直线与圆综合（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点25直线与圆的综合【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1圆的弦长与中点弦问题】...............................................................2

【题型2圆的切线及切线方程问题】............................................................3

【题型3直线与圆中的面积问题】...............................................................3

【题型4直线与圆中的最值问题】...............................................................4

【题型5距离及其新定义问题】.................................................................5

【题型6阿波罗尼斯圆】.......................................................................6

【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】................................................7

【题型8直线与圆中的向量问题】...............................................................8

【题型9直线与圆中的探索性问题】.............................................................8

►命题规律

1、直线与圆的综合

直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与

圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出

现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1直线与圆相交时的弦长求法】

1.圆的弦长的求法：

设直线/的方程为夕=依+6,圆C的方程为(x—XoF+S—%)2=/,求弦长的方法有以下几种:

(1)几何法

如图所示，半径八圆心到直线的距离4、弦长/三者具有关系式：r2=e/2+(1y.

⑵代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为/(%,乂),8(x2,改).

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

y=kx+b

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元

22

(x—XO)+(y—yof=r

二次方程中根与系数的关系可得4+X2,X-X2或”+必,%•处的关系式，通常把|/用=+左2|X1-X』或

\AB\=^/1+p-\yt—y2|叫作弦长公式.

【知识点2圆的切线及切线方程问题】

1.自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2.求过圆上的一点的圆的切线方程：

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率网原0),则由垂直关系可知切线斜率为由点斜式方程可求

得切线方程.如果Q0或左不存在，则由图形可直接得切线方程.

(2)重要结论：

2

①经过圆了2+=/2上一点p(x0,y0)的切线方程为Xo%+yoy=r.

②经过圆(x—〃)2+(y—6)2=/2上一点p(xo,yo)的切线方程为(%0—。)(%—。)+(%—6)(y—b)=*.

2

③经过圆/+y+Dx+Ey+F=Q上一点P(x。,%)的切线方程为+yoy+D-土产+E•芍凶+F

【知识点3解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】

1.利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题的解题方法

直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标一函数关系式，然后根据函数关系式的特征选

用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几

何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如片匕心的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

x—a

②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如(x—a)2+3—⑦2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

►举一反三

【题型1圆的弦长与中点弦问题】

【例1】(2024•河南•模拟预测)直线I:久+y=l,圆C:/+产一2久一2y一2=0.则直线I被圆C所截得的弦

长为()

A.2B.2V3C.2V7D.V14

【变式1-1](2024•全国•模拟预测)已知直线2:y=x+>0)与OC:(x-1)2+y2=2交于力，B两点,

若|4B|=2,则m=()

A.1B.V2C.V2-1D.V3-1

【变式1-2］（24-25高二上•陕西西安•开学考试）直线/过点（2,1）,且与圆C：（x—2）2+（y—4）2=10相

交所形成的长度为整数的弦的条数为（）

A.6B.7C.8D.9

【变式1-3］（2024•广东广州•模拟预测）直线丫=/£%-2与圆。/+丫2-6乂-7=0交于A,8两点,

则|力用的取值范围为（）

A.[77,4]B.[2V7,8]C.[V3,4]D.[2V3,8]

【题型2圆的切线及切线方程问题】

【例2】（2024•全国•模拟预测）已知圆C:/+y2+4久+6y+12=0,直线I过点P（-l,0）,则“直线I的方程

为4%-3y+4=0”是“直线均圆C相切”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-1］（2024•四川攀枝花•三模）由直线y=x上的一点P向圆（x—4/+y2=4引切线，切点为Q,则

IPQI的最小值为（）

A.V2B.2C.V6D.2V2

【变式2-2］（2024・天津和平•二模）过直线y=x上的点P作圆C：。+3）2+3-5）2=4的两条切线匕,

%，当直线入，%关于直线V=x对称时，点尸的坐标为（）

3366,

A.(1,1)B.C.

5/5..(1-1

【变式2-3］（2024•湖南永州•一模）在平面直角坐标系中，过直线2x-y-3=0上一点P作圆C:/+2x+

y2=i的两条切线，切点分别为4B,则sin乙4PB的最大值为（）

2

AV6B.WcV6

A--CTD3

【题型3直线与圆中的面积问题】

【例3】（23-24高二上•福建南平•期末）已知圆C的圆心在直线始x-y-3=0上且圆C与x轴相切于点

M(2,0).

（1）求圆C的方程;

（2）已知直线%：久+2y—1=0与圆C相交于4B两点，求△ABC的面积.

【变式3-1](23-24高二上•浙江湖州•期末)已知圆。：x2+y2=4,直线Z:y=/c%+4.

(1)若直线/与圆。交于不同的两点4B,当乙408=90。时，求左的值；

(2)若k=断寸，点P为直线/上的动点，过点P作圆。的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,求四边形。CPD

的面积的最小值.

【变式3-2](23-24高二上•河南•阶段练习)已知圆M经过4(1,5),2(4,2),。(有+1,0)三点.

(1)求圆M的方程；

(2)已知斜率为-1的直线/经过第三象限，且与圆M交于点E,F,求△EFM的面积的取值范围.

【变式3-3](2024•江苏苏州•三模)已知圆O:/+y2=4,直线4：x=m,直线％：y=x+6和圆交于/，

B两点,过/,2分别做直线k的垂线，垂足为C,D.

(1)求实数6的取值范围；

(2)若根=-4,求四边形/8OC的面积取最大值时，对应实数b的值；

(3)若直线和直线3c交于点E,问是否存在实数小，使得点E在一条平行于x轴的直线上?若存在，求出实

数m的值;若不存在，请说明理由.

【题型4直线与圆中的最值问题】

【例4】(2024•四川乐山•三模)已知圆。+y2=16,点E是Z:2x—y+16=0上的动点，过E作圆。的

切线，切点分别为4B,直线与E。交于点M,则|0M|的最大值为（）

A.2B.V5C.V6D.V7

【变式4-1］（2024广东珠海一模）已知点力（-1,0）,8（0,3）,点P是圆（久-3）2+）/2=i上任意一点，则△PAB

面积的最小值为（）

119

A.6B.-C.MD—

22

【变式4-2］（2024•陕西商洛•模拟预测）已知圆C:%2+2%+y2=o,点尸为直线2%+y—2=0上的一点,

过P作圆C的切线，切点分别为4B,则cos乙4PB的最小值为（）

A.延B.2C.-速D.1

5858

【变式4-3］（2024•陕西西安•一模）已知圆。的方程为：/+y2=1,点力（2,0）,8（0,2）,P是线段4B上的

动点，过P作圆。的切线，切点分别为C,D,现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四

边形PC。。的面积的最大值为百；③丽•丽的最小值为-1；④丽•丽的最大值为|.其中所有正确说法的

序号为（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①④

【题型5距离及其新定义问题】

【例5】（2024・四川成都•三模）已知圆C：/+y2=i,直线/：x_y+c=o,则“c=字”是“圆C上恰存在

三个点到直线1的距离等于，”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

【变式5-1］（2024・河南•模拟预测）已知实数a,6满足a?+/+1=2a+2b,则（3a+4b-的最小值

是（）

A.1B.2C.4D.16

【变式5-2］（2024•河南•模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但

过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线C是直线族（产一1）久一2ty+

2t2+2=0（tGR）的包络线，贝UC上的点到直线x+y=4的最小距离为.

【变式5-3］（2024高三・全国・专题练习）已知点P（x,y）是圆（x+2/+y2=1上任意一点.

⑴求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.

（2）求久-2y的最大值和最小值.

(3)求匕1的最大值和最小值

【题型6阿波罗尼斯圆】

【例6】(2024•广西河池•模拟预测)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：

平面内与两点距离的比为常数2(441)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点。(0,0),

A动点P(x，y)满足黑=R若点P的轨迹与圆c：x2+y2+6x+2y-r2-10(r>0)有且仅有三

条公切线，贝b=()

A.-B.1C.2D.3

2

【变式6-1](2024•全国•模拟预测)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点P到相异两点4和B

距离比值为不等于1的定值，则动点P的轨迹是圆心在直线4B上的圆，该圆被称为点力和B相关的阿氏圆.已

知P在点A和B相关的阿氏圆。:/+必=4上，其中点力(—4,0),点Q在圆环(比一3)2+(y—3)2=1上，则

1p(21+]伊川的最小值为()

A.3V2-1B.3V2+1C.4D.6

【变式6-2](2024•广西・模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历

山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数4(4>0且441),那

么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A(2,0),B(-2,0)的距离比为百，则点P到直线I：

2岳-y-V2=0的距离的最大值是()

A.3V2+2V3B.2+2%C.4百D.6V3

【变式6-3](2024•全国•模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山

大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点4B的距离之比为定值4(4>0,且441)的点的轨

迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，4(-2,0),8(4,0),点P满足鬻=；.设点P的

轨迹为曲线C,则下列说法错误的是()

A.C的方程为。+4/+y2=*

B.当2,B,P三点不共线时，贝I]NAP0=N8P。

C.在C上存在点M,使得|M0|=2|M4|

D.若D(2,2),则|PB|+2|PD|的最小值为4西

【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】

【例7】(2024高三•全国•专题练习)已知圆4(x+2)2+y2=25,4为圆心，动直线|过点P(2,0),且与

圆力交于B,C两点，记弦BC的中点Q的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过2作两条斜率分别为灯，期的直线，交曲线E于M,N两点，且上水2=-3,求证：直线MN过定点.

【变式7-1](23-24高三上•黑龙江哈尔滨•期末)圆G经过点(2,2g),(—4,0),圆心在直线y=x上.

(1)求圆G的标准方程；

⑵若圆G与x轴分别交于M,N两点，力为直线/:久=16上的动点，直线2M4N与曲线圆G的另一个交点分别为

E,F,求证直线E尸经过定点，并求出定点的坐标.

【变式7-2](23-24高二上・江苏泰州•阶段练习)已知△力MN的三个顶点分别为力(3,0),M(0,l),N(0,9),

动点P满足|PN|=3\PM\.

⑴求动点P的轨迹T的方程；

(2)若B,C为(1)中曲线T上的两个动点，。为曲线(x+l)2+y2=4。力—3)上的动点，且前=荏+前,

试问直线和直线力C的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【变式7-3](23-24高二上•重庆•阶段练习)已知圆C与直线x—百丫+2=0相切于点(1,百)，且圆心C

在X轴的正半轴上.

⑴求圆C的方程；

(2)过点4(1,0)作直线交圆。于N两点，且N两点均不在x轴上，点8(4,0),直线BN和直线。河交

于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程.

【题型8直线与圆中的向量问题】

【例8】(2024•安徽•一模)已知直线x+y—k=0(k>0)与圆/+产=4交于不同的两点4以。是坐标

原点，且有|a+方|2何说则实数左的取值范围是()

A.(V3,V6)B.[V2.V6)C.[V6,2V2)D.[V6,2V3)

【变式8-1](2024•重庆•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x-I)2+y2=4,P为直线/:久+y+

3=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PM,切点为点M,当|PM|最小时，则两•定的值为()

A.4B.V2C.2D.3

【变式8-2](2024•河北唐山・二模)已知圆C：x2+(y-3)2=4,过点(0,4)的直线/与x轴交于点P,与圆C

交于4B两点,则而•(刀+而)的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

【变式8-3](2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)设点P(a,6),若直线1:ax+by=1与圆0:d+y2=4交于4B

两点，且|耐+南|>|a-布则|而|的取值范围为()

A-(PT)B-(0-T)C-(*)D-(&,+8)

【题型9直线与圆中的探索性问题】

【例9】(23-24高一下•云南昆明•期末)已知直线2:y=kx(k力0)与圆C:x2+y2—2x—3=0相交于/,B

两点

(1)^\AB\=V14,求左

(2)在x轴上是否存在点使得当人变化时，总有直线加出血小的斜率之和为0,若存在，求出点M的坐

标，若不存在，说明理由

【变式9-1］（23-24高二上•广东广州•期中）圆C:%2一（i+a）x+y2-ay+a=o.

⑴若圆C与y轴相切，求圆C的方程；

（2）已知a>1,圆。与x轴相交于两点M,N（点”在点N的左侧）.过点M任作一条直线与圆。+必=9

相交于两点/，反问：是否存在实数。，使得NANM=NBNM.若存在，求出实数a,若不存在，请说明

理由.

【变式9-2］（23-24高二上•广东广州•期末）已知圆心C在直线y=-2x上,并且经过点4（2,-1）,与直线比+

y-1=0相切的圆.

（1）求圆C的标准方程；

（2）对于圆C上的任意一点P,是否存在定点B（不同于原点。）使得需｛恒为常数？若存在，求出点8的坐标；

若不存在，请说明理由.

【变式9-3］（23-24高二上•福建泉州•期中）已知半径为2的圆C的圆心在x轴的正半轴上，且直线Z:3x-4y+

4=0与圆C相切.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若Q的坐标为（-2,4）,过点Q作圆C的两条切线，切点分别为MN,求直线MN的方程；

（3）过点4（1,0）任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E,F两点，在%非正半轴上是否存在点B,使得

UBE=4ABF?若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由.

►过关测试

一、单选题

1.（24-25高二上•江苏宿迁•开学考试）若直线4kx-y-2=Q与曲线C:一⑶—=x-1有两个不

同的交点，则实数k的取值范围是（）

A.0+8）B.（1,4）C.[-2,-1）U（|,2]D,（1,2]

2.（23-24高二下•广东茂名•阶段练习）已知圆C:（x-3）2+（y—4/=9,直线2:（m+3）久一（m+2）y+m=

0.则直线2被圆C截得的弦长的最小值为（）

A.2V7B.V10C.2V2D.V6

3.（24-25高二上・江苏徐州•阶段练习）已知曲线1-%=万于，则JN+（y—4）2的最大值,最小值分

别为（）

A.V17+2,V17-2B.V17+2,V5

C.V37,V17-2D.V37,V5

4.（2024•江西宜春•模拟预测）已知动点P到原点。与到点力（2,0）的距离之比为3:2,记P的轨迹为E,直线

Z:5x-5V3y+2=0,贝1J（）

A.E是一个半径为段的圆

B.E上的点到I的距离的取值范围为哙弓

C.1被E截得的弦长为警

D.E上存在四个点到/的距离为:

5.（23-24高二下•河北唐山・期末）已知圆（久—2）2+y2=9的弦力B的中点为点P为圆上的动点，

则方•丽的最大值为（）

A.2B.6V2-3C.8D.4+6V2

6.（23-24高二下•河南南阳・期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面

内与两定点距离的比为常数＞0且kK1）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿

波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点M是圆0:/+y2=1上任一点，点Q（—3,0）,8（1,1）,则,|MQ|+|M8|的最

小值为（）

A.1B.-C.-D.V17

33

7.（23-24高二下•贵州铜仁•阶段练习）已知圆C:（久一3尸+（y—4）2=1,直线［：3依一3y+5k-6=0上

存在点P,过点P作圆C的切线，切点分别为4B,使得乙4PB=60。，则实数k的取值范围是（）

14'

C［那D•强］

8.（2024•河北承德•二模）己知圆C:/+（y—2）2=1,圆。与y轴交于力（o,3）,B（O,l）,斜率存在且过原点。

的直线，与圆C相交于MN两点，直线AM与直线BN相交于点P,直线AM、直线BN、直线。P的斜率分别为

kr,k2,k3,则（）

A.k］+6k2=々3B.k］+2k2=

C.2/q+七=七D.七+七=七

二、多选题

9.（24-25高三上•辽宁鞍山•开学考试）已知直线〃kx—y+k=0,圆C:/+/一6x+5=O,PQo，yo）为

圆C上任意一点，则下列说法正确的是（）

A.就+羽的最大值为5

B.也的最大值为

C.直线/与圆C相切时，fc=±y

D.圆心C到直线1的距离最大为4

10.（2024•辽宁丹东•一模）己知圆C:（%一2）2+（＞一=9,直线〃丘—y+l=0与C交于4B两点，点

M为弦的中点，P（0,3）,贝!］（）

A.弦|48|有最小值为B.|OM|有最小值为a一1

C.△OCM面积的最大值为等D.而・西的最大值为9

11.（23-24高二上•广西南宁•期中）设圆C:（x—l）2+（y—=3,直线l:;c+y+l=0,P为/上的动点,

过点P作圆C的两条切线24、PB,切点分别为/、B,则下列说法中正确的有（）

A.|P-的取值范围为停+8)

B.四边形PACB面积的最小值为苧

C.存在点P使乙4PB=120°

D.直线4B过定点(0,0)

三、填空题

12.(23-24高二下•上海•期中)过点2(-1,3)的直线傲圆/+产=4截得的弦长为2百，则直线，的方程为

13.(24-25高二上•全国•课后作业)己知实数x,y满足y=-久2+以,贝〃=誓的取值范围是.

14.(2024•河南商丘•模拟预测)已知过点P(0,-2)的直线口。分别与圆E:/+y2-4丫=o交于A,B两点(点