一元二次方程及其应用（考点解读）-2023年中考数学第一轮复习

专题06一元二次方程及其应用(考点解读)

中考命题解读,

一元二次方程是历年中考的必考内容，在中考中一般为2-3道题，分值为10-16分,

常见直接单独考查其解法，也会与不等式、函数等知识结合在一起考查根的判别式及

简单的根与系数关系运用等，这部分内容常与直角三角形、菱形、垂径定理等融会，

利用一元二次方程解决实际问题是历年中考的高频考点。

考标要求》

----------------------/1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会

方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.

2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果

的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.

3.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一

元二次方程(数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想.

4.经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力.

考点精讲

考点L一元二次方程

(1)概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方

程，叫做一元二次方程。

(2)一般形式：ax2+bx+c=0(aWO),其中ax?叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作

一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

考点2：一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：

①当方程的一次项位0时，即方程ax2+c=0(aW0,ac<0)

②形如(x+m)2=n,(n>0)的方根

(2)配方法

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(k^0)的一般步骤是：

①化为一般形式；

②移项，将常数项移到方程的右边；

③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；

④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)Jb的形式;

⑤如果b20就可以用两边开平方来求出方程的解；如果bWO,则原方程无解.

(3)公式法：

用公式法求一元二次方程的一般步骤：

(1)把方程化成一般形式2/+法+©=0,确定a、b、c的值(注意符号)

(2)求出判别式A=b2-4ac的值，判断根的情况

(3)在A=bL4ac»0(注：此处A读“德尔塔”)的前提F,把a、b、c的值代入公式

x=-b*而=-b±也2―4-进行计算,求出方程的;艮。

2a2a

(4)因式分解法：

因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：

(1)移项，使方程的右边化为零；

(2)将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；

(3)令每个因式分别为零；

(4)两个因式分别为零的解就都是原方程的解。

如：X?+(P+q)x+pq=0因式分解后>(x+°)(x+q)=0

考点3：一元二次方程的判别式：

①b,-4ac>o时，方程有两个不相等的实数根；

②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

③b2-4acV0时，方程无实数根，反之亦成立

考点4：一元二次方程的根与系数:

根与系数的关系：即ax~+bx+c=O的两根为Xi、X2，则Xi+X、=-Xi,X2=—利

aa。

x\+x2=(x\+*2)2-2中2

用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形)，如

考点5：一元二次方程的应用

(1)变化率问题：

设基准数为a,两次增长(或下降)后为b；增长率(下降率)为x,第一次增长

(或下降)后为ax(l±x)；第二次增长(或下降)后为a(l±x)2.可列方程为

2

a(l±x)=bo

(2)传染、分裂问题

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个

人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人：

第一轮传染后第二轮传染后.八、

弟牝饯兆工1+x_T+x+x(l+x)

(3)握手、比赛问题

握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握的二D次手。

2

赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送n(n-l)张卡片。

(4)销售利润问题：

①常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润X销售量；

②每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为b人

—xy件

a

(5)几何面积问题

(1)如图①,设空白部分的宽为X,则S阴影=(a-2x)(b-2x);

AD

(2)如图②，设阴影道路的宽为X,贝⑹空白=(a-X)(b-x)----IL|I

(3)如图③，栏杆总长为a,BC的长为b,则5=瞪小

圉①方②图③

(6)动点与几何问题

关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积

公式列出方程.

母题精讲

【典例I】（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（m-1）f+2x-3=0有实数根，则加

的取值范围是（）

A.B.m<—C.相>2且冽D.冽且相

3333

【典例2】（2020•黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，

每轮传染中平均每人传染了个人.

【典例3】（2022•青海）如图，小明同学用一张长11°机，宽7c机的矩形纸板制作一个底面

积为21c源的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四

周向上折叠即可（损耗不计）.设剪去的正方形边长为xcm,则可列出关于x的方程

为.

【典例4】（2022•凉山州）解方程：X2-2X-3=0.

【典例5】（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元

的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y（桶）

与每桶降价X（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多

少元？

【典例6】（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15现计划对其进

行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.

（1）若扩充后的矩形绿地面积为800%求新的矩形绿地的长与宽；

（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3.求新的矩形绿地面积.

【典例7】（2022•南岸区自主招生）北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪

念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个.第二周商店为了适当增加销

售量，决定降价销售.根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个（售价不得低于

进价）.第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%,剩余纪

念品全部售完.

注：销售利润=销售量X（售价-进价）

（1）若第二周每个纪念品降价加元，用含机的代数式表示这批纪念品第二周的销售利

润；

（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；

（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量.

真题精选

命题1一元二次方程的解法,

1.（2022•临沂）方程%2-2%-24=0的根是（）

A.xi=6,%2=4B.XI=6,%2=-4

C.xi=-6,42=4D.XI=-6，X2=-4

2.（2022•梧州）一元二次方程（x-2）（x+7）=0的根是

3.（2021•兰州）解方程：/+4x-i=o.

命题2—元二次方程根的判别式,

--------------------------------------------------/4.（2022•郴州）一元二次方程2犬+.「1=0

的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

5.（2022•兰州）关于x的一元二次方程依2+2%-1=0有两个相等的实数根，贝心=（）

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2022•安顺）定义新运算谈"对于任意实数a,6满足a%=（a+b）（a-6）-1,

其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=（3+2）（3-2）-1=5-1

=4.若x%=2x（左为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）

A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

命题3—元二次方程的实际应用\

7.（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，

若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为（）

A.30（1+x）2=50B.30（1-%）2=50

C.30（1+x2）=50D.30（1-%2）=50

8.（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单

循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）

A.8B.10C.7D.9

9.（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价

格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增

长率为羽根据题意列出方程，正确的是（）

A.6.2(1+x)2=8.9

B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9

D.6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9

10.(2019•广西)扬帆中学有一块长30加，宽20根的矩形空地，计划在这块空地上划出四

分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为

则可列方程为()

A.(30-%)(20-%)=1X20X30

4

B.(30-2%)(20-%)-1X20X30

4

C.30.r+2X20x=lx20X30

4

D.(30-2%)(20-x)=1X20X30

4

11.(2021•沈阳)某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队

伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？

12.(2022•眉山)建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元，2021

年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每

个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以

改造多少个老旧小区？

专题06一元二次方程及其应用（考点解读）

中考命题解读）

一元二次方程是历年中考的必考内容，在中考中一般为2-3道题，分值为10-16分,

常见直接单独考查其解法，也会与不等式、函数等知识结合在一起考查根的判别式及

简单的根与系数关系运用等，这部分内容常与直角三角形、菱形、垂径定理等融会，

利用一元二次方程解决实际问题是历年中考的高频考点。

考标要求\

1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中

数量关系的一个有效数学模型.

2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果

的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.

3.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一

元二次方程(数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想.

4.经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力.

考点精讲

考点1:一元二次方程

(1)概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方

程，叫做一元二次方程。

(2)一般形式：ax2+bx+c=O(aWO),其中ax?叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作

一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

考点2：一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：

①当方程的一次项位0时，即方程ax2+c=O(aWO,ac<0)

②形如(x+m)2=n,(n>0)的方根

(2)配方法

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(k^0)的一般步骤是：

①化为一般形式；

②移项，将常数项移到方程的右边；

③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；

④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)Jb的形式;

⑤如果b20就可以用两边开平方来求出方程的解；如果bWO,则原方程无解.

(3)公式法:

用公式法求一元二次方程的一般步骤：

（1）把方程化成一般形式aJ+bx+cuO,确定a、b、c的值（注意符号）

（2）求出判别式A=b2-4ac的值，判断根的情况

（3）在A=b2-4ac»0（注：此旭读“德尔塔”）的前提F,把a、b、c的值代入公式

x「b±&=-6±也2一4知进行计算,求出方程的艮。

2a2a

（4）因式分解法：

因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：

（1）移项，使方程的右边化为零；

（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积;

（3）令每个因式分别为零；

（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。

如：X?+（P+q）x+pq=0因式分解后>（x+°）（x+q）=0

考点3：一元二次方程的判别式：

①b~4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

③b2-4acV0时，方程无实数根，反之亦成立

考点4：一元二次方程的根与系数：

根与系数的关系：即ax~+bx+c=O的两根为X1、X。，则XI+X2=-2，XJX2=9利

一一aao

22

x=（x.+x2）-2x.x,

用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如

考点5：一元二次方程的应用

（1）变化率问题：

设基准数为a,两次增长（或下降）后为b；增长率（下降率）为x,第一次增长

（或下降）后为ax（l±x）；第二次增长（或下降）后为a（l±x）2.可列方程为

2

a（l±x）=bo

（2）传染、分裂问题

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个

人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人：

1第一轮传蟠T+x第二轮传染包T+X+X（1+X）

（3）握手、比赛问题

握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握巫9次手。

2

赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送n（n-l）张卡片。

（4）销售利润问题：

①常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润X销售量；

⑦每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为b科

—xy件

a

（5）几何面积问题

（1）如图①,设空白部分的宽为X,则S阴影=（a-2x）（b-2x）;

（2）如图②，设阴影道路的宽为X,贝⑶空白=%（b-x）

（3）如图③，栏杆总长为a,BC的长为b,则S=9-b

（6）动点与几何问题

关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积

公式列出方程.

母题精讲

【典例1】（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（m-1）f+2x-3=0有实数根，则加

的取值范围是（）

A.机B.m<—C.m>2且冽D.m>2且

3333

【答案】D

【解答】解：・关于x的一元二次方程（冽-1）r+2厂3=0有实数根，

2

...；A=2-4（m-l）X（-3）＞0,

m-lTtO

解得：机且mwi.

3

故选：D.

【典例2】（2020•黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，

每轮传染中平均每人传染了个人.

【答案】10

【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人.

依题意，得1+x+x（1+x）=121,

即（1+x）2=121,

解方程，得XI=10,X2=-12（舍去）.

答：每轮传染中平均每人传染了10人.

【典例3】（2022•青海）如图，小明同学用一张长HCM,宽7cm的矩形纸板制作一个底面

积为215?的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四

周向上折叠即可（损耗不计）.设剪去的正方形边长为我用，则可列出关于x的方程

故答案为：（11-2%）（7-2%）=21

【典例4】（2022•凉山州）解方程：X2-2X-3=0.

【解答】解：原方程可以变形为（x-3）（x+1）=0

x-3=0或x+l=0

•・X1=3,X2=-1.

【典例5】（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元

的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y（桶）

与每桶降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多

少元？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b,

将点（1,110）、（3,130）代入一次函数关系式得：I110=k+b,

I130=3k+b

解得“k=10,

lb=100

故函数的关系式为：y=10x+100（0<x<20）；

（2）由题意得：（lOx+100）X（55-%-35）=1760,

整理，得x2-10x-24=0.

解得xi=12,X2=-2（舍去）.

所以55-x=43.

答：这种消毒液每桶实际售价43元.

【典例6】（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35加，15%现计划对其进

行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.

（1）若扩充后的矩形绿地面积为800处求新的矩形绿地的长与宽；

（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3.求新的矩形绿地面积.

15m

35m

【解答】解：(1)设将绿地的长、宽增加.加，则新的矩形绿地的长为(35+x)m,宽

为(15+x)m,

根据题意得：(35+x)(15+x)=800,

整理得：^+50%-275=0

解得：xi=5,%2=-55(不符合题意，舍去)，

.*.35+x=35+5=40,15+x=15+5=20.

答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20M.

(2)设将绿地的长、宽增加JTO,则新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15+y)m,

根据题意得：(35+y)：(15+y)=5：3,

即3(35+y)=5(15+y),

解得：y=15,

：.(35+y)(15+y)=(35+15)X(15+15)=1500.

答：新的矩形绿地面积为1500疗.

【典例7】(2022•南岸区自主招生)北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪

念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个.第二周商店为了适当增加销

售量，决定降价销售.根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个(售价不得低于

进价).第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%,剩余纪

念品全部售完.

注：销售利润=销售量X(售价-进价)

(1)若第二周每个纪念品降价加元，用含用的代数式表示这批纪念品第二周的销售利

润；

(2)若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；

(3)若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量.

【解答】解：(1)依题意得：第二周每个纪念品的销售利润为(10-冽-6)=(4-

m)元，销售量为(200+50m)个，

这批纪念品第二周的销售利润为(4-m)(200+50m)元.

(2)依题意得：(10-6)X200+(4-m)(200+50/n)=1400,

整理得：m12-4=0,

解得：“21=2,OT2=_2(不符合题意，舍去)，

，10-m=10-2=8.

答：第二周每个纪念品的售价为8元.

(3)依题意得：(10-6)X200+(4-m)(200+50m)+[CIO-m)X(1-20%)

-6][600-200-(200+50w)]=1730,

整理得：加2+26m-27=0,

解得：/加=1,OT2=~27(不符合题意，舍去)，

.*.600-200-(200+50冽)=600-200-(200+50X1)=150.

答：这批纪念品第三周的销售数量为150个.

真题精选

命题1一元二次方程的解法〉

1.（2022•临沂）方程f-2x-24=0的根是（）

A.xi=6，％2=4B.XI=6，X2=-4

C.x\=-6,短=4D.X\=-6,%2=-4

【答案】B

【解答】解：?-2x-24=0,

（x-6）（x+4）=0,

x-6=0或x+4=0,

解得X1=6,X2=-4,

故选：B.

2.（2022•梧州）一元二次方程（x-2）（x+7）=0的根是

【答案】xi=2,X2=-7

【解答】解：(x-2)(x+7)=0,

x-2=0或x+7=0,

xi=2,X2=-7,

故答案为：xi=2,X2=-7.

3.(2021•兰州)解方程：/+4xT=0.

【解答】解：•.•x*2+*564x-l=0

.'.X2+4X=1

.'.X2+4X+4=1+4

(x+2)2=5

'.x=-2土述

.'•xi=-2+J^,X2=-2-A/5-

命题2一元二次方程根的判别式,

-------------------------------------------------/4.（2022•郴州）一元二次方程2f+x-1=0

的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】A

【解答】解：；A=12-4X2X（-1）=1+8=9>0,

一元二次方程2r+%-1=0有两个不相等的实数根，

故选：A.

5.（2022•兰州）关于x的一元二次方程依2+2%-1=0有两个相等的实数根，则左=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解答】解：根据题意得左W0且△=22-4左X（-1）=0,

解得左=-1.

故选：B.

6.（2022•安顺）定义新运算a*。：对于任意实数a,万满足a%=（a+。）（a-。）-1,

其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1

=4.若x*左=2x(左为实数)是关于x的方程，则它的根的情况是()

A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

【答案】B

【解答】解：根据题中的新定义化简得：(x+左)Cx-k)-l=2x,

整理得：X2-2X-1-^=0,

VA=4-4(-1-3)=4评+8>0,

...方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

命题3—元二次方程的实际应。^

7.(2022•河池)某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，

若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为()

A.30(1+x)2=50B.30(1-%)2=50

C.30(1+%2)=50D.30(1-%2)=50

【答案】A

【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为X,

由题意得，30(1+x)2=50.

故选：A.

8.(2022•黑龙江)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了