相似三角形存在性问题（学生版）-2024年中考数学二次函数压轴题

专题08相似三角形存在性问题

一、知识导航

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”.

【相似判定】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3:有两组角对应相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐标系中相似三甭形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决

问题.

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点''类、"双动点”

两类问题.

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可

以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角.

然后再找：

思路1:两相等角的两边对应成比例；

思路2:还存在另一组角相等.

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了.

二、典例精析

例一、如图，抛物线y=ox2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点8(3,0),与y轴交于点C,且过点。(2,

-3).点。是抛物线y=G?+bx+c上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,直线。。与线段相交于点E,当与aABC相似时，求点。的坐标.

【分析】

（1）抛物线：y=f-2元-3;

（2）思路：考虑到△ABC和△80E有一组公共角，公共角必是对应角.

/ABC的两边BA、BC与々OBE的两边BO、8E成比例即可，故可得:

_B_E—_B_A_B_E—_B_C

BOBCBOBA'

解得：BE=2®或BE=20

4

39

故E点坐标为（1,-2）或

4，-4

当E点坐标为（1,-2）时，直线0E解析式为y=-2x,

2

联立方程：-2x=x-2x-3,解得：x、=g,x2=-A/3,

此时Q点坐标为（6,-2吟或（-6,2⑻;

39

当E点坐标为时，直线OE解析式为、=-3无，

4，-4

_i+./TT-I-A/13

联立方程：一3尤=f-2x—3,解得：x,="

、

此时。点坐标为或

/

综上所述，Q点坐标为(四,-2后)或卜否,2石)或或

说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果.

例二、如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x-l与抛物线y=-%2+bx+c交于A、B两点、,其中A(m,0)、

B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与％轴交于另一点O.

(1)求加、〃的值及该抛物线的解析式；

(2)如图2,连接3D、CD,在线段CO上是否存在点Q,使得以A、D、。为顶点的三角形与△A3。相似,

若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)m=l,n=3,

抛物线解析式为y=-x2+6x-5;

(2)思路：平行得相等角，构造两边成比例

由题意得。(5,0),故直线解析式为：y=x-5,

：.CDIIAB,

：.£CDA=ABAD,

考虑到点。在线段CD上，

.DAAB,,DAAD

,DQADDQAB'

8拒L

解得：DQ=弋或DQ=3亚,

故Q点坐标为［，-1］或(2,-3).

三、中考真题演练

1.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与探究

如图，抛物线y=-/+bx+c上的点A,C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与x轴负半轴交于点8,点M

（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；

⑶点。是线段3c（包含点2,。上的动点，过点。作x轴的垂线，交抛物线于点。，交直线CM于点N,

若以点。，N,C为顶点的三角形与VCO般相似，请直接写出点。的坐标；

2.(2023・湖北武汉•中考真题)抛物线G：y=/-2X-8交X轴于两点(A在8的左边)，交，轴于点C.

(1)

⑴直接写出4民c三点的坐标;

⑵如图(1),作直线x=(0<t<4),分别交x轴，线段5C,抛物线G于D，E，尸三点，连接CF.若^BDE

与△CEF相似，求f的值;

3.(2023・湖北随州•中考真题)如图1,平面直角坐标系中，抛物线V-底+法+。过点4T0),8(2,0)

和C(0,2),连接BC,点PS?,")(机>0)为抛物线上一动点,过点P作PN，x轴交直线BC于点M,交x轴

于点N.

(图1)(图2)

⑴亶填与小抛物线和直线BC的解析式;

(3)当p点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q,使得以O,P,Q为顶点的三角形与以8,C,N为顶

点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点。的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2022・四川绵阳•中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-l,0),8两点，交y轴于点C(0,

3),顶点。的横坐标为1.

(1)求抛物线的解析式；

(3)过点C作直线/与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E,连接AD,AE,DE,在直线/下方的抛物线上

是否存在一点跖过点M作板垂足为R使以M,F,E三点为顶点的三角形与/4DE相似？若存在,

请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.

5.(2022・湖南・中考真题)如图，已知抛物线＞=办2+法+3(。工0)的图像与天轴交于41,0),3(4,0)两点,

与，轴交于点C,点。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的函数表达式及点。的坐标；

(2)若四边形BCEF为矩形，CE=3.点/以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每

秒2个单位的速度从点E沿斯向点尸运动，一点到达终点，另一点随之停止.当以/、E、N为顶点的

三角形与ABOC相似时，求运动时间f的值；

6.（2022・辽宁・中考真题）抛物线>=以2-2x+c经过点A（3,0）,点C（0,-3）,直线y=-x+6经过点A,

交抛物线于点E.抛物线的对称轴交AE于点8,交x轴于点。，交直线AC于点F.

图①图②

（1）求抛物线的解析式；

（3）如图②，连接CD点。为平面内直线AE下方的点，以点。，A,E为顶点的三角形与AC。尸相似时（AE

与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标.

7.（2022•广西桂林・中考真题）如图，抛物线y=-N+3尤+4与x轴交于A,8两点（点A位于点B的左侧），

与y轴交于C点，抛物线的对称轴/与龙轴交于点N,长为1的线段PQ（点尸位于点。的上方）在x轴上

方的抛物线对称轴上运动.

⑴直接写出A,B,C三点的坐标；

⑶过点尸作轴于点跖当ACRW和AQBN相似时，求点。的坐标.

8.(2022・广西玉林・中考真题)如图，已知抛物线：＞=-2炉+乐+，与x轴交于点A,8(2,0)(A在8的左

备用图

(1)求抛物线的解析式；

⑶过点尸作x轴的垂线与线段8C交于点垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与相似，

求点尸的坐标.

9.(2022.湖南衡阳•中考真题)如图，已知抛物线y=--x-2交无轴于A、8两点，将该抛物线