数值分析 课件ch3-函数逼近

函数逼近与计算03Chapter3.1引言3.1引言本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体某些点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了拟合和逼近的概念.对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高的多项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插值多项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是由观察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有的点既不现实也不必要.3.1引言3.1引言目标函数集合简单函数集合

3.1引言何为”逼近”?如何逼近？无穷范数：

平方范数：

一致逼近平方逼近3.1引言存在性▲1834年入波恩大学学习法律和财政。▲

1842～1856年，中学教师。▲

1856年柏林科学院，1864年升为教授。▲

1854年解决了椭圆积分的逆转问题，引起数学界的重视。▲

1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。3.1引言存在性

3.1引言存在性

3.1引言存在性

3.2最佳一致逼近多项式3.2最佳一致逼近多项式

即

使得

3.2最佳一致逼近多项式1、Chebyshev给出如下概念

3.2最佳一致逼近多项式2、Chebyshev得到如下结论

3.2最佳一致逼近多项式以最佳一次逼近多项式为例

3.2最佳一致逼近多项式以最佳一次逼近多项式为例

得

3.2最佳一致逼近多项式求解最佳一次一致逼近多项式步骤

3.2最佳一致逼近多项式

由

得

即

解因此

所求一次最佳逼近多项式为3.2最佳一致逼近多项式Matlab程序x=0:0.1:1;y1=sqrt(1+x.*x);y2=0.414*x+0.955;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);3.2最佳一致逼近多项式

由

得

解因此

所求一次最佳逼近多项式为

3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近定义内积

记内积则称内积的定义

关于内积、范数的详尽内容可参见《高等代数》或《线性代数》等相关书籍。3.3最佳平方逼近

即一般的最佳平方逼近问题

3.3最佳平方逼近

多元函数求极值令

则

即3.3最佳平方逼近

得

即

3.3最佳平方逼近如果取

则希尔伯特矩阵3.3最佳平方逼近顾最佳平方逼近函数计算步骤

(1)确定

3.3最佳平方逼近

解：则

由法方程

解得

3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近如果令

即

则解得

从而3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近

解得

所以

解得

所以

3.3最佳平方逼近

正交多项式函数系

3.3最佳平方逼近

解

3.4正交多项式3.4正交多项式

正交函数族

若内积

例如，三角函数族1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…就是在区间[-π,π]上的正交函数族。3.4正交多项式正交多项式定义

3.4正交多项式勒让德多项式

勒让德多项式有下述几个重要性质：

性质1.正交性

3.4正交多项式勒让德多项式性质3.递推关系

3.5曲线拟合的最小二乘法3.5曲线拟合的最小二乘法引例：考察某种纤维的强度y与其拉伸倍数x的关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:

3.5曲线拟合的最小二乘法纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近

必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点.3.5曲线拟合的最小二乘法常见做法：

太复杂

不可导，求解困难

最小二乘法

3.5曲线拟合的最小二乘法

一般的曲线拟合问题

注：更一般地，考虑加权平方和

3.5曲线拟合的最小二乘法

多元函数求极值令

则

即

3.5曲线拟合的最小二乘法

得

即

离散点标号基函数标号3.5曲线拟合的最小二乘法

3.5曲线拟合的最小二乘法

ixiyilnyixi2xjlnyi01.005.101.6291.00001.62911.255.791.7561.56252.19521.506.531.8762.25002.81431.747.452.0083.06253.51442.008.462.1354.00004.270

3.5曲线拟合的最小二乘法

3.5曲线拟合的最小二乘法S*1(x)=1.6238+3.365953xS*2(x)=