旋转综合题拓展训练（解析版）-2024-2025学年九年级数学上册（人教版）

旋转综合题拓展训练(9考点60题)

目录与链接

考点一、线段的旋转问题........................................................2

考点二、三角形的旋转..........................................................19

考点三、四边形的旋转..........................................................38

考点四、一次函数的图象旋转问题................................................53

考点五、二次函数背景下的旋转问题..............................................66

考点六、二次函数的中心对称问题................................................84

考点七、与旋转有关的最值问题................................................108

考点八、利用旋转构造图形解决问题............................................128

考点九、旋转规律探究........................................................146

考点一、线段的旋转问题

1.(23-24八年级下•四川成都・期末)如图，等腰直角中，AC=BC,将线段CN绕点C逆时针旋转c。

(0<a<90)得到线段。'，作点/关于线段C4所在直线的对称点E,连接/£和BE,分别交线段。'

所在直线于点M和点尸，若CF=1,FM=3,则■的长为.

【答案】4V2

【分析】过点C作。7,CH交朋于点，，连接加，根据题意得到/尸==易证

NCAF=ZCEF，由等腰三角形的性质推出NCBE=NCEB，推出ZCAF=ZCBE，证明"FC知BHC(AAS),

得到CF=CH,//=8",进而证明ASF是等腰直角三角形，即可证明A/MF是等腰直角三角形，推出利

用勾股定理即可求出FH=V2CF=42,AF=拒MF=372,即可求出BF的长.

【详解】解：如图，过点C作交5E于点“，连接肠,

A

•・•点、E与点4关于线段CH所在直线对称,

...AF=EF,AC=CE,

ZCAE=/CEA,ZFAE=ZFEA,

・•.ZCAF=ZCEF,

•;BC=AC,AC=CE,

CE=BC,

・・./CBE=/CEB,

ZCAF=ZCBE,

•・•ZACF+ZACH=ZBCH+ZACH=90°,

:.ZACF=ZBCH,

/.^AFC^BHC(AAS),

/.CF=CH,AF=BH,

△CHF是等腰直角三角形，

:.NCFH=/CHF=45。,

ZBHC=ZAFC=180°-ZCHF=135。，

ZAFM=45°

・•・△/MF是等腰直角三角形，

MF=AM

CF=1,FM=3,

FH=kF、CH2=&F=叵AF7MF?+AM?=6MF=3亚,

BF=BH+FH=AF+FH=A4I，

故答案为：4A/2.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正

确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键.

2.（23-24八年级下•重庆九龙坡•期末）如图，在矩形Z8C。中，/8=4,3。=46，点P是3c边上一点,

连接"，以/为中心，将线段"绕点/逆时针旋转60。得到工。，连接C。、DQ,且4BC0=/DC。，则

【答案】4V6-4V2/-4V2+4V6

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、

含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，是综合性强的填空压轴题，得到点Q的

运动路线是解答的关键.

连接/C,取NC的中点O,连接30,证明是等边三角形，得到48/0=60。，利用含30度角的直

角三角形的性质求得=殍，则/£=用，证明A胡尸经ACUQ（SAS）得至ijNAOQ=ZABP=90。，则点Q

在射线OE上运动，由已知得到/DC0=3/28=45。，过。作于M,QNLCD千N,DN=x,

则M0=x,CN=4-x,利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质得到CQ=0（4-x）,00=导一号x,

在RtAC。。中，利用勾股定理结合平方根解方程求解x值即可解答.

【详解】解：连接/C,取/C的中点。，连接30,则CM=OC,

在矩形/BCD中，4B=CD=4,BC=AD=473,NABC=NBAD=NADC=NBCD=9。°,

：.AC=ylAB2+BC2=J42+（4厨=8,

OA=OC=OB=AB=4

：.^ABO是等边三角形，

ZBAO=60°,则NOAD=30°,

连接。。并延长交4D于£,

由旋转性质得/尸/。=60。，AP=AQ,

/.ZBAP=AOAQ=60°-ZPAO,

AB=OA

在ABAP和A。/。中，-ZBAP=ZOAQ,

AP=AQ

：.血尸知O/0（SAS）,

：.ZAOQ=ZABP=90°,

：.AE=20E

：.由OA2+OE2=AE2得42+OE2=（2O£）2

解得。£=生8,则4片=巡

33

，点0在射线QE上运动，

,.・ZBCQ=ZDCQ

：.ZDCQ=1/BCD=45°,

过。作于QNICD^N,则四边形是矩形,

:.QM=DN,

设,DN=x,则M0=x,CN=4—x,

在Rt^CN0中，ZNQC=90°-ZNCQ=45°=ZNCQ,

：.QN=CN=4-x,

：.CQ=y]CN2+QN2=V2CAA=V2（4-x）,

在RMMQE中，ZMEQ=90°-ZOAE=60°,则/M0E=3O。，

：.QE=2MEf

^QM2+ME2=QE2^x2+ME2=（2ME^,

解得〃£=走％,则0月=撞工，

33

・ccc口czr4G2V3

・・OQ=OE-QE=—-------x,

在RtACOQ中，由℃2+002=C02得42+j迪一9x]=[72（

、33J

整理，得x?-16x+16=0,即（x-8）~=48,

x=8±4V3,又0<x<4,

/.x=8-473,

C0=V2（4-x）=V2（-4+473）=476-472.

BP,

故答案为：45/6-4亚.

3.(22-23八年级下•安徽阜阳•期末)如图①，在矩形/3CD中，点E在边上，点尸在边2C上，连接

DE,DF,EF,已知NE，3=2NCD冗

CFBCFBE'CFB

图①图②图③

(1)求证：DF平分NCFE；

(2)如图②，若矩形/3C。为正方形，求4DE的度数；

⑶如图③，在(2)的基础上，将点E绕点。顺时针旋转使点£的对应点落到点E',已知点E’恰好落在

边3c的延长线上，连接DE'，EE',若EE'=86，求的面积.

【答案】(1)见解析

(2)45°

(3)32

【分析】此题考查了全等三角形的的判定和性质，正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质.

(1)设/CD尸=a,贝I]NE五8=2NCD尸=2a,得到NCED=90。一1,ADFE=90°-a,即可得到

NDFE=NDFE,结论得证；

(2)过点。作ZV7_L于77,证明尸(AAS),则CD=DH,NCDF=NFDH,证明

“DE注AHDE(HL),则NHDE=ZADE,则NFDH+NEDH=NCDF+/4DE=；/4DC=45。,即可得到

答案；

(3)证明RMDCE'空RMD/E(HL),plljAEDC=AEDA,得到△£?)£是等腰直角三角形，即可得到

DE=DE'=8.

【详解】(1)证明：设NCDF=a,则NE尸8=2NCDF=2々，

:四边形48CD矩形，

ZC=90°,

：.ZCFD=90°-ZCDF=90°-a,

：.ZDFE=180°-ZDFC-ZBFE=180。-(90°-tz)-2a=90。-a

ZDFE=ZDFE,

；.DF平分NCFE；

(2)过点。作Z)//_LE尸于X,

DA

：.ZC=ZDGF=90°,

由(1)可知，ZDFE=ZDFE,

又,:DF=DF

：.AC/)F^AHDF(AAS),

.・.CD=DH,/CDF=ZFDH,

•・♦四边形是正方形，

.・.CD=DA,ZA=ZCDA=90°

・•・DA=DH,

*：DE=DE

：.小ADE知HDE(HL),

：.ZHDE=NADE,

・・・ZFDH+ZEDH=/CDF+/ADE=-/ADC=45°,

2

・・・ZFDE=/FDH+ZEDH=45°

(3)将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点E',

•*-DE=DE'，

•/DC=DA,ZA=ZDCB=NDCE'=90°

RtAOCENRtALME(HL),

ZEDC=ZEDA,

：.NCDE'+ZCDE=NADE+ZCDE=90°,

ZE'DE=90°

AE'DE是等腰直角三角形，

/.DE=DE'=—EE'=—x8y[2

22

ADEE'的面积=—DE'-DE=—x8x8=32

22

4.(23-24八年级下•江苏无锡•期末)如图1,在中，对角线/C,AD相交于点O,且

AD=BD=258。，4D,点E为线段NO上一动点，连接。E,将。E绕点。逆时针旋转90。得到。尸,

连接职.

图1图2

(1)求证：BF=AE；

(2)求证：BF1AC■,

(3)如图2,当点下落在△03C的外面，8尸交NC于点/，且能构成四边形OEMF时，四边形。及I"的面

积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)不变；4

【分析】(1)可证得NADE=NAD尸，进而证得△4DE名ABO尸，从而AF=/£；

(2)由(1)得MDEaBDF,从而NDBF=NDAE,因为N8OG=4。。，从而N8GO=NAD8=90。,

从而得出班71/C；

(3)连接DM，作DHLDM，交/C于4,作。。_L"C于。，可证得ixDEH会ADFM,从而S四边形曲尸=SLDHM

进一步得出结果.

【详解】(1)证明：・・•DE绕点。逆时针旋转90。得到。尸，

/./EDF=90。,DE=DF,

•「BD1AD,

ZADB=90。,

ZEDF=ZADB,

/.ZEDF-/BDE=ZADB-/BDE,

/ADE=ZBDF,

•・•AD=BD,

:.AADE%BDF(SAS),

:.BF=AE；

(2)证明：如图1,

设直线昉交4C于G,

由(1)得，2ADE会/\BDF,

/.(DBF=ZDAE,

NBOG=NAOD,

ZBGO=ZADB=90°,

BFLAC；

(3)解：如图2.四边形Z>£MF的面积不变，理由如下，

连接。M，作。交AC于H,作。。_L/C于0,

:./HDM=/EDF=900,DE=DF,

：.ZHDE=ZMDF=90°-/EDM,

由(2)可知，BFLAC,

/EMF=90。,

/EMF+/EDF=18。。,

在四边形DEMF中，/尸+/DEM=360°_(/EMF+ZEDF)=360°-180°=180°,

•/ZDEH+ADEM=180°,

/./DEH=ZF,

•・•DE=DF,

:ADEH咨ADFM(ASA),

二•S四边形1c-SEHM，DH=DM,

：.QH=QMf

:.DQ=^HM,

•・・四边形ABCD是平行四边形，

.\OD=OB=-BD=4s,

2

NADB=90°,

CM=+OD?=J(2后+(后=5,

由=得：

5DQ=2A/5x75,

..DQ=2,

1,

2

.­.S.DHM=-HM-DQ^DQ=4,

四边形OEMF的面积为：4.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性

质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

5.(22-23七年级下•上海•期末)已知在以8C中，NA4c=90。，N8=/C,点。为直线BC上一动点(点

。不与点3、C重合)，将射线D4绕点。顺时针旋转45。得到DP,直线。尸与射线NC交于点E,过点A作

的垂线，交直线3C于点尸；

p

Si图2

(1)如图，若点。在线段3c上，且4D=Z)E,求证：^AFC^CDE；

(2)若点。在线段8c的延长线上，且=那么第(1)小问的结论还成立吗？请说明理由;

(3)若点。在直线3c上运动，当△/尸C是等腰三角形时，直接写出/D4c的度数.

【答案】(1)见解析

⑵AAFCdDEC,见解析

⑶"/C=112.5。或22.5。

【分析】本题考查了几何变换综合题，掌握全等的方法，掌握等腰三角形的性质，是解题关键.

(1)由沏_1上，得NDAF=45°.由/O=^ZDAE=ZDEA,NC4F=NCDE.由

ZCAF+ZDAF=ZEDC+ZADE,得G4=CD.故丝△£)£(7.

(2)由/。=。石，NADP=45°,得ND4E=NDE4=22.5°.由/P_LOE,得

ZPAE=67.5°.NF4B=225。.由//BC=45°,得/尸=22.5°,ZADC=22.5°,得AF=AD=DE.故

△AFC咨4DEC.

(3)①当G4=C尸时，由//C尸=45°,得NC/F=NCF/=67.5。.ZBAF=22.5°,ZE=22.5°,

ZCDE=ZACF-ZE=22.5°.由N/DP="EC=45。，ZDAB=ZCDE=22.5°,故

ZDAC=ZDAB+ABAC=112.5°.②当C/=CF时，如图所示.同①，ZDAC=ZDAF-ZFAC=45°-22.5°=22.5°.

【详解】⑴证明：：/A4c=90。，AB=AC,

：.ZABC=ZACB45°,

AFYDE,

ZDAF=45°.

AD=DE,

ZDAE=NDEA,

ZDAF+NFAC=NDAE=NDEA=ZACB+NEDC,

ZCAF=ZCDE.

•/ZCAF+ZDAF=ZEDC+ZADE,BPACAD=ZCDA,

/.CA=CD.

在△力■?和△OEC中,

ACAF=/CDE

<CA=CD,

ZACF=/DCE

.."FC知DEC(ASA).

(2)解：结论成立，

理由：如图，

VZADP=45°f

/DAE+/DEA=ZADP=45°,

'：AD=DE,

/DAE=/DEA=22.5°.

vAPA.DE,

NPAE=67.5°.

/FAB=180°-ABAC-/PAE=22.5°.

•••ZABC=45°,

ZF=/ABC-/FAB=22.5°,

•・・ZADC=ZACB-ZDAC=22.5°,

/./F=ZADC,

/.AF=AD=DE.

ZACF=ZDCE=45°

在尸。和△QEC中，＜ZAFC=ZDEC

AF=DE

..△4/C丝△Z)EC(AAS).

(3)①当C4=C尸时，如图所示.

•;N4CF=45。,

.\ZCAF=ZCFA=67.5°.

ZBAF=22.5°,ZE=22.5°,

/.NCDE=ZACF-ZE=22.5°.

ZADP=ZABC=45°,

ZADB+ZCDE=ZADB+/DAB,

/DAB=ZCDE=22.5°,

ZDAC=/DAB+ABAC=112.5°.

②当C4=W时，如图所示.

同①，ADAC=ADAF-ZFAC=45°-22.5°=22.5°.

综上所述，4UC=112.5。或22.5°.

6.(23-24九年级上•四川成者R•开学考试)【阅读理解】已知N为平面内不重合的两点.给出以下定义:

将〃绕N顺时针旋转。(0。＜戊＜360。)的过程记作变换(N,a).例如：在平面直角坐标系x。中，已知点

N(2,0),则。经过变换(N,90。)后所得的点5的坐标为(2,1).

【迁移应用】如图，在平面直角坐标系工。中，直线歹=2x+b分别与％轴，y轴交于点4(-1,0),B,设4

经过变换(a180。)后得到C.

(1)求点C的坐标；

⑵过C作轴于。，点E是线段C。上一动点，设£经过变换(590。)后得到点尸，连接班，BF.

(i)若尸的面积为3,求点尸的坐标；

(ii)设点。是y轴上一动点，当以/,B,F,M四点为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标.

【答案】(1)C的坐标为(1,4)

(2)i)F(|,1)；ii)〃的坐标为(0,1)或(0,-1)或(0,3)

【分析】(1)求出歹=2x+2,8(0,2),根据A经过变换(民180。)后得到C,可知8为/C的中点，即得C

的坐标为(1,4)；

(2)i)过£作轴于K,过尸作轴于H,交直线N2于T,由E经过变换(990。)后得到点

F,可证AEKB空A8/7F(AAS),有EK=1=BH,OH=OB-BH=2-\=\,T,尸的纵坐标都为1,设厂亿1),则

C+1，根据△北产的面积为3,得;(t+；)x2=3,F(1,1)；

fm=—1

ii)设尸(掰,D,M(0,n),分三种情况：当尸43为对角线时，FM,48的中点重合，，当

+〃=2

fm—1=0[m=-1

FA,MB为对角线时，,c，当FB,为对角线时，,.,分别解方程组可得答案.

【详解】(1)把4—1,0)代入y=2x+b得：0=—2+b,

解得6=2,

y=2x+2,

令x=0得尸2,

・•・5(0,2),

•.•/经过变换(民180。)后得到

:.A,B,C共线，S.BA=BC,

:.B为AC的中点，

•/0x2—(—1)=1,2x2—0=4,

・•.C的坐标为(1,4)；

(2)i)过E作EK_L＞轴于K,过户作轴于“，交直线4g于T,如图:

/.ZEBF=90°,BE=BF,

AKBE=90°-/HBF=ABFH,

•・•/EKB=90°=ZBHF,

:AEKB知BHF(AAS),

:.EK=BH,

vC(l,4),

：.EK=\=BH,

・••5(0,2),

:.OH=OB-BH=2-\=\,

：.T,厂的纵坐标都为1,

在y=2x+2中，令)=1得工=-,，

设尸&1),则尸7=，+；,

•・•△/昉的面积为3,

-{BH+OH)=3,gp!(?+1)x2=3,

解得"g，

.•飞，】)；

ii)由i)知尸的纵坐标为1,设尸(加/)，M(O,n),

又4-1,0),8(0,2),

当万阳，为对角线时，FM,的中点重合,

[m=-1[m=-1

•­•L)，解得i，

\\+n-2[n=1

当E4,MS为对角线时，

fm-1=0fm=1

,「，解得I,

\\-n+2[n=-1

当E8,M4为对角线时，

，M(0,3)；

综上所述,〃的坐标为(0,1)或(0,-1)或(0,3).

【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，三角形面积，平行四

边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度.

7.(23-24八年级下•湖北武汉•期末)问题探究如图1,在正方形/BCD中，对角线/C,8。相交于点

O.在线段/O上任取一点P(端点除外)，连接尸DPB.将线段。尸绕点尸逆时针旋转，使点。落在加

的延长线上的点。处.

(1)求证：PD=PB；

(2)探究4。与。尸的数量关系，并说明理由.

迁移探究如图2,将正方形48co换成菱形N3CD,且N4BC=60。，其他条件不变.试探究与CP的

数量关系，并说明理由.

图1图2

【答案】(1)见解析；(2)AQ=42OP,见解析；迁移探究：AQ=CP,见解析

【分析】(1)证明AD/P丝AB/P(SAS),则尸£)=尸8；

(2)如图1,过P作尸G1/C交4B于G,贝!]/PGZ=90°-/P/G=45o=/P/G,PA=PG,过P作尸77_L4B

于H,由旋转可得，PQ=PD=PB,由尸/=PG,可得QH=BH,AH=GH,则。N=3G,如图，过G作

GI1BD于I,则四边形OPG/是矩形，IG=OP,由4G3=45。=/ffiG,可得/G=/8,贝U

AQ=BG=yJlG2+IB2=扬G=V20P；

迁移探究由四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,证明^ABC是等边三角形,则/CBA=ZACB=/CAB=60°,

AC=AB,如图2,过P作尸G||8C,则//GP=/23C=60。，证明aP/G是等边三角形，PA=PG=AG,

如图2,过户作尸于H,同理(2)可得。N=BG,由48=/C,AP=AG,可得BG=CP,进而可

得4Q=CP.

【详解】(1)证明：•.•四边形/BCD是正方形，

AD=AB,ZDAP=NBAP=45°,

又,:AP=AP,

:.ADAP知BAP(SAS),

PD=PB.

(2)解：AQ=42.OP,理由如下;

图1

/LPGA=90°-NPAG=45°=/PAG,

PA=PG,

过尸作尸〃_L月8于7/,

由旋转可得，PQ=PD=PB,

又；PA=PG,

：.QH=BH,AH=GH,

：.QH-AH=BH-GH,gpQA=BG,

如图，过G作G/13。于/,则四边形。尸G/是矩形,

IG=0P,

,：ZABO=45°,

：.ZIGB=45°=ZIBG,

：.IG=IB,

AQ=BG=yllG2+IB2=&G=COP，

：.AQ=5OP；

迁移探究解：AQ=CP,理由如下：

•••四边形/BCD是菱形，

AB=CB,

•.*/ABC=60°,

・•・力5c是等边三角形，

AZCBA=ZACB=ZCAB=60°,AC=AB,

如图2,过尸作尸G||BC,则/4GP=N/3C=60。,

图2

.二△PNG是等边三角形，PA=PG=AG,

如图2,过尸作尸于4,

PQ=PD=PB,PA=PG,

：.QH=BH,AH=GH,

QH-AH=BH-GH,即。/=8G,

,/AB=AC,AP=AG,

：.AB-AG=AC-AP,BPBG=CP,

：.AQ=CP.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，

矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识.熟练掌握正方形的性质，

旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，菱形

的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键.

考点二、三角形的旋转

8.（22-23八年级下•广东深圳•期中）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中

AB=AC=AG=FG,ZBAC=ZAGF=90°,AF,/G分别与3C交于D,E两点，将绕着点A顺时

针旋转90°得到AABH,则下列结论：①BHLBC；②D4平分NHDE；③若3。=3,CE=4,贝ljN8=2M；

④若AB=BE,则S△加其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，根

据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得A/3"和全等，根据全等三角形对应角

相等可得=然后求出NE4尸=45。判断出①正确；根据全等三角形对应边相等可得DH=DE,

ZADH=ZADE,判断出②正确；利用勾股定理得到48=6血，过E作EN1/C于点N,再利用勾股定理

求出血/=2瓦，故③正确；根据角的度数得到=然后利用“角角边”证明^ABD^AACE

全等，根据三角形面积公式即可求得，判断出④错误，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】VAB=AC=AG=FG,ZBAC=ZAGF=90°,

ZABC=ZC=ZFAG=45°,BC=&B，

由旋转性质可知"BHHACE,

：.ZABH=ZACE=45°,BH=CE,AH=AE,NBAH=NCAE,

NHBD=AABH+AABC=45°+45°=90°,

BHLBC,故①正确；

■:ZBAH=ZCAE,

ZBAH+ABAD=NCAE+ABAD=ABAC-ZFAG=45°,即ZDAH=45。,

ADAH=NDAE,

AD=AD

在&ADH和△/£>£中，"ADAH=NDAE,

AH=AE

：."DH知ADE(SAS),

：.DH=DE,NADH=ZADE,

；.AD平分NHDE,故②正确；

在RtARD”中,BD-+BH-=DH2，

,?BH=CE,DH=DE,

BD2+BH2=DH2，

当BD=3,CE=4时，32+42=DE2

DE=5,

BC=BD+DE+CE=\2,

BC=6AB=12,

AB=6A/2>

AC=AB=6A/2,

过E作ENL/C于点N,

皮4

B/DE\C

F

：.ZENC=ZANE=90°,

ZC=/NEC=45°,

Z.CN=EN,

：.由勾股定理得：EC1=CN2+EN2,

,/CN=EN=2>/2，

AN=AC-CN=6也-26=46，

在RtZ\4NE1中，由勾股定理得：AE=y/AN2+EN2=J(4A/2+(272=2^/10,

/.AH=AE=2V10>故③正确;

•/BA=BE,ZABC=45°,

8

：.NBAE=ZBEA=l。-//旺=67.5。,

2

•：ZDAE=45°,

：.NADE=180°-ZDAE-ZBEA=67.5°,

ZADE=ABEA,NADB=180°-ZADE,ZAEC=180°-ZBEA,

：.NADB=NAEC,

ZADB=ZAEC

在△48。和中，■/ABD=NACE,

AB=AC

△ABD知ACE(AAS),

,:BD=CE,BD2+CE2=DE2,

DE=y/2BD,

设A到BC边距离为〃,

,**Sc=BDxh,S"4DE=3义DExh,

cBDy/2

2AABD

c~DE~^2

3ADE

,C_6C

故④错误;

**VABD~2AADE

综上①②③正确,

故选：C.

9.(2024•浙江•模拟预测)在AA8C中，ZABC=90°,AB=BC.将A48c绕点A顺时针旋转a

(0°<a<180°),直线C8与直线交于点尸，点、B,厂间的距离记为跳■，点£尸间的距离记为跖.给

出下面四个结论：①环的值一直变大；②E尸的值先变小再变大；③当0。<a<90。时，AF-E尸的值保持

不变；④当90。<a<180。，8尸-£1厂的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是

D

E,

BC

【答案】①②④

【分析】本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质，当0°<&<180。时，8尸的值由0会逐渐变大，可

判断①；而当《=90。0寸，跖=0可知E尸的值先变小再变大，可判断②；当90。<。<180。时，在尸C上取点

G,使尸G=F£,连接NG,AF,证明RM48尸乌RM/D尸(HL),有BF=DF,知

BF-EF=DF-EF=DE,可判断③错误，④正确；掌握旋转的性质是解题的关键.

【详解】解：当0°<a<180。时，即的值一直变大，故①正确；

当0。<1<90。时，E尸的值逐步变小；当a=90。时，EF=Q；当90。<a<180。时，E尸的值逐步变大，故②

正确；

当0。<1<90。时，连接相，如图1,

由题意得，ZABF=ZADF=90°,AB=AD,DE=BC,

jAF=AF

在RS4B下和Rt^ADF中，〈,

[AB=AD

RtzUBP竺RM4D尸(HL),

BF=DF,

：.BF+EF=DF+EF=DE,

BF+EF的值保持不变，故③错误；

当90。<。<180。时，在尸C上取点G,使尸G=EE,连接/G,AF,如图2,

由题意得，^ABF=ZADF=90°,AB=AD,DE=BC,

\AF=AF

在和RIA/DF中，，，

[AB=AD

：.RtA/3/0RtA2D尸(HL),

：.BF=DF,

：.BF-EF=DF-EF=DE,

.•.3尸-E尸的值保持不变，故④正确；

正确的有①②④，

故答案为：①②④.

10.(22-23八年级下•四川成都•期中)如图，O8C和是两个不全等的等腰直角三角形，其中

/ABC=ZADE=90。,AD=ED,4B=BC,连接CE,点M是CE的中点，连接。M,BM.

图1图2图3

(1)若点。在边/C上，如图1,试探究MDMB之间的关系，并说明理由；

⑵若将图1中的绕点/逆时针旋转&。(0。＜&。＜45。)，如图2,那么(1),中的结论是否仍成立？如

果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明；

⑶若将图1中的"OE绕点/逆时针旋转90。，如图3,AD=2g,BC=8,求2M的长.

【答案】(1)应攸且8M工。加，理由见解析

(2)(1)中的结论仍成立，理由见解析

(3)BM=275

【分析】(1)根据斜边中线等于斜边的一半即可证明相等，再根据等边对等角结合三角形外角的定义与性

质可得ZBMD=ZBME+ZDME=2(ZBCM+ZDCM)=2ZACB=90°,问题得证；

(2)延长。河至点G,使得DM=MG,连接3G、CG、EG、CD、BD,延长ED交/C于点N,先证

明四边形COEG是平行四边形，即有4N£=N/CG,CG=DE=AD,表示出

NBAD=45°-(90°-2AND)=ZAND-45°,再结合NBCG=ZACG-ZACB=ZACG-45°,

ZANE=ZACG,可得NBCG=NB4D,即可证明,问题随之得解；

(3)延长OW交NC于点X,证明DE〃/C,再证明AOEW2AHCM.即可得,

DM=HM=^DH.求出/〃=/C-CH=60,再在RtzX/£4T)中，由勾股定理得

DH=y/AD2+AH2=475＞可求解.

【详解】(1)BM=DM,理由：

•.•N4BC=90。，点Af是CE的中点，

.,.在RtZ\C3E中，BM《CE=CM,

同理在Rt^CDE中可得：DM=*E=CM,

：.BM=DM,

•・・BM=CM,

：.ZCBM=/BCM,

・・・ZBME=/CBM+/BCM=2ZBCM,

同理可得：ZDME=2ZDCM,

・・.ZBMD=ZBME+ZDME="BCM+ZDCM)=2/ACB=90°,

BM1DM,

综上：BM=DM,BM_LDM；

(2)成立，理由如下：

延长。河至点G,使得。M=MG,连接BG、CG、EG、CD、BD,延长石。交ZC于点N,如图,

•・•点河是CE分的中点，

・•・EM=MC,

又♦:DM=MG,

：.四边形CDEG是平行四边形，

:,CG=DE,CGIDE、

：.ZANE=ZACGfCG=DE=AD,

•:NADE=ZADN=90°,

・•・ZDAN=900-ZAND,

'：ABAD=ABAC-/DAN,

：./BAD=45°-(90°-ZAND)=ZAND-45°,

•・•/BCG=NACG-ZACB=ZACG-45°,ZANE=ZACG,

.・・/BCG=/BAD,

又♦:AB=CB,CG=AD,

:sBCG-BAD,

:・BD=BG,ZABD=ZCBG,

...AABD+ZCBD=ZCBG+ZCBD,

・・・/ABC=/DBG=90°,

・・・△DBG是等腰直角三角形，

♦:DM=MG,

：.DG±BM,BM=DM=MG=-DG,

2

:.BM=DM,BM±DM；

(3)延长。州交/C于点H,

AB=BC,AD=DE,AAED=ZACB=45°,

由旋转可得，^CAD=90°,即/EZX4=/C4D=90。，

CE//AD,

：./EDM=ZCHM,ADEM=ZDCH,

为CE中点，

EM=CM.

:.xDEMAHCM.

：.CH=DE,DM=HM,

即C〃=Z)E=N。，DM=HM=^DH.

2

VAD=242,5C=8,

CH=2V2，ZC=VIBC=8也，

,AH=AC-CH=642,

.•.在RtZk7Z4Z)中，由勾股定理得DH=YAD。+AH?=4八，

；.DM=-DH=2y[5,

2

：.BM=DM=2y/5.

【点睛】本题是几何变换综合题目，主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定与性质，及

勾股定理的运用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键.

11.(22-23八年级下•广东深圳•期中)如图1,已知RtA48C中，4B=BC,AC=2,把一块含30。角的三

角板。斯的直角顶点。放在/C的中点上(直角三角板的短直角边为长直角边为。尸)，点C在DE

上点8在。尸上.

图3

(1)求重叠部分△8。的面积;

(2)如图2,将直角三角板DE尸绕。点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点、M,DF交AB于点、N,

①请说明=

②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，若不发生变化，请说明理由;

(3)如图3,将直角三角板DE尸绕。点按顺时针方向旋转a度(0<a<90),DE交BC于点、M,DF交AB

于点N,则=的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？(请直接写出结论不需说明理由)

【答案】⑴A3CD的面积是十

(2)①说明见解析；②在此条件下重叠部分的面积不发生变化，理由见解析

(3)。河=。四的结论仍成立，重叠部分的面积不会变

【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和三角形全等.熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的

判定和性质，旋转性质，作出辅助线，是解决本题的关键.

(1)判断重叠部分△BCD是一个等腰直角三角形，求出其直角边，即可求解；

(2)①连接AD,先证得3D=CD,/C=NABD,进而求出ACDM丝AADN(ASA),即可得到DM=DN；

②利用①中的结论△CDMQABDN即可得出答案；

(3)证明过程类似(2),根据(2)中的结论，可以直接写出.

【详解】(1)；RtZX/3C中，ZABC=9Q°,AB=BC,。是/C的中点，AC=2,

：.BD1AC,BD=CD=-AC=1,

2

则%s=gcD.&)=g；

(2)①连接AD,

中，ZABC=90°fAB=BC,

：.ZA=ZC=45°,

・・•。是4C的中点，AC=2,

：.BDVAC,ZABD=ZCBD=-AABC=45°,BD=CD^-AC=1

22

:./C=/ABD,

・・・ZEDF=ZCDB=90°f

：.ZBDN+ZBDM=ZCDM+ZBDM,

・•・ZCDM=4BDN,

.•・KDMaBDN(ASA),

:.DM=DN；

②面积不变.理由：

■:丛CDM经ABDN,

•••vQ^CDM--vQ&BDN，

(3)0M=ON的结论仍成立，S四边形8皿N=g，重叠部分的面积不变.理由:

连接3。，

•・・RtZ\/8C中，ZABC=90°,AB=BC,

：.ZA=ZC=45°,

・・•。是ZC的中点，AC=2,

：.ZABD=ZCBD=-ZABC=45°,BD=CD=-AC=1,BDLAC,

22

:・/C=/ABD,/BDC=90。,

：./EDF=/CDB=9。。,

：.ZBDN+ZBDM=ZCDM+ZBDM,

・•・ZCDM=/BDN,

ACDM^BDN(ASA),

,•DM=DN,S^CDM=SABDN)

,,S四边形BATON=S^BDM+SSBDN=S'BDM+S、CDM=S、BCD=]•

12.（23-24八年级下•山西晋城•阶段练习）综合与实践：问题情境：

在数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探究几何图形运动变化中的数学结论.如图1,在矩形

/BCD中，点。为对角线8。的中点，点£在边上，且BE=BO,线段£0的延长线交C。于点E

（1）如果AB=4,AD=3,则AE=_.

操作探究：

（2）“善思”小组的同学将图1中的△3OE绕点2顺时针旋转（设点。，E的对应点分别为。'，£'）,在分析

旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答：

①如图2,当点E'落在3c边上时，0'£'所在的直线与跖存在什么样的位置关系？并说明理由

②如图3,当点。落在的延长线上时，连接CE',判断四边形OBE'C的形状，直接写出结果，无需说

明理由.

图2图3

①O'EUEF,理由见解析②四边形OBE'C为菱形，理由见解析

【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，菱形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点，并

灵活运用，是解题的关键.

（1）勾股定理求出8。的长，得到。的长，进而得到5E的长，用43-BE求出/E的长即可；

（2）延长。£。'£,交于点G,根据角的和差关系，结合矩形的性质，旋转的性质，以及四边形的内角和

为360度，推出/OGO'=360。-//一/3O'E'=90°,即可得出结论；

②证明ACBO^CBE',得到OB=OC=CE'=BE',即可得出结论.

【详解】解：（1）二.矩形/8C。，点。为对角线8。的中点，

・・.ZA=90°,OB=-BD,

2

AB=4,AD=3f

••BD=J32+42=5，

OB=—,

2

BE=BO二,

2

3

・•.AE=AB-BE=~-

2

3

故答案为：—；

(2)①OE上EF,理由如下:

延长。交于点G,

\・OB=BE,

：./BOE=ZBEO,

/FOB+/BOE=180。,

•・•矩形NBC。，

/ABC=90。,

：.ZOBE+ZOBC=90°f

・・•旋转，

・・.ZOfBEf=/OBE,/BOE=/BOE,

：./O'BE，+ZOBC=90°,/FOB+NBO'E'=180。，

・・・ZOBOr=90°,

・・・/OG。'=360。-/FOB-ZOBOr-/BOE=90°

・・・OELEF；

②四边形OBE'C为菱形；理由如下：

•・•旋转，

.・.OB=O'B=BE=BE',ZEBO=/E'OB,

:矩形A8CZ),

：.ZABC=90°,OC=OB,

:点O'落在48的延长线上,

/.ZCBO'=90°,

：./OBE+ZOBC=ZO'BE'+NCBE'=90°,

NOBC=ZCBE',

又：OB=BE',BC=BC,

：.ACBO%CBE',

：.OC=CE',

：.OB=OC=CE'=BE',

•••四边形OBE'C为菱形.

13.(23-24八年级下•辽宁大连•阶段练习)图形的变换是初中数学学习中的重要内容，在中考前的探究专题

课上，小亮老师带领同学们对以下图形进行了变换探究.如图在RtZ\/