（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第01讲 三角函数（教师版）

第第页第01讲三角函数一．同角三角函数的基本关系1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1.2.商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠k·eq\f(π,2)＋αk∈Z)3.公式变形：sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．sinα＝tanαcosα(α≠k·eq\f(π,2)＋αk∈Z)．二．三角函数的诱导公式1.公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限2.诱导公式的记忆口诀奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．“符号看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．三．两角和与差的余弦、正弦、正切公式1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ5．tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)6．tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)四．二倍角公式1．基本公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)．2．公式变形(1)降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α；(2)升幂公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2．（3）tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)五．积化和差与和差化积公式1．积化和差公式2．和差化积公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)一．常见的弦化切的结构形式1.sinα、cosα的一次齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))，解决此类问题时，用分子分母同时除以cosα，将其转化为关于tanα的式子，进而求解．2.sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)，解决此类问题时，将原式看成分母是1的表达式，把1换成“sin2α＋cos2α”，然后用分子分母同时除以cos2α将其转化为关于tanα的式子，进而求解．二．弦的和差积形式对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.诱导公式①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.角的变换（角的拼凑）1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3.常见的互余关系有eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq\f(π,6)－θ与eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等.常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－α)等．五．三角函数式化简弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．六．证明三角函数恒等式1.如果需证的三角函数恒等式中只含同角三角函数，则可以从变化函数入手，即尽量把等式中所含三角函数都化为正弦和余弦或全部化为某一函数，虽然能达到最终目标，但这种方法不一定最简单；2.如果需证的三角函数恒等式中含有不同角的三角函数，则宜从角的简化入手，尽量化复角为单角，或者减少不同角，以便能使用某一公式进行变形；3.在证明三角函数恒等式中，“1”出现的频率较高，则可把“1”代换为sin2α＋cos2α或tan45°等．考法一同角三角函数公式的知一求二【例1-1】已知是第二象限角，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是第二象限角，，所以，故选：D.【例1-2】已知α是三角形的内角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sinα＋cosα的值为________．【答案】－eq\f(\r(10),5)【解析】由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，且sinα>0，cosα<0，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，所以cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5)．【一隅三反】1．(多选)若sinα＝eq\f(4,5)，且α为锐角，则下列选项中正确的有()A．tanα＝eq\f(4,3)B．cosα＝eq\f(3,5)C．sinα＋cosα＝eq\f(8,5)D．sinα－cosα＝－eq\f(1,5)【答案】AB【解析】∵sinα＝eq\f(4,5)，且α为锐角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，故B正确，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(4,5),\f(3,5))＝eq\f(4,3)，故A正确，∴sinα＋cosα＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5)≠eq\f(8,5)，故C错误，∴sinα－cosα＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)≠－eq\f(1,5)，故D错误．考法二弦切互换【例2-1】已知，则__________.【答案】2【解析】已知，所以，，.故答案为：2【例2-2已知为锐角，满足，则________．【答案】2【解析】因为，整理得，解得或，又因为为锐角，则，所以.故答案为：2.【一隅三反】1．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得：，所以.故选：A2．已知，则的值是__________．【答案】5【解析】因为，，故答案为：5.考法三弦的和积转化【例3-1】已知，，则下列结论不正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由，解得，，且，有，A选项正确；，B选项正确；，C选项正确；，D选项错误.故选：D【例3-2】已知，且，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，∵，∴，两边平方可得，∴，∴，∴．，∴，∴．故选：B.【一隅三反】1．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得：，整理得，且，可得，即，可得，因为，可得，所以.故选：D.2．已知，且，则用表示的值为___________.【答案】【解析】，，，，，时，，则，则，故答案为：.考法四诱导公式【例4-1】若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，解得,则.故选：C.【例4-2】已知，则_______．【答案】【解析】，则，所以，因为，所以，，则.故答案为：【一隅三反】1．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】,又,故.故故选：B2．(多选)下列化简正确的是()A．tan(π＋1)＝tan1B．eq\f(sin－α,tan360°－α)＝cosαC．eq\f(sinπ－α,cosπ＋α)＝tanαD．eq\f(cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝1【答案】AB【解析】A选项：tan(π＋1)＝tan1，故正确；B选项：eq\f(sin－α,tan360°－α)＝eq\f(－sinα,－tanα)＝eq\f(sinα,\f(sinα,cosα))＝cosα，故正确；C选项：eq\f(sinπ－α,cosπ＋α)＝eq\f(sinα,－cosα)＝－tanα，故不正确；D选项：eq\f(cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝eq\f(－cosα·－tanα,－sinα)＝eq\f(cosα·\f(sinα,cosα),－sinα)＝－1，故不正确．故选A、B．考法五和差倍角公式的运用【例5-1】下列化简不正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项，，所以A选项正确.B选项，，B选项正确.C选项，，C选项正确.D选项，，D选项错误.故选：D【一隅三反】1．（多选）下列等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对于A选项，，A对；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：AC.2．（多选）下列命题中正确的是（

）A．的值等于B．若，则C．D．【答案】AC【解析】A，，所以，A正确B.若，则，即，解得，B错误；C，C正确；D，，D错误故选：AC．考法六角的拼凑【例6-1】已知，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，的值为，故选：【例6-2】已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选：B.【例6-3】若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为所以，，因为，，所以，，则．故选：C【一隅三反】1．已知，则（

）A．B．C．-D．【答案】A【解析】.故选：A.2．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得,故选：B3．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，即，所以，则，所以.故选：D考法七简单三角恒等变换【例7-1】已知，则的近似值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B【例7-2】若两个锐角，满足，则______.【答案】【解析】因为，所以所以，因为，为锐角，所以有，所以，即，所以，即，因为，为锐角，所以有，即，所以故答案为：【一隅三反】1．（

）A．B．C．D．6【答案】A【解析】.故选：A2．若，则（

）A．0B．C．1D．【答案】C【解析】由，可得，又由正弦的倍角公式，可得，即，令，则，解得，所以.故选：C.3．若，则__________.【答案】【解析】，或，当时，可得，此时，显然没有意义；当时，，此时，所以有，当时，；当时，，故答案为：.第四章三角函数章节复习第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1．已知角的终边过点，且，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用三角函数的定义可得出关于的方程，解出的值，再利用三角函数的定义可求得的值.【详解】由题得，解得，所以点，所以．故选：B．2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（

）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减【答案】D【分析】根据给定条件，求出变换后的函数解析式，再探讨在两个指定区间上的单调性作答.【详解】函数，即，将其图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是，当时，，因为余弦函数在上不单调，因此函数在上不单调，AB错误；当时，，因为余弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，C错误，D正确.故选：D3．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.【详解】因为，所以.故选：A.4．用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，求出圆锥的底面半径、高，得到，利用二倍角公式即可求出．【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为．∵扇形的圆心角为∴，∴∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长∴，∴∴∴∴．故选：A．5．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为，所以，即，所以．，故选：B．6．已知为第二象限角，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.【详解】为第二象限角，，原式..选：B.二、多选题7．已知函数的最小正周期为，则（

）A．B．直线是图象的一条对称轴C．在上单调递增D．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象【答案】AB【分析】根据辅助角公式和函数的最小正周期可得，然后利用的性质可得.【详解】，因最小正周期为，，故，得，故，选项A：，故A正确；选项B：的对称轴为，，即，，当时，，故B正确；选项C：令，，得，，故的单调递减区间为，，当时，的单调递减区间为，故C错误；选项D：将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到，故D错误.故选：AB8．关于函数，则下列结论正确的有（）A．是奇函数B．的最小正周期为C．的最大值为D．在单调递增【答案】AC【分析】利用函数的奇偶性定义、三角函数的周期性以及函数周期的求法判断AB；再根据周期性研究函数在区间上的最值、以及单调性，判断CD.【详解】由题知，定义域为，，所以是奇函数，故A正确；因，所以是的周期，故B错；，当且仅当时，等号成立，由得，即，所以，故C正确；因，，则，所以在上不是单调递增的，故D错.故选：AC9．已知，，，下列选项正确的有（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.【详解】由于且，所以，又，，故或，当时，显然不满足，故，所以，故A错误，对于B，，故B正确，对于C,，故C错误，对于D，由B可知，所以，故D正确，故选：BD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题10．已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则．【答案】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出的解析式，代值计算可得出的值.【详解】因为，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，因此，.故答案为：.11．已知，都是锐角，，则=.【答案】2【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.【详解】法1：.，.法2：由，令，则，则，故答案为：212．已知均为锐角，，则的最小值为.【答案】【分析】化切为弦，然后利用两角和余弦公式展开，利用基本不等式求解最值即可.【详解】，因为均为锐角，则，因此，因此，当且仅当时，等号成立.故答案为：.四、解答题13．已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.【答案】(1)；(2)，【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊点的坐标，求出，得到函数解析式；（2）先根据平移变换和伸缩变换得到，令，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到，再根据对称性得到，相加后得到，求出答案.【详解】（1）由图示得：，解得：，又，所以，所以，所以.又因为过点，所以，即，所以，解得，又，所以，所以.（2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，当时，，令，则，令，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，,所以时，.当时，方程恰有三个不相等的实数根.因为有三个不同的实数根，且关于对称，关于对称，则，两式相加得：，即，所以.14．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)已知在时，求方程的所有根的和.【答案】(1)，，；(2)【分析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.【详解】（1）图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，，又，，故的解析式为，令，得函数的递减区间为，.（2），，，方程可化为，解得或，即或当时，或或解得或或当时，，所以综上知，在时，方程的所有根的和为.三角函数随堂检测1．已知直线的倾斜角为，则（

）A．-3 B． C． D．【答案】B【解析】因为直线的倾斜角为，所以.所以.故选：B.2．已知角的终边经过点，则（