一元二次方程的解法重难点专练（解析版）-2021-2022学年沪教版八年级数学复习

专题02一元二次方程的解法重难点专练

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.(2020•全国九年级单元测试)如图，在反12。中，AB1BE,BD1BC,DE=BE,设

BE=a,AB=b,AE=c,则以/。和NC的长为根的一元二次方程是()

A.x2-2cx+b~=0B.无2-cx+b~=0

C.x2-2cx+b—QD.x2-cx+b=0

【答案】A

【分析】

根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE,然后利用等腰三角形的性质证出

DE=BE=CE,贝i」AC=AE+CE,求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以它们的长为根

的一元二次方程.

【详解】

解：•••ABIBE,BD1BC,

.-.ZABE=ZDBC=9O°,

在RtAABE中，a2+b2=c2,

•；DE=BE=a,

•,ZEBD=NEDB,

♦.2EBD+NEBC=90。，NEDB+NC=90。，

.•ZEBC=NC,

；.CE=BE=a,

•••AC=AE+CE—c+a,

•；AD+AC=c-a+c+a=2c,ADxAC=(c-a)(c+a)—c2-a2=b2,

.,.以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2-2cx+b2=0.

故选：A.

【点睛】

本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键

是利用数形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程.

2.(2019・上海民办张江集团学校七年级期中)多项式2f—2Q+5y2+12X—24歹+51

的最小值为()

A.41B.32C.15D.12

【答案】C

【分析】

先将多项式2/-2盯+5俨+12x-2旬+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案.

【详解】

2x2-2肛+5俨+12x-24y+51

=x2-4xy+4y2+12x-24y+36+x2+2xy+y2+15

=(x-2j)2+12(x-2j/)+36+(x+y)2+15

=(x-2j+6)2+(x+y)2+l5

••,(x-2j+6)2>0,(x-^)2>0,

•••(x-2y+6)2+(x+y)2+15>15.

故选：C.

【点睛】

本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是

解答本题的关键.

3.(2019•浙江杭州市•九年级二模)关于代数式,有以下几种说法，

a+2

①当。=一3时，则。+」一的值为-4.

。+2

②若。+」一值为2,则口=6.

。+2

③若a>-2,则。+」一存在最小值且最小值为0.

a+2

在上述说法中正确的是()

A.①B.①②C.①③D.①②③

【答案】C

【分析】

①将Q=—3代入计算验证即可；②根据题意'=2,解得a的值即可

a+2a+2

作出判断；③若a>-2,贝Ua+2>0,贝U对配方，利用偶次方的非负性可得答

a+2

案.

【详解】

解：①当a=—3时,

故①正确；

②若。+」一值为2,

<7+2

则。+^—=2,

a+2

•••a2+2a+l=2a+4,

•••a2=3,

a—土也•

故②错误；

③若a>-2,则a+2>0,

1,1

ClH-----=Q+2H--------2

a+2Q+2

二(Ja+2)2+(J]y—2•Ja+2•J

YQ+2YQ+2

.,.若a>-2,则4+」一存在最小值且最小值为0.

a+2

故③正确.

综上，正确的有①③.

故选：C.

【点睛】

本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及

运算法则是解题的关键.

二、解答题

4.2021•全国九年级）己知王、%是关于%的一元二次方程》2-2（〃+1）》+〃2+5=0

的两实数根.

（1）若（x「1）（%—1）=28,求n的值;

（2）已知等腰三角形4BC的一边长为7,若西、恰好是△4BC另外两边的长，求

这个三角形的周长.

【答案】⑴6；(2)17.

【分析】

(1)根据根与系数的关系得玉+%=2(〃+1)，石/=/+5,接着利用

(西―1)(/T)=28,解得〃1=6,叼=-4,根据判别式的意义bMacK)可得叱2,于是

可得n的值；

(2)分类讨论：若7为底，即占=々时，根据判别式得到n=2,方程化为

必-6》+9=0,解得占=%=3,根据三角形三边的关系，n=2舍去；若7为腰，即

再=7时，把x=7代入方程得49-14(n+l)+n2+5=0,解得〃i=4,々=10,当〃=4时，

Xj+x2=2(«+1)=10,解得工2=3,则三角形的周长为3+7+7=17；当〃=10时，由

根与系数的关系得玉+/=2(〃+1)=22,解得》2=”，根据三角形的三边关系，

77=10舍去.

【详解】

2

解：(1)由题意得：+x2=2(/7+1),X^2=n+5

(Xj—l)(x9-1)=XjX2—+》2)+1=〃~+5—2(〃+1)+1=28

解得：〃1=6,〃2=—4

•••Xi、/是关于龙的一元二次方程炉-2(/i+l)x+«2+5=0的两实数根，

A=Z?2-4ac=[-2(〃+1)]~-4+5)»0得：n>2

••・〃=6

(2)①当7为底，即西=%时，则〃_4ac=0，

即A=/-4ac=[-2(〃+1)了-4(/+5)=0

解得〃=2

把n=2代入方程得必_+9=0

.<•X]-x?-3

•.•3+3<7（舍去）

②当7为腰,,即项=7时，将x=7代入方程得49-14(n+l)+n2+5=0,

解得〃]=4,%=1。

当〃=4时，西+%2=2(〃+1)=22,

解得再=3,X2=7,

••.三角形的周长为3+7+7=17；

当〃=10时，石+%2=2(〃+1)=10,

解得石=15,%=7

•.•7+7<15(舍去)

综上，三角形的周长为17.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式等知识.牢记“两根之和

hc

等于-一，两根之积等于一”是解题的关键.

aa

5.(2020•山东中考真题)实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了投资活动.方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可

以从100张面值分别为1元、2元、3元....100元的奖券中(面值为整数)，一次任

意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾

客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

问题建模：

从1,2,3,…，n("为整数，且〃23)这〃个整数中任取个整数，这

。个整数之和共有多少种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决

问题的方法.

探究一：

(1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表①

所取的2个整数1,21,3,2,3

2个整数之和345

如表①，所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数，其中最小

是3,最大是5,所以共有3种不同的结果.

(2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结

果？

表②

所取的2个整数1,21,3,1,42,32,43,4

2个整数之和345567

如表②，所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数，其

中最小是3,最大是7,所以共有5种不同的结果.

(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不

同的结果.

(4)从1,2,3,…，n("为整数，且〃之3)这"个整数中任取2个整数，这2个

整数之和共有种不同的结果.

探究二：

(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的

结果.

(2)从1,2,3,…，n("为整数，且"24)这〃个整数中任取3个整数，这3个

整数之和共有种不同的结果.

探究三：

从1,2,3,…，n("为整数，且〃25)这"个整数中任取4个整数，这4个整数之

和共有种不同的结果.

归纳结论：

从1,2,3,n(〃为整数，且〃23)这"个整数中任取个整数，这

。个整数之和共有种不同的结果.

问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元....100元的奖券中(面值为整数)，一次任意

抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额.

拓展延伸：

(1)从1,2,3,…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共

有204种不同的结果？(写出解答过程)

(2)从3,4,5,〃+3("为整数，且〃22)这(〃+1)个整数中任取

a(l<a<n+l)个整数，这a个整数之和共有种不同的结果.

【答案】探究一：(3)7；(4)2n-3(«>3,"为整数)；探究二：(1)4,(2)

3«-8；探究三：4〃—15,归纳结论：an-cr+i(〃为整数，M«>3,1<«<

n)；问题解决：476；拓展延伸：(1)29个或7个；(2)a(n+l)-a2+l.

【分析】

探究一：

(3)根据(1)(2)的提示列表，可得答案；

(4)仔细观察(1)(2)(3)的结果，归纳出规律，从而可得答案；

探究二：

(1)仿探究一的方法列表可得答案；

(2)由前面的探究概括出规律即可得到答案；

探究三：

根据探究一，探究二，归纳出从1,2,3,…，n(〃为整数，且〃25)这〃个整数中

任取4个整数的和的结果数，

再根据上面探究归纳出从1,2,3,n("为整数，且〃23)这〃个整数中任取

个整数，这。个整数之和的结果数；

问题解决：

利用前面的探究计算出这5张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案；

拓展延伸：

(1)直接利用前面的探究规律，列方程求解即可，

(2)找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案.

【详解】

解：探究一：

(3)如下表：

取的

1,21,31,41,52,32,42,53,43,54,5

2个

整数

2个

整数3456567789

之和

所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,8,9也就是从3到9的连续整数，其中最

小是3,最大是9,所以共有7种不同的结果.

(4)从1,2,3,n(〃为整数，且"23)这〃个整数中任取2个整数，这2个

整数之和的最小值是3,和的最大值是2〃-1,所以一共有2"1-3+1=(2〃-3)

种.

探究二：

(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，如下表：

取的3个整数1,2,31,2,41,3,42,3,4

3个整数之和6789

从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，

(2)从1,2,3,4,5这5个整数中任取3个整数，

这3个整数之和的最小值是6,和的最大值是12,

所以从1,2,3,4,5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，

从而从1,2,3,n("为整数，且"24)这〃个整数中任取3个整数，

这3个整数之和的最小值是6,和的最大值是3"-3,

所以一共有3场一3-6+1=(3〃—8)种，

探究三：

从1,2,3,4,5这5个整数中任取4个整数，这4个整数之和最小是10,最大是

14,

所以这4个整数之和一共有5种，

从1,2,3,4,5,6这6个整数中任取4个整数，这4个整数之和最小是10,最大是

18,,

所以这4个整数之和一共有9种，

从1,2,3,....n(〃为整数，且〃之5)这"个整数中任取4个整数，

这4个整数之和的最小值是10,和的最大值是4〃-6,

所以一共有4〃—6-10+1=（4〃—15）种不同的结果.

归纳结论：

由探究一，从1,2,3,n（"为整数，且"23）这"个整数中任取2个整数，

这2个整数之和共有（2〃-3）种.

探究二，从1,2,3,n（〃为整数，且"24）这"个整数中任取3个整数，这3

个整数之和共有（3〃-8）种，

探究三，从1,2,3,n（"为整数，且〃25）这"个整数中任取4个整数，这4

个整数之和共有（4〃-15）种不同的结果.

从而可得：

从1,2,3,...»n（〃为整数，且〃23）这"个整数中任取个整数，这

。个整数之和共有（a〃-/+i）种不同的结果.

问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元....100元的奖券中（面值为整数），

一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15,和的最大值是490,

共有490-15+1=476种不同的优惠金额.

拓展延伸：

（1）从1,2,3,n（〃为整数，且〃23）这〃个整数中任取个

整数，这。个整数之和共有+1）种不同的结果.

当〃=36,有36a—4+1=204,

a~—36a=—203,

.-.（a-18）2=121,

二.a=29或a=7.

从1,2,3,36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共

有204种不同的结果.

（2）由探究可知：从3,4,5,〃+3（"为整数，且〃22）这（〃+1）个整数中

任取+个整数，等同于从I,2,3,n+1("为整数，且〃22)这

(n+1)个整数中任取a(l<a<〃+l)个整数，

所以：从3,4,5,〃+3(〃为整数，且〃22)这(〃+1)个整数中任取

a(l<a<n+l)个整数，这a个整数之和共有［a(〃+1)-1种不同的结果.

【点睛】

本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握

自主探究的方法是解题的关键.

6.(2020•全国九年级课时练习)如图，45是。。的直径，点C为防的中点，CF

为。。的弦，且CELN8,垂足为E,连接5D交CE于点G,连接CD,AD,

BF.

⑴求证：ABFG=ACDG；

(2)若AD=BE=2,求AF的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)5尸=20.

【分析】

⑴根据点。为砺的中点和垂径定理可证CD=BF,再利用AAS即可证得结论；

⑵解法一：连接。尸，设。。的半径为人由CF=列出关于r的方程就能求解；

解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明及

得4E=4H,再证明比公。。〃三及八。8£(班)，得DH=BE=2,进而可得ZE

和48的长，易证A5£C：ABCA,列比例式可求得的长，也就是职的长；

解法三：连接。C,根据垂径定理和三角形的中位线定理可得。〃=1,再证明

△COE=WOH,然后利用勾股定理即可求出结果.

【详解】

证明：⑴；C是茄的中点，.•.丽=前，

・•・45是。。的直径，且CFL4B,；.BC=BF，

•••加=»,■-CD=BF,

在A5EG和ACDG中，

NF=ZCDG

<ZFGB=ZDGC,

BF=CD

.-.^FG=\CDG（AAS）-

（2）解法一：如图，连接OF,设。。的半径为「，

RtMDB中,BD2=AB2-AD2>即AD?=（2rp—22,

RtAOEF中,OF2=OE2+EF2，即£产=/一（一,

,•也>=死=»，:曲=酎，：BD=CF，

BD2=CF~=（2EF?=4EF2,

B|J（2r）2-22=4r2-（r-2）2,

解得：r=1（舍）或3,

：.BF2=EF-+BE2=32-（3-2）2+22=12,

■-BF=243：

解法二：如图，过C作CHLZ。交/。延长线于点X,连接NC、BC,

「CD=BC，；•NHAC=NBAC,

■.■CELAB,.■.CH=CE,

•；AC=AC,二RtAAHC合RtAAEC,

AE=AH,

CH=CE,CD=CB,

RtACDH=RtACBE（HL）,

-DH^BE=2,AE=AH=2+2=4,.-.AB=4+2=6,

•・,/3是。。的直径，二/4。8=90°，:/幺。8=/5£。=90°，

•••NEBC=NABC,；.MEC：ABCA,

BCBE

"花一记’

:・BC?=AB•BE=6义2=12,

解法三：如图，连接。C,交BD于H,

・•・C是茄的中点，.・.£>H=5H,

OA-OB,OH=—AD=1,

2

OC=OB,ZCOE=NBOH,AOHB=NOEC=90°，

ACOE=ABOH(AAS),

OH=OE=\,OC=OB=3,

•••CE=EF=V32-l2=272，

BF=4BE2+EF2=,+(2行了=2百.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的求解、

三角形全等的性质和判定以及勾股定理等知识.第二问有难度，注意掌握辅助线的作法

和数形结合思想的应用.

7.(2018•全国九年级单元测试)如果方程x2+px+q=0有两个实数根X”x2,那么

xi+x2=-p,X]X2=q，请根据以上结论，解决下列问题:

dh

(1)已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则:+―=?

ba

(2)已知a、b>c满足a+b+c=O,abc=16,求正数c的最小值.

X=X,X=X?

(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知〈和〈是关于x,

—yk—0

y的方程组</的两个不相等的实数解.问：是否存在实数k,使得%丫2-

x-y=l

Xx9

---=2?若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由.

/再

【答案】(1)43(2)4(3)存在，当k=-2时，^1^----=2

【分析】

db

(1)根据a,b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出一■F—的值.

ba

(2)根据a+b+c=O,abc=16,得出a+b=・c,ab=—,a、b是方程x2+cx+"=0的解，

cc

再根据c2-4•屿NO,即可求出c的最小值.

c

Xx9

(3)运用根与系数的关系求出X1+X2=1,Xi-X2=k+1,再解yiy2-=2,即可求出k

x2再

的值.

【详解】

(1)<.,a>b是方程x2+15x+5=0的二根，

••.a+b=-15,ab=5,

.q』=S+b)2-24=(-15)2-2x5=43,

baab5

故答案是：43；

(2)va+b+c=O,abc=16,

16

••・a+b=-c,ab=—,

c

•••a、b是方程X2+CXH-----=0的解，

c

1643

.,•c2-4>——>0,c2-——>0,

Cc

••,c是正数，

.,.C3-43>0,c3>43,c>4,

・•・正数c的最小值是4.

⑶存在，当k=1时,=2.

由x2-y+k=O变形得：y=x2+k,

由x-y=l变形得：y=x-1,把y=x-1代入y=x2+k,并整理得：x2-x+k+l=O,

由题意思可知，xi,X2是方程x2-x+k+l=0的两个不相等的实数根，故有:

（-1）2-4（^+1）＞0

玉+々=1

xrx2=左+1

必为=«—1乂%—1）

3V2-亍=（”1T）（"2T）

k2+2k=Q

解得：k=-2.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使

用的解题方法.

8.(2019•台州市路桥区东方理想学校九年级月考)已知关于X的方程

府2—(4左+l)x+左一1=0(左为实数，且左70)的两根为a,(3.

,aB»

(1)右左=3,求方—的值

pa

(2)若a,，都是整数，求上的值

【答案】(1)---(2)1或---或—1或-----

61311

【分析】

(1)将左=3代入，得3——13X+2=0,先根据判别式判断实数根的个数，然后根据

132

韦达定理写出a+£=§,«^=-,对原式进行变形即可求解；

(2)根据韦达定理写出a,，与k的关系，联立获得方程(a+1)(尸+1)=6,根据

a,/3都是整数分情况讨论即可求解.

【详解】

(1)若左=3,则方程为3/—13X+2=0

■.■△=132-4X3X2>0

132

由韦达定理可得,afi=—

,a_13a2+伊(a+4-2aBH157

(3aa/3a(3工6

3

(2)设aW/?

4"+l1

由韦达定理可得a+/?=-----=4+—①

kk

k—11c

«/D?=——=1-7②

kk

①+②得a/3+a+/3=5

.-.(tz+l)(^+l)=6

Qa,，都是整数

tz+1=1(a+1=-6fa+1=2fa+1=-2

夕+1=6［夕+1=_1［尸+1=3［y?+l=-3

代入①可得左=1或-彩或-1或—石'

经检验，这些左值均能使方程有实根

七的值为1或----或-1或------

1311

故答案为（1）—（2）1或-1-或—1或—工.

61311

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，和韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系,

熟练掌握本部分的公式是本题的关键.

9.（2021•全国九年级课时练习）如图，抛物线产〃+6x+c（存0）过点M-2,3）,顶点坐

标为N（-l,4）,且与x轴交于/、3两点，与y轴交于C点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线对称轴上的动点，当尸M+PS的值最小时，求点尸的坐标；

【答案】(1)二次函数的解析式为：y=-x2-2x+3；(2)点尸的坐标为(-1,2)

【分析】

(1)把顶点N的坐标和点M的坐标代入计算，即可求出抛物线的解析式；

(2)先求出点A、B的坐标，连接AM,与对称轴相交于点P,求出直线AM的解析式,

即可求出点P的坐标.

【详解】

解：(1)由抛物线厂办2+加也(存0)的图象过点M-2,3),顶点坐标为N(-l,4),得到

关于a、b、c的方程组：

ax(-2)2-2b+c=3

<a-b+c=4

-A="i

、2a

解得：a=-\,b=02,c=3,

・•・二次函数的解析式为：y=-x2-2x+3.

(2)如图：连接AM,与对称轴相交于点P,连接BP,

•••抛物线与x轴相交于点A、B,则点A、B关于抛物线的对称轴对称,

・・PA=PB,

••.PM+PB的最小值为PA+PM=AM的长度；

y=-x2-2x+3,令y=0,贝！I

-x2-2x+3=0，

X]—1,=—3,

.,.点A的坐标为：（1,0）,

,:点M的坐标为02,3）,

直线AM的解析式为：y=-x+l,

当x=—1时，y=2,

二点P的坐标为Ob2）；

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，一次函数的性质，待定系数法求解析式,

最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到点P的坐标.

10.（2021・全国八年级）解方程：3——26一4x+7=12x-13

【答案】再=3,X2=1

【分析】

将原方程整理，移项，令/=6-4x+7（/训,然后解关于t的一元二次方程，获

得t的值，代回原方程即可求解.

【详解】

3x~~2y/x~—4x+7=12x—13

移项，整理得：3（x2-4x+7）-2VX2-4X+7-8=0

令1=JX2-4X+7（/N0），原式变为3r—27—8=0

4

解得4=2,t2=--（舍去）

•■•7x2-4x+7=2>即"4x+3=0

解得苞=3,x2=1

故答案为西=3,x2=1.

【点睛】

本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令f_4x+7（/.0）,然后解

关于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根.

11.(2021•全国九年级单元测试)如图，抛物线了=办2+区+。(存0)与直线1+1相交

于/(-1,0),B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点/、点8重合)，过点P作直线尸Dlx轴于点

D,交直线于点£,设点P的横坐标为m.

①当PE=2瓦)时，求尸点坐标；

②是否存在点P使△8£C为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，

2

【答案】(1)J=-X+4X+5:(2)①尸(2,9)或尸(6,-7)；②存在，m的值为4+J15

3

或4一屈或0或7.

【分析】

(1)先根据点A、C的坐标可得抛物线的交点式，再根据一次函数的解析式可得点B

的坐标，然后将点B的坐标代入即可得；

(2)①分点P在点E的上方和点P在点E的下方两种情况，再根据PE=2ED建立方

程求解即可得；

②先利用两点之间的距离公式求出8c2,5£2,CE2,再根据等腰三角形的定义分

BC=BE,BC=CE,8£=C£三种情况，分别建立方程求出m的值即可.

【详解】

(1)由题意，抛物线y=a/+bx+c的解析式可化为y=a(x+l)(x—5),

将点8(4,加)代入直线y=x+l得：加=4+1=5,

将点5(4,5)代入y=a(x+l)(x—5)得：(4+1)x(4—5)a=5,

解得4=一1,

则抛物线的解析式为y=-(x+l)(x-5)=-x2+4x+5,

即y=—x2+4x+5；

(2)①•・.点P的横坐标为加，

•e•点P的纵坐标为—加2+4m+5，

即尸(加，一掰2+4m+5),

由题意，点E的横坐标与点P的横坐标相同，即为加，

则点E的纵坐标为加+1,

即+,

由题意，分以下两种情况：

(i)当点P在点E的上方，即—1＜加＜5时，

则PE=-m2+4m+5-(m+l)=-m2+3加+4,ED=加+1,

因此有一加2+3加+4=2(加+1),

解得加=2或加=-1(不符题意，舍去)，

则一加2+4m+5=-22+4x2+5=9，

此时点P的坐标为0(2,9)；

(ii)当点P在点E的下方，即加＜一1或加＞5时，

则尸£=m+1-^-m2+4加+5)=m2-3m-4,ED=|m+l|,

因此有m2-3m-4=2|m+l|,

解得用=6或用=-1(不符题意，舍去)，

则一加2+4m+5=-62+4x6+5=—7，

此时点P的坐标为口6,-7),

综上，点P的坐标为尸(2,9)或尸(6,-7)；

②存在，求解过程如下：

・・・3(4,5),。(5,0),£(加,加+1),

3。2=（5—4）2+（0—5）2=26,

BE?=（加_4了+（加+1—5）2=2（掰—4）2,

C£2=(m-5)2+(m+l-0)2=(m-5)2+(m+l)2,

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：

(i)当8C=8£时，为等腰三角形，

则3。2=8£2,即2(机一4)2=26,

解得m=4+V13或加=4—V13;

(ii)当3C=CE时，△8EC为等腰三角形，

则8c2=C£2,即(/—5>+O+l)2=26,

解得〃z=0或加=4(此时点P与点B重合，不符题意，舍去)；

(iii)当B£=C£时，△BEC为等腰三角形，

则BE2=CE2，即2(m-4)2=(m-5)2+(m+1)2,

3

解得加=:；

4

3

综上，m的值为4+JI5或4—或0或w

【点睛】

本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的定义、两点之间的距离

公式等知识点，较难的是题(2),正确分情况讨论是解题关键.

12.(2021•全国九年级)(1)已知直线^=红一2和抛物线y=——2x+3,

①当左=4时，求直线与抛物线的交点坐标；

②当人为何值时，直线与抛物线只有一个交点？

(2)已知点4。,0)是x轴上的动点，6(0,4挺)，以4B为边在4B右侧做正方形

ABCD,当正方形4BCZ)的边与反比例函数y=型的图像有4个交点时，试求。的

【答案】(1)①(1,2),(5,18)；②左=一2±2否；(2)。＞2或—16＜。＜—4

【分析】

y=4x-2fx=1=5

(1)①由题意得：＜2c.，解得〈~,。，即可求解；

y=x-2x+3[%=2旧=18

②利用△=(),即可求解；

(2)分。〉0、。＜0两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而

求解.

【详解】

j=4x-2X]=1x)-5

解：(1)①由题意得:,解得:

y=X2-2x+3Ji=2,[%=18

所以直线与抛物线的交点坐标是(1,2),(5,18)；

②联立两个函数并整理得：/-(后+2.+5=0,

△=(-左-2)2-4*5=0,

解得：立=-2±2逐；

点4、2的坐标分别为：30)、(0,472),

由点4、2的坐标得，直线48的表达式为：y=--x+442,

a

当线段48与双曲线有一个交点时，

联立48表达式与反比例函数表达式得：一晅x+46=巫,

ax

整理得：4x2-4ax+2a=0,

△=(―4Q)2—16x2a=0,解得：a=2,

故当a>2时，正方形4BCD与反比例函数的图象有4个交点;

②当。<0时，如图2,

(I)当边4D与双曲线有一个交点时，

过点D作ED±x轴于点E,

ZBAO+ZDAE=90°,ZDAE+ZADE=90°,

ZADE=NBAO,

•/ABAD,NAOB=NDEA=90°,

AAOB=ADEA(AAS),

ED=AO=-a,AE=OB=472，

故点。(a+40,a),

工一、J7

由点4、。的坐标可得，直线40的表达式为：y=——a(x-a),

8

联立AD与反比例函数表达式并整理得：ax2-a2x-16=0,

22

△=(-tz)-4ax(16)=0,解得：a=—4(不合题意值己舍去)；

(ID当边BC与双曲线有一个交点时，

同理可得：a=-16，

所以当正方形ABCD的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为：

-16<<7<-4；

综上所述，。的取值范围是a>2或-16<a<-4.

【点睛】

本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、根的判别式的应用、三

角形全等等，其中(2),要注意分类求解，避免遗漏.

13.(2021•全国九年级)已知a,b,c为有理数，且多项式/+。/+加：+0能够写成

%2+3x—4X-：的形式.

(1)求4a+c的值.

(2)求2a-26-c的值.

(3)若。，b,c为整数，且试求。，b,c的值.

【答案】(1)12；(2)14；(3)a=2,b=—7,c=4.

【分析】

2

⑴因为必+3%一4是/+ax+bx+c的一个因式，所以》2+3%一4=0方程的解方

程/+"2+而+。=0的解，代入解即可求得；

(2)根据(1)中a、b、c的关系即可求得；

(3)根据(1)中a、b、c的关系，。2。>1和。，b,c为整数，即可求得.

【详解】

(1),/x2+3x-4Mx3+tzx2+bx+c的一个因式，

x2+3x-4=0>即x=-4,x=1是方程d+bx+c=o的解，

a+b+c=-l①

16a-4Z)+c=64②’

①x4+②得：4a+c=12③，

4Q+c=12.

(2)由③得：a=3——(4),

3

④代入①得：b=-4-[C⑤，

2a-2b-c=2^>-^-2^-^c^-c=\A.

(3)c>a>1,

Lat—=J3—二,

4

1<3—<c,

4

解得：<c<8,

又•.■a,c均为大于1的整数，

・••c可取的值有3,4,5,6,7,

又・・・。=3——为正整数,

4

..c=4,a=2,

3

则b=4——c=-7,

4

a=2,b=—7,c=4.

【点睛】

本题考查多项式的因式和一元二次方程，掌握多项式与因式之间的关系并正确求出系数

的关系是解题的关键.

14.Q020•苏州市彩香实验中学九年级月考)关于x的一元二次方程X2+2<m-l)+m2-l=0

有两个不相等的实数根X1，x2.

(1)求实数m的取值范围；

(2)是否存在实数m,使得X『+X22=16+XIX2成立？如果存在，求出m的值；如果不存

在，请说明理由.

【答案】(1)m<l；(2)存在，m=-l

【分析】

(1)由一元二次方程有两个不相等的实数根列得[2(掰-4(小一1)〉0,解不等

式即可；

(2)利用根与系数的关系得到西+x2=-2(m-l)=2-2m,西马=苏T，代入

22

XI+X2=16+XIX2中求出m的值，根据(1)中m的取值范围确定m的值.

【详解】

(1)•••一元二次方程X2+2(m-1)+m2-l=0有两个不相等的实数根，

•­.A>0,

解得m〈l；

(2)存在，

,・,一元二次方程x?+2(m-1)+m2-l=0有两个不相等的实数根xi，x2,

2

.♦・/+=-2(m-1)=2-2m,xxx2=m-1,

若X12+X22=16+xiX2f则(X[+Jr?)?—2%]X2=16+X]/，

・•.(2-2m)2-2(m2-1)=16+m2-1,

解得m=-l或m=9,

vm<l,

•••m=9舍去，

即m=-l.

【点睛】

此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是

解题的关键.

15.(2021•全国八年级)已知关于％的一元二次方程(a—3)——4x+3=0有两个不等

的实根.

(1)求4的取值范围；

(2)当。取最大整数值时，AABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程

(a-3)x2-4x+3=0,求AA8C的周长.

13

【答案】(1)a(一且aw3；(2)A48C的周长为3或9或7.

3

【分析】

(1)根据关于x的一元二次方程，可判断二次项系数不为0；根据方程有两个不相等

的实数根，可判断判别式大于0,列出不等式组求解即可.

(2)在此范围内找出最大的整数，解方程，然后分类讨论，求出三角形周长即可.

【详解】

解：(1)关于龙的一元二次方程(a-3)/—4x+3=0有两个不相等的实数根，

a—3w0

"16-4(a-3)x3>0'

13

解得a<——且aw3.

3

(2)由(1)得"的最大整数值为4；

x~—4x+3=0

解得:=lx2=3.

•••AABC的三条边长均满足关于龙的一元二次方程(a-3)x2-4x+3=0,

二①三边都为1,则AA8C的周长为3；

②三边都为3,则AA8C的周长为9；

③三边为1,1,3,因为1+1<3,不符合题意，舍去；

④三边为1,3,3,则AA8C的周长为7.

AABC的周长为3或9或7.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的情况与判别式b2-4ac的关系，也考查了构成三角形的条

件.解题时注意二次项系数不为0这个隐含条件.

4

16.（2021•利辛县巩店学区初级中学九年级专题练习）如图，直线y=-1X+4和x轴、

y轴的交点分别为3、C,点/的坐标是（一2,0）.

（1）试说明是等腰三角形；

（2）动点M从/出发沿x轴向点8运动，同时动点N从点8出发沿线段5c向点C

运动，运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运

动.设〃r运动t秒时，的面积为S.

①求S与/的函数关系式；

②设点M在线段03上运动时，是否存在5=4的情形？若存在，求出对应的f值；若

不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△M9N为直角三角形时，求，的值.

2424

【答案】（1）证明见解析；（2）①S=—（0</<2）,S=-t2--t

（2</W5）；②存在，/=（1+&1卜；③5s或方s.

【分析】

（1）先求解民C的坐标，再求解5c,48的长度，从而可证明结论；

4

（2）①过点"作八力上工轴于。，则ND=5N-sinN05C=1/