与圆有关的最值与范围问题-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点23与圆有关的最值与范围问题【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1斜率型最值（范围）问题】............................................................2

【题型2直线型最值（范围）问题】............................................................5

【题型3定点到圆上点的最值（范围）】........................................................7

【题型4圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】............................................9

【题型5过圆内定点的弦长最值（范围）问题1...........................................................................12

【题型6圆的切线长度最值（范围）问题】.....................................................14

【题型7周长面积型最值（范围）问题】.......................................................16

【题型8数量积型最值（范围）问题】........................................................18

【题型9坐标、角度型最值（范围）问题】.....................................................21

【题型10长度型最值（范围）问题】.........................................................24

►命题规律

1、与圆有关的最值与范围问题

从近几年的高考情况来看，与圆有关的最值与范围问题是高考的热点问题，由于圆既能与平面几何相

联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类

问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1与距离有关的最值问题】

在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离

最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.

1.圆上的点到定点的距离最值问题

一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.

2.圆上的点到直线的距离最值问题

已知圆C和圆外的一条直线I,则圆上点到直线距离的最小值为：八一一厂，距离的最大值为：八一+r.

【知识点2利用代数法的几何意义求最值】

1.利用代数法的几何意义求最值

（1）形如〃=E2的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

（3）形如m=（x-a）2+（y-by的最值问题，可转化为曲线上的点到点（0力）的距离平方的最值问题.

【知识点3切线长度最值问题】

1.圆的切线长度最值问题

(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.

【知识点4弦长最值问题】

1.过圆内定点的弦长最值问题

己知圆C及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.

【知识点5解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法】

1.与圆有关的最值与范围问题的解题方法

(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借

助数形结合思想求解.

(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参

数法、配方法、判别式法等进行求解.

(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a2或者a+b的表

达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定

三相等”的验证.

(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.

(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.

►举一反三

【题型1斜率型最值(范围)问题】

【例1】(23-24高二上•湖北武汉•阶段练习)已知P(m,几)为圆C:(久一l)2+(y—1)2=1上任意一点，则哼

的最大值为()

A.士B.-世c1+?D.1*

33

【解题思路】根据圆上任意一点P(a,n)到定点2(-1,1)的斜率，即可结合相切求解斜率得解.

十

【解答过程】77i+n_m+1+n—1_1n—1

m+lm+1m+l

由于P(m,n)为圆C:(x-l)2+(y-l)2=1上任意一点,

故£；可看作圆上任意一点P(m,n)到定点4-1,1)的斜率,

当直线P4与圆相切时，此时斜率最大，

由于相切时，|4C|=2,|CP|=1故|P*=次，此时斜率上=黑=1

故署的最大值为1+9,

故选：C.

【变式1-1](2024・河南•模拟预测)已知点P(x,y)在圆(％-1)2+。-1)2=3上运动，则公的最大值为()

A.-6-V30B.6+V30C.-6+同D.6-同

【解题思路】将碧看作时圆上的点PQ,y)到点力(3,4)的直线的斜率的最小值即可求解.

【解答过程】公看作圆上的点PQy)到点4(3,4)的直线的斜率的相反数.

当经过点4(3,4)的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，

设切线方程为y=k(x-3)+4,所以圆心到切线的距离等于半径，故嗜科=百，解得卜=6±频，故当

k=6-同时，切线斜率最小，此时N最大，最大值为-6+同，

x—3

【变式1-2](2024•陕西商洛•三模)已知PQo，yo)是圆C：/+y2—2x—2y+l=0上任意一点，则”的

%。一3

最大值为()

A.-2B.-iC.9D.3

233

【解题思路】”的几何意义为直线旗乂-3)-y-1=0的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.

XQ—5

【解答过程】设k="，变形可得以配一3)--1=0,

则”的几何意义为直线k(x-3)-y-l=0的斜率，

%0—3

圆C:%2+y2-2%—2y+1=0化为C:(x—l)2+(y—l)2=1,

所以圆C的圆心为(1,1),半径为L

因为P(Xo，yo)是圆C：%2+y2_2x_2y+1=o上任意一点，

所以圆C与直线-3)—y—1=0有公共点，即圆的圆心到直线k(x—3)-y-1=0的距离不大于

圆C的半径，

所以四萼Wwl,解得中！wkW=2

y/k2+l33

即”的最大为昔2

XQ—33

故选:D.

【变式1-3](2024・福建南平•三模)已知P0n,n)为圆C：0—1尸+(y-=1上任意一点，则得的最

大值为一年一

【解题思路】将三转化为点P(m,n)和(-1,1)连线的斜率，由图像可知当直线与圆相切时取得最大值，由d=

m+1

r解出斜率即可.

【解答过程】

由于震=意左，故岳表示P(m,n)和(一1,1)连线的斜率，设M(—1,1)，如图所示，当MP与圆相切时，热

取得最大值,

设此时MP:y-1=k(x+1),即依一y+k+l=0,又圆心(1,1),半径为1,故上若%=1,解得k=±g

“2+13

故土3的最大值为日

m+l3

故答案为：-y.

【题型2直线型最值(范围)问题】

【例2】(23-24高三上•河南•阶段练习)已知点P(x,y)是圆C：上一以+段=3(a>0)上的一动点,若圆C

经过点4(1,夜)，贝%的最大值与最小值之和为()

A.4B.2V6C.-4D.-2显

【解题思路】由圆所过点的坐标求得a,y-x可看成是直线y=x+b在y轴上的截距，直线与圆相切时，b

取得最大值或最小值，由此可得.

【解答过程】因为圆C：(x—a)2+y2=3(a>0)经过点

(1-a)2+2=3.又a>0,所以a=2,

y-x可看成是直线y-x+b在y轴上的截距.如图所示，

当直线y=x+6与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时^^=声，解得。=-2±痣，

所以y-久的最大值为-2+逐，最小值为-2-迎，故y-%的最大值与最小值之和为-4.

故选：C.

【变式2-1](24-25高二上•全国•课后作业)如果实数x,y满足等式/+y2+©-2y-4=0,那么/+产

的最大值是14+6V5；2x-y的最大值是3V5-5..

【解题思路】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.

【解答过程】由/+y2+4%-2y-4=0,得(％+2/+(y—1)2=9,/+y2的几何意义为圆(％+2)2+

(y-I)2=9上的动点到原点距离的平方.

因为圆心(-2,1)到原点的距离为遥，所以圆上的动点到原点距离的最大值为遮+3,

则/+产的最大值是(遮+3)2=14+6V5.

令2x-y=t,则一t是直线2%-y=1在丫轴上的截距，

当直线与圆相切时，直线2x-y=t在y轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，

此时，圆心(-2,1)到直线2久-y=t的距离d=上覆丛=3,解得t=一5±3㈢，

所以2x-y的最大值为36—5.

故答案为：14+6西；3V5-5.

【变式2-2](23-24高二上•黑龙江绥化•阶段练习)已知久，y是实数，且Q-1)2+(y-2/=4.

⑴求3久+4y的最值；

(2)求号的取值范围；

(3)求J/+y2的最值.

【解题思路】(1)首先设3x+4y=z,利用直线与圆有交点，列式求z的最值；

(2)首先设k=4转化为直线依-y=0与圆有交点，列不等式求k的取值范围；

X

(3)根据"守的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值.

【解答过程】(1)设3x+4y=z,化为3x+4y-z=0,

可知直线3%+4丫-2=0与圆0-1)2+3-2)2=4有交点，圆心(1,2),半径为2,

有邑”W2,解得1WZW21,

可得3久+4y的最小值为1,最大值为21；

(2)设k=上，化为kx—y=0,

X

可知直线此一y=0与圆(％-1)2+(y-2)2=4有交点，

有:rj；-2，解得々之0或k<—p

故(的取值范围为(—8,—才U[0,+oo)；

(3)+y2的几何意义为坐标原点到圆(%一1)2+(y_2)2=4上任意一点的距离，

圆(％-I)2+(y-2)2=4的圆心到坐标原点的距离为"T9=V5,

故+y2的最小值为花—2,最大值为遥+2.

【变式2-3](2024高三・全国•专题练习)已知实数x,y满足方程/+产一以+1=0.求:

(1E的最大值和最小值；

(2)j+x的最大值和最小值；

(3)/+产的最大值和最小值.

【解题思路】(1)令2=3进行求解即可；

X

(2)令y+x=",得其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，进行求解即可；

(3)根据N+V的几何意义，进行求解即可.

【解答过程】(1)如图，令则/+以2—4工+1=0,即(1+广)x2—4x+l=0.由AK)得一V3</<V3,

X

所以Z的最小值为一百，最大值为四.

X

(2,0)

(2)令y+x=冽，得丁=-x+冽.直线y=—x+加与圆/+,2—以+1=0有公共点时，其纵截距在两相切位

置对应的纵截距之间，而相切时有上士*叫=8，|m-2|=V6,m=2±V6.

所以y+x的最大值为2+V6,最小值为2—V6.

/fi\c

(3)如图，/+/是圆上点到原点距离的平方，故连接oc,与圆交于点8,并延长交圆于C,可知8到

原点的距离最近，点C到原点的距离最大，此时有O8=J%2+最=2—后OC'^yJx2+y2=2+V3,

,22

贝I](N+/)mav=OC=7+4V3,(N+/)min=OB=1-^.

【题型3定点到圆上点的最值(范围)】

【例3】(2024•陕西铜川•三模)已知圆。(久—。)2+(、-6)2=1经过点力(3,4),则其圆心到原点的距离的

最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【解题思路】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可.

【解答过程】由圆。0-砌2+(乂—匕)2=1经过点(3,4),可得(3—a)2+(4-b)2=1,

即(a-3)2+(b—4)2=1,故圆心(a,6)的轨迹是以4(3,4)为圆心，1为半径的圆,

又|4。|=VF+4？=5,所以圆心到原点的距离的最大值为5+1=6.

故选：C.

【变式3-11(23-24高三下•山东济南•开学考试)己知P是圆。:/+产=9上的动点，点Q满足所=(3,-4),

点4(1,1),则MQI的最大值为()

A.8B.9C.V29+3D.V30+3

【解题思路】首先求点Q的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，求MQI的最大值.

【解答过程】设QO,y),P(xo.yo)-

由所=(x-xo，y-yo)=(3,-4),得久()=%-3,y0=y+4,

因为点P在圆。上，即焉+%=9,

则(x—3/+(y+4)2=9,

所以点Q的轨迹是以(3,-4)为圆心，3为半径的圆，

因为4(1,1),(1-3)2+(1+4)2=29>9,所以点4在圆外，

所以MQ的最大值为—3尸+(1+4尸+3=V29+3.

故选：C.

【变式3-2](2024•全国•模拟预测)M点是圆C:(x+2)2+y=1上任意一点，A8为圆的:(x—2>+产=3

的弦，且|48|=2戊，N为力B的中点，则|MN|的最小值为()

A.1B.2C.3D.47

【解题思路】根据弦长公式先求出IC1M=1,然后可知点N在以的(2,0)为圆心，1为半径的圆上，结合圆

的性质可求|MN|的最小值.

【解答过程】圆C:(x+2)2+y2=1的圆心为c(—2,0),半径为r=l,

圆Ci：(x-2)2+y2=3的圆心为(7式2,0),半径为勺=V3.

如图所示，由弦长公式知=2，^1cl=2鱼，

解得|C1N|=1,

所以点N在以g(2,0)为圆心、1为半径的圆上，

由图可知，|MN|的最小值为ICC/-r—l=4-1-1=2.

故选：B.

【变式3-3]（2024•四川乐山•三模）已知圆O:/+y2=i6,点F（—2m+旧），点E是42久一y+16=0

上的动点，过E作圆。的切线，切点分别为4B,直线与E。交于点M,贝U|MF|的最小值为（）

3C3遥厂5yc3V19

AA.-B.——C.——D.------

2222

【解题思路】设由△ZOE〜△M。/表示出点E坐标，代入直线方程得出点M的轨迹，根据点到圆上

一点距离最小值求法计算即可.

【解答过程】设M（x,y）,由题可知△AOE〜△MO4,则器=黑，即|。川2=|。州•|0M|,

所以盟=翳=与，所以点E（跆，枭｝

2

将点E的坐标代入2:2%-y+16=0,化简得（久+1）2+（y-5）=：（与y不同时为。），

故点M的轨迹是以（-1弓）为圆心，苧为半径的圆，

2

又（一2+1）2+（1+旧-3=20>1点尸在该圆外，

所以|MF|的最小值为]（—1+2）2+（g—--y=2V5--y=

【题型4圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】

[例4]（2024•河北邯郸•模拟预测）已知M,N是圆C：久2+y2_2y_3=0上的两个点，且|MN|=2鱼,

P为MN的中点，0为直线/：x—y—3=0上的一点，则|PQ|的最小值为（）

A.2V2B.V2C.2-V2D.V2-1

【解题思路】先根据弦长得出点尸的轨迹，利用直线与圆的位置关系即可解决.

【解答过程】圆C的标准方程：/+s_1）2=4,圆心c（o,i）,半径为2,

由|MN|=2vL可得|CP|=V4^2=V2,

所以点P在以C（O,1）为圆心，鱼为半径的圆上，

又点C到直线/：x—y-3=0的距离d=世詈1=2V2,

所以IPQI的最小值为2a-a=VI

故选：B.

【变式4-1］（2024•辽宁鞍山•二模）已知直线/:x—y—2=0,点C在圆（x—1尸+产=2上运动，那么点C

到直线，的距离的最大值为（）

A.-V2+1B.-V2C.-V2D.—

2222

【解题思路】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，加上圆的半径，即可得答案.

【解答过程】圆（久一1）2+y2=2的圆心为（1,0）,半径为丁=夜.

则圆心（1,0）到直线/：x-y—2=0的距离为：d==

所以圆上的点C到直线2：久一y-2=0距离的最大值为：苧+a=乎.

故选：C.

【变式4-2］（2024・河北・二模）已知力（xi，yj,火%力）是圆/+y2=9上的两个动点，且疑也+yiV2=-*

若点M满足前=2祈航点P在直线x+by-4b=0上，则|MP|的最小值为（）

A.4V3B.3V3C.2V3D.V3

【解题思路】连接OM、OA.OB,根据已知可得•砺=”2+乃乃=-?，且丽=1市+|砺，从而

可得动点M的轨迹为圆，由圆心到直线的距离可解.

【解答过程】如图，连接0"、OA,OB,

由力（巧,为），8（如丫2）是圆％2+V=9上的两个动点，且+为力=-/

即万5•方=%1%2+7172=一p

又前=2丽，则。而一65=2（砺一丽），可得丽=［瓦？+|南，

所以I丽I=J（|ol+|0B）2=J1ol2+^OA-OB+^OB2=V1-2+4=V3,

则动点M的轨迹方程为/+必=3,

且圆心。到直线x+V3y-4V3=0的距离为d==2百，

所以|MP|的最小值为2百一百=四.

故选：D.

【变式4-3］（2024•湖南岳阳•二模）已知点4（打,力）,83，丫2）是圆/+y2=16上的两点，若N49B=全

则出+为—2|+|x2+y2-2|的最大值为（）

A.16B.12C.8D.4

【解题思路】题目转化为4、B到直线x+y—2=0的距离之和，变换得到/C|+|BD|=2|EF|,利用数形

结合转化求解即可.

【解答过程】因为4（尤1，y。、8（交，光）在圆x?+y2=16上，-1OB=全

因为|0*=|0B|=4,则△40B是等腰直角三角形，

|%i+yi-2|+|%2+丫2—2|表示4、B到直线x+y—2—0的距离之和的倍，

原点。到直线％+y-2=0的距后为d=专=如图所不：

AC1CD,BD1CD,E是ZB的中点，作EF1CD于F,

且。E14B,\AC\+\BD\=2\EF\,\OE\=1\AB\=2V2,

\EF\<|OF|+d=3V2,当且仅当O,E,F三点共线，且E,F在。的两侧时等号成立，

又|EF|="出0+\AC［）,故|BD|+14cl的最大值为6企

|xi+乃—2|+|x2+y2-2|的最大值为2位x3a=12.

故选：B.

【题型5过圆内定点的弦长最值（范围）问题】

【例5】（23-24高二上•重庆•期末）已知圆的方程为了+产一8%=0,则该圆中过点P（2,l）的最短弦的长

为（）

A.VioB.VilC.2V10D.2VT1

【解题思路】利用几何法求弦长.

【解答过程】如图：/+、2-8久=0今（x—4）2+y2=16,所以圆心C（4,0）,半径r=4

由图可知，当弦ZBLCP时，弦长最短.

此时，Rt2\4CP中，\CP\=J(4-2尸+(0—1)2=V5,\CA\=r=4,

所以：\AP\=V16-5=VTl.

所以弦长|4B|=2VTT.

故选：D.

【变式5-1]（2024,陕西西安・模拟预测）已知直线〃tx+y-2t-y/3=0（teR）与圆C:（x—l）2+y2=16

相交于4B两点，则弦长|A8|的取值范围是（）

A.[2V3,8]B.[4V3,8]C.（4V3,8）D.[4,4V3]

【解题思路】根据题意，求得直线恒过点P（2,遥），结合圆的性质和弦长公式，即可求解.

【解答过程】因为直线tx+y-2t-V3-0（tGR）,可得t（x-2）+y-V3=0,

1y—?^3Q

（y_0'解得x=2,y=K,所以直线恒过点P（2,百），

可得点P(2,g)在圆(x-l)2+y2=16内部，

又由圆(x—1)2+y2=16,可得圆心C(1,O),半径为r=4,

当直线Z过圆心C(1,O)时，截得弦长最长，此时|4B|max=2r=8,

当直线/与PC垂直时，此时弦长|48|最短，又由|PC|=J(2-1)2+(8-0)2=2,

可得|48|min=2〃2_|PC|2=2"-4=4仃，

所以弦长|力B|的取值范围是[4百,8].

故选：B.

【变式5-2](23-24高二上•广东珠海・期末)已知直线八mx—丫一3巾+1=0恒过点P,过点P作直线与

圆C：(%-1)2+⑶-2)2=25相交于4,B两点、,则|4B|的最小值为()

A.4V5B.2C.4D.24

【解题思路】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定|力切最小时直线与直线CP的位置关系,

即可得结果.

[解答过程】由7n(X—3)-y+1=0恒过P(3,l),

又(3-I)2+(1—2)2=5<25,即P在圆。内，

要使必用最小，只需圆心C(l,2)与P的连线与该直线垂直，所得弦长最短，

由|CP|=花，圆的半径为5,

所以MBlmin=2XV25-5=4V5.

故选：A.

【变式5-3](2024-江西赣州・二模)已知直线/:(m+n)x+(m—n)y—2m=O(mn丰0).圆C:(久—2)2+(y—

2)2=8,则()

A./过定点(1,一1)B./与。一定相交

C.若/平分C的周长，则爪=1D./被C截得的最短弦的长度为4

【解题思路】根据方程的形式，联立方程二即可求定点，判断A,再根据定点与圆的关系，

判断直线与圆的位置关系，判断B,根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C,当定点为弦的

中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可判定D.

【解答过程】选项A：Z:(m+n)x+(m—n)y—2m=0=>m(x+y—2)+n(x—y)=0,

联立解得所以/过定点(1,1),故A错误；

选项B：因/过定点(1,1),且(1—2)2+(1-2)2<8,

所以定点(1,1)在圆内，即/与C一定相交，故B正确；

选项C：若/平分C的周长，则直线过圆心(2,2),所以0n+n)x2+(m—n)x2—2ni=0,

即m=0,故C错误；

选项D：当定点(1,1)为弦的中点时，此时弦长最短，

此时圆心(2,2)到弦所在直线的距离d=J(2—I]+(2-1)2=V2,

则弦长2J(2夜『-(鱼)2=2后，故D错误；

故选：B.

【题型6圆的切线长度最值(范围)问题】

【例6】(2024•全国•模拟预测)已知尸为直线1:久—y+l=0上一点，过点尸作圆C:(x—+y2=i的

一条切线，切点为力,则|P川的最小值为()

A.1B.V2C.V3D.2

【解题思路】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.

【解答过程】连接C4贝“P川=7lPC|2-l,

而|PC|的最小值为点C到直线1的距离d=^===鱼＞1,

所以|P川min=J(鱼)2—1=1.

故选：A.

【变式6-1](2024•新疆•二模)从直线x—y+2=0上的点向圆工2+y2—叙―4y+7=0引切线，则切

线长的最小值为()

A.—B.1C.—D.--1

242

【解题思路】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可.

【解答过程】圆/+丫2-4万—4丫+7=。化为。-2)2+(丫-2)2=1,圆心为C(2,2),半径为1,

直线x—y+2=0上的点P向圆/+y2一叙―句+7=0引切线，设切点为4

贝！J|P川2=|pc|2-r2=|pc『_i,

要使切线长的最小，则|PC|最小，即直线上的点与圆心的距离最小，

由点到直线的距离公式可得，|PC|min=々笋=V2.

所以切线长的最小值为J(/)2-1=1.

故选：B.

【变式6-2](2024・四川宜宾•二模)已知点P是直线x+y+3=0上一动点，过点P作圆C:(久++产=i

的一条切线，切点为4则线段24长度的最小值为()

A.2V3B.2V2C.V2D.1

【解题思路】由题意可得|P4|="PC|2-r2,则当|PC|取得最小值时，线段P4长度的最小，利用点到直线

的距离公式求出|PC|的最小值即可得解.

【解答过程】圆C:(x+1)2+y=1的圆心c(-LO),半径r=l,

由题意可得PH-LAC,

则|P2|=y/\PC\2-\AC\2=y/\PC\2-r2=7|PC|2-1,

则当|PC|取得最小值时，线段24长度的最小，

|-1+0+3|=V2,

iPCImin=Vi+T

所以IP川min=J-1=L

故选：D.

【变式6-3](2024•湖北•模拟预测)己知点P为直线2:3x—4y+12=0上的一点，过点P作圆C:-3尸+

(y—2)2=1的切线PM,切点为M,则切线长|PM|的最小值为()

【解题思路】分析可知CM1PM,由勾股定理可得|PM|=J|PC|2一一当|PM|取小值时，PC11,求出圆

心到直线/的距离，作为|PC|的最小值，结合勾股求解即可.

【解答过程】由题意可知，圆C的圆心为C(2,3),半径为|CM|=1,

由圆的几何性质可知，CM1PM,

由勾股定理可得|PM|=J|PC|2—|C可『=J|PC|2一1,

所以要使切线长|PM|取最小值，只需|PC|取最小值即可.

当直线PC与直线2:3x-4y+12=0垂直时，|PC|取最小值d=浮粤=”，

V3z+(-4)z5

则|PM的最小值是

故选：A.

【题型7周长面积型最值(范围)问题】

【例7】(2024•上海普陀・二模)直线2经过定点P(2,l),且与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A,B两点，

。为坐标原点，动圆M在△OAB的外部，且与直线/及两坐标轴的正半轴均相切，则△。力B周长的最小值是

()

A.3B.5C.10D.12

【解题思路】先设动圆M的圆心M坐标为(叫伍)，|0*=a,\OB\=b,结合直线与圆相切的性质可得|04|+

\OB\+\AB\=|2m,当圆M与直线AB相切于点P(2,l)处时，圆M半径最小，结合两点间距离公式即可求解.

【解答过程】设动圆M的圆心M坐标为(犯小)，

即圆M半径r=ni,由题意zn>0,

设|。*=a,\OB\=b,圆M与直线AB相切于点N,则MN|=zn-a,\BN\^m-b,

所以|。川+\OB\+\AB\=\OA\+\OB\+\AN\+\BN\=a+b+m-a+m-b=2m,

即^。力B的周长为2m,

所以△04B的周长最小即为圆M半径小最小，因为|PM|>r=m,

则—2)2+(m—1)2>m,整理得ni?—6m+5>0,

解得m>5或m<1,

当mW1时，圆心M在△CMB内，不合题意；

当山25时，符合题意，即圆M半径的最小值为5,△Q4B周长的最小值为2nl=10.

故选：C.

【变式7-1](2024・山西吕梁•一模)已知圆Q:(x—4)2+(y—2)2=4,点P为直线久+y+2=0上的动点,

以PQ为直径的圆与圆Q相交于48两点，则四边形P4QB面积的最小值为()

A.2夕B.4V7C.2D.4

【解题思路】写出面积表达式，从而得到当PQ与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可.

【解答过程】由题意得P4L4Q,PB1AQ,（2（4,2）,

SmPAQB=2s4取=2-l\PA\\AQ\=2\PA\=2g_4,

当PQ垂直直线久+y+2=0时，|PQ|mm=中笋=4位,

G四边形p4QB)min=4近，

【变式7-2]（2024高三•全国•专题练习）设P为直线x-y=0上的动点，为，P8为圆C：（无2)2+y2=1

的两条切线，切点分别为4B,则四边形4PBC的周长的最小值为（）

A.3B.2+V3C.4D.2+2再

【解题思路】根据给定条件，利用圆的切线长定理将四边形周长表示为|PC|的函数求解.

【解答过程】依题意，圆。一2）2+3/2=1的圆心（7（2,0）,半径r=l,

AC1PA,\PB\=\PA\=J|PC|2_1,

因此四边形4PBC的周长/=2\PA\+2\AC\-2ape1+2,

而|PC|min="矛=V2,当且仅当PC垂直于直线尤—y=0时取等号，

所以四边形4PBC的周长的最小值为4.

【变式7-3]（2024•全国•模拟预测）已知4（一3,0）,B（0,3）,设C是圆M:d+y2-2久一3=0上一动点,

则△ABC面积的最大值与最小值之差等于（）.

A.12B.6V2C.6D.3近

【解题思路】求出C到直线4B的距离的最大值与最小值，结合面积公式做差即可得.

【解答过程】因为直线力B与圆M:(%一1)2+y2_4相离，

设圆心M(1,O)到直线=x+3的距离为d,

则d=^=2a,又圆M的半径为2,

所以C到直线的距离的最小值为d-r=2V2-2,

C到直线48的距离的最大值为d+r=2迎+2,

因此△力BC面积的最大值与最小值之差等于：

—[(2V2+2)-(2V2-2)]=•x4=6鱼.

故选：B.

【题型8数量积型最值(范围)问题】

【例8】(2024•陕西安康•模拟预测)在平面直角坐标系中，曲线y=/-4%+1与坐标轴的交点都在圆C

上，4B为圆C的直径，点P是直线3%+4丫+10=0上任意一点；则方•丽的最小值为()

A.4B.12C.16D.18

【解题思路】由题意求出圆C的方程，根据数量积的运算律求得方•丽的表达式PC?-4,确定当|玩|为圆

心到直线3久+4y+10=0的距离时，PA■而取最小值，结合点到直线的距离即可求得答案.

【解答过程】对于曲线y=/-4尤+L令久=0,则y=l；令y=0,则无=2土百，

曲线y=%2-4x+1与坐标轴的交点分别为(0,1),(2-V3,0),(2+73,0),

设圆心C(2,t),由J(0—2乃+(1—安=J(2+V3-2)2+(0-t)2,得t=l,

则圆心为C(2,l),半径为2,所以圆C方程为(X—2尸+(y—1)2=4,

PA-PB=(PC+CA)-(PC+CB)=PC2+(CA+CB)-PC+CA-CB=PC2-4,

当|而|最小，即为圆心到直线3x+4y+10=0的距离时，可•而取到最小值，

圆心C(2,l)到直线Z:3x+4y+10=0的距离设为d,则d=阳2言字3=%

V32+42

所以|丽|最小值为4,则刀•丽的最小值为42-4=12,

故选：B.

【变式8-11(2024・全国・模拟预测)已知圆。是圆心为原点的单位圆，48是圆。上任意两个不同的点，用(2,0),

则|玩?+而|的取值范围为()

A.(1,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,6)

【解题思路】设C为弦力B的中点，则|豆？+而|=2|标后由图形结合C点在圆内部可得答案.

【解答过程】设C为弦4B的中点，贝“豆？+而|=2|流因为4B两点不重合，则直线与圆。相交，

所以点C在圆。内.

考虑点。为圆上或圆内一点，如图当且仅当。，O,M三点共线时，|DM|最长为|M0|+|。£»|=3,因C在

圆内，贝U|MC|<3；

考虑点E为圆上或圆内一点，如图当且仅当。，E,M三点共线时，|EM|最短为|M0|—|0E|=1,因C在

圆内，贝>1.

综上，当点C在圆0内时，|MC|6(1,3),贝山拓？+丽|=2|流|C(2,6).

故选：D.

【变式8-2](2024•河南开封•二模)已知等边△ABC的边长为百,P为△4BC所在平面内的动点，且|而|=1,

则丽・丽的取值范围是()

A-[-1-1]B-[-PT]C.[1,4]D,[1,7]

【解题思路】首先建立平面直角坐标系且力(-f,0),5(y,o),C(0,|),进而确定P的轨迹圆，再利用向量

数量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可.

【解答过程】如下图构建平面直角坐标系，且4(-苧,0),F(y,o),C(0,|),

所以P(x,y)在以a为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为0+弓)2+必=1,

而而=(y-x,—y),PC=(—|-y),故而•PC=x2-yx+y2-|y=(%-y)2+(y-1)2—

综上，只需求出定点(手,坊与圆(x+f)2+产=1上点距离平方的范围即可，

44Z

而圆心4与谭币的距离d=J(1+孚)2+(»=a故定点(手怖)与圆上点的距离范围为E，|]，

所以PB-PC6[—

故选：B.

【变式8-3](2024・河北唐山•二模)已知圆C：x2+(y-3)2=4,过点(0,4)的直线1与工轴交于点P,与圆C

交于力，B两点，则丽•(石?+而)的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

【解题思路】作出线段4B的中点。，将刀+而转化为2而，利用垂径定理，由图化简得浮•(犷+而)=

2\CD\2,只需求|方|的范围即可，故又转化成求过点”(0,4)的弦长的范围问题.

由方•(襦+而)=2而.丽=2(而+赤)•丽=2|而『，

因直线Z经过点M(0,4),考虑临界情况，

当线段48中点。与点M重合时(止匕时CM14B),弦长4B最小，此时CD最长,

为ICDImax=|CM|=4—3=1,（但此时直线/与X轴平行，点P不存在）；

当线段48中点。与点C重合时，点P与点。重合，CD最短为0（此时符合题意）.

故存-（CA+丽）的范围为［0,2）.

故选：D.

【题型9坐标、角度型最值（范围）问题】

【例9】（2024•江西•模拟预测）已知点M是圆好+产=1上一点，点可是圆。0-3）2+产=3上一点,

则NCMN的最大值为（）

A.-B.-C.-D.-

2346

【解题思路】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解.

【解答过程】圆式2+y2=1的圆心。（0,0）,半径勺=1,

圆C:（%一3）2+y2=3的圆心C（3,0）,半径丁2=V3,

在三角形CMN中，\CN\=V3,

根据正弦定理可得，上L=±L,即」^=上匚，

sin/CMNsin/GVMsin乙CMNsin/CNM

因为|CM|N|CO|一厂1=3—1=2,sin乙CNM01,

所以sin^CMN<y,

因为|CN|<\CM\,所以NCMN是锐角，

所以NCMN的最大值为争

故选：B.

【变式9-1］（2024•全国•模拟预测）已知直线l:x—y+2=0与圆。+y2=1,过直线I上的任意一点p

作圆。的切线处,PB,切点分别为B,贝比AOB的最小值为（）

A.—B.—C.-D.-

4326

【解题思路】由题意可得cos乙40P=嬴，可知当。尸最小时，N40B最小，结合点到直线的距离公式运算

求解.

【解答过程】由题意可知：圆。：/+y2=1的圆心为。(0,0),半径为1,

则圆心。到直线/的距离为整=V2>1,可知直线/与圆。相离，

因为N40B=2N40P,且cos乙40P="=占

当|0P|最小时，则cosNZOP最大,可得乙40P最小，即乙4。8最小，

又因为|。尸|的最小值即为圆心。到直线/的距离为VL

此时cos乙40P=y.zXOP=p所以乙40B取得最小值会

故选：C.

【变式9-2](23-24高一下•河南洛阳•期末)在平面直角坐标系xOy中，已知。(0,0),力(果0),曲线C上任

一点M满足|0M|