七年级数学下册压轴题攻略湘教版-专题07 解题技巧专题：平方差公式与完全平方公式的灵活运用压轴题六种模型全攻略（解析版）

专题07解题技巧专题：平方差公式与完全平方公式的灵活运用压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一项的位置变换】 1【考点二项数的变换】 2【考点三简便运算变换】 6【考点四新定义型乘法公式运算】 8【考点五连续相乘应用】 9【考点六整体代换应用】 15【典型例题】【考点一项的位置变换】例题：（2023上·福建莆田·八年级校考期末）计算：．【答案】/【分析】根据平方差公式即可得．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式．【变式训练】1．（2022上·八年级单元测试）计算：．【答案】【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查了平方差公式，能熟练运用平方差公式进行整式的乘法是本题的关键．2．（2023下·湖南娄底·七年级统考期末）计算：．【答案】/【分析】利用平方差公式进行求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：．3．（2022上·上海黄浦·七年级统考期中）计算：=．【答案】【分析】根据多项式乘法法则进行计算即可．【详解】．故答案是．【点睛】本题考查了多项式的乘法，解答关键是平方差公式的应用．4．（2022上·上海宝山·七年级校考期中）计算：；【答案】/【分析】利用平方差公式计算即可．【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【考点二项数的变换】例题：（2023上·全国·八年级课堂例题）利用乘法公式简化运算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是．（1）把原式变形为，把其中的作为一个整体看成完全平方公式中的“”，把看成完全平方公式中的“”，这样本小题就转化为与这两项的和的平方的形式了．（2）包含相同项：．符号相反的项：与；与．把转化为，即可转化为与这两项的差乘这两项的和的形式．【详解】（1）．（2）．【变式训练】1．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知是解题的关键．（1）根据完全平方公式进行求解即可；（2）先把看做一个整体利用平方差公式去中括号，再根据完全平方公式去小括号即可得到答案．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可；（2）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可．【详解】（1）；（2）．3．（2023上·全国·八年级专题练习）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键，注意整体思想的运用．平方差公式和完全平方公式．（1）把看做为一个整体，运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可；（2）把看做为一个整体，运用完全平方公式计算，再运用完全平方公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．4．（2023上·全国·八年级专题练习）计算题：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了整式的乘法，乘法公式；（1）根据完全平方公式进行计算即可求解；（2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：原式；（2）原式．【考点三简便运算变换】例题：（2024下·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)89996；(2)4012009.【详解】解：（1）．（2）．【变式训练】1．（2022下·湖南郴州·七年级校考期中）用简便方法计算下列各题．(1)；(2)．【答案】(1)39991(2)【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可；（2）利用完全平方差公式进行求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的公式进行变形．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）用简便方法计算：(1)(2)【答案】(1)1(2)10000【分析】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，（1）利用平方差公式进行计算即可；（2）利用完全平方公式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．3．（2024下·全国·七年级假期作业）用简便方法计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【详解】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．【考点四新定义型乘法公式运算】例题：（2023上·甘肃兰州·七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：．根据这一规定，计算．【答案】【分析】按照规定的运算方法把化为，利用平方差公式计算整理即可．【详解】解：根据题意得：，．故答案为：．【点睛】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·重庆南岸·七年级校联考期中）对于实数a、b、c、d，规定一中运算，那么当时，．【答案】2018【分析】根据新定义列出方程，然后依据多项式乘以多项式的法则及合并同类项的法则进行化简，最后解关于的一元一次方程．【详解】解：根据题意得：,整理得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查的是定义新运算，多项式乘以多项式的运算法则，合并同类项的法则，解一元一次方程，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．2．（2023下·广东揭阳·七年级统考期中）现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m，n规定：，如：，则的值是．【答案】/【分析】先根据新运算进行变形，再根据整式的运算法则进行计算即可．【详解】解：===．故答案为：．【点睛】本题考查了整式的混合运算，新定义的运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．【考点五连续相乘应用】例题：（2023下·湖南常德·七年级统考期中）计算：．【答案】4【分析】在前面乘一个，然后再连续利用平方差公式计算.【详解】解：．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方差公式的运用，添加是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形．（1）图1，阴影面积是；（2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式；（3）运用得到的公式，计算：【答案】【分析】本题考查平方差公式的证明和应用．理解平方差公式的结构特征是正确应用的前提．（1）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得；（2）根据图1阴影面积和图2面积相等即可直接填空；（3）根据平方差公式计算即可．【详解】解：（1）阴影面积是：，故答案为：；（2）根据梯形的面积公式可知图2中阴影部分的面积为：，∴可以得到的乘法公式为，故答案为：；（3）．故答案为：．2．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）观察下面解题过程，解答问题：题目：化简解：原式问题：化简．【答案】【分析】本题考查了平方差公式的应用：根据题干，先整理原式，再模仿算式算法，即可作答．【详解】解：．3．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）乘法公式的探究及应用．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是________．（写成多项式乘法的形式）(3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________．（用式子表达）(4)运用你所得到的公式，计算下列各题：①；②．③计算：．【答案】(1)(2)，，(3)(4)①99.91；②；③【分析】（1）利用正方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；（2）利用长方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；（3）由图②与图①阴影部分的面积相等即可得到答案，注意乘法公式等号右边是展开的形式；（4）①改写成平方差公式的形式计算；②先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算；③利用平方差公式变形后约分化简即可．【详解】（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积．故答案为；（2）由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是．故答案为，，；（3）∵两个图形阴影部分面积相等，∴．故答案为：；（4）①；②；③【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，以及平方差公式和完全平方公式的应用，解题的关键是读懂题意，掌握平方差公式．4．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．【简单情形】化简（1）____________；（2）____________；（3）____________；【复杂问题】化简（4）____________；【总结规律】（5）观察以上各式，可以得到：____________；【方法应用】（6）利用上述规律，计算，并求出该结果个位上的数字．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），个位上的数字是5【分析】（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；（3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；（4）根据前3个等式的规律，即可得出结论；（5）根据前4个等式的变化规律，即可得出结论；（6）利用（5）的结论，进行计算，然后根据计算结果得到个位上的数字即可．【详解】解：（1），故答案为；（2），故答案为；（3），故答案为：；（4）根据前3个等式可得，故答案为：；（5）观察以上各式，可以得到：，故答案为：；（6），∵，，，，，…，又，∴的个位上的数字与的个位上数字相同，∴的个位上的数字为，【点睛】本题考查平方差公式、多项式乘以多项式、数字类规律探究，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．【考点六整体代换应用】例题：（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）阅读理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，参考上述过程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)①5；②1(2)1【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式的形式，掌握整体思想是解题关键．（1）①根据即可求解；②根据即可求解；（2）根据求出即可求解．【详解】（1）解：①∵，∴，即，∵，∴故答案为：5②（2）解：∵，，∴∵【变式训练】1．（2023上·四川内江·八年级校考期中）已知：，则的值为．【答案】【分析】把看作一个整体，利用平方差公式将所给条件式变形为，由此求出，则．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，正确利用平方差公式得到是解题的关键．2．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如果，则的值为．【答案】7【分析】本题考查了平方差公式的运用，观察式子特征，把看作一个整体，运用平方差公式展开，即可作答．【详解】解：∵

∴∴则∵∴（舍去）故答案为：7．3．（2023上·甘肃天水·八年级校联考期中）（1）已知，求的值．（2）已知求：和的值．【答案】（1）28（2），．【分析】（1）利用完全平方公式变形求解即可；（2）利用完全平方公式变形求解即可．【详解】解：（1），∴，∴；（2）∵∴，即：，∴，∴．【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．（2023上·上海浦东新·七年级统考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把，代入即可得到答案；（2）把，代入即可得到答案；（3）把，代入即可得到答案．【详解】（1）解：，即，（2），即；（3），即，【点睛】此题考查了利用完全平方公式及其变形求值、多项式乘以多项式变形求值，准确变形和整体代入是解题的关键．5．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）计算：（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【分析】本题考查了整式的混合运算（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简即可得到结果；（2）利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：（1）原式；（2）原式∵，∴