指数函数（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第07讲指数函数

（12类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的

2023年天津卷，第4题,5分

图象（含正、弦、正切）根据函数图象选择解析式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有低有高，分值为5分

【备考策略】L理解、掌握指数函数的图像与性质，能够根据指数函数求定义域与值域

2.能掌握指数函数的图像特征

3.具备数形结合的思想意识，会利用函数图像解决比较大小最值等问题

4.会结合函数的奇偶性，解决指数函数的综合问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。

12•考点梳理—

考点一、指数函数的解析式

考点二、指示函数求参问题

1.指数函数的定义

知识点一.指数函数的图象与性质考点三、指数函数的定义域与不等式

2.指数函数的图象与性质考点四、指数函数的值域

考点五、由指数函数定义域与值域求参

指数函数<

考点六、指数函数过定点

考点七、指数函数的单调性

1•画指数函数的三个关键点考点八、指数函数的图像

知识点二.指数函数图象的特点考点九、指数函数模型的实际应用

2.指数函数的图象与底数大小的比较考点十、指数函数比较大小

{考点十一、指数函数综合应用

考点十二、指数函数的奇偶性与对称性

知识讲解

知识点一.指数函数的图象与性质

1.指数函数的定义：一般地，函数j=a'（a>0,aWl）叫做指数函数,函数的定义域是R.

2.指数函数的图象与性质

X

y=aa>l0<水1

Fjy=cf产优\『

一”…折］一半Ui

图象

0|~~1—“Xo\~~

定义域R

值域(0,+°°)

过定点（0,1）

性质当x>0时，y>l；当x<0时，0<jKl当x>0时，0<J<1；当水0时，y>l

在（一8,十8）上是增函数在（一8,+8）上是减函数

注意：形如y=4a，,y=a，+"（4GR,且4W0；a>0且a/1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数.

知识点二.指数函数图象的特点

1.画指数函数y=a，（a>0,且aWl）的图象，应抓住三个关键点：（1,a）,（0,1）,（一1,

2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数（l）y=a",（2）y=6，,（3）y=c",（4）尸"的图象，底数a,b,c,，与1之间的大小关系为

c>力>l>a>6>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数了=@*9>0,aWl）的图象越高，

底数越大.

3.函数尸a，与y=g『（a>0,且aWl）的图象关于y轴对称.

注意解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>l及0<a<l进行分类讨论.

考点一、指数函数的解析式

典例引领

1.（2022•北京•高考真题）已知函数/0）=2，则对任意实数x,有（）

A./(—%)+/(%)=0B./(—%)—/(%)=0

C./(-x)+/(%)=1D./(-x)-/(x)=1

2.(22-23高三上•江苏常州•阶段练习)若p：函数/'(x)=(m2—3m+3)巾*是指数函数，q:m2—3m+2=

0,贝Uq是P的()条件

A.充要条件B.充分不必要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

1.(21-22高三上•广东江门•阶段练习)若函数f(x)同时具有下列性质:①/(%1+上)=/(%)/。2)；②

当％e(0,+8)时，/(%)>1.请写出f(%)的一个解析式

2.(2020高三•全国•专题练习)函数y=(2a2-3a+2)a*是指数函数，则a的取值范围是

3.(22-23高三上•黑龙江七台河•期中)设函数/0)°，且/(—2)=3,/(—1)=/(1),则

/(X)的解析式为.

考点二、指示函数求参问题

典例引领

1.(2023•全国•高考真题)已知/(久)=若三是偶函数，贝必=()

A.-2B.-1C.1D.2

2.(江西•高考真题)已知函数若/(/(—1))=1,则a=()

A-JB.|C.1D.2

即时便测

1.(2024•黑龙江齐齐哈尔•三模)若f(x)=二2偶函数,则a=()

A.1B.0C.-1D.2

2.(2024•全国•模拟预测)设a>0且aW1,若函数/(%)=(4%-3%)a%是R上的奇函数，则a=()

V6V6

A.—D.—CD

63-T-T

3.(2024•贵州毕节•三模)已知函数/。)=会是奇函数，若"2023)>f(2024),则实数a的值为

()

A.1B.-1C.±1D.0

Cm-2X+n-2~x,x>0,

4.(2024•全国•模拟预测)已知/(%)=I21+x-2r-x,x<0是定义在R上的偶函数，则租-九

()

A.-4B.0C.2D.4

考点三、指数函数的定义域与不等式

典例引领

1.(2022高三•全国•专题练习)设函数f(x)=予，则函数/6)的定义域为()

A.[2,4-00)B.[4,+8)C.(—8,2]D.(—8,4]

2.(23-24高三下•北京•阶段练习)函数/(久)=豆片+JU/"-8的定义域为()

A.(—8,—5)U(—5,-3)B.(—8,—3)C.(—8,—5)U(—5,-3]D.(—8,—3]

即时检测

1.(21-22高三上•内蒙古乌海•阶段练习)已知函数/0)的定义域为卜2,2],则函数90)=/(2无)+71三

的定义域为

2.(2024高三•全国•专题练习)设函数/(久)=\12X,"G1则满足+1)<f(2x)的x的取值范围是

(J.)XU,

()

A.(—co,-1]B.(0,+oo)C.(—1,0)D.(—oo,0)

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数f(x)=3X-2-32-x,则满足f(x)+/(8-3x)>。的久的取值范围是

()

A.(—8,4)B.(—8,2)C.(2,+8)D.(—2,2)

4.(2024高三•全国•专题练习)已知/(久)是定义域为R的奇函数，满足〃1)=2,且对任意0<xt<x2,

都有>一1,则不等式/Qx-1)<4-2工的解集为()

A.(—co,0)B.(0,+8)C.(—8,1)D.(0,1)

考点四、指数函数的值域

典例引领

1.(23-24高三下•浙江丽水•开学考试)函数f(x)=1-3,的值域是()

A.(-oo,l)B.(-co,1]C.[0,1)D.[0,1]

X

(2—1Y<0

2.(2024•上海杨浦•二模)若函数=为奇函数，则函数y=/(%),%E(0,+8)的值域

Ij人%>u

为

即时检测

1.（23-24高三下•北京•开学考试）函数/（久）=+1'久>°的值域为_________.

12X-1,%<0

2.（2024•贵州•模拟预测）已知函数f（x）=2T2+243,则/（久）的最大值是_.

3.（2024•全国•模拟预测）函数八久）=14X-2,X<0的值域为

Uog2（x+2）,x>0—

4.（23-24高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）函数y=（0-的值域为,单调递增

区间为.

考点五、由指数函数定义域与值域求参

典例引领

1.（2022•海南•模拟预测）已知函数/O）=72久一a的定义域为[2,+8）,则&=.

2.（2023•上海浦东新•模拟预测）设/⑺=齐匕+1）.若函数y=/（x）的定义域为（一8,1）u（1,+8）,

则关于万的不等式a'>Aa）的解集为—.

♦♦即时啊

1.（2022高三•全国•专题练习）函数/（©=%（六+0定义域为（-8,1）u（1,+8）,则满足不等

式ax»f（a）的实数x的集合为.

2.（23-24高三上•河南驻马店•期末）若函数/（久）=产；n有最小值，则a的取值范围是.

\x+4x,x<0

3.（2024•四川成都•二模）己知函数/（X）=2。/-工+】的值域为M.若（1,+8）="，则实数a的取值范围

是（）

A.（―8用B.[o,|]C.（―8,—[]u《,+8）D..+8）

考点六、指数函数过定点

典例引领

1.（23-24高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）已知函数y=2ax-2—3（a>0且a力1）的图象恒过定点

P,则点P的坐标为.

2.（23-24高三上•福建莆田•阶段练习）函数丫=谟-1+2（a>0且口力1）的图象恒过定点（乂6）,若m+

几=b—k且m>0,71>0,则2+工的最小值为（）

mn

A.9B.8cD.5

-三2

即典投测I

1.(23-24高三上•陕西西安•阶段练习)已知函数/(X)=谈-2+2(a>0且a丰1)的图像过定点P,且

cos（詈-a）in（等+a）等于

角a的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P,则）

sinz（-n-a）

Bc.3D.3

A--I-t22

2.(21-22高三上-上海奉贤-阶段练习)已知f(久)=ax-2+2(a>0,aH1)过定点P,且P点在直线+

ny=l(m>0,n>0)_h,则±+：的最小值二.

考点七、指数函数的单调性

典例引领

1.2023•北京•高考真题)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

1

A.f(x)=-InxB.f(x)=—

C./(x)=-iD.f(x)=31f

2.(2023•全国•高考真题)设函数f(x)=2x("a)在区间(0,1)上单调递减，贝b的取值范围是()

A.(-8,—2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2,+00)

即时检测

1.(2024•河南信阳•模拟预测)下列函数中，在其定义域上单调递减的是()

A./(%)=InxB./(%)=—tanirC./(%)=%3D./(%)=|e~x\

2.(2024•山西吕梁•二模)已知函数y=/(4%-/)在区间。2)上单调递减，则函数/(%)的解析式可以为

()

A./(%)=4x—x2B./(%)=2阳

C./(x)=—sin%D./(x)=x

(x-a)(x+2)

3.(23-24高三下•江西鹰潭•阶段练习)若函数fQ)=在区间(-1,2)上单调递增，贝布的取值

范围是()

A.[0,6]B.[-2,0]C.[6,+oo)D.(-oo,0]

4.(2024•广东广州•三模)函数f(x)=[2"其中a>0且"1,若函数是单调函数，

—13%+31,%>2

则a的一个可能取值为

考点八、指数函数的图像

典例啊

1.（2020•山东•高考真题）已知函数y=/（X）是偶函数，当*6（0,+8）时，y=ax（0<a<1）,则该函

数在（-8,0）上的图像大致是（）

【变式8-112.（2023•天津•高考真题）已知函数f（行的部分图象如下图所示,则f（x）的解析式可能为

5ex+5e-x口5cosx

2

X2+2•x+l

即时检测

+1的图象关于直线丫=比对称的图象大致是(

3.(2024•天津•二模)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为().

A-«=SC-=&D-2)=岛

考点九、指数函数模型的实际应用

典例引领

I___________________

1.（2024•广东茂名•模拟预测）自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，

随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软

件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网

络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanhx=1!苔，经过某次测试得知tanhx。=|，则当把变量减半时，

tanh—=（）

2

A.iB.3C.1D.2或3

2.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有

关规定：100mL血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设

某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：

lg3-0.48,lg7-0.85）

A.1B.2C.3D.4

即时检测

1.（2024•四川德阳•三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知

某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：。C）满足函数关系.y=e"+》（a,b.为常数），若

该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则

物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

2.（2024•江苏•一模）德国天文学家约翰尼斯•开普勒根据丹麦天文学家第谷•布拉赫等人的观测资料

和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律一一绕以太阳

为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：7=篇.附，其

中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为

水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

3.（2024•新疆喀什•二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均

匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计

算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数/（©=aex+

加一«其中。,6为非零常数,6=2.71828…）来表示，当/⑴取到最小值为2时，下列说法正确的是（）

A.此时久=InaB.此时a+6的最小值为2

C.此时2。+2b的最小值为2D.此时Inalnb的最小值为0

考点十、指数函数比较大小

典例引领

1.(2023•全国•高考真题)已知函数f(x)=e-(xT)z.记a=f(¥),b=/g),c=fg)"|()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

V3，r、

2.(2024•河北沧州•二模)若a=log83,b=0.1T,c=ln(sin22024),则下列大小关系正确的是()

A.b<a<cB.c<b<a

C.a<b<cD.c<a<b

_53

1.(2024•甘肃兰州•二模)故a=07,b=(J,c=iOg3y,则a,b,c的大小顺序是()

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

2.(2024•陕西西安•模拟预测)若e2。一步>4a2-Z)2+l,贝！J()

A.4a2>b2B.4a2<b2

C.G)a>G)bD.G)a<G)b

3.(2024•北京石景山•一模)设a=20-3,b=sin^,c=ln2,则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

考点十一、指数函数综合应用

典例引领

1.(2024•宁夏银川•一模)已知定义在R上的偶函数/(%)满足/(%)=f(2-乃，当x€[0,1]时，f(x)=2x.

函数gO)=eTxT(-1<x<3),则/(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为

2.(23-24高三上•四川•期末)已知/(久)为定义在R上的奇函数，当％>0时,f(x)=｛恒；。：；,'；7

若函数9。)=/(比)-k恰有5个零点，贝必的取值范围是()

A.(-2,-1)U(1,2)B.(-2,2)C.(-1,0)U(0,1)D.(-1,1)

♦♦即时检测

1.(2024•广东深圳•一模)己知函数/(*)是定义域为R的偶函数,在区间(0,+8)上单调递增，且对任意打,电，

均有〃与久2)(久2)成立，则下列函数中符合条件的是()

A.y=ln|x|B.y—x3C.y=2㈤D.y=\x\

2.(23-24高三下•四川巴中•阶段练习)已知偶函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增，且a=logs2,b=

Tn3,c=2-。3则f(a),f(b),f(c)的大小关系为()

A-7(c)>f(a)>f(b)B.f(b)>/(c)>f(a)

C.f(a)>/(b)>f(c)D.f(c)>/(h)>f(a)

3.(2024•山东潍坊•二模)已知函数f(x)=]G),X-0,则f(x)图象上关于原点对称的点有()

—\x2+2x\,x<0,

A.1对B.2对C.3对D.4对

4.(2024•全国•模拟预测)设函数f(%)=axlna+(1+a)xln(l+a),若f(%)<0在(-8,0)上恒成立，

则实数a的取值范围是()

A.(0,雪)B,(0,(1]C,(0,等)D,(0,等]

考点十二、指数函数的奇偶性与对称性

典例引领

1.(2024•内蒙古赤峰•一模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且周期7=6.若当X£[-3,0]时,〃>)=4-x,

贝叶(2024)=()

11

A.4B.16C.—D.-

164

2.(2024•陕西西安•二模)已知定义域为R的函数/(%)满足/(%+2)=-/(%),且当0<%V2时，f(x)=

3%—In%,贝行(211)=.

即时检测

1.(23-24高三下•陕西西安•阶段练习)已知函数/(x)为指数函数,g(x)为幕函数，若h(x)=f(x)+。(久)，

且h(l)=3,则/(—1)=.

2.(2024•贵州毕节•二模)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=eL则下列结论正确的是

()

A.[/(2024)]2-[g(2024)]2=1B./(2024)=/(1012)g(1012)

C.g(2024)=，(1012)]2+也(1012)]2D./(2024)=^(2024)=e-2024

3.(2024•山东烟台•一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(久),当0WxW1时,/(%)=2—1,

贝"(log212)=()

A.--B.--C.-D.-

3432

4.(2024高三下•全国•专题练习)已知/(%)=二二+%cos%(-l<%<1),设函数f(%)的最大值是M,

最小值是N,则（)

A.M+N=8B.M-N=8

C.M+N=6D.M-N=6

IA.好题冲关

A基础过关

1.（2024•山东青岛•二模）函数/（%）=ax-a(a>0,a大1)的零点为()

A.0B.1C.(1,0)D.a

2.（2024•江西・模拟预测）函数/（%）=3尢2-2|%］的一个单调递减区间为（

A.(一8,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(L+8)

2X2COSX

3.（2024•福建南平•模拟预测）函数/（%）=的部分图像大致为（)

2X+2-X

4.（2024•广东茂名•一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿

瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：fO）=kabT（其中

0,b>0,a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.若

x=1表示该新产品今年的年产量，估计明年（久=2）的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对数

的底数）（）

A.—B.—C.V5-1D.V5+1

22

5.（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）已知a>0且aK1,6>0,且b片1,若函数/（x）=〃［算+闿为

偶函数，则（）

A.ab2=2B.a2b=2

C.ab=V2D.ab=2

6.（2024•广西河池•模拟预测）已知a>。且a丰1,则“6=一1”是“函数/（%）=『+=为偶函数”的

bax

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2024•四川成都.三模）已知函数/（乃=，则/Qog32）的值为

能力提升

1.（2024•山东荷泽•模拟预测）若函数/（久）=1+lgx（xe舄,100]）,则函数F（x）=2["初5/）的值域

为（