2021-2022学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用21基本初等函数的导数学案新人教A版选择性必修2

基本初等函数的导数必备知识·自主学习导思1.如何用导数的定义求基本初等函数的导数？2．基本初等函数的导数公式是什么？1.几个常用函数的导数函数f(x)＝cf(x)＝xf(x)＝x2f(x)＝x3f(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝eq\r(x)导数f′(x)＝0f′(x)＝1f′(x)＝2xf′(x)＝3x2f′(x)＝－eq\f(1,x2)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))′等于()A.eq\f(1,\r(2))B．1 C．0D．eq\f(1,2\r(2))【解析】选C.常数的导数等于0.2.基本初等函数的导数公式函数导数函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？提示：f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna当a＝e时的特殊情况．(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数之间有何关系？提示：f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝lnx的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)f(x)＝0，则f′(x)＝0.(√)提示：因为f(x)＝0是一个常数函数，所以f′(x)＝0.(2)若f(x)＝lnx，则f′(e)＝1.(×)提示：f(x)＝lnx时，f′(x)＝eq\f(1,x)，所以f′(e)＝eq\f(1,e)≠1.(3)若(3x)′＝x·3x－1.(×)提示：函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x)′＝3xln3.(4)(x4)′＝x4ln4.(×)提示：函数y＝x4是幂函数，其导数为(x4)′＝4x3.2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于()A.eq\f(1,10) B．10 C．10ln10 D．eq\f(1,10ln10)【解析】选C.因为y′＝10xln10，所以y′|x＝1＝10ln10.3．(教材练习改编)曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．【解析】k＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(（1＋Δx）3－13,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(13＋3Δx＋3（Δx）2＋（Δx）3－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.答案：3关键能力·合作学习类型一利用导数公式计算导数(数学抽象、数学运算)1．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)＝()A.8 B．12 C．8ln3 D．0【解析】选D.f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，所以f′(x)＝0，所以f′(2)＝0.2．已知f(x)＝eq\f(1,x3)，则f′(1)＝()A.1 B．－1 C．3 D．－3【解析】选D.f(x)＝eq\f(1,x3)＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4，所以f′(1)＝－3.3．(多选)下列结论正确的为()A.y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)B.y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)C.y＝2x，则y′＝2x·ln2D.y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2)【解析】选BCD.由导数的运算公式可知，有y＝ln2，则y′＝0，所以选项A错误，其它选项均正确．运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项(1)对于简单的函数，直接套用公式；(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．【补偿训练】1.已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，则α等于()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)【解析】选D.因为f(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα－1，所以f′(1)＝α＝eq\f(1,4).2．函数f(x)＝sinx，则f′(6π)＝________．【解析】f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.答案：1类型二导数公式的应用(数学抽象、数学运算)【典例】求过曲线y＝sinx上点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且与过这点的切线垂直的直线方程．四步内容理解题意条件：①曲线y＝sinx；②曲线y＝sinx上点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))结论：求与过这点的切线垂直的直线方程思路探求先求切线的斜率，再求垂线的斜率，最后求出垂线的方程书写表达因为y＝sinx，所以y′＝cosx，曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线斜率是：y′|x＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，所以过点P且与过这点的切线垂直的直线的斜率为－eq\f(2,\r(3))，故所求的直线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.题后反思导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．1．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A.y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C.y＝2x－3 D．y＝2x＋1【解析】选B.因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.2．曲线y＝eq\f(9,x)在点M(3，3)处的切线方程是________．【解析】因为y′＝－eq\f(9,x2)，所以y′|x＝3＝－1，所以过点(3，3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.答案：x＋y－6＝03．水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为25m时，水波面积的膨胀率是________．【解析】因为水波的半径扩张速度为0.5m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝eq\f(1,4)πt2，故水波面积的膨胀率为S′＝eq\f(1,2)πt.当水波的半径为25m时，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝eq\f(1,2)π×50＝25π.答案：25π类型三与切线方程有关的问题(数学抽象、数学运算)角度1求切点坐标及参数值【典例】若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点坐标及b的值．【思路导引】由切线的斜率即可求出切点坐标；由切点坐标即可求出b的值．【解析】设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0，所以ex0＝1，即x0＝0，所以点P(0，1).由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．【解析】如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).利用点到直线的距离公式得最小距离为eq\f(\r(2),2).角度2与切线有关的简单应用【典例】曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．【解析】因为y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e2，所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)×1×|－e2|＝eq\f(1,2)e2.答案：eq\f(1,2)e2与切线有关问题的解题策略1．明确切点，若切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝f′(x0).2．切线方程一般可用点斜式求解．3．结合题设条件得出所求的代数式或方程．1．在曲线f(x)＝eq\f(1,x)上切线的倾斜角为eq\f(3,4)π的点的坐标为()A.(1，1) B．(－1，－1)C.(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)【解析】选D.切线的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，所以－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＝－1，所以x0＝1或－1，所以切点坐标为(1，1)或(－1，－1).2．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．【解析】依题意知，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，所以f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.答案：33．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.因为y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，由题意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，所以x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.答案：ln2－1课堂检测·素养达标1．若f(x)＝coseq\f(π,4)，则f′(x)为()A．－sineq\f(π,4) B．sineq\f(π,4)C．0 D．－coseq\f(π,4)【解析】选C.f(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，故f′(x)＝0.2．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则()A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2【解析】选D.因为y＝mx2m－n，所以y′＝m(2m－n)x2m－n－1，又y′＝4x3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（2m－n）＝4，,2m－n－1＝3，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,2m－n＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝－2.))3．(多选)下列选项中是正确结论的有()A．(sinx)′＝cosx B．(xeq\s\up6(\f(5,3)))′＝xeq\s\up6(\f(2,3))C．(log3x)′＝eq\f(1,3