正方形（题型汇编）-2021-2022学年人教版八年级数学下学期复习（解析版）

专题08正方形（一题三变）

【思维导图】

◎考点题型1：根据性质求角

例.（2021•天津市实验中学滨海学校八年级期中）如图，点£、尸分别在正方形N8CD的边DC、3c上,

AGVEF,垂足为G,^.AG=AB,贝（）度

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质以及HL判定，可得出A4EWA4GR故有的/”G4R再证明A4GE三八4。£,有

乙GAE=3AE,艮|3可求乙功尸=45。

【详解】

解：在正方形48c。中，4=5=乙BAD=9。。,AB=AD,

••,AGLEF,,••乙4GF=UGE=90。,

''AG=AB,G=AB=AD,

在RtAABF与RtAAGF中,

jAB=AG

[AF=AF

••.△ABF三AAGF,

・•・乙BAF=^GAF,

同理可得：AAGE^AADE,

；/GAE=〃）AE；

10

・•・乙EAF=LEAG+乙FAG=—/BAD=45,

2

."/b=45。

故选：B

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是得出

变式1.（2021・全国•八年级期中）如图，正方形/BCD的两条对角线ZC,3。相交于点。，点£在3。上,

且BE=AD,则乙4CE的度数为（）

-------

A.22.5°B.27.5°C.30°D.35°

【答案】A

【解析】

【分析】

利用正方形的性质证明人必。=45。和BE=BC,进而证明MEC=67.5。.

【详解】

解：•・,四边形4SCZ)是正方形，

•••BC=AD,乙DBC=45。,

•:BE=AD,

-'-BE=BC,

:.乙BEC=^BCE=(180°-45°)-2=67.5°,

••,AC1BD,

.・ZCOE=90。，

山CE=9。。-乙BEC=90。-67.5°=22.5°,

故选：A.

【点睛】

本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键.

变式2.(2021•山西•寿阳县教研室九年级阶段练习)如图，四边形N8CD是正方形，延长8C到£,使CE

AC,连接NE交CD于点?贝吐E=()

A.22.5°B.30°C.35°D.45°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质可得"C8=45。，再根据等腰三角形的性质即可得到结果.

【详解】

解：••・四边形48co是正方形，

山。2=45°,

:.乙E=「CAE=45°,

■■■CE=AC,

:.乙E=£CAE=g^ACB=22.5°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质.

变式3.（2021•山东•青岛市城阳第九中学九年级阶段练习）如图，在正方形/BCD的外侧，作等边△/BE,

则N/ED为（）

A.15°B.35°C.45°D.55°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60。求出

AD=AE,乙CUE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出N/ED即可.

【详解】

解：•••四边形/BCD是正方形，

AB=AD,/BAD=90°,

---AABE是等边三角形，

AB=AE,ZBAE=ZAEB=60°,

在AIDE中，AD=AE,ZDAE=ABAD+ZBAE=90°+60°=150°,

NNED=；（180°-150°）=15°,

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

◎考点题型2：根据性质求线段长

例.（2021•福建三元•九年级期中）如图，。是正方形48CD内一点，四边形。的E与OGD尸也都是正方形,

图中阴影部分的面积是10,则EG长为（）

C.10D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

先证四边形尸是矩形，可得/由三角形的面积公式可得OG2+O印=20,即可求解.

【详解】

解：•••四边形N5CD,四边形O//8E,四边形OG£＞尸都是正方形，

：.AD\（BC^HG,43IIE尸||C£）,FO=OG,HO=OE,

••・四边形AHOF是平行四边形，

又♦"AD=90o,

••・四边形N//C下是矩形，

：.AH=OF,

・•・阴影部分的面积是10,

—xOGxOF+—xOExOH=10,

22

OG1+OE2=20,

EG2=OG1+OE2=20,

•••EG=275,

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，多边形的面积等知识，求出EG2=OG?+O炉=20

是解题的关键.

变式1.（2021・四川・隆昌市第二初级中学九年级期中）如图，在正方形4BCD中，AB=2血,E,尸分别

为边AB,8c的中点，连接/凡DE,点、N,M分别为NR的中点，连接则的长为（）

8

C.42D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

连接延长/河交。于G,连接尸G,由正方形/BCD推出/8=CD=3C=2后，AB\\CD,zC=90°,证

得△AEMmGDM,得到/〃=MG,AE=DG=^AB,根据三角形中位线定理得到MV=g尸G,由勾股定理求出

FG即可得到MN.

【详解】

解：连接延长交C。于G,连接尸G,

•••四边形/BCD是正方形，

：.AB=CD=BC=1y[l,ABWCD,zC=90°,

：.^AEM=/-GDM,AEAM=^DGM,

••・”为。£的中点，

:・ME=MD,

在八4区以和GDVf中，

ZEAM=ZDGM

<ZAEM=ZGDM,

ME=MD

・••△AEMzAGDM(44S),

'.AM=MGAE=DG=-AB=-CD,

f22

：.CG;cD=6,

,・•点N为/尸的中点，

1

：.MN=-FG,

2

•••尸为2c的中点,

:CF=；BC=6，

■■FG=ylcF2+CG2=2,

：.MN=\,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅

助线且证出AM=MG是解决问题的关键.

变式2.(2021•山东・济南市章丘区第四中学九年级阶段练习)根据四边形的不稳定性，当变动m的度数时,

菱形N8C。的形状会发生改变，当48=60。时，如图1,AC=亚;当乙B=90。时，如图2,AC=()

A.y/2B.2C.272D.V3

【答案】B

【解析】

【分析】

在图1中求出菱形的边长，再在图2中利用勾股定理求出AC即可解决问题.

【详解】

解：如图1、2中连接/C.

在图1中，-：AB=BC,乙8=60。，

.■.AABC是等边三角形，

-'-AB=BC=AC=y/2，

在图2中，•••乙8=90。，AB=BC=41，

；.AC=YAB*BC?=2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属

于基础题，中考常考题型.

变式3.（2021・陕西临漳•八年级期末）如图，点E在正方形4BCD的边CO上，若的面积为8,CE=

3,则线段BE的长为（）

A.5B.1C.4D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，可求出正方形的面积，从而确定边长，然后在必△BCE中利用勾股定理求解即可.

【详解】

解：•••四边形48co为正方形，

'''^^ABE=-AB-AD,S正方形=AB»AD,

S正方物BC»=2s/BE=2x8=16,

正方形的边长8c=4,

在用ABCE中，BC=4,CE=3,

■■BE=ylBC2+CE2=5，

故选：A.

【点睛】

本题考查正方形的性质，理解正方形的性质以及熟练运用勾股定理是解题关键.

◎考点题型3：根据性质求面积

例.（2021•山东省青岛第二十六中学九年级期中）正方形/BCD的一条对角线长为6,则这个正方形的面积

是（）

A.972B.18C.24D.36

【答案】B

【解析】

【分析】

正方形对角线长相等，因为正方形又是菱形，所以正方形的面积可以根据（a、6是正方形对角线

长度）计算.

【详解】

解：在正方形中，对角线相等，所以正方形/BCD的对角线长均为6,

,•,正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S=g劭（°、6是正方形对角线长度）

...S=-x6x6=18,

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方形对角线相等的性质，解本题的关键是清楚正方形面积可以按照菱形面积计算公式计算，

并熟记菱形的面积计算公式.

变式1.（2021•内蒙古赤峰•七年级阶段练习）下图中，每个小正方形的面积均为lcm2,阴影部分的面积是

多少平方厘米？（）

A.4B.4.5C.5D.9

【答案】A

【解析】

【分析】

阴影部分的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积和.

【详解】

・•・每个小正方形的面积均为1cm2，

二小正方形的边长为1,

・•・阴影部分的面积为：3x3-（gxlx3+gx2x2+gxlx3）

=9-5=4.

故选A.

【点睛】

本题考查了正方形网格上的面积计算，灵活运用图形分割法计算面积是解题的关键.

变式2.（2007•江苏连云港•中考真题）如图，直线/上有三个正方形，若。，。的面积分别为5和11,贝防的

面积为（）

A.4B.6C.16D.55

【答案】C

【解析】

【分析】

运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可.

【详解】

解：b、c都是正方形,

：.AC=CD,^ACD=90°；

•••AACB+Z-DCE=/-ACB+ABAC=90°,

:.乙BAC=^DCE,

•:乙4BC=£CED=90°,AC=CD,

■■.AACB=ADCE,

：.AB=CE,BC=DE；

在QZv48c中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即S6=Sa+Sc=l1+5=16,

故选c.

BCE

【点睛】

此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强.

变式3.（2021・山东・嘉祥县第三中学八年级阶段练习）如图，正方形/3CZ）的边长为2,点E是边上任

一点，以为边向外作正方形MG8,则的面积是（）

B.2.4D.S与8E长度有关

【答案】A

【解析】

【分析】

延长。/、GF交于Q,则四边形。GC。是矩形，根据矩形面积，三角形面积求出即可.

【详解】

延长D/、G尸交于0,则四边形0GCD是矩形，

0.....4

GBC

设正方形EFGB的边长是X,

贝EF=EB=BG=FG=x,

•・•正方形ABCD的边长是2,

；,AD=DC=BC=AB=2,

CG=x+2,FQ=2—x

=（x+2）•2—x,（2—x）—x2x2-----（x+2）,x

222

=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、三角形的面积的应用，关键是能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面

积.

◎考点题型4：正方形折叠问题

例.（2021•全国•八年级专题练习）如图，把正方形纸片N2CD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为

MN,再过点8折叠纸片，使点N落在上的点尸处，折痕为BE,若的长为2,则尸加■的长为（）

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

由折叠的性质可得=320=348=1,ABMN=90°,FB=AB=2,由此利用勾股定理求解即可.

【详解】

解：••・把正方形纸片/BCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN,AB=2,

.-.BM=-BC=-AB=l,乙BMN=9Q°,

22

••・四边形/BCD为正方形，48=2,过点8折叠纸片，使点/落在上的点尸处，

：.FB=AB=2,

则在必ZiAWF中，FMZBF?-BM?=5

故选B.

【点睛】

本题主要考查了正方形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质.

变式1.（2021・全国•八年级课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片/BCD的顶点/折叠至DC边上

的点E,使。£=5,若折痕为尸。，则尸。的长为（）

DEC

A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

过点尸作于点河，由折叠得到PQL4E,从而得到乙乙4尸。，可得△尸0MSA4DE,从而得到

PQ=AE,再由勾股定理，即可求解.

【详解】

解：过点尸作尸M18C于点

由折叠得至I]PQLAE,

：.ADAE+AAPQ=9G°,

在正方形48CD中，ADWBC,")=90。，CD1BC,

:.乙DAE+UED=90°,

■•■/-AED=/-APQ,

.-.AAPQ=APQM,

■■■Z.PQM=Z.APQ=Z-AED,

"PM1BC,

：.PM=AD,

•.•AD=Z.PMQ=90°,

■■.APQM^AADE,

：.PQ=AE,

在及△/£>£中，DE=5,AD=\2,

由勾股定理得：

AE=yl52+n2=13，

.♦.PQ=13.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△尸0gA4OE是解题的关

键.

变式2.（2021•福建•重庆实验外国语学校模拟预测）如图，将正方形/BCD沿直线D尸折叠，使得点C落在

对角线3。上的点£处，则/DEC的度数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

由正方形的性质，则48OC=45。，由折叠的性质，得DE=DC,即可得到/DEC得角度.

【详解】

解：；四边形/BCD是正方形，8。是正方形的对角线，

ZBDC=45°,

；折叠，

DE=DC,

NDEC=NDCE,

1go。_45。

.../DEC=NDCE=------------=67.5°,

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所

学的知识，正确得到N5DC=45。.

变式3.（2021•湖南祁阳•八年级期末）如图，正方形N3CD的边长为6,将正方形折叠，使顶点。落在2c

边上的点£处，折痕为G8,若BE：EC=2：1,则线段CH的长是（）

58

A.-B.-C.3D.3.5

23

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意求出CE,根据折叠的性质得到根据勾股定理列方程，解方程得到答案.

【详解】

解：设CH=x,则。由6-x,

■■■BE：EC=2：1,BC=6,

■■.CE=2,

由折叠的性质可知：EH=DH=6-x,

在RtACEH中,EH2=CH2+CE2,即（6-x）W+22,

OQ

解得：X=|,即CH",

故选：B.

【点睛】

本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，根据翻转变换的性质得到是解题

的关键.

◎考点题型5：求正方形重叠部分面积

例.（2021•全国•八年级课时练习）如图，两个正方形的边长都为2.其中一个正方形的一顶点在另一个正方

形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（）

A.0.5B.1C.2D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】

如图：连接/BCD的对角线，根据题意可以推出g△DOE,所以重合部分的面积为△OCD的面积.

【详解】

解：如图，

:四边形48CD是正方形，

：.BO=CO=DO,ZBDC=ZBCO=45°,ACLBD,

；.NDOC=/EOF=90°,

ZDOE=ZCOF,

在△CO产和△DOE中，

2cOF=NDOE

<OC=OD,

ZCOF=ZDOE

:.XCOFQXDOE(ASA),

:.S4COF=S4DOE,

,11

・•・四边形OEW的面积=SZ\OCO=—S正方形ABCD=-^229=1,

44

故选：B.

本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质.解题关键在于找到全等三角形

进行代换.

变式1.（2019•全国•八年级专题练习）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点A,B,C分

别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（）.

A.2B.3C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

如图：连接4P,NN,点/是正方形的对角线的交点，易证APAFWANAE,可得尸的面积是正方形的

面积的:即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的;，即可解答.

【详解】

解：如图，

二0p

G

连接/P,AN,点/是正方形的对角线的交点，

则4P=/N,ZAPF=ZANE=45°,

NPAF+ZFAN=ZFAN+ZNAE=90°,

ZPAF=ZNAE,

:.aPAFm^NAE,

■­•四边形4KVF的面积等于△防尸的面积，

而尸的面积是正方形的面积的;，而正方形的面积为4,

4

四边形的面积为1c加2,三块阴影面积的和为3c/.

故选反

【点睛】

本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的

据此解题•解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的J.

4

变式2.（2020・湖南・长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，

M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（）

A.1B.2C.V2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

连接/N,DN,易证A^VEwAZWF,那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方

形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案.

【详解】

解：连接WV,DN,如图所示：

・•・三个边长均为2的正方形重叠在一起，M.N是其中两个正方形对角线的交点,

ZANE+ZEND=90°,NDNF+ZEND=90°,

/.ZANE=NDNF,

・一四边形/BCD是正方形，

/./EAN=/FDN=45°,AN=DN

在MNE和ADNF中

/EAN=AFDN

<AN=DN

ZANE=ZDNF

\ANE=\DNF{ASA）,

二•两个正方形阴影部分瓦VFZ）的面积=；S正方形,

同理另外两个正方形阴影部分的面积也是;S正方形回，

S网影部分=/品方形=-x2x2=2.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的综合，把阴影部分进行合理转移，得出，两个正方形阴影部分

ENFD的面积是正方形面积的;是解决本题的难点.

变式3.（2019・广东・江门市第二中学一模）如图.边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将

另一个绕顶点A顺时针旋转45。，则这两个正方形重叠部分的面积是（）

A.yB.辿C.1--D.V2-1

233

【答案】D

【解析】

【分析】

根据旋转的性质及正方形的性质分别求得A/8C与△CD'E的面积，从而不难求得重叠部分的面积.

【详解】

绕顶点A顺时针旋转45。,

・•.AD'CE=45°,

・•.CD'=DE,

•・,EDrLAC,

ZCZ)^=90°,

vAC=712+12=6，

CD'=4i-\，

•••正方形重叠部分的面积是gxlxl-gx(a-1)(血-1)=a-1.

故选：D.

【点睛】

本题综合考查了三角形的面积求法、正方形的性质、旋转的性质等知识点的应用，主要培养学生综合运用

性质进行推理的能力.

◎考点题型6：根据正方形的性质证明

例点E的坐标为(2,3),则点尸的坐标为()

A.(-2,3)B.(—1,5)C.(5,-2)D.(-3,5)

【答案】B

【解析】

【分析】

过点£作轴于点D,过点G和点产分别作y轴和x轴的平行线，交y轴和x轴于点3和4两线相

交于点C,证明△EODgZkOGB,可得ED=OB=3,OD=BG=2,可得△£。。且△/GC(AAS)可得

CG=3,OD=CF=2,进而可得点尸的坐标.

【详解】

解：如图，过点£作即，x轴于点。，过点G和点厂分别作歹轴和x轴的平行线，交y轴和x轴于点5和

A,两线相交于点G

I.四边形4c50是矩形，

：・AC=OB,AO=CB,

・・•点E的坐标为（2,3）,

:.ED=3,8=2,

四边形OEFG是正方形，

:・NEOG=/FGO=90°,

：.ZEOD+ZGOB=90°,

'：ZGOB+ZOGB=90°,

/EOD=/OGB,

在△EOD和△OGB中，

'ZEOD=/OGB

<ZEDO=ZOBG=90°,

EO=OG

:•△EOD^AOGB(44S),

:・ED=OB=3,OD=BG=2,

同理可证：△EODQXFGC(AAS)f

:・ED=CG=3,OD=CF=2,

:・AO=CB=BG+CG=3+2=5,AF=AC-CF=OB-CF=3-2=1,

：.F(-1,5).

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明

△EOD经XOGB,AEOD^AFGC.

变式1.(2021・重庆巴蜀中学八年级期中)如图，正方形O/BC,顶点A在x轴上，0/=3近，将正方形。N8C

绕原点。逆时针旋转105。至正方形的位置，则点夕的坐标为()

A.(—3,3)B.3,3^/3jC.^—3^/3,3jD.^――-\/2,—V6J

【答案】C

【解析】

【分析】

连接。8',并作3力口轴于。点，综合正方形以及旋转变化的性质，得到。3'=6,ZB'OD=30°,从而在

RNBQD中,27)=3,OD=36，即可得出结论.

【详解】

解：如图所示，连接08',并作B'OLx轴于。点，

•.•正方形048C绕原点。逆时针旋转105。至正方形048'。，OA=3母,

.-.ZAOA'=105°,OA'=A'B'=372,OB'=6,

•••由正方形的性质得：ZA'OB'=45°,

・•・408=150°,NB'OD=3Q。,

则在RtVB'OD中，B，D=；OB'=3,OD=y[3B'D=373,

•・・点/的坐标为卜3百,3),

故选：C.

【点睛】

本题考查正方形的性质，以及旋转的性质，理解基本性质，熟悉特殊直角三角形中的三边关系是解题关

键.

变式2.(2021・福建厦门•七年级期末)在平面直角坐标系xQy中，A(-2,2),B(0,4),C(2,2),则

正方形ABCD的顶点D的坐标是()

A.(-2,4)B.(2,4)C.(0,0)D.(0,-2)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据A、B、C的坐标和正方形的性质，由平移即可确定点。的坐标.

【详解】

解：结合正方形对边平行且相等的性质，

4(-2,2)向右平移2个单位、向上平移2个单位可得到8(0,4),

同理：C(2,2)向左平移2个单位、向下平移2个单位可得到。，

。的坐标为(0,0),

故选：C.

【点睛】

本题主要考查的是正方形的性质，由正方形的对边平行且相等的性质、平移得到。的坐标是本题的关键.

变式3.(2021・全国•九年级专题练习)如图，在扇形048中，已知乙405=90。，OA=2,过标的中点C

作CD，。/,CEYOB,垂足分别为点D,E,则图中阴影部分的面积为()

71

A.7i-lB.兀-2C.K-4D.1

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据矩形的判定定理得到四边形ODCE是矩形，连接OC,根据全等三角形的性质得到OD=OE,然后得到

矩形ODCE是正方形，最后利用扇形和正方形的面积公式计算即可.

【详解】

如图所示，连接OC

•・,/AOB=90。,CDLOA,CELOB

・•・四边形ODC£是矩形

•・•点。是蕊的中点

・•.ZCOA=/COB

.NCOD3cOE

/.OD=OE

四边形ozx更是正方形

OD=CD

■■-OD2+CD2=*

■■OD2=2

即S正方形COCE=2

由扇形的面积公式可得：S扇物翁=万

S阴影="-2

故选：B

【点睛】

本题主要考查矩形的判定定理和性质、正方形的判定定理和性质、全等三角形的判定和性质、扇形面积的

计算公式，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键.

◎考点题型7：判定定理的理解

例.（2021•山东东明•九年级期中）如图，将长方形纸片折叠，使/点落8c上的尸处，折痕为8E,若沿

所剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）

A.邻边相等的矩形是正方形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.两个全等的直角三角形构成正方形

D.轴对称图形是正方形

【答案】A

【解析】

【分析】

将长方形纸片折叠，使/点落8c上的尸处，可得到24=8/，折痕为BE,沿£尸剪下，故四边形N8也为

矩形，且有一组邻边相等，故四边形/8FE为正方形.

【详解】

解：,•・将长方形纸片折叠，/落在8c上的尸处，

；.BA=BF,

•.•折痕为BE,沿跖剪下，

二四边形N5尸E为矩形，

••・四边形尸为正方形.

故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形.

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的判定定理，关键是根据邻边相等的矩形是正方形和翻折变换解答.

变式1.(2021・湖南・长沙市南雅中学九年级阶段练习)下列条件中，能判定四边形是正方形的是

()

A.对角线相等的平行四边形B.对角线互相平分且垂直的四边形

C.对角线互相垂直且相等的四边形D.对角线相等且互相垂直的平行四边形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正方形的判定定理进行判断即可.

【详解】

解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；

对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C选项不符合题意；

D选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解本题的关键.

变式2.（2021•广东•佛山市华英学校九年级阶段练习）下列命题中，真命题是（）

A.两条对角线相等的四边形是矩形

B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线互相垂直平分四边形一定是正方形

D.连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定和平行四边形的判定解答即可.

【详解】

A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；

B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；

C、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；

D、连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，是真命题，符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题与定理，属于基础题，熟练掌握这些命题与定理是解题关键.

变式3.（2021•陕西•西北工业大学附属中学九年级期中）如图，如果要证明四边形为正方形，那么

我们需要在四边形/5C0是平行四边形的基础上，进一步证明（）

A.AB=BDB.AC1BDB.ABAD=90°5.ABAD

C.NBAD=90*AC=BDD./C和AD互相垂直平分

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质与判定逐项分析即可.

【详解】

A.:四边形力8C。是平行四边，AC1BD,AB=BD

四边形/BCD是菱形，

B」.•四边形48co是平行四边，AB=AD

四边形/BCD是菱形

•­•ABAD=90°

四边形/BCD是正方形

C.ABAD=90。且4C=只能判定四边形ABCD是矩形；

D.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边

形/3CD是正方形.

故选B

【点睛】

本题考查了菱形，矩形，正方形的性质与判定，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键.

◎考点题型8：添加条件成为正方形

例.(2021•山东城阳•九年级期中)如图，四边形是平行四边形，从下列条件：①AB=BC,②UBC

=90°,®AC=BD,④NC18D中，选出其中两个，使平行四边形48C。变为正方形.下面组合错误的是

()

A.①②B.①③C.③④D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析即可得出答案.

【详解】

解：/、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,

所以平行四边形/BCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，

所以平行四边形/BCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

C、由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

所以平行四边形/BCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

D、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

所以不能得出平行四边形/BCD是正方形，错误，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判

定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键.

变式1.（2021•北京市师达中学八年级阶段练习）在四边形N8CD中，乙4=A8=NC=90。，如果再添加一

个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（）

A.BC=CDB.AB=CDC.zT>=90°D.AD=BC

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的判定方法即可判定；

【详解】

解：•••A4=NB=NC=90°,

二四边形/BCD是矩形，

.•.当2C=CD时，四边形4BCD是正方形，

其余条件均不能推导得出四边形ABCD是正方形，

故选：A.

【点睛】

本题考查正方形的判定，解题的关键是记住正方形的判定方法.

变式2.（2021•江苏吴中•八年级期末）下列条件中，能使菱形/BCD为正方形的是（）

A.AB=ADB.ABIBCC.AC1BDD.4c平分NBAD

【答案】B

【解析】

【分析】

根据有一个角是90。的菱形是正方形，以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可.

【详解】

解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，

（1）有一个内角是直角（2）对角线相等.

即乙48c=90。或AC=BD.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键.

变式3.（2021・上海・九年级专题练习）已知矩形/BCD,下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（）

A.ACLBDB.AC=BDC.4c平分NB4DD.NADB=NABD

【答案】B

【解析】

【分析】

根据矩形的性质及正方形的判定进行分析即可.

【详解】

解：.•・四边形/BCD是矩形，AC1BD,

矩形/BCD是正方形；

四边形/BCD是矩形，

AD//BC,

ZDAC=ZBCA,

••,/C平分ZR4。，

ABAC=ADAC,

ZSAC=ZACB,

AB=BC,

矩形/BCD是正方形；

NADB=NABD,

AB=AD,

••・四边形/BCD是矩形，

矩形/5C0是正方形；

故选：B.

【点睛】

本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法.

◎考点题型9：证明四边形为正方形

例.(2022•山东南区•九年级期末)已知：在平行四边形4BCZ)中，分别延长A4,OC到点E,H,使得BE

=2/8,DH=2CD.连接E”，分别交ND,8c于点凡G.

(1)求证：4F=CG；

⑵连接3。交硒于点。，若EHLBD,则当线段48与线段AD满足什么数量关系时，四边形2矶归■是正

方形?

【答案】(1)见解析

(2)当AD=石AB时，四边形BEDH是正方形

【解析】

【分析】

(1)要证明NGCG,只要证明△£/尸三△〃CG即可；

(2)利用已知可得四边形AEZ汨是菱形，所以当4&2+£(比=/£)2时，^BED=90°,四边形是正方

形.

(1)

证明：・四边形N2CD是平行四边形，

•••48IICD,AB=CD,4BAD=LBCD,

:.乙AEF=^CHG,

,:BE=2AB,DH=2CD,

：.BE=DH,

：.BE-AB=DH-DC,

：.AE=CH,

:ZBAD+乙区4尸=180°,乙BCD+乙GCH=18Q°,

:.乙EAF=KGCH,

■.AEAF=AHCG(ASA),

:.AF=CG；

⑵

解：当/。=石/8时，四边形8瓦汨是正方形;

理由：•:BENDH,BE=DH,

.•.四边形仍40是平行四边形，

■■EH1BD,

.•・四边形£8”。是菱形，

：.ED=EB=2AB,

当AE2+DE2=AD2时，贝叱8£7>90°,

••・四边形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2,

-,-AD=y/5AB,

・•・当AD=45AB四边形BEDH是正方形.

【点睛】

本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并

熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键.

变式1.（2021・全国•九年级课时练习）如图，若四边形的对角线NC与3。相交于点。，且

OA=OB=OC=OD=^—AB，则四边形/BCD是正方形吗？

2

【答案】四边形/BCD是正方形.

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，求出/C=AD,得出四边形是矩形，根据勾股定理的逆定

理求出NC1AD,根据正方形的判定推出即可.

【详解】

解：四边形/BCD是正方形，

理由是：••,CM=O8=OC=。。，

:.AC=BD,四边形ABCD是平行四边形，

・•・平行四边形/BCD是矩形，

-：OA=OB^OC=OD=—AB，

2

.■.OA2+OB2^AB2,

山。8=90。，

即ACLBD,

二四边形/BCD是正方形.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定的应用，主要考查学生的

推理能力，注意：对角线互相垂直的矩形是正方形，难度适中.

变式2.（2021•陕西•咸阳市秦都区电建学校九年级阶段练习）如图，四边形N8C。是矩形，£是8D上的一

点，连接/E、CE,NBAE=NBCE,NAEB=NCEB,求证：四边形是正方形.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据44s证明AABE乌MBE可得A4=BC,再结合四边形ABCD是矩形可得结论.

【详解】

证明：在△/BE和△C8E中，

ABAE=NBCE,

<NAEB=ZCEB,

BE=BE,

二AABE咨Z\CBE(AAS),

BA=BC,

又••・四边形48co是矩形，

.,・四边形48co是正方形.

【点睛】

此题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解答此题的关键.

变式3.(2021•云南昆明•八年级期末)如图，在“BC中，NACB=9Q°,ZB>ZA,点。为边43的中点,

DEHBC交AC于点E,CFHAB交DE的延长线于点F.

(1)求证：DE=EF；

(2)当满足什么条件时，四边形/DCF是正方形？请证明你的结论.

【答案】（1）见解析；（2）当及△Z5C是等腰直角三角形，四边形NOW是正方形，见解析.

【解析】

【分析】

（1）先证四边形8CTO为平行四边形，再证之△CFE1,可得DE=EF；

（2）先证四边形/QCb是平行四边形，再证CD=AD,根据正方形的判定可得出结论.

【详解】

证明：（1）-DEHBC,CF//AB

/.ZADF=ZF,DF//BC,DB//CF

・・・四边形5s）是平行四边形

BD=CF

，・•点D是4B的中点，

•••BD=AD

.・.AD=CF

在"OE与△CFE中，

ZAED=ZCEF

<AD=CF

ZADF=ZF

,“ADE%CFE（AAS）

DE=EF

（2）当必△48C是等腰直角三角形，四边形4DCF是正方形

•・•CF//AB,

・•・AD//CF

•・•AD=CF,

・•・四边形ADCF是平行四边形

是等腰直角三角形，点。是/B的中点

CD1AB,CD=AD

••・四边形）DCF是正方形.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的判定与性质，能找到边与边之间的关

系是解题的关键.

◎考点题型10：根据性质与判定求角度

例.（2021•安徽•九年级专题练习）如图，在正方形/8CD中，以对角线8。为边作菱形8。尸£,连接8尸,

则乙4/=（）

A.22.5°B.25°C.30°D.不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的对角线平分一组对角可得NADB=45。，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF,根据等边对

等角可得NDBF=NDFB,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解.

【详解】

解：在正方形ABCD中，zADB=y^ADC=yx90°=45°,

在菱形BDFE中，BD=DF,

所以，ZDBF=ZAFB,

dtABDF中，zADB=zDBF+zAFB=2zAFB=45°,

解得NAFB=22.5°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等

边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关

键.

变式1.（2019・福建厦门•一模）已知菱形ABCD与线段AE,且AE与AB重合.现将线段AE绕点A逆时

针旋转180。，在旋转过程中，若不考虑点E与点B重合的情形，点E还有三次落在菱形ABCD的边上，设

zB=a,则下列结论正确的是（）

A.00<a<60"B.a=60°C.60°<a<90°D.90°<a<180°

【答案】C

【解析】

【分析】

通过临界值的情况结合图形分析，可知当60。<。<90。时满足题意.

【详解】

解：因为AE与AB重合，在旋转过程中必过D点，所以需要满足AE与边BC、CD有交点，此时考虑临

界值位置：当AB=AC时，旋转过程经过C、D两点，如图，AB=BC=AC,AABC为等边三角形，所以

a=60°,易知当a>60。时即有三个交点，而当a=90。时，菱形ABCD为正方形，此时AB不会与BC有交点

（不考虑点E与点B重合的情形），./Oya<90°,

故选C.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质和正方形的性质，结合图形分析出临界值情况是解题关键.

变式2.（2019•福建惠安•八年级期末）如图，点E为正方形/BCD内一点，AD=ED,ZAED=70°,连结

EC,那么ZAEC的度数是（）

D

B------------------

A.105°B.130°C.135°D.140°

【答案】C

【解析】

【分析】

由正方形的性质得到AD=CD,根据等腰三角形的性质得到zDAE=zAED=70°,求得NADE=180。-70。-70。=40。,

得到NEDC=50。，根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解：VAD=DE,

/DAE=NAED=70°,

NADE=180°-7