数列-2020-2024年高考数学试题分类汇编（原卷版）

冷题12敝利

五年考情♦探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2023天津甲乙n卷

考点01等差等比

2022乙卷

数列应用等差等比数列及求和在高考

2020北京卷

中主要考查基本量的基本运

算，是常规求和方法发的基本

2024甲天津卷

应用。包括：错位相减求和，

2023III甲乙卷

奇偶性求和，列项求和等。

考点02数列求和2022甲卷

2021III乙卷

2020浙江III卷

2024北京

2023北京

考点数列情景类

03情景化与新定义是高考的一

2021北京I卷

问题

个新的考点，一般采用学过的

2020II卷

知识去解决新定义问寇，因加

以重视，是高考的一个方向，

2024I北京卷并且作为压轴题的可能性比

考点04数列新定义

2023北京卷较大，难度大。

问题

2024II卷知识的综合是未来高考的一

考点05数列与其他2023北京天津乙II卷个重要方向，主要是数列与统

知识点交汇及综合问2022北京浙江III卷计概率相结合，数列作为一个

题2021甲浙江工具与解析几何，函数结合

2020浙江II卷等，属于中等难度。

分考并精准练工

考点01等差等比数列应用

-选择题

1.（2020北京高考•第8题）在等差数列｛4｝中，0=-9,a,=-l.记7；=4%…%（"=1,2,…），则数列｛1｝

（）.

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

2.（2023年天津卷•第6题）已知｛&｝为等比数列，S”为数列｛q,｝的前几项和，4+i=2S〃+2,则%的值

为（）

A.3B.18C.54D.152

3.（2023年新课标全国H卷•第8题）记S“为等比数列｛4｝的前〃项和，若邑=-5,S6=21S2,则Sg=

（）.

A.120B.85C.-85D.-120

4.（2023年全国甲卷理科•第5题）设等比数列｛4｝的各项均为正数，前〃项和5“，若4=1,'=5邑-4,

则=（）

1565

A.—B.——C.15D.40

88

5.（2022年高考全国乙卷数学（理）.第8题）已知等比数列｛4｝的前3项和为168,«2-«5=42,则以=

（）

A.14B.12C.6D.3

二、填空题

3.（2023年全国乙卷理科•第15题）已知｛%｝为等比数列，“2。4%="3。6，%。10=一8，则%=.

考点02数列求和

-选择题

1.（2024・全国・高考甲卷文）已知等差数列｛%｝的前"项和为S“，若品=1,则/+%=（）

72

A.—2B.—C.1D.—

39

2.（2024•全国•甲卷）记S“为等差数列｛4｝的前"项和，已知S5=1,a5=l,则%=（）

155

3.（2020年高考课标II卷理科•第6题）数列｛?｝中，。1=2,4+〃=。祇。〃，若以+i+ak+2-\------F^+10=2—2,

贝4左=（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

4.（2020年浙江省高考数学试卷•第11题）已知数列｛斯｝满足a/“；。,则乱=.

5.（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第15题）将数列｛2〃-1｝与｛3〃-2｝的公共项从小到大排列得到数列

｛an｝,则｛3｝的前n项和为.

三解答题：

,、伉,-6,九为奇数

6.（2023年新课标全国H卷•第18题）已知｛/｝为等差数列，或=/生/田4，记S”，北分别为数

[24,〃为偶数

列｛%,｝，也｝前“项和,$4=32,4=16.

（1）求｛。”｝的通项公式；

⑵证明：当〃>5时，Tn>Sn.

+1,”为奇数,

7.（2021年新高考I卷第17题）已知数列｛册｝满足4=1,

+2,”为偶数

⑴记功=%，写出伪，b2,并求数列也｝的通项公式;

⑵求｛%｝的前20项和.

8.(2021年高考全国乙卷理科•第19题)记S“为数列｛%｝的前〃项和，2为数列｛S“｝的前w项积，已知

21°

-----1—二2

S"bn-

(1)证明：数列｛2｝是等差数列；

(2)求｛4｝的通项公式.

9.(2023年新课标全国I卷•第20题)设等差数列｛%｝的公差为d，且d>l.令>=-----记色工,分

an

别为数列｛。“｝,｛包｝的前〃项和.

⑴若3。2=3%+%,邑+4=21,求｛4｝的通项公式；

⑵若也｝为等差数列，且%-4=99,求小

10.(2022年高考全国甲卷数学(理)•第17题)记S>,为数列｛册｝的前"项和.已知。+〃=2。,+1.

n

(1)证明：｛%｝是等差数列；

⑵若为,%，佝成等比数列，求Sn的最小值.

11.（2021年新高考全国II卷第17题）记S“是公差不为0的等差数列｛为｝的前〃项和，若为=S5,%%=S4.

⑴求数列｛«„｝的通项公式an；

⑵求使Sn>an成立的”的最小值.

12（2023年全国乙卷）1.记S"为等差数列｛%｝的前〃项和，已知%=11，儿=40.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛同｝的前"项和

13.（2020年新高考全国I卷（山东）•第18题）已知公比大于1的等比数列｛4｝满足出+。4=20,%=8.

（1）求｛%』的通项公式；

⑵记与为｛4｝在区间（0,何（meN*）中的项的个数，求数列｛幻｝的前100项和So。.

14.(2020年新高考全国卷II数学(海南).第18题)已知公比大于1的等比数列｛4｝满足电+%=20,4=8.

⑴求｛。“｝通项公式；

⑵求qw—a2a3+...+(—1)".

15.(2023年全国甲卷理科•第17题)设S,为数列｛%｝的前几项和，己知。2=1,25〃=叫「

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵求数列的前w项和7；.

16.(2020天津高考•第19题)已知｛许｝为等差数列，也｝为等比数列，=4=1,%=5(%-%)也=4(%-%).

(1)求应｝和也｝的通项公式；

(11)记｛。“｝的前,项和为与，求证：5£+2<S；+ReN*)；

(“一2泡,“为奇数，

(III)对任意的正整数〃，设。=%""+2求数列｛%｝的前2九项和.

也，”为偶数.

4+1

17（2024・天津•高考真题）已知数列｛4｝是公比大于0的等比数列.其前〃项和为若q=l,邑=4-1.

⑴求数列｛%｝前〃项和S,;

[k,n=a,

⑵设d=八/k^,k>2.

[bn_1+2k,ak<n<aM

（0）当八2,〃=4+i时，求证：bn_x>ak-bn-

sn

（团）求.

z=l

考点03数列情景类题目

一、选择题

1.（2020年高考课标n卷理科）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块

圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的

第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多

729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

2.（2022新高考全国II卷.第3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,,DD是桁，相邻桁的

水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。2，。孰,3用,A4是

举，昂幽是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

DD,八广CG,BB,,AA.,

票=05'=配票■=&，含1=右・已知仁，氏2,总成公差为81的等差数列，且直线Q4的斜

OUyZJCjC£>!nAj

率为0.725,贝|匕=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

3.（2021高考北京.第6题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀

有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长。1，。2，。3，。4，。5（单位：。01）成等差数

列,对应的宽为仿也也也也（单位:cm）,且长与宽之比都相等,已知％=288,%=96,4=192,则4=

A.64B.96C.128D.160

二、填空题

4.（2023年北京卷•第14题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、用

来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛4｝,该数列的前

3项成等差数列，后7项成等比数列，且q=1,%=12,佝=192,则%=；数列｛4｝所有项

的和为•

5.（2021年新高考I卷.第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把

纸对折，规格为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的

图形，它们的面积之和S|=240dm2,对折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种

规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为

；如果对折“次，那么‘既=dm2.

k=l

6（2024•北京•高考真题）设｛%｝与｛2｝是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合

M=\k\ak=^,^eN*｝,给出下列4个结论:

①若｛4｝与抄“｝均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若｛%｝与｛〃｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛4“｝为等差数列，｛2｝为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若｛%｝为递增数列，｛2｝为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

考点04数列新定义问题

1(2024・全国・高考I卷)设机为正整数，数列%,生，…，%”+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项生和

4(力<力后剩余的4m项可被平均分为机组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列％,生，…，4"+2是

(盯)-可分数列.

⑴写出所有的(0)，使数列4,%,…,〃6是化力-可分数列；

(2)当〃让3时，证明：数列％,生，…,4M是(2,13)-可分数列；

(3)从1,2,...,4加+2中一歆任取两个数i和/(</),记数列…，42是。力-可分数列的概率为以，证明:

O

2(2024•北乐考真题)已知集合

M={亿),左,.)10{1,2},je{3,4},左e{5,6},.e{7,8},且i+j+左+.为偶数}.给定数列A:q,g,...,g,和序

列。:工,5,...&其中叱)eMQ=l,2,…,s),对数列A进行如下变换：将A的第〜九尤,“项均

加1,其余项不变，得到的数列记作4(A);将T(A)的第八人，《，叫项均加1,其余项不变，得到数列记作

也⑷;…;以此类推，得至此…玷⑷,简记为。(A).

⑴给定数列41,3,2,4,6,3,1,9和序列3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出。(A)；

(2)是否存在序列O,使得。(A)为q+2,%+6,%+4,%+2,%+8,。6+2,%+4,4+4,若存在，写出一个符合

条件的O;若不存在，请说明理由；

⑶若数列A的各项均为正整数，且4+/+%+%为偶数，求证："存在序列O,使得O(A)的各项都相等"

的充要条件为"+。2=%+。4=%+/=%+%”.

3(2023年北京卷•第21题)已知数列{%},也}的项数均为相⑺>2),且％也e{1,2,…，第},{4},{%}

的前〃项和分别为4,纥，并规定4=d=0.对于左e{0,1,2,…,加},定义

,其中，表示数集■中最大的数.

rk=max{z'|B.max"M

(1)若％=2,4=L%=3,々=1也=3也=3,求2,々与的值;

(2)若且2545+]+号_1，/=1，2,…，加一1,,求〃；

(3)证明：存在p,%s/e{0,l,2,…,加},满足。>q,s>/,使得4+0=4+4.

考点05数列与其他知识点交汇及综合问题

一、选择题

1q

1.（2023年北京卷•第10题）已知数列｛4｝满足4M=w（4—6）+6（〃=1,2,3,…），贝！|

（）

A.当q=3时，｛%｝为递减数列，且存在常数"W0,使得%恒成立

B.当％=5时，｛4｝为递增数列，且存在常数MW6,使得4<加恒成立

C.当％=7时，｛%｝为递减数列，且存在常数〃>6,使得%恒成立

D.当％=9时，｛4｝为递增数列，且存在常数4〉0,使得恒成立

2.（2020年浙江省高考数学试卷.第7题）已知等差数列｛斯｝的前〃项和S”，公差分0,幺W1.记6I=S2,

d

bn+l=Sn+2-S2〃,〃£N*，下列等式不可能成立的是（）

A.2a4=ai+a6B.2b4=bz+b6C.aj=a2asD.=b2bs

3.（2022高考北京卷・第6题）设｛an｝是公差不为0的无穷等差数列,则“｛%｝为递增数列”是“存在正整数No,

当“〉乂时，。“〉0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2020年高考课标n卷理科•第11题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列％生…%…满足

«,.e｛0,l｝（z=l,2,...）,且存在正整数加，使得/J乌（i=L2,…）成立，则称其为0-1周期序列，并称满

足ai+m=«,.（/=1,2,...）的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为加的0-1序列卬见.

1m

C伏）=—»四+式k=1，2,…，根-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足

m,=1

C（须4g（左=1,2,3,4）的序列是（）

A.11010---B.11011---C.1000L--D.11001---

5.（2023年全国乙卷理科•第10题）已知等差数列｛%,｝的公差为音，集合S=kos41"eN*｝,若S=｛。，4，

贝Uab=（）

A.-1B.——1C.0D.1g

22

二解答题

6（2024•全国高考II卷）已知双曲线。：/—/=>（租>0）,点耳（5,4）在C上*k为常数,0<k<l.按照

如下方式依次构造点pn(〃=2,3,...)：过《I作斜率为k的直线与c的左支交于点。"一，令匕为2-关于>轴

的对称点，记匕的坐标为(乙,%).

⑴若A=—,求了2，%；

(2)证明：数列｛i-%｝是公比为学的等比数列；

⑶设S“为A匕匕+£+2的面积，证明：对任意正整数"，Sn=Sn+l.

7.(2023年天津卷第19题)已知｛%｝是等差数列，出+%=16,%=4.

2"-1

(1)求｛。”｝的通项公式和Zai-

i=2"-'

(2)已知｛%｝为等比数列，对于任意左eN*，若1，贝

kk

(I)当上之2时，求证：2-l<bk<2+1；

(II)求｛bn｝的通项公式及其前n项和.

Si

8.(2022新高考全国I卷•第17题)记5〃为数列｛an｝的前n项和，已知q=1,。是公差为3的等差数列.

an\3

⑴求｛4｝的通项公式；

111c

(2)证明：——+…+—<2.

IT

9.(2020年浙江省高考数学试卷•第20题)已知数列｛斯｝，｛瓦｝,匕,｝中，

b*

4=4=q=Lc“=a-a„,c„=-^-c„(«eN).

n+i+1b

„+2

(I)若数列｛历,｝为等比数列，且公比q>0,且伪+&=6&,求q与斯的通项公式;

(II)若数列｛d｝为等差数列，且公差d>0,证明：cl+c1+.--+cn<\+\.

a

10(2023年新高考n卷)2.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮,

若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6