现代信号处理-第2讲

傅里叶正变换：

或

傅里叶反变换：

或

傅里叶变换对1.1.2能量信号的频谱分析一、傅里叶变换(Fouriertransform)581傅里叶反变换：符号表示：物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为

、复振幅为[X(

)/2

]d

的复指数信号ej

t的线性组合称信号x(t)的傅里叶变换X(

)为其连续频谱一个信号满足狄里赫利条件，其傅里叶变换存在582狄里赫利条件狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值

和最小值（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，

且这些点必须是有限值一个连续信号x(t)的傅里叶变换X(

)是唯一的583二、连续频谱

周期信号的频谱为离散频谱

非周期信号的频谱为连续频谱

连续频谱密度函数(简称连续频谱)：振幅密度谱简称振幅谱相位密度谱简称相位谱584例1

计算图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数解：可记作：类似，幅度A、中心t0、宽度

的矩形脉冲可记作：585由傅里叶正变换定义式，可得：586若t0=0：

时域抽样函数：主瓣幅度A、中心t0、第一零点和中心距离tp利用傅里叶反变换可证明：587证：例2

计算指数信号e-a|t|(a>0)的频谱函数解：由傅里叶正变换定义式，可得：5881.1.3信号的基本概念一、典型信号1．正弦信号A:振幅

w0:角频率(弧度/秒)j:初始相位589

2．实指数信号5810虚指数信号是周期信号：其中周期为：Euler公式：3．虚指数信号58114．复指数信号5812抽样函数具有以下性质：与Sa(t)函数类似的是sinc(t)函数，其定义为：5．抽样信号5813定义:6．阶跃信号5814可表示任意的矩形脉冲信号x(t)=u(t-T)-u(t-2T)作用:5815

可表示信号的时间范围

5816与阶跃信号之间的关系：定义：7．斜坡信号5817阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流

i(t)=Cdu(t)/dt可用冲激信号表示狄拉克定义式：

(t)=0,t

0

2)冲激信号的定义1)冲激信号的引出8．冲激信号58183)冲激信号的图形表示

说明：

冲激信号可延时至任意时刻t0，以符号

(t-t0)表示定义式为：波形表示5819物理意义：作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型冲激信号的作用：冲激信号具有强度，强度就是冲激信号对时间的定积分值

图中用括号注明，以区分信号的幅值表示其他任意信号表示信号间断点的导数4)冲激信号的极限模型582058215)冲激信号的性质

筛选特性取样特性证：5822展缩特性证：任取一信号g(t)，对于令x=at，若a>0，则有：若a<0，则有：5823推论：冲激信号是偶函数

a=-1

d(t)=d(-t)与阶跃信号的关系

6)其他定义形式：5824冲激偶信号图形表示定义：9．冲激偶信号(+1)(+1)(+1)(-1)(-1)5825性质：58261.尺度变换x(t)

x(at)a>0若0<a<1，则x(at)是x(t)的扩展若a>1，

则x(at)是x(t)的压缩二、典型基本运算58272.信号的翻转 x(t)

x(-t)

将x(t)以纵轴为中心作翻转58283.时移（平移）x(t)

x(t-t0)t0>0x(t-t0)表示信号右移x(t+t0)表示信号左移

5829

4.信号的相加

x(t)=x1(t)+x2(t)+……xn(t)58305.信号的相乘x(t)=x1(t)

x2(t)……xn(t)58316.信号的微分

y(t)=dx(t)/dt=x'(t)5832注意：对不连续点的微分58337.信号的积分

5834

x(t)和y(t)的卷积定义为：1）将x(t)和y(t)中的自变量由t改为

卷积的计算步骤：2）把其中一个信号翻转、平移3）将x(t)与y(t-t)相乘，对乘积以

积分8.信号的卷积

5835例1解：5836计算y(t)=p1(t)*p1(t)

a)-

<t

-1b)-1

t<0y(t)=0例2解：5837c)0

t<1d)1

t<

y(t)=0

5838卷积的性质

1)交换律(Communitive)：

x1(t)*x2(t)=x2(t)*x1(t)2)分配律(Distributive)：

[x1(t)+x2(t)]*x3(t)=x1(t)*x3(t)+x2(t)*x3(t)3)结合律(Associative)：

[x1(t)*x2(t)]*x3(t)=x1(t)*[x2(t)*x3(t)]4)位移特性(Delayaccumulation)：已知

x1(t)*x2(t)=y(t)则:x1(t-t1)*x2(t-t2)=y(t

-t1

-t2)5)展缩特性已知

x1(t)*x2(t)=y(t)5839位移特性证明：展缩特性证明：5840奇异信号的卷积

1)延迟特性

x(t)*

(t-T)=x(t

-T)

2)微分特性

x(t)*

'(t)=x'(t)

3)积分特性三、信号的分解1．信号分解为直流分量与交流分量5841直流交流58422.信号分解为奇分量与偶分量之和偶分量奇分量例3画出x(t)的奇、偶两个分量5843解：58443．信号分解为实部分量与虚部分量实部分量虚部分量4.连续信号分解为冲激函数的线性组合58455846当

0时，k

，

d

，且58471、单边指数信号幅度频谱为相位频谱为1.1.4常见信号的傅里叶变换5848单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱58492、单位冲激信号δ(t)单位冲激信号及其频谱58503、直流信号

5851对照冲激、直流时频曲线可看出:

时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄时域持续越窄的信号，其频