一次函数压轴题-2022年中考数学压轴题分类（解析版）

专题05一次函数压轴题

一、单选题

1.如图，在平面直角坐标系中，点4,4,4,4,…在x轴正半轴上，点综与氏…在直线)=4x(x20)上,

若4(1,0),且△/圈444与444旦4，…均为等边三角形，则线段鸟。"与磔的长度为()

A.22021V3B.22020V3C.22019V3D.22018V3

【答案】D

【分析】

根据题意得出乙AnOBn=30。，从而推出AnBn=OAn，得到BjyBn+尸BnAn+1,算出B]A2=1,B2A3=2,

B3A4=4,找出规律得到BnAn+l=2n-l,从而计算结果.

【解析】

解：设△BnAI1An+i的边长为an,

•••点Bi，B2,B3,…是直线y=Jx(x20)上的第一象限内的点,

过点Ai作x轴的垂线，交直线＞=4x(x20)于C,

­•'Ai(1,0),令x=l,则产更,

•­•AiC=

3

tanZ40C==—

043

.,.Z.AnOBn=30°,

・・・"i与旗△小与4/应用同，…均为等边三角形,

Z.BnAnAn+1=60°,

o

••.zOBnAn=30,

.*.AnBn=OAn,

vZ.BnAn+1Bn+1=60°,

.*.zAn+iBnBn+i=90°9

.e.BnBn+i=V3BnAn+l，

・・•点Ai的坐标为（1,0）,

.,.AIBI=A]A2=B]A2=l,AzB2=OA2=B2A3=2,A3B3=OA3=B3A4=4,…,

n-1

AnBn=OAn=BnAn+i=2，

・•・^2019-^2020=V3B2019A2020=百X22°18，

故选D.

【点睛】

本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解

决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键.

2.如图，过点4(0,1)作y轴的垂线交直线/：y=[x于点4,过点4作直线/的垂线，交y轴于点4,过

点4作y轴的垂线交直线/于点4,…，这样依次下去，得到M44，A444，M446,其面积分

别记为S-S],S3,…，则小。()

D.3A/3x2395

【答案】D

【分析】

本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn=2n,把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角

形相似的性质即可求得S100.

【解析】

•••点4的坐标是（°，1），

.*.OAQ=1,

•••点4在直线y=上,

OA{=2,4）4=百，

OA2—4,

OA3=8,

0A4=16,

得出=2",

198198

OA19S=2,498499=2.V3,

S]=；(4—1).A/3=,

44〃4OO499>

1'1^4)^1^200,^^198499^200，

...S=2396•工=3石*2395

2

故选D

【点睛】

本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的

坐标，解题时要注意相关知识的综合应用.

3.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线N=/x+2/+2（?>0）与两坐

标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则/的取值范围是（）

11

A.—W/<2B.一

22

C.\<t<2D.且twl

【答案】D

【分析】

画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.

【解析】

•：y=tx+2t+2,

2

・••当y=0时,x=-2-—；当x=0时，y=2t+2,

2

・・.直线y=及+2，+2与x轴的交点坐标为（-2-70）,与y轴的交点坐标为（0,2t+2）,

vt>0,

.,.2t+2>2,

当t=；时，2t+2=3,此时-2-2=-6,由图象知：直线y=/x+2f+2（/>0）与两坐标轴围成的三角形区域

2t

（不含边界）中有且只有四个整点，如图1,

2一

当t=2时，2t+2=6,此时-2—-=・3,由图象知：直线》=b+2，+2（，〉0）与两坐标轴围成的三角形区域

t

（不含边界）中有且只有四个整点，如图2,

2

当t=l时，2t+2=4,-2-4=4,由图象知：直线>=a+2%+2（/>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不

t

含边界）中有且只有三个整点，如图3,

/<2且/w1,

故选：D.

【点睛】

此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解

题的关键.

4.如图，直线y=-[X+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C(-1,0)为圆心，1为半径的圆

上一点，连接PA,PB,则APAB面积的最小值是()

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【分析】

作CHL42于H交。。于E、F.当点尸与E重合时，△P/2的面积最小，求出四、48的长即可解决问题

【解析】

作于H交于E、F.连接2c.

■.■A（4,0）,B（0,3）,.•,04=4,02=3,AB=5.

■■■SAABC=；AB，CH*AC,OB,：.AB-CH=AC-OB,.,.5677=（4+1）x3,解得：CH=3,:.EH=3-1=2.

当点尸与E重合时，AP/B的面积最小，最小值=；x5x2=5.

故选A.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9,6）,ABly轴，垂足为B,点P从原点0出发向x

轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P

与点Q的速度之比为1：2,则下列说法正确的是（）

A.线段PQ始终经过点（2,3）

B.线段PQ始终经过点（3,2）

C.线段PQ始终经过点(2,2)

D.线段PQ不可能始终经过某一定点

【答案】B

【分析】

当0「日时，点P的坐标为(t,0),点Q的坐标为(9-236).设直线PQ的解析式为y=kx+b(k#0),利

用待定系数法求出PQ的解析式即可判断；

【解析】

当。「x时，点P的坐标为(t,0),点Q的坐标为(9-236).

设直线PQ的解析式为y=kx+b(原0),

将P(t,0)、Q(9-2t,6)代入y=kx+b,得，

r晨2

[(9-2t)k+b=6,解得：2t,

ib=---

、t—3

2t

・・・直线PQ的解析式为y2=*x+V.

••,x=3时，y=2,

•・・直线PQ始终经过(3,2),

故选B.

【点睛】

本题考查一次函数图象上的点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属

于中考常考题型.

6.规定：/(x)=|x-3|,g(y)=|y+4],例如〃-4)=卜4一3|=7,g(-4)=|-4+4|=0,下列结论中，正确

的是()

①若〃x)+g(y)=O,贝|2x-3y=18；②若x<-4,贝ij/(x)g(x)=l-2x；③能使=g(x)成立的x的

值不存在；④式子/(x-l)+g(x+l)的最小值是9.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】

根据非负数和为。的性质可判定①，由x<-4可以化简绝对值，进而可判断②；由两数绝对值相等得出两

数相等或互为相反数可判断③；分三种情况讨论化简绝对值，利用一次函数的性质可判断④.

【解析】

解：①若/(x)+g(y)=O,即,_3|+仅+4|=0,解得：x=3,y=-4,则2-3>=18；故①正确；

②若x<-4,贝lJ/(x)g(x)=(-x+3)(-x-4)=/+x-12,故错误；

③若/(x)=g(x)，M|x-3|=|x+4|,即x-3=x+4或x-3=-x-4,

解得：x=-0.5,所以能使/(x)=g(x)成立的x的值存在；故错误；

④式子/(x-l)+g(x+l)=|x_4]+|x+5],当xV—5时，—l)+g(x+l)=4—%—X—5=-2x—l,贝lj

/(x-l)+g(x+l)的值随X的增大而减小，所以当x=-5时有最小值9；当-5<x<4时，

f(x—l)+g(x+l)=4—x+x+5=9；当x24日寸，f(x—l)+g(x+l)=x—4+x+5=2尤+1,贝|

/(x-l)+g(x+l)的值随X的增大而增大，所以当x=4时有最小值9；综上所述：/(x-l)+g(x+l)的最小

值是9,故正确；

・•・正确的有①④，共2个；

故选B.

【点睛】

本题主要考查一次函数的性质及绝对值，熟练掌握一次函数的性质及绝对值是解题的关键.

-2x+10|x„—j

7.如图，已知在平面直角坐标系xQy中，点48是函数>=，,图象上的两动点，且点A的横

xx>—

[I3J

坐标是加，点B的横坐标是加+1,将点A,点B之间的函数图象记作图型把图型/沿直线/：V=-gx+3

进行翻折，得到图型Z,若图型工与x轴有交点时，则加的取值范围为（）

A.2<m<——B.2<m<—C.3<w<—D.—<m<3

7777

【答案】A

【分析】

先由N2关于/对称直线和x轴相交得到x轴关于直线I对称的直线也与AB相交，作x轴关于直线I对称直

线//,即其在y=-gx+3中，然后再求出C、。点的坐标，求出。。的长，设//的解析式为>=左（x-6）,作

DElh，可得。£=3,然后运用点与直线的距离求得左，最后再代入分段函数即可求得加的取值范围.

【解析】

解：••・48关于/对称直线和x轴相交

•••X轴关于直线1对称的直线也与AB相交

作X轴关于直线/对称直线/"即其在v=-；x+3中

当y=0时，x=6,即C(6,0)

在/中，当x=0时，产3,即OD=3

设//的解析式为〉=左(x-6),作DEI"

-x轴和直线I］关于直线/对称

，OD=OE=3

•••//：y=--x+S

由题意可知：—§x+8=-2x+lo[x,,§gx+8=x[x>g),解得x=3,x=~^~

•••交点的横坐标为3和74m

••,交点在I上

24、2424

・•・3g加S〒或3g加+上?，即2”m„一.

777

故选4.

【点睛】

本题主要考查了分段函数的应用、轴对称的性质、点到直线的距离等知识点，灵活运用相关知识成为解答

本题的关键.

8.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-：x+2上的一个动点，将Q绕点P(l,0)顺时针旋转90。，

得到点。，连接则。0'的最小值为()

572675

D.

丁5

【答案】B

【分析】

利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q'的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即

可解决问题.

【解析】

解：作QM"轴于点M,QNLx轴于N,

设Q（m，机+2）,贝i|PM="zT,QM=-1m+2,

■,■ZPMQ=ZPNQ,=ZQPQ,=9O°,

.-.ZQPM+ZNPQ,=ZPQ,N+ZNPQ,,

.-.ZQPM=ZPQ,N,

在△PQM和△QTN中，

'NPMQ=ZPNQ'=90。

<ZQPM=ZPQ'N,

PQ=Q'P

.♦•△PQM三△Q'PN(AAS),

•■.PN=QM=-1+2,QN=PM=w-1,

.•.ON=1+PN=3--7M,

2

.■.Q'(3-^m,1-m),

.•-0Q，2=(3-^m)2+(1-m)2=^m2-5m+10=：(m-2)2+5,

当m=2时，OQ。有最小值为5,

・•.OQ'的最小值为追，

故选：B.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变

换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键.

9.如图，已知/VIBC的三个顶点/(a,0)、B(b,0)、C(0,2a)(6>a>0),作A48C关于直线NC的对称图

形AABjC,若点8/恰好落在y轴上，则/的值为()

b

【答案】D

【分析】

由3S，0)、C(0,2a),可得品="/+/,△48C关于直线/C的对称图形A48/C,且点5恰好落在y

轴上，即可确定B的坐标，进而确定BBi的中点D的坐标；A43c关于直线/C的对称图形A42/C,则段

BBi的中点D在直线AC上；再由/(a,0)、C(0,2a)确定直线AC的解析式，最后将D点坐标代入求解即

可.

【解析】

解：•••8(6,0)、C(0,2a)

•••BC=7V7F

■■-AABC关于直线AC的对称图形△//8/C,且点处恰好落在y轴上

•・B的坐标为。^4a2+b2-2a)

••.BBt的中点D的坐标为(之业〃+，一2“)

22

•・・Z(Q,0)、C(0,2。)

・,・直线AC的解析式为：y=-2x+2a

■.■AABC关于直线AC的对称图形A42/C,

.•.段BB］的中点D在直线AC上

・•・"/+/一2=一2上+2a,即32。2+3/-24仍=0

22

„a八

+3=0且7>0

•.・比…•b

解得：T=l

bx

【点睛】

本题考查了轴对称变换、勾股定理、线段的中点坐标、一次函数解析式等在知识点，考查知识点较多，灵

活应用相关知识成为解答本题的关键.

10.如图，已知正比例函数丁=丘（左>0）的图象与X轴相交所成的锐角为70。，定点N的坐标为（0,4）,

尸为y轴上的一个动点，M、N为函数y=b4>0）的图象上的两个动点，则/M+MP+PN的最小值为（）

A.2B.4sin40°

C.2V3D.4sin20°（l+cos200+sin20°cos200）

【答案】C

【分析】

如图所示直线OC、y轴关于直线对称，直线直线y=Ax关于y轴对称，点©是点/关于直线y

=fcr的对称点，作©£1。。垂足为£,交y轴于点P,交直线y=fcc于作尸N1直线>=船垂足为N,此

时/什尸"+尸£=4£1最小（垂线段最短），在RTAHE。中利用勾股定理即可解决.

【解析】

解：如图所示，直线。C、/轴关于直线对称，直线。。、直线了=履关于>轴对称，点4是点”关于

直线的对称点.

作4E1。。垂足为£,交y轴于点P,交直线y=fcc于M,作尸N1直线>=船垂足为N,

•:PN=PE,AM=A'M,

.■.AM+PM+PN^A'M+PM+PE^A'E最小（垂线段最短）,

在火TA^'E。中，•••々'£'0=90°,。/'=4,4'O£=3UOM=60°,

.•・。£=/。4=2,A，E=d0A，2-OE。=2也.

-.AM+MP+PN的最小值为26.

故选：C.

本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理、一次函数等知识，解题

的关键是利用轴对称性质正确找到等尸的位置，题目有点难度，是最短问题中比较难的题目.

11.如图，在直角坐标系中，等腰直角aABO的O点是坐标原点，A的坐标是（-4,0）,直角顶点B在

第二象限，等腰直角ABCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直

线的解析式是（）

A.y=-2x+lB.y=-yx+2C.y=-3x-2D.y=-x+2

【答案】D

【分析】

抓住两个特殊位置：当2c与x轴平行时，求出。的坐标；C与原点重合时，。在/轴上，求出此时。的

坐标，设所求直线解析式为尸质+6,将两位置。坐标代入得到关于后与6的方程组，求出方程组的解得到人

与6的值，即可确定出所求直线解析式.

【解析】

当8c与x轴平行时，过8作BElx轴，过。作。Fix轴，交BC于点、G,如图1所示.

・••等腰直角AASO的。点是坐标原点，/的坐标是(-4,0),.-.AO=4,：.BC=BE=AE=EO=GF=^OA=2,

OF=DG=BG=CG=-BC=\,ZJDG+G尸=3,二。坐标为(-1,3)；

2

当C与原点。重合时，。在y轴上，此时。£>=2£=2,即。(0,2),设所求直线解析式为产履+6(原0),

f―k+6=3[k——1

将两点坐标代入得：八；，解得：Jc.

[匕=2[b=2

则这条直线解析式为尸-x+2.

故选D.

【点睛】

本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐

标与图形性质，熟练运用待定系数法是解答本题的关键.

12.如图，已知点A(1,4),点B(3,5),在y轴上取一点C,连接AC,将线段AC绕点C顺时针旋转

90。到CD,连接AD,BD,则AD+BD的最小值是()

A.25/5B.36C.472D.5

【答案】D

【分析】

首先证明点D的运动轨迹是直线y=-x+3,作点A关于直线y=-x+3的对称点M(-1,2),连接BM

交直线y=-x+3于D，，连接AD,此时AD+BD的值最小，最小值为线段BM的长.

【解析】

解：如图，过点A作轴于点E,过点D作。尸，V轴于点F,设C(0,m),

由题意A(l,4),线段CD是由线段CA顺时针旋转90。得到，

贝1|"EC=ACFD,

AE=CF=\,EC=FD=4-m,

OF=m-l,

•••D(4-m,m-1),

设4-m=x,m-1=y,可得y=-x+3,

・,•点D的运动轨迹是直线y=-x+3,

作点A关于直线y=-x+3的对称点M(-1,2),连接BM交直线y=-x+3于D\连接AD,此时AD+BD

的值最小，最小值为线段BM的长，

••B(3,5),M(-1,2),

・•.BM=Jzp+32=5,

■•.AD+BD的最小值为5,

故选：D.

【点睛】

本题考查动点问题，解题的关键是分析出动点D的运动轨迹，然后利用轴对称的性质求出线段和的最小

值.

二、填空题

13.如图，在直角坐标系中，矩形CM8C的顶点O在坐标原点，顶点/,C分别在x轴，y轴上，B,。两

点坐标分别为8(-4,6),D(0,4),线段£尸在边O/上移动，保持£尸=3,当四边形ADEF的周长最

小时，点£的坐标为.

【答案】(-040)

【分析】

先得出。点关于x轴的对称点坐标为〃(0,-4),再通过转化，将求四边形8。跖的周长的最小值转化为

求尸G+3厂的最小值，再利用两点之间线段最短得到当斤、G、5三点共线时FG+2尸的值最小，用待定系数

法求出直线8G的解析式后，令y=0,即可求出点尸的坐标，最后得到点£的坐标.

【解析】

解:如图所示，•・•£>(0,4),

.Q点关于x轴的对称点坐标为“(0,-4),

：.ED=EH,

将点，向左平移3个单位，得到点G(-3,-4),

：.EF=HG,EFWHG,

••・四边形EFGH是平行四边形，

：.EH=FG,

：.FG=ED,

■：B(-4,6),

-BD=^(-4-0)2+(6-4)2=275，

又•:EF=3,

•••四边形BDEF的周^z=BD+DE+EF+BF=275+FG+3+BF,

要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小,

而当尸、G、8三点共线时尸G+3P的值最小，

设直线BG的解析式为：夕=区+6(1*0)

■：B(-4,6),G(-3,-4),

J-4左+b=6

1-3左+6=-4'

[6=-34

y——1Ox—34,

当尸0时，X--3A,

...F(-3.4,0),

.•.£1(-0.4,0)

故答案为：（-04,0）.

【点睛】

本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，

解决问题的关键是‘转化"，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转

化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等.

14.如图，一次函数y=2x与反比例数y=左＞0）的图像交于/,8两点，点M在以C（2,0）为圆心，半径

3

为1的OC上，N是/加■的中点，已知ON长的最大值为彳，则左的值是

2-----------

【答案】|3|2

【分析】

根据题意得出ON是A4BN的中位线，所以ON取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究5M也取到

最大值时左的值，根据用三点共线时，3M取得最大值，解出B的坐标代入反比例函数即可求解.

【解析】

解：连接如下图：

在A48N中，

•••。,"分别是/8/屈的中点，

：.ON是AABM的中位线，

:.ON=-BM,

2

3

已知ON长的最大值为：，

此时的3M=3,

显然当反C,M三点共线时，取到最大值：BM=3,

BM=BC+CM=BC+1=3,

BC=2,

设3（/2）,由两点间的距离公式：BC=«t-2）?+4t2=2,

（-2）2+4〃=4,

4

解得：4=]＜2=0（取舍），

力孝），

55

k

将8（不4R*代入》=；（左＞0），

解得：人=|32|,

32

故答案是：

【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键

是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究期取最大值时上的值.

15.如图，过直线/：＞=岳上的点4作交X轴于点与，过点用作用4Lx轴.交直线1于点4；

过点4作4为，/,交x轴于点与，过点当作为轴，交直线1于点4；……按照此方法继续作下去,

若。4=1,则线段44-的长度为.（结果用含正整数n的代数式表示）

【答案】3x221

【分析】

根据题意由。旦=1,直线1关系式y=可以得出A2的坐标，可判断出Z_OA2BI=30。，Z.A2OBI=60°,根

据题意可得出NAiBQ=30。，可求出OAi的值，在RtZiOAzBi中，可以求出OA?的长；再在Rt^OAzB2中,

利用30。角所对的直角边是斜边的一半，可求出OB?的值，同理可求出OA3QB3……,然后再找规律，得出

OAn的值，用OAbOA»1，从而求得点AnAz的值.

【解析】

解：根据题意，结合y=V^x,得出A2(1,6)

・••在RtAA2OB)中，根据勾股定理得OA2=2

.,.Z.OA2B|=30°,Z.A2OBI=60°

•••A|B|1OAI

Z.AiB}O=30o,

又OBi=l

.•.OAi=y

由OA2=2,得OB2=4,

*'•OAg—8?OB3—16»

2n

按照此规律即可求出OAn=22nT,OAn_1=2^

11222n-52n-52n-5

.­.AnAn-i=22T—2"-S=2.2-2=3x2

【点睛】

本题考查一次函数图象上线段长度特征，勾股定理，含30。角的直角三角形的特性，在找规律时，不断求出

OAiQA—.OAn的长度即可找出规律，求出答案.

16.如图，直线的解析式为＞=x+l与x轴交于点加，与丁轴交于点A,以04为边作正方形48c

点3坐标为(1,1).过点3作EQJLM4交跖1于点E,交X轴于点。，过点作X轴的垂线交M4于点4以

。八|为边作正方形。/百G，点用的坐标为(5,3).过点为作交M4于丹,交x轴于点。2,过点Q

作x轴的垂线交M4于点4，以。2次为边作正方形024层。2，L,则点名期的坐标.

【分析】

根据题意得出三角形AMO为等腰直角三角形，ZAMO=45°,分别求出个线段的长度，表示出B1和B2的坐

标，发现一般规律，代入2020即可求解

【解析】

解：•••4W的解析式为y=x+i,

(-1,0),A(0,1),

即AO=MO=1,ZAMO=45°,

由题意得：MO=OC=COi=l,

OiAi=MOi=3,

•.•四边形是正方形，

.­.OICI=CIO2=MOI=3,

.­,OCI=2X3-1=5,BiCi=OiG=3,Bi(5,3),

.­.A2O2=3CIO2=9,B2c2=9,OO2=OC2-MO=9-1=8,

nnn

综上，MCn=2x3,OCn=2x3-l,BnCn=AnOn=3,

2020

当n=2020时，OC202O=2X32°2（M,B2O2OC2O2O=3,

点B（2X3202O_1,3202。）,

故答案为：（2x3.一

【点睛】

本题考查规律型问题、等腰直角三角形的性质以及点的坐标，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中

考常考题型.

17.如图在平面直角坐标系中，直线y=r+4的图像分别与》轴和x轴交于点点反定点尸的坐标为（0,6百），

点。是y轴上任意一点,则^PQ+QB的最小值为.

【答案】56

【分析】

以点P为顶点，y轴为一边，在y轴右侧作/。尸。=30。，与x轴交于点。，作点3关于y轴的对称点8,

过点夕作B'E,尸。，交y轴与点。，根据直角三角形的性质得出8Z即为最小值，然后利用勾股定理和直

角三角形的性质求出BE的长即可.

【解析】

如图，以点尸为顶点，»轴为一边，在了轴右侧作/。尸。=30。，与x轴交于点。，作点3关于7轴的对称

点、B',过点"作交y轴与点Q,

B'E±PD,ZOPD=30°,

.■.QE=^PQ,

•••此时8。=夕0,

则B'E即为3尸0+。2的最小值.

•••ZOPD=30°,ZPOD=90°,

PD=2OD,ZODP=60°,

根据勾股定理可得or>2+(66)2=(2。。)2,

解得OD=6,

•••直线y=-x+4的图象分别与y轴和X轴交于点/,点、B,

令％=0,得产4；令产0,得x=4,

则点4(0,4),5(4,0),

/.OB=4,

.•・08'=4,

87)=4+6=10,

B'E1PD,NOD尸=60。，

ZEB'D=30°,

.-.DE^-B'D=5,

2

•••B'E=yjB'D--DE1=7102-52=573，

即gP0+08的最小值为5班.

故答案为：5出■

【点睛】

本题考查勾股定理，最短路径问题，以及一次函数与坐标轴的交点等，正确得出最短路径是解题关键.

18.甲、乙两辆冷链运输车从某公司疫苗存储库同时出发，各自将一批疫苗运往省疾控中心疫苗仓储库，

他们将疫苗运到省疾控中心疫苗仓储库后，省疾控中心将按规定流程对疫苗的质量进行检查验收，检查验

收及卸货的时间共为30分钟，然后甲、乙两辆冷链运输车又各自按原路原速返回公司疫苗存储库，在整个

过程中，假设甲、乙两辆冷链运输车均保持各自的速度匀速行驶，且甲车的速度比乙车的速度快.甲、乙

两车相距的路程丁（千米）与甲车离开公司疫苗存储库的时间x（小时）之间的关系如图所示，则在甲车返

回到公司疫苗存储库时，乙车距公司疫苗存储库的距离为千米.

【答案】36

【分析】

根据图象求出甲、乙速度和公司疫苗存储库到省疾控中心疫苗仓储库的距离，从而可得甲回到公司疫苗存

储库所用时间，求出这段时间乙行驶路程，即可得到答案.

【解析】

解：如图:

由/（1.8,18）可知，甲1.8小时达到省疾控中心疫苗仓储库，且1.8小时，甲、乙相距18千米，即甲比

乙多行驶18千米，

・理、乙速度差为：-/嚏=18+1.8=10（千米/时），

,••检查验收及卸货的时间共为30分钟（0.5小时），

：.C（2.3,0）,

而xD=2.5,

・•・甲比乙早0.2小时返回，即甲比乙早0.2小时到省疾控中心疫苗仓储库，

设甲速度为x千米/时，则乙速度是（x-10）千米/时，可得：

1.8x=（1.8+0.2）（x-10）,

解得尤=100,

.•・甲速度为100千米/时，乙速度是90千米/时，公司疫苗存储库到省疾控中心疫苗仓储库的距离是180千米,

・••在整个过程中，甲、乙两辆冷链运输车均保持各自的速度匀速行驶，

甲从第2.3小时返回，到公司疫苗存储库时间为2.3+1.8=4.1（小时），

乙从2.5小时开始返回，到4.1小时所行路程为：（4.1-2.5）X90=144（千米），

此时到公司疫苗存储库距离是180-144=36（千米）,

•••甲车返回到公司疫苗存储库时，乙车距公司疫苗存储库的距离是36千米.

故答案为：36.

【点睛】

本题考查一次函数图象及应用，读懂图象，特别是理解重要点的坐标，是解题的关键.

三、解答题

[~x(x<0)一,

19.已知函数=+的图象如图所示，点么(西，")在第一象限内的函数图象上•

(1)若点8(X2，%)也在上述函数图象上，满足了2<玉.

①当％=%=4时，求占,马的值；

②若网=同，设卬="-%，求w的最小值；

(2)过/点作了轴的垂线/P,垂足为尸，点尸关于x轴的对称点为P,过N点作x轴的线垂足为

Q,0关于直线/P'的对称点为。'，直线N。'是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标若不是,

请说明理由.

【答案】(1)@X,=2,X2=-4;②一;；⑵直线/。'与了轴交于定点，定点的坐标为

【分析】

（I）①先确定940，再根据%=X=4代入求解即可得；

②先确定赴<0,-工2=再，从而可得必=^,%=-工2,再代入可得一个关于花的二次函数，利用二次函数

的性质即可得；

（2）先分别求出点己尸',。的坐标，再利用待定系数法求出直线/P,。。的解析式，从而可得点。'的坐标,

然后利用待定系数法求出直线N0'的解析式，由此即可得出结论.

【解析】

解：⑴①对于二次函数

在x>0内，了随x的增大而增大，

♦.,马<xl,xl>0,y2=必=4,

?.x2<0,

则当弘=4时，#=4,解得%=2或为=-2<0（舍去），

当外=4时，一工2=4,解得x2=-4；

（2）---x2<xl,xl>0,|x2|=|x1|,

/.x2<0,-x2=xx,

2

「•必=再，歹2=一工2，

贝1叩=必_%=%；_（_%2）=%；一再，

化成顶点式为W=（项-;了-;,

由二次函数的性质可知，在玉>0内，当演=；时，w取最小值，最小值为一；；

（2）由题意，设与。O'交于点3,画图如下,

・・•/（X”M）在已知函数的第一象限内的图象上，

yt=Xi,即

,.,4P_Ly轴，轴，点p关于x轴的对称点为p,

...P（O,x：）,P（O,-x：）,Q（w，O）,

设直线/尸的解析式为y=klx+bl,

将点火谪）,尸'（o，T）代入得：[?再+",="，解得

也=-玉U

则直线的解析式为.y=2±X-x；,

•・•。关于直线/尸’的对称点为。，

：.QQ'±AP',

•••设直线。。'的解析式为＞=-;—x+4，

将点。区,。）代入得：网+Z=0,解得d=：，

[X]2

,11

则直线°。的解析式为广一攻'+，,

_玉（1+2x；）

y=2xx-xfx―4x：+l

xX］（l+2x；）

联立11解得，即8

y=----x+—x.24x；+l

2万2广干T

设点0'的坐标为。（加,〃）,

_再（1+2%；）

m+xi

24x；+l

则-

〃+0_X：

24x；+l

设直线的解析式为y=&x+4，

勺再+b3=x；

x.2x；

—$k,+b=—T

、4x；+l3334x^+1

4玉

解得

4

则直线/。,的解析式为一富二;,

当无=0时，y=->

即直线与了轴交于定点（0,：

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合、轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键.

3

20.在平面直角坐标系中，点4的坐标为（-77^,0）,点5在直线/：歹=三%上，过点5作的垂线，过原

8

点O作直线I的垂线，两垂线相交于点C.

（1）如图，点、B,C分别在第三、二象限内，8c与/。相交于点D

①若BA=B0,求证：CD=CO.

②若NC3O=45。，求四边形A80C的面积.

（2）是否存在点8,使得以4瓦。为顶点的三角形与相似？若存在，求08的长；若不存在，请说

明理由.

【答案】（1）①见解析；@y;（2）存在，4+A4-V7,4,9,1

【分析】

（1）①等腰三角形等角对等边，则/员4。=44。8,根据等角的余角相等和对顶角相等，得到

ACDO=ACOD,根据等角对等边，即可证明CD=CO；

②添加辅助线，过点A作于点X,根据直线/的解析式和角的关系，分别求出线段/反BC、

OB、0c的长，则S四边.BOC=SJBC+S«CB。='"BxBC+'OBxOC；

（2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，=时；②当点C在第二象限内，

N/C8=N8CO时；③当点C在第四象限内，ZACB=ZCBO^.

【解析】

解：（1）①证明：如图1,

■：BA=BO,.-.Z1=Z2.

.-.BALBC,.・・/2+/5=90。.

而N4=N5,

.・・/2+/4=90。.

•・・OB1OC,Zl+Z3=90°.

.-.Z3=Z4,

CD=CO.

3

②如图1,过点A作/于点"由题意可知tan/」？

8

4H3

在AHO中,tanZl=—=-.设/〃=3m,0H=8m.

OH8

2

AH2+OH2=OA2,，解得加=1.

AH=3,0H=8.

-ZCBO=45°,ZABC=90°,

ZABH=45°,

.•・初=篇^，止得=3行

.•.0B=0H—BH=5.

vOB1OC,450=45。，

.•.CC=OBxtan45°=5,8C==5亚,

cos45°

;.S==ABxBC=15,

AABL22

1125

SCRO=-OBXOC=-X5X5=—：

△CB°222

=

•••S四边形2450cSA/BC+S^CBO=Z•

(2)过点/作于点H,则有4〃=3,OH=3.

①如图2,当点。在第二象限内，/ZC5=/CB0时，设。5=£

•：/ACB=/CBO,：,AC//OB.

又OCVOB,

.・.AH=OC=3.

vAH1OB,ABVBC,

.-.Zl+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

・・.N1=N3,

AH_HB

MAHBs八BOC,

~B0~~0C

32_/

••.y=—,整理得"_8+9=0,解得f=4土疗.

•••O8=4±J7.

②如图3,当点C在第二象限内，ZACB=ZBCOSi,延长C。交于点G,

则会AGCB,：.AB=GB.

又,；AHLOB,OCYOB,

：.AAHB=ZGOB=90°,

而ZABH=ZGBO,

；.AABH知GBO,

：.OB=HB=LOH=4

2

③当点。在第四象限内，/ZC5=NCB。时，4C与。8相交于点心则有=

⑷如图4,点5在第三象限内.

在放中，/1+/2=90。,//。5+/。/5=90。，.・./2=NC4B

：.AE=BE=CE,

又,,・AH1OBQC1OB,

,・"AHE=/COE=90。,

而ZAEH=ZCEO

・•・4AHEACOE,

：,HE=OE=-OH=^

2

・•・AE=y]AH2+HE2=5，

・•.BE=5,

,・.OB=BE+OE=9

S）如图5,点5在第一象限内.

在R於ABC中NZC5+ZCAB=90°,ZCBO+/ABE=90°

・••/CAB=/ABE,・•.AE=BE=CE.

又•:AHLOBQC1OB,

.-.ZAHE=ZCO