小升初数学专项复习《立体几何的体积和容积（二）》（解析版）

2019-2020学年通用版数学小升初总复习专题汇编讲练

专题20立体几何的体积和容积（二）

圆锥的体积卜一一体积公式：底面积X高23

组合图形的体积圆柱与圆锥的组合

・立体图形的容积

（一）长方体

1、特征

六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。

相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。

有8个顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。

两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。

长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

2、计算公式：s=2（ab+ah+bh）V=shV=abh

（二）正方体

1、特征

六个面都是正方形

六个面的面积相等

12条棱，棱长都相等

有8个顶点

正方体可以看作特殊的长方体

2、计算公式：S表=6a?v=a3

（三）圆柱

1、圆柱的认识

圆柱的上下两个面叫做底面。

圆柱有一个曲面叫做侧面。

圆柱两个底面之间的距离叫做高。

进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上

的是4或者比4小，都要向前一位进lo这种取近似值的方法叫做进一法。

2、计算公式：s侧二chs表=s侧+s底X2v=sh/3

（四）圆锥

1、圆锥的认识

圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。

从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平

板和底面之间的距离。

把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

2、计算公式：v=sh/3

（五）球

1、认识

球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。

球和圆类似，也有一个球心，用0表示。

从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。

通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示，每条直径都相等，直径的长度

等于半径的2倍，即d=2r。

2、计算公式：d=2r

四、周长和面积

1、平面图形一周的长度叫做周长。

2、平面图形或物体表面的大小叫做面积。

3、常见图形的周长和面积计算公式

一.圆锥的体积

♦一.一♦

堂1习精讲精练

【例1】（2019•广东）从正方体里削出一个最大的圆锥，圆锥的体积是工,正方体的体积是（立加.

2

A.12B.8C.6D.4

【解答】解：设正方体的棱长是"机，则圆锥的底面直径和高都是，

则正方体的体积是：axaxa=a3（cm3）

圆的体积是+=加）

圆锥的体积是正方体的土

12

正方体的体积是］+忘=6（加3）

答：正方体的体积是6c1.

故选：C.

【变式（2019春•方城县期中）把一个底面直径6。机、高9刖的圆锥形木块，沿底面直径切成相同的

两块后，表面积比原来增加了（）平方厘米.

A.18B.27C.54

【解答】解：6x9+2x2

=27x2

=54（平方厘米）

答：表面积比原来增加了54平方厘米.

故选：C.

【变式1-2]（2019春•交城县期中）用一个高是36。"的圆锥形容器盛满油，倒入和它等底等高的圆柱形

容器中，油面的高度是12cm.

36x-=12

【解答】解：3（厘米）

答：油面的高度是12厘米.

故答案为：12.

【变式1-3]（2019•衡阳模拟）绕一个直角三角形（如图）的短直角边旋转一周，得到一个立体图形.（单

位：厘米）

（1）这个立体图形是什么？

（2）这个立体图形的体积是多少？

5\

4

【解答】解：以直角三角形短直角边为轴旋转一周得到一个底面半径是5厘米，高是4厘米的圆锥.所以

这个立体图形是圆锥.

1,

-X3.14X52X4

（2）3

=-x3.14x25x4

3

314

3（立方厘米），

314

答：这个立体图形的体积是亍立方厘米.

【变式1-4]（2019•安顺）一个圆锥形的沙石堆，底面积是188.4平方米，高15米.如果用这堆沙石铺路,

公路宽10米.沙石厚2分米，能铺多少米长？

【解答】解：2分米=。・2米

1x188.4x154-(10x0.2)

=942+2

=471（米）

答：能铺471米长.

二.组合图形的体积

芽〜习精讲精练

【例2】（2019•益阳模拟）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表

面积就增加了50.24CM?,原来这个物体的体积是（）

226.08cm3C.301.44CMD.401.92CM

【解答】解：50.24+2=25.12(平方厘米)

25.12x6+1x25.12x(12-6)

=150.72+-x25.12x6

3

=150.72+50.24

=200.96（立方厘米）

答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米.

故选：A.

【变式2-1】用两根完全相同的圆柱形木料分别制作成右图中的两个模型（图中涂色部分），甲与乙的体积

相比（）

A.甲大B.乙大C.相等

【解答】解：底面积相同时，两个高为5°的圆锥的体积之和，等于一个高为“的圆锥的体积；已知原来两

个圆柱的体积相等，而空白处的图形的体积也相等，所以涂色部分的体积也相等，

故选：。.

【变式2-2］（2014春•泸西县校级期末）如图是一个直角梯形，如果以至边为轴旋转一周，会得到一个

立体图形.这个立体图形是由圆柱和组成（填图形名称）.它的底面积是平方厘米，体

【解答】解：这个立体图形由1个圆柱和1个圆锥组成,

其底面积为：3.14x22=12.56（平方厘米）；

3.14X22X2+-X3.14X22X（5-2）

其体积为：3,

=12.56x2+12.56,

=25.12+12.56,

=37.68（立方厘米）；

答：这个立体图形的底面积是12.56平方厘米，体积是37.68立方厘米.

故答案为：圆柱、圆锥、12.56、37.68.

【变式2-3］（2016春•平阳县校级期中）一个粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱形（如图）.如果每立方米

的粮食重600千克，这个粮囤可囤粮食多少千克?

【解答】解：这个粮囤的底面积是:

3.14X(4+2)2

=3.14x4

=12.56（平方米）

这个粮囤的体积是：

12.56x2+12.56xl.5x-

3

=25.12+6.28

=31.4（立方米）

这囤小麦的重量是：

600x31.4=18840（千克）.

答：这个粮囤可囤粮食18840千克.

【变式2-4］（2019•萧山区模拟）图形计算

求立体图形的体积单位（分米）

【解答】解：3.14X[(20+2)2-(10+2)2卜15

=3.14x[100-25]x15

=3.14x75x15

=3532.5（立方分米）,

答：这个立体图形的体积是3532.5立方分米.

三.立体图形的容积

♦♦

一♦一

另习精讲精练

【例3】（2019春•江城区期末）一个水池能蓄水430加，430M是这个水池的（）

A.表面积B.重量C.体积D.容积

【解答】解：一个水池能蓄水430.，430疗是这个水池的容积.

故选：D.

【变式3-1］（2015•遂溪县校级模拟）一个汽油桶可装汽油60%”3,它的（）是60加几

A.容积B.体积C.表面积

【解答】解：一个汽油桶可装60升汽油，是指它的容积是60升；

故选：A.

【变式3-2］（2010•广州自主招生）有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升.现在它里面装了一些饮料,

正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米.那么瓶内现有饮料2.4升.

【解答】解：饮料和空气的体积比是：

20:5=4:1

饮料有：

4

3x——=3x0.8=24、

4+1（升）

答：瓶内现有饮料2.4升.

故答案为：2.4.

【变式3-3］（2013•福田区校级模拟）去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体塑封纸盒包装，从外面量

这种纸盒长6.4厘米，宽4厘米，高8.5厘米.这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为220毫升，标注是否

真实？

【解答】解：6.4x4x8.5=217.6（立方厘米）=217（毫升）;

答：盒子的体积是217毫升，而净含量为220毫升，不真实.

【变式3-4】一个谷囤的形状如图，下面是圆柱形，底面周长是18.84米，高是2米；上面是圆锥形，高

是1.5米.这个谷囤最多能装稻谷多少立方米?

-x3.14x(18.84-3.14-2)2xl.5+3.14x(18.84-3.14^2)2x2

【解答】解：3

=-x3.14x9xl.5+3.14x9x2

3

=14.13+56.52

=70.65（立方米）；

答：这个谷囤最多能装稻谷70.65立方米.

真题强化演练

一.选择题

1.（2019•萧山区模拟）将直角三角形A5c以3C为轴旋转一周，得到的圆锥体积是V,那么V=（）

A.16万B.127rC.25万D.48万

【解答】解:—xx42x3

3

=71x16

答：体积是167r.

故选：A.

2.（2018春•平阴县期中）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将（）

A.扩大3倍B.缩小3倍C.扩大6倍

【解答】解：根据等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的3,

又因为，在捏橡皮泥的过程中，它的总体积不变，

所以，把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大3倍;

故选：A.

3.（2015春•平阳县校级期中）一个体积是25.12cW的圆锥，半径是2cm,它的高是（)cm.

A.2B.8C.6

1,

25.12---（3.14x22）

【解答】解：3

=25.12x3+（3.14x4）

=75.36+12.56

=6（厘米），

答：它的高是6厘米.

故选：C.

4.（2014春•鹿城区校级月考）一个圆锥和一个圆柱的高相等，圆锥底面半径是1厘米，圆柱底面半径是2

厘米，圆锥体积是圆柱体积的（）

A.-B.-C.—D.-

36124

【解答】解：设圆锥和圆柱的高为丸厘米，

-7Tx]1h=-7rh

圆锥的体积：33（立方厘米），

圆柱的体积：万X22/I=4MZ（立方厘米），

1,…1

一兀h；47rh=——

312,

1

答：圆锥的体积是圆柱体积的石.

故选：5

二.填空题

5.（2019•杭州模拟）如图是一个直角三角形，以6c机的直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形是3

【解答】解：以直角三角形的直角边右厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是2厘米，高是6厘米的圆

锥.

19

-X3.14X22X6

3

=3.14x8

=25,12（立方厘米）

答：得到的立体图形是圆锥，它的体积是25.12立方厘米.

故答案为：圆锥、25.12.

6.（2019•杭州模拟）计算下面圆锥的体积是

S,=15cin2

-xl5xl0=50

【解答】解：3（立方厘米），

答：这个圆锥的体积是50立方厘米.

故答案为：50.

7.（2019•衡水模拟）一个圆锥形零件的底面半径是4厘米，高是9厘米，它的体积是150.72立方厘米.

-X3.14X42X9

【解答】解：3

=-x3.14xl6x9

3

=150.72（立方厘米）

答：它的体积是150.72立方厘米.

故答案为：150.72.

8.（2019•萧山区模拟）下面，以直角三角形的斜边为轴旋转一圈，求所形成图形的体积.（得数保留整数）

/K

5叫

宙二q”

【解答】解:

如图斜边的高为：3x4+5=24（厘米）,

1,

-X3.14X2.42X5

3

=-x3.14x5.76x5

3

=30.144（立方厘米）;

答：所形成图形的体积是30.144立方厘米.

9.（2013•永康市）一个圆柱形水桶，里面盛48升的水，正好盛满，如果把一块与水桶等底等高的圆锥形,

放入水中，桶内还有32升水.

【解答】解：48+3x2,

=16x2

=32；

故答案为：32.

10.（2017•杭州）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体的—.

一12一

【解答】解：假设正方体的棱长为。厘米，

正方体的体积是：axaxa=a3（立方厘米），

工%X（1+2）2XQ=幺XQ=

削出最大圆锥的体积是：33412（立方厘米），

3

7TO3冗

----.71-..

所以圆锥的体积占正方体体积的：1212.

71

故答案为：12.

三.判断题

11.（2014•桐乡市校级模拟）在一个圆柱中挖去一个最大的圆锥，剩下部分的体积是圆柱的2.，.（判

3—一

断对错）

【解答】解：根据题干分析可得：这个圆柱的体积与挖出的圆锥是等底等高，

所以圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，

（3-1）-3=-

则剩下部分的体积是圆柱的体积的3.

故答案为：，.

12.（2019•亳州模拟）把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的x.（判断对错）

3一一

1

【解答】解：把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的如果没有确定

1

削成的圆锥是否与圆柱等底等高，那么把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的3,这

种说法是错误的.

故答案为：x.

13.（2016•温州）把一个圆柱削成最大的圆锥体，削去部分的体积与圆锥的体积的比是2:1._Y_（判断

对错）

【解答】解：圆柱体削成一个最大的圆锥体，

则：%柱=3%锥

=2%锥：唳锥

=2:1

答：削去部分的体积与圆锥的体积的比是2：1.

故题干的说法是正确的.

故答案为：5

14.（2012•紫金县）把圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体体积是削去部分的工.正确.（判断对错）

2------------

12

【解答】解：把圆柱体的体积看作“1”，与它等底等高的圆锥的体积是圆柱体的削求部分是圆柱体的§.

1I2

33.

_I_:_2_—_I_3—_I

33-32-2；

I

答：圆锥体体积是削去部分的2.

故答案为：正确.

四.计算题

15.（2019•萧山区模拟）求如图图形的体积.单位：厘米.

【解答】解:50x10x30-3.14x(20+2)2*10

=15000-3.14x100x10

=15000-3140

=11860（立方厘米），

答：它的体积是11860立方厘米.

16.（2019•萧山区模拟）求如图空心圆柱的表面积.（单位：分米）

[解答]解・3.14x4x4+3.14x2x4+3.14X[（4+2）2-（2+2）2]X2

=50.24+25.12+3.14x[4-l]x2

=50.24+25.12+3.14x3x2

=50.24+25.12+18.84

=94.2（平方分米），

答：这个空心圆柱的表面积是94.2平方分米.

五.应用题

17.（2019•宁波模拟）有一块正方体木料，它的棱长是4分米.把这块木料加工成一个最大的圆柱.削去

部分的体积是多少？

【解答】解：4x4x4-3.14x（42）2x4

=64—3.14x4x4

=64-50.24

=13.76（立方分米），

答：削去部分的体积是13.76立方分米.

18.（2018•萧山区模拟）一个圆锥形沙堆，底面积是50加2,高是3〃z.用这堆沙在10米宽的公路上铺2cm厚

的路面，能铺多少米？

【解答】解：2厘米=0。2米，

|x50x34-（10x0.02）

=50+0.2

=250（米），

答：能铺250米.

19.（2019•萧山区模拟）一个圆锥形的沙堆，底面直径是4米、高1.5米.用这堆沙子铺在宽10米，厚5

厘米的路上，能铺多长？

【解答】解：5厘米=。。5米

17

-X3.14X（44-2）2X1.5-f-（10X0.05）

=—><3.14x4x1.5+0.5

3

=6.28+0.5

=12-56（米）

答：能铺12.56米.

六.解答题

20.（2019•萧山区模拟）一个直角三角形，两条直角边长分别为3厘米和4厘米，斜边长是5厘米.以斜

边所在直线为轴旋转一周（如图），所得到的立体图形的体积是多少？

【解答】解：直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是同一底面的两个圆锥，如上图所示,

设这个圆锥的底面半径是「，贝

5r+2=3x4+2,

5r=12,

r=2.4

所以这个立体图形的体积是：

1,

-X3.14X2.42X（AO+CO）

Jx3.14x5.76x5

3；

=30,144（立方厘米）,

答：旋转一周后的立体图形的体积是30.144立方厘米.

21.（2016•龙湾区校级模拟）一个底面半径与高的比为1:3的圆锥体煤堆.高是6米，如果每0.75立方米

的煤是1吨，这堆煤有多少吨？

19

-X3.14X（64-3）2X6

【解答】解：3

=3.14x8

=25.12（立方米）

2512

25.12+0.75=------、

75（吨）

2512

答：这堆煤有75吨.

22.（2012•桐乡市校级模拟）一个圆锥形麦堆，高1.2米，占地面积16平方米，如果每立方米小麦重750

千克，这堆小麦重多少千克?

16xl.2x-x750

【解答】解：3,

=6.4x750,

=4800（千克）.

答：这堆小麦重4800千克.

23.（2017•朝阳区）小红和小军分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形.

（1）你同意谁的说法，请将名字填在横线里.小红.

（2）甲、乙两个立体图形的体积比是多少？