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文档简介

河北省衡中同卷2025届高考数学倒计时模拟卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知是圆心为坐标原点,半径为1的圆上的任意一点,将射线绕点逆时针旋转到交圆于点,则的最大值为()A.3 B.2 C. D.2.复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知数列an满足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.194.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C的右支上一点,连接与y轴交于点M,若(O为坐标原点),,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.5.已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()A. B.C. D.7.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为()A. B. C. D.8.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.9.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影为,则等于()A.2 B.1 C. D.010.过椭圆的左焦点的直线过的上顶点,且与椭圆相交于另一点,点在轴上的射影为,若,是坐标原点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.11.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则k的值为()A. B. C.或- D.和-12.已知集合,,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,已知扇形的半径为1,面积为,则_____.14.在平面直角坐标系中,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,切点为T.若,则的长是______.15.若实数,满足,则的最小值为__________.16.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点,则该双曲线的标准方程为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于、两点,求的面积.18.(12分)如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,底面,是的中点.(1).求证:平面平面;(2).若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,求四面体的体积.20.(12分)在底面为菱形的四棱柱中,平面.(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)已知六面体如图所示,平面,,,,,,是棱上的点,且满足.(1)求证:直线平面;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)已知数列,其前项和为,满足,,其中,,,.⑴若,,(),求证:数列是等比数列;⑵若数列是等比数列,求,的值;⑶若,且,求证:数列是等差数列.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设射线OA与x轴正向所成的角为,由三角函数的定义得,,,利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA与x轴正向所成的角为,由已知,,,所以,当时,取得等号.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识,是一道容易题.2、B【解析】

利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解:,则复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点的坐标为:,位于第二象限.故选:B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义,属于基础题.3、B【解析】

由题意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【详解】解:an即a1=an⩾6时,a1a1两式相除可得1+a则an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整数k(k⩾5)时,要使得a1则ak+1则k=17,故选:B.【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法,注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系,从而可简化与数列相关的方程,本题属于难题.4、C【解析】

利用三角形与相似得,结合双曲线的定义求得的关系,从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设,,由,与相似,所以,即,又因为,所以,,所以,即,,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:C.【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。5、A【解析】

根据直线平行的等价条件,求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当m=1时,两直线方程分别为直线l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0满足l1∥l2,即充分性成立,当m=0时,两直线方程分别为y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不满足条件.当m≠0时,则l1∥l2⇒,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,则m=1,即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件,故答案为:A【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断,考查两直线平行的等价条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答,直线和直线平行,则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.6、B【解析】

由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【详解】因为,又依题意知的值域为,所以得,,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为07、B【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的面积后可求出最小值.【详解】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为,∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,且球半径为,∴三棱锥外接球表面积为,∴当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为.故选B.【点睛】(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用.(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.8、C【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长,进而求得离心率.【详解】将,代入方程得,而双曲线的半实轴,所以,得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念,属于基础题.9、B【解析】

先求出,再利用投影公式求解即可.【详解】解:由已知得,由在方向上的投影为,得,则.故答案为:B.【点睛】本题考查向量的几何意义,考查投影公式的应用,是基础题.10、D【解析】

求得点的坐标,由,得出,利用向量的坐标运算得出点的坐标,代入椭圆的方程,可得出关于、、的齐次等式,进而可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得、.由,得,则,即.而,所以,所以点.因为点在椭圆上,则,整理可得,所以,所以.即椭圆的离心率为故选:D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,解答的关键就是要得出、、的齐次等式,充分利用点在椭圆上这一条件,围绕求点的坐标来求解,考查计算能力,属于中等题.11、C【解析】

直线过定点,直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),可以发现∠QOx的大小,求得结果.【详解】如图,直线过定点(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,⇒∠1=120°,∠2=60°,∴由对称性可知k=±.故选C.【点睛】本题考查过定点的直线系问题,以及直线和圆的位置关系,是基础题.12、D【解析】

根据集合的基本运算即可求解.【详解】解:,,,则故选:D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据题意,利用扇形面积公式求出圆心角,再根据等腰三角形性质求出,利用向量的数量积公式求出.【详解】设角,则,,所以在等腰三角形中,,则.故答案为:.【点睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式,属于基础题.14、【解析】

作出图像,设点,根据已知可得,,且,可解出,计算即得.【详解】如图,设,圆心坐标为,可得,,,,,解得,,即的长是.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,以及求平面两点间的距离,运用了数形结合的思想.15、【解析】

由约束条件先画出可行域,然后求目标函数的最小值.【详解】由约束条件先画出可行域,如图所示,由,即,当平行线经过点时取到最小值,由可得,此时,所以的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了线性规划的知识,解题的一般步骤为先画出可行域,然后改写目标函数,结合图形求出最值,需要掌握解题方法.16、【解析】

设双曲线方程为,代入点,计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为,则设双曲线方程为:,代入点,则.故双曲线方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线,设双曲线方程为是解题的关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】

(1)在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程,在曲线的极坐标方程两边同时乘以,结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)计算出直线截圆所得弦长,并计算出原点到直线的距离,利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】(1)由得,故直线的普通方程是.由,得,代入公式得,得,故曲线的直角坐标方程是;(2)因为曲线的圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,则弦长.又到直线的距离为,所以.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算,考查计算能力,属于中等题.18、(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(1)根据平面有,利用勾股定理可证明,故平面,再由面面垂直的判定定理可证得结论;(2)在点建立空间直角坐标系,利用二面角的余弦值为建立方程求得,在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.试题解析:(Ⅰ)平面平面因为,所以,所以,所以,又,所以平面.因为平面,所以平面平面.(Ⅱ)如图,以点为原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立空间直角坐标系,则.设,则取,则为面法向量.设为面的法向量,则,即,取,则依题意,则.于是.设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为.19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)取中点,连接,根据等腰三角形的性质得到,利用全等三角形证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,结合锥体体积公式,求得四面体的体积.【详解】(1)证明:如图,取中点,连接,由则,则,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面体的体积【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查锥体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)由已知可证,即可证明结论;(2)根据已知可证平面,建立空间直角坐标系,求出坐标,进而求出平面和平面的法向量坐标,由空间向量的二面角公式,即可求解.【详解】方法一:(1)依题意,且∴,∴四边形是平行四边形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且为的中点,∴,∵平面且,∴平面,以为原点,分别以为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,∴设平面的法向量为,则,∴,取,则.设平面的法向量为,则,∴,取,则.∴,设二面角的平面角为,则,∴二面角的正弦值为.方法二:(1)证明:连接交于点,因为四边形为平行四边形,所以为中点,又因为四边形为菱形,所以为中点,∴在中,且,∵平面,平面,∴平面(2)略,同方法一.【点睛】本题主要考查线面平行的证明,考查空间向量法求面面角,意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,属于中档题.21、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)连接,设,连接.通过证明,证得直线平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的正弦值.【详解】(1)连接,设,连

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