知双曲线C:5—（a〉0,b〉0）的左、右焦点分别为％,F2,

直线y=3与C的左、右两支分别交于M,N两点，四边形MF1F2N为矩形，且面积为12.

（1）求四边形MFIBN的外接圆方程；

（2）设4B为C的左、右顶点，直线/过点（一3,0）与C交于P,Q两点（异于力，B）,直线4P与BQ交于点R,

证明：点R在定直线上.

►过关测试

一、单选题

1.（2024・山东•模拟预测）已知抛物线C：x2=4y,过直线＞支+2y=4上的动点P可作C的两条切线，记

切点为4B,则直线（）

A,斜率为2B.斜率为±2C.恒过点（0,-2）D.恒过点（一1,一2）

2.（2024•河南信阳•模拟预测）已知椭圆C：J+y2=1的下顶点为/,斜率不为0的直线1与C交于3,

。两点，记线段BD的中点为E,若4EJLBD,贝（］（）

A.点E在定直线丫=1上B.点E在定直线y=［上

C.点£在定直线y=|上D.点E在定直线y=［上

3.（23-24高二上•上海浦东新•期末）已知双曲线r：-q=1,点尸为曲线「在第三象限一个动点，以下

两个命题，则（）

①点P到双曲线两条渐近线的距离为心，d2,贝!Id「d2为定值.

②已知N、8是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若以、P8的斜率存在且分别为的，k2,则的42

为定值.

A.①真②真B.①假②真

C.①真②假D.①假②假

4.（2024•江苏南通•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆日+£=1的左、右顶点为/、

2,右焦点为尸.设过点T（9,zn）的直线小、窃与此椭圆分别交于点其中爪>0,yi>0,y2<

0.则直线MN必过一定点的坐标为（）

C.（0,-1）D.（0,1）

5.（2024・甘肃定西•一模）己知椭圆C:5+y2=1）的离心率为圣P是C上任意一点，。为坐标原点，

P到无轴的距离为d,则（）

A.4|OP|2—d2为定值B.3|OP|2—d2为定值

C.|OP『+4d2为定值D.|OP『+3d2为定值

6.（2024•湖南长沙•二模）已知力、B分别为双曲线。/一］=1的左、右顶点，过双曲线C的左焦点尸作直

线PQ交双曲线于P、Q两点（点P、Q异于4B）,则直线AP、BQ的斜率之比以P：MQ=（）

123

A.--B.--C.-3D.--

332

7.（23-24高三下•河南郑州•阶段练习）已知曲线C:y4=>0）与直线y=2x+4有3个公共点，点4、B

是曲线C上关于y轴对称的两动点（点2在第一象限），点M、N是工轴上关于原点对称的两定点（点M在x轴

正半轴上），若-—|BN|为定值，则该定值为（）

A.8B.16C.-8D.-16

8.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）如图，P,M,Q,N是抛物线日产=钛上的四个点（P,M在x轴上方，Q,

N在x轴下方），已知直线P。与儿W的斜率分别为-亨和2,且直线尸。与血W相交于点G,则黑瑞=（）

二、多选题

9.（2024•全国•模拟预测）已知双曲线。?一步=1的右焦点为F,动点M,N在直线x=|上，且FM1FN,

线段FM交C于点P,过P作用勺垂线，垂足为R,则（）

A.NMN的面积B.鼠=苧

C.\MR\■\HN\=\FH\■\PR\D.耨喘为定值

10.（2024•江苏苏州•模拟预测）对于抛物线y.y2=2px,（p>0）,F是它的焦点，y的准线与x轴交于T,

过点T作斜率为k（k>0）的直线与/依次交于3、/两点，使得恰有BT-BF=0,下列说法正确的是（）

A.k是定值，p不是定值

B.k不是定值，p也不是定值

C.A,B两点横坐标乘积为定值

D.记48中点为则M和/横坐标之比为定值

11.（2024•浙江金华•模拟预测）已知椭圆^+产=1,。为原点，过第一象限内椭圆外一点P（久o，y（））作椭圆

的两条切线，切点分别为4B.记直线O4OB,P4PB的斜率分别为的也也也，若七•七=1，则（）

A.直线4B过定点B.（备+0）,（6+电）为定值

C.&一如的最大值为2D.5殉—3y（）的最小值为4

三、填空题

12.（2024・四川宜宾•二模）已知产为抛物线C:/=—8y的焦点，过直线/:y=4上的动点M作抛物线的切线,

切点分别是P,Q,则直线PQ过定点.

13.（2024・四川•模拟预测）已知点4