浙江省某校2025届高三年级上册11月联考数学试题（含答案）

浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U={1,2,3,456},A={1,2,3},B={2,3,4,5},则图中阴影部分对应的集合为（）

A.{1}B.{2,3}C.[4,5}D.{6}

2.已知万，豆是不共线的单位向量，若之=玩+2恭b=AeJ-eJ,且办7a则2=()

11

A.2B.-2C.—-D.—

3.下列四个函数中，以（万,0）为其对称中心，且在区间（0今）上单调递增的是（）

A.y=cosxB.y=tanxC.y=sin%D.y=|cos%|

4.已知函数/（*）={f；则关于X的不等式/（无）W1的解集为（）

A.（—8,—2]U[e,+8）B,[―2,e]

C.（-oo,-2]U[e-1,+oo）D.[-2,e-l]

5.“直线a光+by-l=0与圆/+y=2有公共点”是“42+按21”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到

红球者获胜，则甲获胜的概率（）

A.^B.&C.|D.|

7.已知双曲线：g-^=l（a>0,b>0）,过M（—2a,0）的直线分别交双曲线左右两支为4B,4关于原点。

TT

的对称点为C,若2ABM。+NMBC=于则双曲线的离心率e=（）

A.A/2B.A/3C.2^/2D.2避

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8.已知/(x)是定义在R上且不恒为0的连续函数，若以x+y)+/(x-y)=/(%)/(y),/(I)=0,贝U()

A.f(0)=1Bj(x)为奇函数C.f(x)的周期为2D.-2<f(x)<2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是()

A.若随机变量卜8(8方,则D(f)=|

B,残差平方和越大,模型的拟合效果越好

C.若随机变量〃〜阳出吟,则当〃减小时保持不变

D.一组数据的极差不小于该组数据的标准差

10.某校南门前有条长80米，宽8米的公路(如图矩形4BCD),公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位(

如矩形AEFG),由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大

小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的

宽度2M=3(米)，停车位相对道路倾斜的角度NE0M=a,其中aG(岩)，贝|()

C.该路段改造后的停车位比改造前增加8个D.该路段改造后的停车位比改造前增加9个

11.如图，ABCD是边长为2的正方形，441，BBi，CCVDZ%都垂直于底面4BCD,且。氏=|4%=|砥

=3BBi=3,点E在线段CQ上，平面BE小交线段441于点F,贝|()

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A.A1,5i，Q,Di四点不共面

B.该几何体的体积为8

C.过四点41，Ci，B,。四点的外接球表面积为12兀

D,截面四边形BED*的周长的最小值为10

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知i为虚数单位，若z•，+z-2=9+4i,贝!)|z[=.

13.已知等比数列5｝的前几项和为九,若S2九=(3九+1用，则符=.

14.已知函数/(%)=ex-e-x—|sin2x+1,若对任意％e(1,+oo),/(alnx)+/(-%)<2,则实数a的取值

范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，四边形48C。为圆台。1。2的轴截面，AB=2CD,圆台的母线与底面所成的角为60°,母线长为2,P

是弧筋上的点，CP=^6,E为力P的中点.

①证明：DE〃平面BCP;

(II)求平面4CP与平面BCP夹角的余弦值.

16.(本小题15分)

如图，△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,直线/与△4BC的边AB,AC分别相交于点D,E,设

Z-ADE=。,满足acos(B—。)+bcosQA+6)=-c.

(I)求角。的大小；

(II)若△ZDE的面积为3避，求△ADE的周长.

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17.(本小题15分)

已知函数/(%)=x2ln(x+a).

①当a=0时，求曲线y=/(x)在点(e,/(e))处的切线方程；

(II)若/(久)有两个极值点，求a的取值范围.

18.(本小题17分)

已知椭圆C:苧+必=1的左右顶点分别为力，B,左右焦点分别为Fi，F2,。为坐标原点，E为椭圆在第一象

限上的一点，直线及4,EB分别交y轴于点P,Q.

(I)求|OP|“OQI的值；

(II)在直线尸2<?上取一点。(异于尸2)，使得|。。|=1.

⑴证明：P,D,%三点共线；

(ii)求△PDF2马△P%F2面积之比的取值范围.

19.(本小题17分)

每个正整数k有唯一的“阶乘表示”为(。1以2,…An)，这些心满足k=1!以1+2!«2+,•,+m!•am

其中每个四(i=1,2,3…,nvneN*)都是整数，且04七〈工am>0.

(I)求正整数3,4,5,6的“阶乘表示”；

(II)若正整数k对应的“阶乘表示”为(即以2,•••".)，正整数/对应的“阶乘表示"为'/••,%')，其中

m>s,求证：k>kr;

(III)对正整数k,记勾=慌(九〈zn刀EN*),因表示不超过％的最大整数，数列｛(九一1)勾｝前几项和为S九，

若々一S租=2024,当k最小时，求3n的值.

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参考答案

1.A

2.C

3.5

4.D

5.B

6.C

7.4

8.D

9.ACD

10.AD

11.BCD

12.3

13.91

14.(-°°,e)

15.解:(I)取BP中点F,连结EF,CF,

■：EF//AB,EF=^AB,CD//AB,CD=玄3,

EV/1CD,EF=CD,为平行四边形，

DE//CF.

又DEC平面BCP,CFu平面8CP,

DE〃平面BCP.

(n)过C作CH148于点H,

AB=2CD,圆台的母线与底面所成的角为60°,母线长为2,

CH=A/3,BH=1,CD=2,AB=4,

又CP=A/6,PH=73,0加=1.

又OiP=2,PH1O]B,

计算可得4P=AC=2避，BC=BP=2,

取PC中点Q,连结HQ,BQ,

则乙4QB即为二面角力-PC-B的平面角，

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又计算可得AQ=亨，BQ=乎，

丝+型一16oI----

所以COSN/QB=21羊Y=-^/105=

所以平面ZCP与平面BCP夹角的余弦值为嚼I

16.1?：(I)由acos(B-。)+bcos(Z+6)=乐，

可得QCOSBCOS®+asinBsin3+bcosAcos0—bsinAsin3=-c,

由正弦定理可得sinAcosBcos。+sinAsinBsind+sinBcosAcosff-sinBsinAsinff=-sinC,

BP(siny4cosB+sinBcosZ)cos6=-sinC,

即sin(4+B)cos6=sinCcos。=|sinC,

因为CE(0,7i),所以sinCHO,

i

则cos。=-,

TT

又。e(0,TT),所以。=§.

(ID由S44DE=yDgE,sine=34，可得力DDE=12,

由余弦定理可得力E2=人。2+DE2-2AD-DE-cose=AD2+DE2-AD-DE={AD+DE)2-3AD-DE,

即13=(4。+DE)2—36,可得4。+DE=7,

则△ADE的周长为4。+DE+AE^7+A/13.

17.W：(I)"f(x)=x2lnx,

f'(x)=2xlnx+x,

・•.f(e)=3e,即切线的斜率为3e,

又f(e)=e2,

・••所求切线方程为y=3ex-2e2；

y2X

(n)f'(x)=2xln(x+a)+——=x[21n(x+a)+77^],

A.~J~Cl人।"

x

令g(x)=21n(x+a)+77^，x>-a,

rm，/、2a2x+3a

则g。)=不+斫不=和可

令g'(x)=0得％=-当，

①当a>0时，g(%)在(一见+8)上单调递增,

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当久->一a时，g(%)7-8,

当久-»+8时，g(%)->+oo,

所以存在唯一的零点％o，

又g(0)=21naH0得QW1,

所以Q>0且QW1时，/(%)有两个极值点0,%0；

②当a<0时，g(%)在(一见一|。)上单调递减，在(一|见+8)上单调递增,

又当％-—a时，g(%)=21n(x+a)+=?("+。)吁+a)++

人Tax~va

当久t+8时，g(%)-»+00,

又0g(-a,+oo),

Q_3

所以只需g(—万。)v0,解得ae(—2e西0)；

③当a=0时，0e(—a,+oo),g(%)=21nx+1在(0,+8)上单调递增，

所以g(%)在(。,+8)上只有一个零点，

所以/(%)只有一个极值点，故不符合.

3

综上：Q的取值范围为(-2e2,0)u(0,1)U(1,+8).

2

国解：⑴设双血,见),则％o〉O,y0>0,且$+犬=1,

4(一疆0),S(72,0),Fi(-1,0),F2(l,0).

直线E4：y=^7^(%+")，令％=0,得P(。，喙普)；

直线EB：y避)，令比=0,得Q(0三昌).

所以|0P|70Q|=禹=芸|=1.

1%0一z-x0

(II)

⑴直线F2Q：y=

九。一并

%+yB=1

由点D在直线F2Q上以及1。。1=1，得y0=网。(和_1)，

,x0-y/2

代入，整理得好+(X)2(*。—1)2=L

即(%0-")2说+2必(孙-1)2=(X。-")2,

显然，上述关于孙的一元二次不等式有一个实根1,

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整理上式得，［2%+（%0-根）2］好一4%沏+2%-（%0-"）2=0,

由韦达定理，

1二2%一（配-也）2

2yo+（配一隹/

_2_就_（%0—遂）2

2—%0+（配一"）2

_

_2%o+2^/2%0

4—2^/2%o

_一2-0（%。—也）_^J2

=_2g厂际=”

由X。=条0得VD=上殳吟x0T）=y0,

所以号XO,yO）,

直线％P：y=旦%（尤+1）,

%0+A/Z

将点。坐标代入，满足该直线方程，故P,D,Fi三点共线，得证.

（ii）设点D横坐标为久0,则和=孝久0，

S&PDF2\PD\XDM

===x

S^PF1F2WdT°）

因为o＜久o＜避，所以会上2e（0,1）.

19.解：(/)因为3=l!xl+2!xl,故“阶乘表示”为(1,1)；

4=2!x2,故“阶乘表示”为(0,2);

5=1!+2!X2,故“阶乘表示”为(1,2);

因为6=3!x1,故”阶乘表示”为(0,0,1).

(U)因为k=1!・由+2\-a2+…+m\-am>m\-am>m\,

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因为zn>s,故TH