（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第05讲 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形问题（原卷版）

第页第05讲圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形问题知识讲解椭圆焦点三角形主要结论在ΔPF1F椭圆定义可知:

(1).PF1+PF2=2a,F1F2双曲线焦点三角形主要结论如图,F1、F2记∠F1PF椭圆、双曲线焦点三角形离心率记∠P则椭圆的离心率为:e=双曲线的离心率为:e=椭圆焦点弦三角形周长F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F双曲线焦点弦三角形周长如图1，F1,F2为双曲线C:x2a2−y椭圆焦点弦三角形面积公式F1、F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b（2）F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于A、B双曲线焦点弦三角形面积公式（1）设直线l过焦点F2且交双曲线x2a2−y2b2=1（2）F1、F2为双曲线C:x2a2−y2b2=（3）F1、F2为双曲线C:x2a2−y2bS抛物线焦点弦三角形面积公式设直线l过焦点F且与抛物线y2=2pxp>0交于A、B两点，直线考点一、椭圆的焦点三角形周长问题【例1】椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．【例2】已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（

）A．的周长为6B．的面积为C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（

）A．B．C．D．【变式2】已知椭圆的左、右焦点为，，点关于直线的对称点P仍在椭圆上，则的周长为．考点二、椭圆的焦点三角形面积问题【例1】设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A．B．C．D．【例2】（多选）已知为椭圆的左、右焦点,为平面上一点,若,则（

）A．当为上一点时,的面积为9B．当为上一点时,的值可以为C．当满足条件的点均在内部时,则的离心率小于D．当点在的外部时,在上必存在点,使得【变式1】已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6B．12C．D．【变式2】设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（

）A．或B．或C．或D．或考点三、双曲线的焦点三角形面积问题【例1】设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（

）A．B．2C．D．1【变式1】设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（

）．A．B．C．D．【变式2】双曲线的两个焦点为、，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为．考点四、椭圆、双曲线的焦点三角形离心率问题【例1】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A．B．C．D．【例2】已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（

）A．B．C．D．【变式1】已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF1与轴垂直，sin,则E的离心率为A．B．C．D．2【变式2】设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于A．B．或2C．2D．考点五、椭圆的焦点弦三角形周长问题【例1】已知△的顶点､在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（

）A．B．C．D．【变式1】过椭圆的右焦点作倾斜角为直线l交椭圆C于A､B两点，是左焦点，则的周长为（

）A．10B．16C．20D．与有关【变式2】设椭圆的两个焦点为，，椭圆上的点P，Q满足P，Q，三点共线，则的周长为（

）A．2aB．2bC．4aD．4b考点六、椭圆的焦点弦三角形面积问题【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则的面积等于（

）A．18B．10C．9D．6【例2】（多选）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线与椭圆交于M，N两点，则（

）A．椭圆的离心率B．的周长为12C．的面积为D．为等边三角形【变式1】设P为椭圆C：上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为（

）A．24B．12C．8D．6考点七、双曲线的焦点弦三角形周长问题【例1】过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是.【例2】过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是.【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（

）A．B．C．D．【变式2】已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若的周长为20，则线段AB的长为．考点八、双曲线的焦点弦三角形面积问题【例1】设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C交于A，B两点，若为正三角形，则C的离心率为，的面积为【变式1】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（

）A．B．C．2D．3考点九、抛物线的焦点弦三角形面积问题【例1】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为A．B．C．D．【例2】设F为抛物线的焦点，过F作倾斜角为的直线与该抛物线交于两点，且为坐标原点，则的面积为（

）A．B．C．D．【变式1】设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（

）A．B．C．D．4【变式2】设F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为（

）A．B．C．D．圆锥曲线焦点三角形问题课后练习1.已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（

）A．B．C．D．2.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24B．C．D．303.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（

）A．12B．C．16D．104.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A．B．C．D．5.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．26.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（

）A．3B．C．D．7.设为双曲线的焦点，过作倾斜角为的直线与该抛物线交于，两点，且，为坐标原点，则的面积为（

）A．B．C．D．8.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（

）A．B．C．2D．39.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则.10.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为．圆锥曲线焦点三角形问题随堂检测1.已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（

）A．B．C．D．2.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1B．2C．4D．53.已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，且的周长为8，则（

）A．2B．3C．4D．64.已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6B．12C．D．5.已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则A．2B．4C．6D．86.设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为A．