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文档简介
2025届黄冈八模系列湖北省黄冈市高三下学期联考数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设是等差数列的前n项和,且,则()A. B. C.1 D.22.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B. C. D.3.已知为定义在上的奇函数,且满足当时,,则()A. B. C. D.4.把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一个对称中心为()A. B. C. D.5.设为定义在上的奇函数,当时,(为常数),则不等式的解集为()A. B. C. D.6.已知函数,若关于的方程恰好有3个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.若是定义域为的奇函数,且,则A.的值域为 B.为周期函数,且6为其一个周期C.的图像关于对称 D.函数的零点有无穷多个8.已知为虚数单位,若复数,则A. B.C. D.9.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.10.一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上,且其中一个顶点在双曲线的右顶点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.已知集合,则集合()A. B. C. D.12.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.14.如图,某市一学校位于该市火车站北偏东方向,且,已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧都是学校道路,其中,,以学校为圆心,半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中分别在公路上,且与圆弧相切,设,的面积为.(1)求关于的函数解析式;(2)当为何值时,面积为最小,政府投资最低?15.已知是第二象限角,且,,则____.16.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图1,四边形为直角梯形,,,,,,为线段上一点,满足,为的中点,现将梯形沿折叠(如图2),使平面平面.(1)求证:平面平面;(2)能否在线段上找到一点(端点除外)使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.18.(12分)已知等差数列的公差,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.(12分)已知函数.(1)讨论函数单调性;(2)当时,求证:.20.(12分)某大学开学期间,该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手,该快餐店提供了两种日工资结算方案:方案规定每日底薪100元,外卖业务每完成一单提成2元;方案规定每日底薪150元,外卖业务的前54单没有提成,从第55单开始,每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)随机选取一天,估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率;(2)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案的概率为,选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘,四人选择日工资方案相互独立,求至少有两名骑手选择方案的概率,(3)若仅从人日均收入的角度考虑,请你为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)21.(12分)数列满足,且.(1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.22.(10分)中,内角的对边分别为,.(1)求的大小;(2)若,且为的重心,且,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用等差数列的性质化简已知条件,求得的值.【详解】由于等差数列满足,所以,,.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,属于基础题.2、D【解析】
试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算.3、C【解析】
由题设条件,可得函数的周期是,再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值,即可得到结论.【详解】由题意,,则函数的周期是,所以,,又函数为上的奇函数,且当时,,所以,.故选:C.【点睛】本题考查函数的周期性,由题设得函数的周期是解答本题的关键,属于基础题.4、D【解析】
试题分析:把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得的图象;再将图象向右平移个单位,可得的图象,那么所得图象的一个对称中心为,故选D.考点:三角函数的图象与性质.5、D【解析】
由可得,所以,由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数,可知在上单调递增,注意到,再利用函数单调性即可解决.【详解】因为在上是奇函数.所以,解得,所以当时,,且时,单调递增,所以在上单调递增,因为,故有,解得.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查学生对函数性质的灵活运用能力,是一道中档题.6、D【解析】
讨论,,三种情况,求导得到单调区间,画出函数图像,根据图像得到答案.【详解】当时,,故,函数在上单调递增,在上单调递减,且;当时,;当时,,,函数单调递减;如图所示画出函数图像,则,故.故选:.【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.7、D【解析】
运用函数的奇偶性定义,周期性定义,根据表达式判断即可.【详解】是定义域为的奇函数,则,,又,,即是以4为周期的函数,,所以函数的零点有无穷多个;因为,,令,则,即,所以的图象关于对称,由题意无法求出的值域,所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质,主要是抽象函数的性质,运用数学式子判断得出结论是关键.8、B【解析】
因为,所以,故选B.9、A【解析】
投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.10、D【解析】
因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,,将其代入双曲线可解得.【详解】因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,,将其代入双曲线方程得:,即,由得.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、D【解析】
弄清集合B的含义,它的元素x来自于集合A,且也是集合A的元素.【详解】因,所以,故,又,,则,故集合.故选:D.【点睛】本题考查集合的定义,涉及到解绝对值不等式,是一道基础题.12、D【解析】
由程序框图确定程序功能后可得出结论.【详解】执行该程序可得.故选:D.【点睛】本题考查程序框图.解题可模拟程序运行,观察变量值的变化,然后可得结论,也可以由程序框图确定程序功能,然后求解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、18【解析】
将已知已知转化为的形式,化简后求得,利用等差数列前公式化简,由此求得表达式的值.【详解】因为,所以.故填:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能力,属于基础题.14、(1);(2).【解析】
(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,,进而表示直线的方程,由直线与圆相切构建关系化简整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面积公式表示面积即可;(2)令,则,由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围,进而对原面积的函数用含t的表达式换元,再令进行换元,并构建新的函数,由二次函数性质即可求得最小值.【详解】解:(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,.所以直线的方程为,即.因为直线与圆相切,所以.因为点在直线的上方,所以,所以式可化为,解得.所以,.所以面积为.(2)令,则,且,所以,.令,,所以在上单调递减.所以,当,即时,取得最大值,取最小值.答:当时,面积为最小,政府投资最低.【点睛】本题考查三角函数的实际应用,应优先结合实际建立合适的数学模型,再按模型求最值,属于难题.15、【解析】
由是第二象限角,且,可得,由及两角和的正切公式可得的值.【详解】解:由是第二象限角,且,可得,,由,可得,代入,可得,故答案为:.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式,相对不难,注意运算的准确性.16、【解析】乙不输的概率为,填.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)存在点是线段的中点,使得直线与平面所成角的正弦值为.【解析】
(1)在直角梯形中,根据,,得为等边三角形,再由余弦定理求得,满足,得到,再根据平面平面,利用面面垂直的性质定理证明.(2)建立空间直角坐标系:假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为,且,,求得平面的一个法向量,再利用线面角公式求解.【详解】(1)证明:在直角梯形中,,,因此为等边三角形,从而,又,由余弦定理得:,∴,即,且折叠后与位置关系不变,又∵平面平面,且平面平面.∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)∵为等边三角形,为的中点,∴,又∵平面平面,且平面平面,∴平面,取的中点,连结,则,从而,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系:则,,则,假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为,且,,∵,∴,故,∴,又,该平面的法向量为,,令得,∴,解得或(舍),综上可知,存在点是线段的中点,使得直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.18、(1);(2).【解析】
(1)根据等比中项性质可构造方程求得,由等差数列通项公式可求得结果;(2)由(1)可得,可知为等比数列,利用分组求和法,结合等差和等比数列求和公式可求得结果.【详解】(1)成等比数列,,即,,解得:,.(2)由(1)得:,,,数列是首项为,公比为的等比数列,.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题;关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列,进而采用分组求和法,结合等差和等比数列求和公式求得结果.19、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)根据的导函数进行分类讨论单调性(2)欲证,只需证,构造函数,证明,这时需研究的单调性,求其最大值即可【详解】解:(1)的定义域为,,①当时,由得,由,得,所以在上单调递增,在单调递减;②当时,由得,由,得,或,所以在上单调递增,在单调递减,在单调递增;③当时,,所以在上单调递增;④当时,由,得,由,得,或,所以在上单调递增,在单调递减,在单调递增.(2)当时,欲证,只需证,令,,则,因存在,使得成立,即有,使得成立.当变化时,,的变化如下:0单调递增单调递减所以.因为,所以,所以.即,所以当时,成立.【点睛】考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法,难题.20、(1)0.4;(2);(3)应选择方案,理由见解析【解析】
(1)根据频率分布直方图,可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率,即可估算其概率;(2)根据独立重复试验概率求法,先求得四人中有0人、1人选择方案的概率,再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率;(3)设骑手每日完成外卖业务量为件,分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式,即可计算两种计算方式下的数学期望,并根据数学期望作出选择.【详解】(1)设事件为“随机选取一天,这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为,∵,∴估计为0.4.(2)设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”,设事件,为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有人选择方案”,则,所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案的概率为.(3)设骑手每日完成外卖业务量为件,方案的日工资,方案的日工资,所以随机变量的分布列为1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05;同理,随机变量的分布列为1501802302803300.30.30.20.150.05.∵,∴建议骑手应选择方案.【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用,独立重复试验概率的求法,数学期望的求法并由期望作出方案选择,属于中档题.21、(1)证明见解析,;(2)【解析】
(1)利用,推出,然后利用等差数列的通项公式,即可求解;(2)由(1)知,利用裂项法,即可求解数列的前n项和.【详解】(1)由题意,数列满足且可得,即,所
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