直线的方程（8题型分类）-2025年高考数学专项复习（原卷版）

专题38直线的方程8题型分类

彩题如工总

彩先例宝库

1.直线的方向向量

设4,2为直线上的两点，则施就是这条直线的方向向量.

2.直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直

线/的倾斜角.

(2)范围：直线的倾斜角a的取值范围为0°^a<180°.

3.直线的斜率

⑴定义：把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母女表示，即左=

tan_a(aW90°).

(2)过两点的直线的斜率公式

如果直线经过两点Pl(xi，yi),2(X2,y2)(xiWx2),其斜率左=亳低.

4.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式厂yo=Z(x-&)不含直线x=xo

斜截式y=kx+b不含垂直于无轴的直线

y~yix-x\

两点式—(X1#X2，%Wy2)不含直线X=X1和直线y=yi

y2fx2—xi'J

截距式a+l=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式Av+By+C=0(A2+BV0)平面直角坐标系内的直线都适用

【常用结论

1.直线的斜率k与倾斜角a之间的关系

a0°0°<a<90°90°90°<a<180°

k0k>0不存在k<0

牢记口诀：“斜率变化分两段，90。是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注

意过原点的特殊情况是否满足题意.

3.直线Ac+By+C=O（A2+B2wo）的一个方向向量A）.

彩他题祕籍

（_）

1.正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式％=2二根据该公式求出经过两点的

X]-x2

直线斜率，当占=%，%*%时，直线的斜率不存在，倾斜角为90。，求斜率可用左=tana（aw90。），其中a为

倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割.牢记"斜率变化分两段，90。是其分界，遇到斜率要谨

记，存在与否要讨论”.这可通过画正切函数在0e）口（|，乃上的图像来认识.

2.直线倾斜角的范围是[0,7T）,而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要

分0,与俘兀）两种情况讨论.

3.一般地，若已知4（%,乂）,3（%,%），尸伉，％），过尸点作垂直于龙轴的直线过P点的任一直线/的斜率

为k,则当/'与线段48不相交时，上夹在号＞A与心B之间；当/'与线段A8相交时，上在34与怎B的两边.

题型1：求直线的倾斜角

1-1.（2024高二上•江苏无锡・期末）直线x-gy+a=0（°为常实数）的倾斜角的大小是

1-2.（2024高三•全国•专题练习）若直线的倾斜角a满足如＜tana＜VL则a的取值范围是

3

1-3.（2024•安徽合肥•三模）已知直线/的一个方向向量为力=（sin三,cos则直线/的倾斜角为（）

71兀2兀4兀

A.—B.一C.—D.——

6333

1-4.（2024・湖南•模拟预测）已知a是直线x-2y+3=0的倾斜角，则&sin〔a+zj+sin"的值为（）

cos2a

V―C普D.迈

20

1-5.（2024高二下•上海黄浦•期中）过P（-2,加）、°（〃2,4）两点的直线的倾斜角为45。，那么利=.

1-6.（陕西省渭南市白水县2023〜2024学年高一上学期期末数学试题）若直线/:y=依-6与直线

2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是（）

71717171

A.B.

65?652

71717171

C.D.

J'2'3,2

题型2:求直线的斜率

2-1.（24-25高二上•全国•课后作业）过点A（2,5）和点3（T,5）的直线与直线y=3的位置关系是（）

A.相交但不垂直B.平行C.重合D.垂直

2-2.（2024高二上•广东潮州•期末）已知斜率为应的直线经过点M（2,〃Z）,N（1,2）,则机=（）

A.72-2B.亚+2C.1D.0

2-3.（2024高二上•广东）如图，若直线4，，4的斜率分别为匕,&B，贝U（）

B.k3<kx<k2

C.kx<k2<k3D.k3<k2<kx

2-4.（2024高二下•广东广州・期末）在等差数列｛4｝中，a2=3,a6=ll,直线/过点

A.k>-B.k<-2

2

C.k>-^k<-2D.-2<k<-

22

4-2.（2024高一下•广东惠州•期末）已知4（2,0）,B（0,2）,若直线y=左（*+2）与线段AB有公共点，则k的

取值范围是（）

A.[-1,1]B.[1,+<»）

C.[0,1]D.（-co,-l]u[l,+oo）

4-3.（2024高二上•山东济宁•阶段练习）已知直线x-殴+2a=0和以M（3,5）,N（4,-2）为端点的线段相交，

则实数。的取值范围是（）

A.a<lB.-l<a<l

C.aV-1或D.aV-1或或a=0

彩健题淞籍

（二）

求直线方程的两种方法

⑴直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.

⑵待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.

题型5:求直线的方程

5-1.（2024高三•全国•专题练习）过点（1,2）且方向向量为（-1,2）的直线的方程为（）

A.2x+y-4=0B.%+>-3=0

C.x-2y+3=0D.x+2y+3=0

5-2.（2024高三•全国•专题练习）过点4（1,4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.x-y+3=0B.%+>-5=0

C.4x-y=0或％+>-5=0D.=0或兀一）+3=0

5-3.（2024高三上•广东深圳•阶段练习）已知点4（1,2）,fi（3,l）,则线段AB的垂直平分线方程为（）

A.4%+2y—5=0B.4x—2y—5=0C.x+2y-5=0D.x—2y—5=0

54（2024高二上•福建漳州•期中）在VABC中，若A（2,3）,B（-2,0）,C（2,0）,则4AC的角平分线所

在直线/的方程是（）

A.2x-y+1=0B.2x-y-1=0

C.2x-3y-2=0D.3x-y-l=0

55（2024高二•全国•课后作业）若直线/的方程>=中，ab>0,ac<0,则此直线必不经过（）

bb

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

彩他题祕籍（二）

1.（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可

选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说.

（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地

选择方程的类型往往有助于问题的解决.例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，

再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式.在求直线方程的过程中，

确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏.

2.直线方程综合问题的两大类型及解法

（1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x,y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数

的性质解决.

（2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.

题型6:直线与坐标轴围成的三角形问题

6-1.（2024高三•河北衡水倜测）若一条直线经过点A（-2,2）,并且与两坐标轴围成的三角形面积为1,则

此直线的方程为.

6-2.（2024高三•全国・专题练习）已知直线/过点且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B

两点，。为原点，当蜘OB面积最小时，直线/的方程为.

6-3.（2024高二上•黑龙江哈尔滨•期中）直线/过点M（L2）,且分别与羽V轴正半轴交于A、B两点，。为

原点.

⑴当VA03面积最小时，求直线/的方程；

⑵求|。4|+2]。同的最小值及此时直线/的方程.

6-4.（2024高三上•江苏无锡・开学考试）在平面直角坐标系xQy中，直线/过定点尸（3,2）,且与x轴的正半

轴交于点与＞轴的正半轴交于点N.

（1）当尸ATPN取得最小值时，求直线/的方程；

（2）求△MON面积的最小值.

彩健题秘籍

7/（四）

若直线＞=左逮+4与直线y=&x+/的夹角为a,贝l]tana=卜.

1+勺左2

题型7:两直线的夹角问题

7-1.（2024高三上•上海浦东新,期末）直线x-6y+2=0与直线氐+2y=l所成夹角的余弦值等于

7-2.（2024高三•全国裸后作业）直线尤+2y+2=0与直线3元一＞-2=0相交，则这两条直线的夹角大小

为.

7-3.（2024高三・上海•专题练习）两条直线4：瓜-y-古=0,右：%-6、-1=0的夹角平分线所在直线的

方程是.

彩♦♦淞箫

（五）

解含有参数的直线恒过定点问题的方法

方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目

中含参数直线所过的定点，从而问题得解.

方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为4x+8iy+Ci+MA2x+82y+C2）=0,其中幺是参数，这

|"Aix+Biy+G=0,

就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组,',解得.若整理成y-y^Kx-

尤o）的形式，则表示的所有直线必过定点（xo，yo）.

题型8:直线过定点问题

8-1.（2024高二上•上海徐汇•期中）已知实数。力满足a+力=1,则直线改+3y+6=0过定点

82（2024高三上•福建南平•阶段练习）直/的方程为区->+2k+1=0亿eR）,则该直线过定点.

8-3.（2024•四川绵阳・模拟预测）已知直线2：%-阳+1=0过定点A,直线〃：皿+丫一加+3=。过定点B,4

与4相交于点P，则1PA「+|尸讨=.

一、单选题

1.（2024高二上,江苏宿迁•阶段练习）经过A（-l,3）,B（也,-指）两点的直线的倾斜角是（）

A.45°B,60°C.90°D.120°

2.（2024高二上•山东淄博•期中）直线>=-岛+3的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（2024高二•全国•课堂例题）过两点A（4,y）,8（2,-3）的直线的倾斜角是135。，则y等于（）

A.1B.5C.-1D.-5

4.（2024高二上•吉林白城•期中）直线/经过4（2,1）,网1,/）（〃zeR）两点，那么直线/的斜率的取值范围

为（）,

A.（0,1]B.（-8『C.（-2,1]D.[1,+⑹

5.（2024高三•全国•专题练习）函数〃尤）=：丁-尤2的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值

范围为（）

3兀）713兀

D.

c.2'T

6.（2024高三•全国・专题练习）若平面内三点41，-a）,8（2,a2）,C（3,共线，则°=（)

B.*或。

A.1土&或0

2

c2土、D.2或。

,22

7.（2024高三•全国•课后作业）已知点〃（2,-3）和N（-3,-2）,直线/：y=依-。+1与线段脑V相交，则实数

a的取值范围是（）

3—3

A.〃之一或B.-44<a<-

44

33

C.-<a<4D.——<a<4

44

8.（2024高二•全国•课后作业）已知点A（-2,3）,5（3,2）,若直线ox+y+2=0与线段四没有交点，则〃的

取值范围是（）

54

C.

2?3

9.（2024高二上•江西赣州•阶段练习）设点42,-3）、5（-3,-2）,若直线/过点HU）且与线段A5相交，则直

线/的斜率左的取值范围是（）

33、1

A.k之一或kW-4B.k>—^k<——

444

33

C.-4<k<-D.一一<k<4

44

10.（2024高二•全国•课后作业）对方程二=2表示的图形，下列叙述中正确的是（）

A.斜率为2的一条直线

B.斜率为的一条直线

C.斜率为2的一条直线，且除去点（-3,6）

D.斜率为-g的一条直线，且除去点（-3,6）

11.（2024高二上,北京海淀•期末）经过点P（-LO）且倾斜角为60。的直线的方程是（）

A.V§x-y-l=0B.A/3X—y+y/3=0

C.-y-y/3=0D.x-+1-0

12.（2024高二上•天津滨海新•阶段练习）方程>=狈+1（“>0）表示的直线可能是（

13.（2024高一下•四川德阳•阶段练习）已知过定点直线丘-y+4-左=0在两坐标轴上的穰距都是正值，且截

距之和最小，则直线的方程为（）

A.x-2y-7=0B.x-2y+l=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

14.（2024高二上•安徽安庆•阶段练习）已知直线/的倾斜角为60。，且/在>轴上的截距为-1,则直线/的方

程为（）

A.y=--%-1B.y=-^-x+1

33

C.y=由x—1D.y=-J?>x+1

15.（2024高二下•福建厦门•阶段练习）直线x-gy+l=0的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.120°D.150°

16.（2024高三•全国•课后作业）若过点P（l—和Q（3,2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范

围是（）

A.（-2,1）B.（-1,2）

C.（―0°,0）D.（―0°,—2）0（1,+°°）

17.（2024高三•全国•课后作业）直线依+勿+c=0经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（）

A.ab>Q,bc<0B,ab<0,bc<0C.ab>0,bc>0D.ab<0,bc>0

18.（2024高二上,湖北荆门,阶段练习）已知直线方程为xsin3000+ycos300°-3=0,则该直线的倾斜角为

（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

19.（2024•北京丰台•一模）已知A（2,3）,8（-1,2）,若点尸（尤，y）在线段AB上，则一J的最大值

x-3

为（）

31r

A.1B.—C.----D.-3

52

20.（2024高一下•湖南长沙•期末）直线xsina-y+l=。的倾斜角的取值范围为（）

c兀713%

A.B.

「冗711c九「3万）

C.uD0,■—L

£匕刃-_4_

21.（2024高一下•四川达州•期末）已知4（0,2）,8（2,1）,过点C（l,0）且斜率为上的直线/与线段有公共

点，则上的取值范围是（）

A.[-2,1]B.2）U（L+<i0）

C.（-2,1）D.（-co,-

二、多选题

22.（2024高三•全国•专题练习）下列说法是错误的为（）

A.直线的倾斜角越大，其斜率就越大

B.直线的斜率为tana,则其倾斜角为a

C.斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等

D.经过任意两个不同的点耳（石,乂）,£（々,％）的直线都可以用方程（，-乂）（9-%）=（%-菁乂%-％）表

小.

23.（2024高三・全国•专题练习）如图，直线"，12,〃的斜率分别为"k2,k3,倾斜角分别为a/,a2,a3,

A.kl<k3<k2B.k3<k2<klC.«7<0（3<«2D.

24.（2024高二上•山东青岛•期中）若直线过点A（l,2）,且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线/方程

可能为（）

A.x-y+l=0B.x+y-3=0

C.2x-y=0D.x-y-l=0

三、填空题

25.（2024高三上•上海宝山•阶段练习）已知直线/1：2无一、=0,/2：3了+＞一1=。，则/］与/2的夹角大小

是.

26.（2004•重庆）曲线y=2尤2与）彳3-2在交点处切线的夹角是__________.（用弧度数作答）

24

27.（2024高二・全国•课后作业）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与*-7、-4=0,原点

在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为.

28.（2024,陕西咸阳•二模）直线y=日-左+e恒过定点A,则4点的坐标为.

29.（2024高二下•上海浦东新•阶段练习）若实数。、b、。成等差数列，则直线6+勿+c=0必经过一个定

点，则该定点坐标为.

30.（2008•江苏）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为40,a）,3©0）,C（c,0）,点尸（0,p）

在线段。4上（异于端点），设“也。,0均为非零实数，直线分别交4。,43于点£,F,一同学已正

确算出OE的方程：+=请你求O尸的方程：.

31.（2024高二上•四川成都•期中）已知直线/过点且分别与x轴的正半轴、＞轴的正半轴交于A,B

两点，。为原点，则VAQB面积最小值为.

32.（2024高二•江苏•专题练习）己知点P,。的坐标分别为（-1/），（2,2）,直线/：x+帆+/。与线段PQ

的延长线相交，则实数m的取值范围是.

33.（2024高二上•黑龙江伊春•阶段练习）已知4T2）,8（2,4）,点尸（x,y）是线段AB上的动点，则上的取值

X

范围是.

34.（2024高二上•全国•专题练习）P（x,y）在线段A3上运动，已知A（2,4）,B（5,-2）,则的取值范围

是.

35.（2024高二上•山西晋城•期中）若某直线经过A（6，-1）,B（1,2-百）两点，则此直线的倾斜角

为.

36.（2024高二上•山东日照,阶段练习）过点4（4,1）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是.

37.（2024高二•全国•课后作业）设直线/过点尸（L2）,在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直

线/的条数为条.

38.（2024高一•全国•课后作业）已知三角形的三个顶点4—5,0）,8（3,—3）,C（0,2）,则BC边上中线所

在的直线方程为.

39.（2024高一下•湖南长沙•阶段练习）若点A（4,3）,3（5,a）,C（6,5）三点共线，贝壮的值为.

40.（2024•全国•模拟预测）若正方形一边对角线所在直线的斜率为2,则两条邻边所在直线斜率分别

为，.

41.（2024高三・全国・专题练习）已知一条直线经过点A（2,一为），且它的倾斜角等于直线x—Qy=0倾

斜角的2倍，则这条直线的方程为一；

42.（2024高三•全国•专题练习）经过点3（3,4）,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方

程为;

43.（2024高三・全国・专题练习）经过两条直线4：x+y=2,/2：2%-》=1的交点，且直线的一个方向向量

>=（-3,2）的直线方程为一.

44.（2024高三・上海•专题练习）已知VA5C的顶点A（2,3）,AC,A3边中线方程分别为x-3y=0、

5x+6y-14=0,则直线BC的方程为.

45.（2024高二•全国,课后作业）已知直线/与直线y+3=］无的斜率相等，直线/与x轴的交点为（a,0）,且

a比直线/在y轴上的截距大1,则直线I的斜截式方程为.

46.（2024高三,全国・专题练习）已知直线/:（2+a）x+（a-l）y-3a=。在x轴上的截距的取值范围是（-3,3）,

则其斜率的取值范围是.

四、解答题

47.（2024高二上■全国■专题练习）已知直线/的方程为：（2+m）龙+（1-2〃?）y+（4-3〃。=0.

⑴求证：不论机为何值，直线必过定点〃；

⑵过点M引直线4,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求乙的方程.

48.（2024高二上•北京怀柔•期中）已知直线/经过点P（2,2）,。为坐标原点.

⑴若直线/过点Q（-2,0）,求直线/的方程，并求直线/与两坐标轴围成的三角形面积；

⑵如果直线/在两坐标轴上的截距之和为8,求直线/的方程.

49.（2024高二上•湖南•阶段练习）已知直线/过点尸（4,3）,与x轴正半轴交于点4、与y轴正半轴交于点A

（1）求△OAB面积最小时直线/的方程（其中。为坐标原点）；

（2）求|上明心|的最小值及取得最小值时I的直线方程.

50.（2024高二上•江西吉安•阶段练习）过点M（4,3）的动直线I交x轴的正半轴于A点，交丁轴正半轴于B点.

（回）求AQ4B（。为坐标原点）的面积S最小值，并求取得最小值时直线/的方程.

但）设尸是AOLB的面积S取得最小值时A。4s的内切圆上的动点，求"=归0「+|尸北+|尸8「的取值范围.

51.（2024高二上・江苏苏州,阶段练习）已知直线/：kx-y+l+2k=0.

（1）求/经过的定点坐标P;

（2）若直线/交X轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B.

①VA0B的面积为S,求S的最小值和此时直线/的方程；

②当+取最小值时，求直线/的方程.

52.（2024高二上•河南关B州,阶段练习）已知直线/:履-y+2+3左=0经过定点尸.

⑴证明：无论上取何值，直线/始终过第二象限；

（2）若直线/交x轴负半轴于点4交y轴正半轴于点B,当：|尸川+；|「例取最小值时，求直线/的方程.

53.（2024高二上,上海杨浦•期中）已知直线/过定点「（-2,1）,且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点

B,点。为坐标原点.

⑴若VA03的面积为4,求直线/的方程；

⑵求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线I的方程;

⑶求四H即的最小值，并求此时直线/的方程.

54.（2024高三•全国•对口高考）在平面直角坐标系中，已知VABC的顶点坐标分别为A（2,3）、8（1,-1）、C（5,l）,

点尸在直线BC上运动，动点。满足闻=耳+而+定，求点。的轨迹方程.

55.（2024・安徽蚌埠•三模）如图，在平行四边形Q4SC中，点。是原点，点A和点C的坐标分别是（3,0）、（1,3）,