江苏省连云港市东海县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省连云港市东海县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，，三点共线，则实数的值为（）A.1 B.3 C.-1 D.-3【答案】B【解析】由题意可得，则，可得，解得.故选：B.2.已知两条平行直线与间的距离为，则的值为（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】由题意，根据平行线间的距离公式，，即，解得或.故选：D3.若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的渐近线方程为，设该双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，即双曲线的方程为，化为标准式方程为.故选：A.4.圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】圆：的标准方程为，圆心为，半径为，圆：的标准方程为，圆心为，半径为，所以两圆圆心距为，所以，因此两圆的位置关系为相交.故选：C.5.一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】B【解析】由可得，，圆心为，半径；由可得，圆心为，半径.设动圆的圆心为，半径为，由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，，由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，，于是，即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离，根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆.故选：B6.若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，由题意得，，又的中点是，则，故，又在上，则，故，又，故，于是，根据斜率公式，.故选：A7.在平面直角坐标系中，点，点满足到直线距离为1，且，则符合要求的点的个数有（）A.0个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】由点满足到直线的距离为1，得，即或，此时点在直线或上，由，得，则，此时点在以为圆心，2为半径的圆上，点到直线距离为0，该直线与圆有2个公共点；点到直线的距离，该直线与圆有1个公共点，所以符合要求的点的个数有3个.故选：C8.已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由抛物线，则焦点，准线，作图如下：由，垂足为，则，在中，，则，由图可知当与抛物线相切时，最小，设过与抛物线切线的切点为，则，即，由抛物线方程，可得，求导可得，切线斜率，可得切线方程为，将代入上式，可得，解得，由图可知切线的方程为，则，此时取得最小值，则取得最大值2.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设直线过两点和，则（）A.直线的斜率为 B.直线的倾斜角为C.直线在轴上的截距为 D.直线在轴上的截距为【答案】BC【解析】根据斜率公式，，故A错误，设直线倾斜角为，由倾斜角的定义，，且，则，B正确，根据点斜式方程，直线的方程可写作，即，令，则，令，则，故直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，C正确，D错误.故选：BC10.已知双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线方程为，虚轴长为4，则（）A.当双曲线的焦点在轴上时，其实轴长为2B.当双曲线的焦点在轴上时，其共轭双曲线为C.当双曲线的焦点在轴上时，其离心率为D.双曲线的焦点到渐近线的距离为2【答案】BD【解析】依题意，，当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为，则，解得，所以双曲线方程为，对于A，由于，所以双曲线的实轴长为，所以A错误；对于C，由，得离心率为，所以C错误；对于B，当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为，则，解得，所以双曲线方程为，其共轭双曲线中，所以双曲线方程为，所以B正确，对于D，当焦点在y轴上时，由双曲线的对称性，不妨取焦点，则其到渐近线的距离为，当焦点在x轴上时，由双曲线的对称性，不妨取焦点，则其到渐近线的距离为，所以D正确，故选：BD11.已知曲线，则（）A.曲线关于直线对称B.曲线的周长为C.曲线所围成图形的面积为D曲线与直线有3个公共点【答案】ACD【解析】曲线上任意点有：，该点关于的对称点为，又，即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，所以曲线关于直线对称，故A正确；因点在曲线上，点，也都在曲线E上，则曲线E关于轴，轴对称，当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，2为半径的圆在直线上方的半圆（含端点)，因此，曲线是四个顶点为，，2,0，0,2的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如下图所示，所以曲线围成的图形面积是，故C正确;曲线的周长为，故B错误；因为直线过点，，且经过第一、二、四象限，又，当时，曲线的方程为，曲线过点0,2，2,0，又圆心直线的距离，结合图象可得，此时曲线与直线有个公共点；当时，曲线的方程为，表示圆心为-1,1，半径为的半圆（不包含端点），又-1,1到直线的距离，所以直线与圆相切，设过点-1,1且与直线垂直的直线方程为，则，解得，即为，由，解得，所以直线与有且只有一个交点，当时，曲线方程为，表示圆心为，半径为的半圆（包含端点），显然与直线没有公共点；当时，曲线的方程为，表示圆心为，半径为的半圆（不包含端点），又点到直线的距离，则曲线：与直线没有公共点；综上可得：曲线与直线有个公共点，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线过原点，且到直线的距离等于4，则直线的斜率为________.【答案】【解析】由题意可知直线的斜率存在，设其为，则方程为，由题意可得，解得故答案为：.13.已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则________.【答案】【解析】由椭圆，则，，所以，，设，由的面积为，则，解得，不妨设在第一象限，当时，，解得，.故答案为：.14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，若，且，则双曲线的离心率为________.【答案】【解析】由，令，则．由双曲线的定义可知，．由，所以，即，得，解得．则有，，，．因为，所以．由余弦定理可得，所以，得，所以双曲线的离心率.故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线，点，求：（1）经过点且与直线垂直的直线方程；（2）点关于直线的对称点.解：（1）由直线，可得其斜率为2，所以可得与之垂直的直线的斜率为，所以过点与垂直的直线的方程为，即（2）设的坐标为，则直线是线段的中垂线，所以解得所以的坐标为16.已知圆经过点，，.（1）求圆的方程；（2）求过点且与圆相切的直线方程.解：（1）设所求圆的方程为，因为点，，在所求的圆上，所以解得故所求圆的方程是.（2）当直线垂直于轴时，直线：与圆相切，满足条件；当直线不垂直于轴时，可设直线方程为即，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，从而，解得，因此，所求切线方程是或17.在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程.解：（1）因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支，设实轴长为，焦距为，虚轴长为，，，所以的轨迹方程为；（2）设直线的方程为，，，由化简得，则，，，，，，，或.，，，，所以的方程为．18.设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值.解：（1）设点，由已知，所以，又点到轴的距离为，即，即，由点在抛物线上，所以，解得或（舍去），故抛物线的方程为；（2）设点的坐标为，则直线的方程为，①抛物线的准线方程为，②联立①②，可解得点的纵坐标为，由（1）知焦点，当，即时，直线的方程为，联立消去，可得，即，可得点的纵坐标为，与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为0，当时，点的纵坐标为，直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为，此时直线的斜率为0，当时，同理可得直线的斜率为0，综上，直线的斜率为定值0.19.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点.（1）求的方程；（2）过点的两直线交于，两点，直线,与轴的交点分别为，，且，的中点为，证明