拓展之构造函数法解决导数不等式问题（原卷版）-2025年高考数学一轮复习训练

第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题

目录

类型一：构造/(x)=x"(x)或网尤)=华(〃eZ,且"0)型........2

类型二：构造％，=6造(%)或歹(x)=4?(〃eZ,且"0)型.......3

e

类型三：构造/(x)=/(x)sin%或％x)=2型....................4

sinx

类型四：构造/(x)=/(x)cosx或2x)=3型....................5

cosX

类型五：根据不等式(求解目标)构造具体函数...............7

1、两个基本还原

①/'(x)g(x)+f(x)g'(x)="(x)g(x)]'②/'(X)g(：)—#X)g'(X)=[弋丫

[g(x)]~g(x)

2、类型一：构造可导积函数

①*"'(x)+叭x)]=[e""(x)r高频考点1：e'"'(x)+/(x)]=[e"(x)r

②X"T[V'(X)+叭X)]=[X"(X)了

高频考点1：xf'(x)+f(x)=\_xf(x)]f高频考点2x[xf\x)+2/(%)]=[x2/(x)]f

③八x)：4(x)=[配r高频考点1：/X)/(x)=[驾了

eeee

xf'(x)-nf(x)"(x),

•XJi

高频考点1：=[2M]，高频考点2矿(X)二2/(x)=[驾r

XXXX

⑤f\x)sinx+/(%)cosx=[/(x)sinx]f

⑥f\x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]f

序号条件构造函数

1尸(x)g(x)+/(x)g'(x)>0尸(x)=f(x)g(x)

2r(x)+/(x)<0F(x)=exf(x)

3f'(x)+nf(x)<QF(x)=eMf(x)

4#'(*)+/(*)>0尸(x)=xf(x)

5#\%)+2/(%)<0F(x)=x2f(x)

6xf'(x)+nf(x)>QF(x)=x"/(x)

7f\x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx

8/r(x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=f(x)cosx

3,类型二：构造可商函数

①/⑴?⑴=[当)]高频考点1；=[当2了

eeee

exf'(x)-7矿(x)_r/(%),,,

U—L-J

Jin+1Jin

高频考点1：矿⑴/(X)=[2M1高频考点2：矿(X)二2/(x)=[△当

XXXX

③/'(x)sinx-/(x)cosx=1/(x)了

sin2xsinx

⑥/'(x)cosx+/(x)sinx=1/(x)了

一COS2XCOSX

高频考点

类型一：构造b(x)=x"(x)或/(x)=C^("eZ,且"0)型

典型例题

例题L(23-24高二下•天津•阶段练习)已知定义在(0,+8)上的函数f(x)满足

xf\x)-f(x)<0,且〃2)=2,则e，>0的解集是()

A.(YO,1II2)B.(In2,-Ko)C.(0,e2)D.(e2,+oo)

例题2.(23-24高三上•江苏南通,期末)已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为(0,+8),

若4(x)<2/(x),则()

A.4e2/(2)<16/(e)<e2/(4)B.e7(4)<4e2/(2)<16/(e)

C.e2/(4)<16/(e)<4e2/(2)D.16f(e)<e7(4)<4e2/(2)

例题3.(22-23高二下•重庆荣昌•期中)定义在R上的偶函数/'(x)的导函数为尸(x),且当

x<0时，xf'(x)+2f(x)<0.则()

A〃e)”2)

B.9〃3)>八1)

'4e2

D,迪小

C.4/(-2)<9/(-3)

9e2

练透核心考点

L（23-24高三上•天津•期中）已知定义域为R的奇函数＞=/（元）的导函数为y=/'（x）,当

若图,"（一2）,。=1L

xw0时,1f(x)+四<0,n则a,6,c的大小关

X

系正确的是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

2.（23-24高三上•江西南昌•阶段练习）若函数y=满足4＞'（%）＞-/（%）在R上恒成立,

且a＞Z?,则（）

A.af（b）＞bf（a）B,qf（a）＞bf（b）

C.af^a）＜bf[b}D.af（b）＜bf（a）

3.（多选）（23-24高二下•福建莆田•开学考试）已知尸（x）为函数的导函数，当x＞0时,

有了（司-犷'（同＞0恒成立，则下列不等式一定成立的是（）

A•佃立MB.佃＜2心

C.巾＞2〃1）D.2/出＞〃1）

类型二：构造2x)=e""(x)或/(x)=4^(〃wZ,且"0)型

e

典型例题

例题1.（23-24高二下•河北石家庄•阶段练习）已知定义在R上的函数/（X）,其导函数为

广（6,且〃力＜『'（"，则（）

A./（2024）＞/（2023）B./（2024）＞eA（2023）

C.e/^（2024）＜/（2023）D./（2024）＜e2/（2023）

例题2.（2024・贵州贵阳•一模）已知定义域为R的函数“X）,其导函数为尸（x）,且满足

/'（x）-2/（^）＜0,"0）=1,贝IJ（）

A.e2/（-l）＜lB."I）:

C-＞eD.出

例题3.23-24高三咛夏石嘴山•期中)已知函数f(x)在R上的导函数为了'⑴，若f(x)<2/'(x)

恒成立，且"In4)=2,则不等式的解集是()

A.(In2,+oo)B.(2In2,+oo)C.(^x),ln2)D.(田,21n2)

练透核心考点

1.(23-24高二上•江苏宿迁•期末)函数/(尤)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有

r(x)-/(x)>0,则()

A./(-1)>0B./(3)>ef(2)

D.ef(3)>/(4)

2.(22-23高三下•江西南昌•阶段练习)已知定义在(-2,2)上的函数满足

/U)+e4'/(-^)=0/(l)=e2,/(尤)为f(x)的导函数，当xe[0,2)时，f'(x')>2f(x),则不

等式e2，/(2-x)<e4的解集为()

A.(—1,1)B.(—1,2)

C.(14)D.(1,5)

3.(22-23高二下•河南洛阳・期末)已知尸(x)是定义在R上的函数“X)的导函数，对于任

意的实数x,都有=当尤>0时，〃x)+/'(x)>0.若〃a+l"e2"T〃3a),

则实数。的取值范围为()

A-RRB.匕2

(1]「1)/1]「1)

I2」14JI4」[2J

类型三：构造*x)=/(x)sinx或4乃=①型

sinx

典型例题

例题1.(22-23高二下•四川成都・期末)记函数/⑺的导函数为7'(x),若/⑺为奇函数，且

当xj-5,01寸恒有/(x)cos%+/'(x)sinx>0成立，则()

练透核心考点

1.(23-24高三上•黑龙江齐齐哈尔•期末)已知函数〃x)的定义域为(0,兀)，其导函数是1(x).

若对任意的xe(0,兀)有了'(尤)sinr-〃X)COK<0,则关于尤的不等式/(x)>2/(^)sinx的解集

为()

A.(0,，)B.(0,—)C.(—，^)D.(—,7r)

3636

2.(22-23高二下•四川成都・期末)记函数f(x)的导函数为/'(x),若/(X)为奇函数，且当

类型四：构造/(x)=/(x)cosx或％为=公型

COSX

典型例题

0,?上的函数“X),广⑺是它的导函数,

例题1.(2023高二上•宁夏石嘴山•期末)定义在

且恒有了(耳>/(分3%成立.则()

A.石启］佰］B.V3/(l)<2cosl/

例题2.(2023・全国•模拟预测)已知定义在上的函数/(X)满足/(-x)=〃x),当

xe(o,3时，不等式〃x)siiir+尸(x)cosx<0恒成立(尸(X)为〃尤)的导函数)，若

acosl=/(-l),Z>cos-|=/(-lnVe),c=2/11J,贝ij()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

例题3.(2023高三上•江苏南通•阶段练习)已知函数对于任意的电卜3，2满足

/'(x)cosx+〃x)sinx>0(其中「(力是函数〃x)的导函数)，则下列不等式成立的是()

D./(0)>2/

练透核心考点

L(22-23高二下•陕西咸阳•期中)已知广⑺是函数f(x)的导函数，/(x)-/(-x)=0,且

对于任意的有广(x)cosx+〃x)sinx>0.请你试用构造函数的方法，利用函数的

单调性判断下列不等式一定成立的是(

C./(-l)<V2/fjcosl

2.(22-23高二下•四川成者B•期末)记函数f(x)的导函数为「(X),若A》)为奇函数，且当

3.(22-23高二下•山东聊城•阶段练习)定义在10,皆上的函数f(x),已知尸(x)是它的导函

数，且恒有cosx-/'(x)+sinx-/(x)<0成立，则有()

c.町内燃0何会〈后中

类型五：根据不等式(求解目标)构造具体函数

典型例题

例题1.(23-24高二上•山西运城・期末)定义在R上的可导函数/(九)满足

XX—1

/(x)-/(-x)=xex+—,当％vO时，/'(%)+—^>0,若实数〃满足

exe

f(2a)-f{a+2)-2ae-2a+aca-2+2e^-2<0,则4的取值范围为()

-2-

A.——,2B.[2,+co)

C.u[2,+co)D.(—8,2]

2.(2024•全国•模拟预测)已知定义在(0,+8)上的函数〃尤)的导函数为((无)，若/'(无)

3x

/g)=3,则关于x的不等式3*>10>2苫的解集为()

3.(2023・吉林长春•一模)定义域为R的函数/(尤)的导函数记作了'(x),满足/'a)-/(x)>3e',

/(2)=6e2