江苏省淮安市2023-2024学年高一上学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省淮安市2023-2024学年高一上学期期末调研测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.故选：C.3.若角的终边经过点（），则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由角的终边经过点，可得，可得，而的符号不确定.故选：A.4.关于x的不等式的解集是，那么（）A.1 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】因为关于x的不等式的解集是，所以方程的解为，则，所以，所以.故选：B.5.设且，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数在上是减函数，则解得，若函数在上是增函数，则，因为集合真包含于集合，所以“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件.故选：A.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数，即可知函数的定义域为R，即为偶函数，排除A、C，又由指数函数性质可以，即，排除B.故选：D.7.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】由函数，，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象.故选：C.8.已知函数有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于，易知，且抛物线开口向下，则必有一个负根，所以有且只有两个零点，易知，则.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列化简或者运算正确是（）A. B.（）C.（） D.【答案】ABD【解析】由对数运算法则可知，，即A、D正确；由指数运算法则可知，，即B正确，C错误.故选：ABD.10.用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（）0xabc131d1A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于点对称C.函数图象关于直线对称D.函数与表示同一函数【答案】ACD【解析】根据表格可知，且，则，由正弦函数的周期性可知的最小正周期为，故A正确；由已知结合正弦函数的对称性可知：，显然此时取得最小值，所以的图象不关于点对称，故B错误；由已知结合正弦函数的对称性可知：，此时取得最大值，所以的图象关于直线对称，故C正确；由诱导公式可知，故D正确.故选：ACD.11.定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（）A.B.C.D.（表示不大于x的最大整数）【答案】AD【解析】由正弦函数的性质可知，函数值域为，是有界函数，A选项正确；由指数函数的性质可知，函数值域为，不是有界函数，B选项错误；，由对勾函数的性质可知，函数值域为，不是有界函数，C选项错误；函数的值域为，是有界函数，D选项正确.故选：AD.12.已知函数满足：，，都有成立，则下列结论正确的是（）A.B.函数是偶函数C.函数周期函数D.，，若，则【答案】ACD【解析】令，则，故A正确；令，所以，故是奇函数，即B错误；令，则，所以，即是的一个周期，故C正确；在时易知，则，所以，即，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知扇形的周长为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积是___________．【答案】【解析】设扇形的半径为，则，解得，所以该扇形的面积为.14.函数的零点所在的区间为，则正整数的值为___________．【答案】【解析】因为函数在上单调递增，且，，所以的零点所在的区间为，所以正整数的值为.15.若函数是奇函数，则___________．【答案】【解析】由，可得，即，且，即，又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，所以，故，定义域为，因为函数是奇函数，所以，所以，经检验，符合题意，所以，，所以.16.已知正数x，y满足，则的最小值是___________．【答案】8【解析】正数x，y满足，设，则，故，，当且仅当，即时，等号成立，即，解得或（舍去），故最小值为8.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数取值范围．解：（1）因为是的充分条件，所以，所以，解得.（2）因为，所以，当时，符合题意，则，解得，当时，则，解得，综上所述，.18.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由于，且，故，且，则.（2）由于，因为，故，则，所以.19.已知函数.（1）解关于x的不等式：；（2）若（），求的最小值．解：（1）由题意可知，即.（2）因为，所以，不妨设，由对数函数的性质可知，则，所以，则，当且仅当时取得等号.20.已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．（1）求的值；（2）当时，求的表达式；（3）若函数在区间（）上的值域为，求的值．解：（1）因为，，所以，故是奇函数，且为其一个周期，且关于轴对称，所以.（2）结合（1）的结论可令，则，所以.（3）由（1）（2）可知，由二次函数单调性可知在上单调递增，且，所以，则，若，则，此时，若，则，此时，若，则，此时.故的值为或或.21.如图1“Omniverse雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P以为起始点，在以O为圆心，半径为2（单位：10米），按顺时针旋转且转速为rad/s（相对于O点转轴的速度）的圆周上，点O到地面的距离为a，且（单位：10米），点Q在以P为圆心，半径为1（单位：10米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q恒在点P的正上方，设转动时间为t秒，建立如图3平面直角坐标系．（1）求经过t秒后，点P到地面的距离PH；（2）若时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，求实数a的取值范围．解：（1）由题意及三角函数的定义可知，所以（单位：10米）.（2）根据题意可知，即，则，因为，所以，即，令，因为，所以，则，上式可化为，设，因为时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，则在上有两个相异实数根，即，解之得.22.已知函数，．（1）函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当时，对任意，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：．解：（1）由函数，可得的图象开口向