新教材高中数学第五章三角函数习题课三角恒等变换及应用导学案

习题课三角恒等变换及应用【学习目标】进一步熟练掌握两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式以及半角公式、辅助角公式的正用、逆用、变用．题型1灵活变角例1(1)已知sin(π6＋α)＝13，求cos((2)已知0<β<π2<α<π，且cos(α－β2)＝－19，sin(α学霸笔记：用已知角来表示未知的角，再利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式展开，进而解决此类问题．跟踪训练1(1)若cos(π6－α)＝23，则cos((2)已知π4<α<3π4，0<β<π4，且sin(π4－α)＝－3题型2公式的逆用与变形应用例2(1)求值：(3cos10°－1(2)化简：sin2x1-cosx1+cosx＋cos学霸笔记：(1)观察三角函数式的名称和结构，灵活对公式进行正用、逆用和变用．(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，从而达到目的．跟踪训练2(1)求值：sin10(2)化简：1+sin题型3三角恒等变换与三角函数例3已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos4x－sin4x－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)当x∈[0，π6学霸笔记：解决此类问题时要充分运用两角和与差的公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，方便讨论三角函数的性质．跟踪训练3已知函数f(x)＝23sinx2·cosx2＋sin2x2－cos(1)求函数f(x)取最大值时x的取值集合；(2)若函数f(x)在区间[π4随堂练习1.若0<α<β<π4A．a<bB．a>bC．ab<1D．ab>22．若1-tanαA．－35B．C．－45D．3．已知sin(2π3－α)＋sinα＝43A．－235C．－45D．4.3sin10°课堂小结1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式及其变形进行求值、化简．2．三角恒等变换与三角函数的综合问题．习题课三角恒等变换及应用例1解析：(1)由于sin(π6＋α)＝1所以cos2(π6＋α)＝1－2sin2(π6＋α)＝又2π3－2α＋2(π6∴cos(2π3－2α)＝－cos2(π6＋α(2)因为0<β<π2<α所以－π4<α2－β<π2，π所以cos(α2－β)＝1-sinsin(α－β2)＝1-cos所以cosα+β2＝cos[(α－β2)－(＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α＝-19×所以cos(α＋β)＝2cos2α+β2－1＝2×49跟踪训练1解析：(1)由cos(5π3＋2α)＝cos[2π－2(π6－α)]＝cos(π3－2α)＝2cos2(π6－α(2)因为π4<α<3π4，0<β所以－π2<π4－α<0，π4<π4＋又sin(π4－α)＝－35，sin(π4＋β所以cos(π4－α)＝45，cos(π4＋β所以cosα＝cos[π4－(π4－＝22cos(π4－α)＋22sin(π＝22×4sin(α＋β)＝sin[(π4＋β)－(π4－＝sin(π4＋β)cos(π4－α)－cos(π4＋β)sin(π＝513×4答案：(1)－19(2)例2解析：(1)原式＝(3cos10°＝(3sin10°＝2sin10°＝－4·3232(2)x∈[－π4，0]，x2∈[－π8，0]，cosx2>0，sincosx2－sinx2>0，cosx2＋sinx2＝x2+π4∈[π8，π4]，所以cosf(x)＝sin2x1-cosx1+＝sin2x1-cos2xcos＝sin2x2sin2x2＝－sin2x·sinx2cosx2＝－sin2x·sin2cos2x·cos＝－sin2x·sin2x212＝－2sinx·1-cosx2＋cosx·(1－sinx)＝cos跟踪训练2解析：(1)sin10°1-3tan10°＝sin10°1-(2)原式＝sin2θ＝sinθcosθ+sin例3解析：(1)∵f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos4x－sin4x－1＝1＋sin2x＋(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π4∴f(x)的最小正周期T＝2π(2)由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2k得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ，k所以函数f(x)的单调递增区间为[－3π8＋kπ，π8＋kπ]，k(3)∵0≤x≤π6，∴π4≤2x＋当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f(x)max＝2sinπ当2x＋π4＝π4，即x＝0时，f(x)min＝2sin跟踪训练3解析：(1)函数f(x)＝23sinx2·cosx2＋sin2x2－cos2x2＝3sinx－cosx＝2sin(当f(x)取最大值时，sin(x－π6此时满足x－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝2π3＋2kπ，所以f(x)取最大值时x的取值集合为{x|x＝2π3＋2kπ，k∈(2)由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2k得－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k所以f(x)的单调增区间为[－π3＋2kπ，2π3＋2kπ](k当k＝0时，[－π3，2π3因为π4∈[－π3，2π3]，所以[π4因此，实数m的最大值为2π[随堂练习]1．解析：因为a＝2sin(α＋π4)，b＝2sin(β＋π4)．又π4<α＋π4<β＋π4<π答案：A2．解析：由1-tanα-π41+tanα所以tanα＝tan(π4＋α－π4)＝tanπ所以cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α-sin2答案：A3．解析：因为sin(2π3－α)＋sinα＝sin2π3cosα－cos2π3sinα＋sinα＝32cosα＋12sinα＋sinα