数值分析 课件ch2-插值法

插值法02Chapter2.1引言2.1引言在实际问题中，我们会遇到两种情况变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值例如:从实验中得到一个数据表,或是一组观测数据变量间的函数关系可以表示,但计算复杂,只能计算特殊点的函数值例如:求指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数值等为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值，这就是我们研究插值的目的。2.1引言

插值条件插值函数插值节点求插值函数的方法称为插值法

…………[a,b]称为插值区间如何构造P(x)???2.1引言根据实际需要，可以用各种不同的函数来近似原来的函数。最常用的插值函数是

代数多项式最简单，计算其值只需用到加、减乘运算，且积分和微分都很方便；所以常用它来近似表示表格函数(或复杂函数),这样的插值方法叫做多项式插值法，简称插值法。2.1引言

是否任意给定n+1个不同的插值节点都可以构造出满足插值条件的插值多项式??

2.2拉格朗日插值

2.2拉格朗日插值线性插值

n=1

直线方程常用表达式两点式

点斜式

2.2拉格朗日插值二次插值n=2

方程组的解是否存在?若存在解,是否唯一?!2.2拉格朗日插值

然而,方程组的求解也并不是一件容易的事对于线性插值的两种形式解进行适当的分析,从中寻求规律而得到启发,就有了所谓的拉格朗日插值法(公式)和牛顿插值(公式).2.2拉格朗日插值两点式

线性插值的两点式可看作是两个特殊的线性函数的一种线性组合.

1001

于是，线性插值即是用基函数的线性组合来构造的.

2.2拉格朗日插值由此启发，我们希望二次插值也能由一些二次插值基函数来线性组合:

100010001

2.2拉格朗日插值同理可得

2.2拉格朗日插值n次插值

li(x)

2.2拉格朗日插值n次插值

拉格朗日多项式与有关，而与无关节点f2.2拉格朗日插值

证明：(存在性可利用Vandermonde

行列式论证)

矛盾2.2拉格朗日插值插值余项

2.2拉格朗日插值

2.2拉格朗日插值

解：三个插值节点及对应的函数值为

由抛物插值公式得

2.2拉格朗日插值例2：已知

sin50=0.7660444…解：

外推

(extrapolation)

的实际误差

0.01001内插

(interpolation)

的实际误差

0.00596

2.2拉格朗日插值

sin50=0.7660444…2次插值的实际误差

0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好2.2拉格朗日插值Lagrange插值公式缺点：一是计算量大，这是显然的；另外，还有一个更严重的缺点，当插值节点增加时，全部插值基函数均要随之变化，整个计算工作必须从头开始：不仅原来的每一项都要改变，还要增加一项计算。为克服上述两个缺点,努力：把插值多项式变形为便于计算的形式。希望：计算改变的过程中,尽可能能利用已有的计算结果.下面我们将看到,这是可能的。我们可以有具有“承袭性”的所谓牛顿公式。优点：利用插值基函数很容易得到，含义直观,结构紧凑,在理论分析中非常方便;计算机上实现也很容易.2.3差商与牛顿插值2.3差商与牛顿插值差商定义

2.3差商与牛顿插值差商性质

12

这个性质也表明均差与节点的排列次序无关,称为均差的对称性,即

由性质1可得:

2.3差商与牛顿插值

3

所以2.3差商与牛顿插值

变形☆希望：计算改变的过程中,尽可能能利用已有的计算结果.

常数(差商)由此启发，我们希望二次插值也能类似地有有规律的组合表达式:

2.3差商与牛顿插值

事实上,从上述可看出二次牛顿插值公式是用待定系数法求得的;它也可看作是三个特殊函数的一种线性组合:

2.3差商与牛顿插值

来线性组合为：

那么其组合系数是什么样的呢？怎么求呢？

2.3差商与牛顿插值12…………n

1n

1

Rn(x)Nn(x)

2.3差商与牛顿插值

牛顿插值余项为

牛顿插值多项式它比拉格朗日插值多项式计算量省,且便于程序设计.2.3差商与牛顿插值差商表一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差

2.3差商与牛顿插值

插值基函数xk0124f(xk)19233拉格朗日插值多项式为:

2.3差商与牛顿插值xkf(xk)

一阶均差二阶均差三阶均差0119822314343-10-8

建立如下差商表牛顿插值多项式为:

(3)唯一性验证.

2.3差商与牛顿插值

xk0123f(xk)13927解：差商表:牛顿插值多项式为:

2.3差商与牛顿插值当题目中没有指明用那一种方法建立插值多项式时,原则上拉格朗日插值方法和牛顿插值方法都可行,选较为简便的一种方法.近似计算时,由于牛顿插值多项式的非整理形式可以直接写成秦九韶算法的形式,计算量小,且当增加节点时只需增加一项,前面的工作依然有效,因而通常情况下牛顿插值比较方便.相对之下,拉格朗日插值法没有上述优点,但它在理论证明上因插值基函数的许多特点而得到广泛应用.在前面的讨论中，节点是任意分布的，但实际上经常遇到等距节点的情况，这时插值公式可以得到简化。2.4差分与等距节点插值公式2.4差分

简记为

简记为

简记为一阶向前差分一阶向后差分中心差分前差算子后差算子差分定义2.4差分如又如用低阶差分可以定义高阶差分高阶向前差分高阶向后差分一般地可定义m阶差分为2.4差分一般有前差与后差的关系再定义前移算子不变算子后移算子则有2.4差分差分的性质各阶差分均可用函数值表示性质1二项式展开2.4差分函数值可用各阶差分表示性质2

差商与差分的关系性质3

m阶向前差商与m阶向前差分的关系m阶向后差商与m阶向后差分的关系

2.4差分差分与导数的关系性质42.4差分等距节点插值公式

Newton插值公式

得

向前差分

参照2.4差分

Newton前插公式

2.5Hermite插值2.5Hermite插值

其余项为

2.5Hermite插值

采用构造插值基函数的方法2.5Hermite插值

且满足其中且满足令

Kronecker（克罗内克）符号柏林科学院院士，巴黎科学院通讯院士，伦敦皇家学会外籍会员。主张分析学应奠基于算术，而算术的基础是整数。克罗内克名言：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”2.5Hermite插值令则其中

又则由(1),(2)得2.5Hermite插值所以

其中则所以2.5Hermite插值令则又由得所以

2.5Hermite插值

解

所以

2.5Hermite插值

令

解：在点0，1，2上做Lagrange插值函数

则

所以2.5Hermite插值练习：给定数表-1012-1120

2.5Hermite插值

2.6分段低次插值2.6分段低次插值

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ln(x)

f(x)

如何避免高次插值的病态问题???一种办法是采取分段低次插值2.6分段低次插值分段线性插值

123

在小区间上的线性插值函数2.6分段低次插值分段线性插值示意图…………从几何上看，就是用折线逼近曲线易证：当时，一致2.6分段低次插值

分段线性函数的缺点：失去了原函数的光滑性。2.6分段低次插值分段Hermite插值

123

在小区间上的三次Hermite插值函数已知数表

缺点：导数不易得到2.6分段低次插值分段低次插值优点：收敛性，稳定性好，算法简单，易于在计算机上实现缺点：光滑性差，分段Hermite插值也仅有一阶光滑度问题许多实际问题中，有更高的光滑度要求，例如高速飞机的机翼线形等往往要求具有二阶光滑度，即函数曲线要求有二阶连续导数。2.7三次样条插值2.7三次样条插值样条(splime)是早期飞机、造船工业中绘图员用来画光滑曲线的细木条或细金属丝.绘图时,为了将一些已知的点连成光滑曲线,绘图员用压铁把样条固定在相邻的若干点上,样条具有弹性,形成通过这些点的光滑曲线,沿着它就可画出所需的曲线.数学上仿此得出的函数便称为样条函数.样条插值是用分段低次多项式去逼近被逼近函数,并且能满足对光滑性的要求,又无需给出每个节点处的导数值.

它除了要求给出各个节点处的函数值之外,只需提供两个边界节点处的导数信息.2.7三次样条插值

定义

2.7三次样条插值

f(x)H(x)S(x)如何求三次样条插值函数???2.7三次样条插值

2.7三次样条插值

特别

称