山东省菏泽市定陶区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案）

九年级数学期中样题

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符

合题目要求.

1.如果两个相似三角形对应边的比为2:3,那么它们的面积比为（）

A.2:3B.4:6C.4:9D.6:9

2.下列各组中两个图形不一定相似的是（）

A.有一个角是35。的两个等腰三角形B.两个等腰直角三角形

C.有一个角是120。的两个等腰三角形D.两个等边三角形

3.已知在必442C中，ZC=9O°,tan^=—,贝此8的度数是()

3

A.30°B.45°C.60°D.75°

4.如图，在平面直角坐标系中，△48C与AHB'C'是位似图形，位似中心为点O.若点

的对应点为4（-6,2）,则点8（-2,4）的对应点9的坐标为（）

C.(-8,4)D.(4,-8)

5.用反证法证明“若。<6<0,则/>〃”时，应假设()

A.a<bB.a>bC.a2<b2D.a2>b2

6.如图,48是。。的直径，弦CO1/8于点E,OC=5cm,CD=8cm,则/£=()

7.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高L8m的测量仪所测得的仰角为45。，小军在

试卷第1页，共6页

小明的前面5m处用高1.5m的测量仪C。测得的仰角为53。，则电子厂45的高度为（）（参

考数据：sin53°,cos53°,tan53°«—)

A______

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

8.如图，4B,C,。是(DO上的点，半径。4=3,AB=CD^/DBC=25。,连接ZD,则

9.一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图

（数据如图，单位：mm）,则从闭合到打开8,。之间的距离减少了（）

图1图2图3

A.25mmB.20mmC.15mmD.8mm

10.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是

其示意图，图②中，点/在直线1上往复运动，推动点2做圆周运动形成。。，AB与BO

表示曲柄连杆的两直杆，点C、。是直线/与。。的交点；当点N运动到E时，点8到达

C,当点/运动到尸时，点3到达若/2=12,。6=5,则下列结论正确的是（）

试卷第2页，共6页

①FC=2；②EF=12；③当48与。。相切时，及4=4；④当081.8时，EA=AF

图②

C.3个D.4个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.

11.若一个多边形的内角和为1080。，则这个多边形的位似图形是边形.

12.用min{a、Ac}表示这三个数中最小的数，则

min{sin30°,cos45°,tan30°}=

13.如图，△ABC是。。的内接三角形，NA4c=50。，半径为3,则前的长

为________

14.如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15。的方向上，该轮船又从A处向正东方向

行驶100海里到达3处，测得灯塔C在北偏西60。的方向上，则轮船在3处时与灯塔C之间

的距离（即5c的长）为海里.

15.如图，在矩形48cZ）中，4B=12cm,BC=6cm,点尸沿48边从点4开始向点8以2cln/s

的速度移动，点。沿加边从点。开始向点/以lcm/s的速度移动，如果尸、。同时出发,

试卷第3页，共6页

用f(s)表示移动的时间(0W6),那么：当/=为何值时，以点0、/、P为顶点的

三角形与△/8C相似.

16.如图，48是。。的直径，是。。的切线，点C为。。上任意一点，点。为灰的中

点，连接8。交/C于点E,延长。0与N"相交于点尸，若。尸=1,tan8=1,则NE的长

三、解答题：本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.计算：

“、4sin?60°-2sin300-tan45°

⑴------------------------；

tan60°-2cos45°

⑵西-(兀-3.14)°+[£]+|73|-2COS30°.

18.在RtZi/BC中，NBAC=9。。,是斜边2C上的高.

(2)若NB=6,8c=10,求的长.

-4

19.如图，点尸是Na的边。4上的一点，已知点尸的横坐标为6,若tana=].

试卷第4页，共6页

(1)求点P的纵坐标；

(2)求Na的正弦值、余弦值.

20.水坝的横截面是梯形ABCD,现测得坝顶DC=4m,坡面AD的坡度i为1:1,坡面BC

的坡角P为60。，坝高3m,(由"73)求：

⑴坝底AB的长(精确到0.1)；

(2)水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度(如图)，使新坡面

DE的坡度i为1：6，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有

影响？请说明理由.

21.如图，42是。。的直径，弦CDLAB于点E,G是二上一点，AG,。。的延长线交

于点尸，连结CG,DG,ZAGD=60°.

⑴求NFGC度数.

(2)求证：AGCF=CGCD.

DC

(3)令音二左，若/2=4,CG=JL求人的值.

22.如图，48是O。的直径，弦CD14B,垂足为X,连结NC,过丽上一点E作EGII/C

交CD的延长线于点G,连结/£交。于点尸，且EG=FG,连结CE.

试卷第5页，共6页

（1）求证：△ECFsAGCE；

（2）求证：EG是。。的切线；

3

⑶延长■交GE的延长线于点若tan/G=w,AH=3,求EM的值.

A

—c

M

23.某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究.

（一）拓展探究

如图1,在△4BC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为

（1）兴趣小组的同学得出AC?=4028.理由如下:

•・•ZACB=90°Z.A+AB=90°

•••CD1ABZA=ZA:.AABCS"CD

AB…

ZADC=90°/.——=@

AC—

.\ZA+ZACD=90°

：.AC2=AD-AB

=®_______

请完成填空：①.；②.

（2）如图2,尸为线段CD上一点，连接/尸并延长至点E,连接CE,当Z^CE=4尸。时,

请判断A/防的形状，并说明理由.

（二）学以致用

（3）如图3,ZUBC是直角三角形，ZACB=90°,AC=1,BC=246,平面内一点。，满足

AD=AC,连接CD并延长至点E,且/CEB=/CBD,当线段BE的长度取得最小值时，求

线段CE的长.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于

相似比的平方”即可解得.

【详解】解：•••两个相似三角形对应边的比为2:3,

两个相似三角形的相似比为2:3,

二它们的面积比为4:9.

故选：C.

2.A

【详解】试题解析：A、各有一个角是45。的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是

45°,而另一个等腰三角形的顶角是45。，则两个三角形一定不相似；

B、因为其三个角均对应相等，所以一定相似；

C、各有一个角是120。的两个等腰三角形，120。的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所

以一定相似；

D、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60。，相等，所以一定相似.

故选A.

考点：相似三角形的判定.

3.C

【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出乙4的值，再根据直角三角形的两个锐角互余即

可求出N8的度数.

【详解】解：••・在RtAABC中，ZC=9O°,taaA=—,

3

■■^4=30°.

.•.Z5=9O°-Z/4=6O°.

故选：C.

【点睛】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值及直角三角形的性质.

4.A

【分析】本题考查了位似变换，根据点4⑷的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解,

掌握位似变换的性质是解题的关键.

【详解】解：与A，®。是位似图形，点4-3,1)的对应点为4(-6,2),

AA'B'C'与AASC的位似比为2,

答案第1页，共19页

.,.点5(-2,4)的对应点B'的坐标为(-2x2,4x2),即(-4,8),

故选：A.

5.C

【分析】根据反证法的第一步是否定结论，大于的否定说法是小于或等于，则可判断结

论.

【详解】否定结论：a2>b2,则应假设：a2<b-,

故选：C.

【点睛】本题考查反证法对结论的否定，要掌握一些常见结论的否定方法.如“大于”的否定

是“不大于或小于等于“，“小于”的否定是“不小于”等等.

6.A

【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在RtaCOE中，利用勾股定理可得出的长

度.

【详解】解：弦，48于点£,CD=8cm,

•1.CE=—CD=4cm.

2

在Rt^COE中，CO=5cm,

OE=\IOC2-CE2=A/52-42=3•

故选：c.

【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理是求线段长的常用方法.

7.A

【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形

EFDG、EFBM、CD8N是矩形，再设GM=xm,表示EM=(x+5)m,然后在

Ri^AEM,tanZAEM=—,以及RtA/CN,tanN/CN=W^，运用线段和差关系，即

EMCN

4

MN=AN-AM=-x-(x+5]=03,再求出x=15.9m,即可作答.

【详解】解：如图：延长DC交于一点G,

答案第2页，共19页

A

冏_____*rM

FDB

•・•ZMEF=NEFB=/CDF=90°

・•・四边形£FDG是矩形

•・•ZMEF=/EFB=NB=90°

・•・四边形£必河是矩形

同理得四边形CDBN是矩形

依题意，得£尸=也=1.8m,CD=1.5m,ZAEM=45°,/ACN=53。

.-.CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

CG=MN=0.3m

・•・设GM=xm,则EW=(x+5)m

在Rt^AEMtanAAEM=

fEM

：-EMxl=AM

即AM=(x+5)m

AN

在RM/CMtanZACN=——,

CN

4

・・・CNtan530=-x=/N

3

4

即AN=—xm

4

：.MN=AN-AM=-x-(x+5)=0.3

・•・x=15.9m

=15.9+5=20.9(m)

・•.AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22J(m)

故选：A

8.A

【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接。。、OD,由圆周角定理可得

答案第3页，共19页

NCOD=2ZDBC=50。,进而得N/QB=/CO。=50。，再根据扇形的面积计算公式计算即

可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键.

【详解】解：连接OC、OD,则/COO=2/D8C=50。，

"AB=CD，

ZAOB=ZCOD=50°,

_50x71x3?_5

1s扇物OB=———=彳兀

【分析】连接图2、图3中的8。，图2中证明利用相似三角形的性质求得

BD,在图3中证明四边形EED8是矩形，求得BD,进而作差即可求解.

【详解】解：如图2,连接

图2图3

•••AE=CF=28,BE=DF=35

AEAF_28_4

又乙

~AB~AD~~63~9EAF=^BAD,

:.AAEF~AABD,

BD_AB

又EF=20,

^F~HE

.瑞g解得：35,

如图3,连接AD,

-BE//DF,BE=DF,

答案第4页，共19页

・•・四边形EFDB是平行四边形,

,:乙BEF=90°,

.•.四边形EFDB是矩形，则BD=EF=2Q,

二从闭合到打开2,。之间的距离减少了45-20=25(mm),

故选：A.

【点睛】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意,

会利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键.

10.B

【分析】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练

的利用数形结合的方法解题是关键.根据切线的性质和勾股定理以及垂径定理即可得到结论.

【详解】解：如图，由题意可得：

\

\

1

EAFoL[

\/

\/

、、//

•・•AB=CE=12,AB+BO=OE=17,FD=AB=12,OC=OL?=OD=5,

：.FC=FD-CD=12-TQ=2,故①正确；

AEF=CE-CF=12-2=10,故②错误；

如图，当48与。。相切时，N48O=90。，

B一一、

EAF\COD；

\/

\/

X/

、、//

、-----,

•••AO7AB2+OB。=13，

.­.EA=EO-AO=n-13=4,故③正确；

当08_LCD时，如图，

答案第5页，共19页

•••/E=EO-/O=17-Vn?，AF=AO-OF-2-5^y/H9-7,

■.AE^AF,故④错误;

正确的有2个，

故选：B.

11.八

【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质.熟练掌握多边形内角和，相似多边

形的性质是解题的关键.

设”边形的内角和为1080。，则180。(〃-2)=1080。，可求〃=8,然后根据相似的性质作答即

可.

【详解】解：设"边形的内角和为1080。，

.•.180°(«-2)=1080°,

解得，〃=8,

由相似的性质可知，这个多边形的位似图形是八边形，

故答案为：八.

12.sin30°

【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关

键.

分别得出各个三角函数的值，再比较大小，即可解答.

【详解】解：sin30°=—,cos45°=—^-,tan30°=—,

223

•••V2«1.4,A/3»1.7,

—®0.7>—«0.57,

23

答案第6页，共19页

,BPcos45°>tan30°>sin30°,

232

min{sin30°、cos45°、tan30°}=sin30°.

故答案为：sin30°.

13.-7T

3

【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.根据圆周角定理求

出NBOC=2/A4c=100。，再由弧长公式计算即可.

【详解】解：,•,NB/C=50。，

NBOC=2NBAC=100°,

故答案为：-n-

3

14.(5073+50)

【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题.过点A作/。28C,垂足为

根据题意可得：ZABD=30°,ZC4B=105°,从而利用三角形内角和定理可得/C=45。，

然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出ND和5。的长，再在

氏△/C。中，利用锐角三角函数的定义求出。的长，最后利用线段的和差关系进行计算,

即可解答.

【详解】解：过点A作/D/2C,垂足为。，

AB

由题意得：ZABD=90°-60°=30°,NC/8=90°+15°=105°,

ZC=180°-ZCAB-ZABC=45°,

在中，/8=100海里，

^73=1^5=50（海里），BD=y/3AD=5073（海里），

AF）

在中，CD=——=50（海里），

tan450

答案第7页，共19页

BC=BD+CD=(5073+50)海里,

轮船在B处时与灯塔C之间的距离(即8c的长)为30石+50)海里,

故答案为：卜04+50).

15.方=1.2s或才=3s

【分析】本题主要考查了相似三角形.熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论，是解题的关

键.

QAAP经时，得”3s两种情况.

=---时，得，=1.2s；

ABBCnCAB

【详解】解；根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形中:

①当当=名时，WPSA4BC,那么有：二=之，解得'=?=1.2(s),

AnnC12o5

即当f=1.2s时，△Q4PsMBC；

nAAp6-

②当黑=受时，,那么有：一=9，解得t=3(s),

nCADO12

即当I=3s时，△PAQSMBC；

所以，当，=1.2s或f=3s时，以点。、4、P为顶点的三角形与△4BC相似.

故答案为：/«1.2s^Z=3s.

16.V5

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌

握相关知识是解题关键.

先证/DAF=Z.ABD可得小DAFs^DBA从而得到-—tanB=—,求得AD=2,再运

ADBD2

用勾股定理可得/尸=石，再根据圆周角定理以及角的和差可得44研＞=NNED,最后根据

等角对等边即可解答.

【详解】解：是。。的直径,

ZADB=90°,

・・•///是。。的切线，

NBAF=90°,

答案第8页，共19页

ZDAF=/ABD=90°-/DAB,

••・ADAFS^DBA,

DFAD「]_

-----=tanB

~ADBD2

-DF=1,

AD=2,

•••AF=亚,

,・,点。为N?的中点,

•••AD=CD，

；.NABD=ZDAC=ZDAF,

•:/ADE=/ADF=9。。,

90°-ZDAE=90°-ZDAF,§PZAED=ZAFD,

AE=AF=V5.

故答案为：Vs.

17.(1)V3+V2

⑵6

【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算、实数的混合运算：

(1)先将特殊角三角函数值代入，再进行分式计算即可；

(2)先计算二次根式、零次暴、负整数次暴、绝对值，代入特殊角三角函数值，再进行加

减运算.

川与一2XL

【详解】(1)解：原式=_〔21_____

石-2x交

2

3

二4

V3-V2

3-1-1

-V3-V2

1

-V3-V2

=y/3+y[2.

答案第9页，共19页

(2)解：原式=3一l+4+6-2x立

2

=3-l+4+V3-V3

=6.

18.(1)见解析

⑵如1

【分析】(1)根据三角形高的定义得出=90。，根据等角的余角相等，得出

NBAD=NC,结合公共角=即可得证；

(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】(1)证明：•・•/A4c=90。，4D是斜边3c上的高.

ZADB=90°,Z5+ZC=90°

ZB+ZBAD=90°,

：.ABAD=ZC

又NB=NB

:.△ABD-ACBA,

(2),••△ABD^ACBA

AB_BD

,•赤一花’

又AB=6,BC=10

.3亚=史"

CB105

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的

关键.

19.(1)P的纵坐标是8

,43

(2)sma=—,cos«z=—

55

【分析】(1)如图，过尸作PMJLx轴于"，则/?”。=90°,根据正切的定义即可求出尸河

的值，即可求出点P的纵坐标；

(2)根据勾股定理求出。尸=10,再根据正弦和余弦的定义求解即可.

【详解】(1)解：如图，过尸作尸初，无轴于“，则/产儿0=90。，

答案第10页，共19页

/.OM=6,

PMPM_4

vtana

：,PM=8,

二点P的纵坐标是8；

(2)解：•••在瓦△(?四产中，ZPMO=90°,PM=8,OM=6,

­•OP=y/PM2+OM2=A/82+62=10,

PMS4OM63)

sinacosa=-----

OP105OP105

.za的正弦值、余弦值分别为《4和3:

【点睛】本题考查了三角函数的应用，勾股定理.解题的关键在于熟练掌握三角函数的定

义.

20.(l)AB*8.73m；(2)没有影响；理由见解析.

【分析】(1)根据坡度公式求出AH和BF的长，再加上FH的长度即可.(2)根据坡度公

式求出EH的长度，进而求出AE长度，若小于2.5则没有影响.

(1)分别过C,D作BE垂线，交BE于F,H,易得四边形CDHF是矩形,

.­.CD=HF=4m,DH=CF=3m,

在RCADH中，坡度i=l:l,

.­.AH=DH=3m,

在RtABCF中，BC坡角为60。,

答案第11页，共19页

.♦.BF=CF+tan60°=也=1.73,

AB=AH+HF+FB=7+1.73=8.73m；

,DH1,

(2)RtAEDH中,—=忑,.-.EH=343,

.­.AE=EH-AH=3A/3-3»2.1m<2.5m,

所以没有影响.

【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，问题千变万化，关键是设法归为直角三角形问题,

必要时添加辅助线，构造出直角三角形.

21.(1)60°

(2)见详解

V13-1

2

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理.

(1)连接4D,/C,先推出花=就，ZADC=60°,再利用N4DC+N/GC=180。,

NFGC+4GC=180°得NFGC=AADC=60°；

A(ZAT)A(ZCD

(2)连接先证A/GD-ACG/得多即m=三即可；

CGCrCGCr

(3)先证AGCFSADAF得"="=虫=*=2,设CF=2机，则/尸=4机，

CFGFCGV3

DF二,口I—./口AGAD

GF==m+弋3得AG=AF—GF=3m—6,由△4GZ)S^CG厂得二三==7,即nrt

2CGCr

3m一A/32>/3AT；I―

——召一=］」，解出加即nn可r.

V32m

【详解】(1)解：如图，连接3,4。

・••Z5是直径,CDLAB

AD=AC

•・•NAGD=60°

.../ADC=60°

答案第12页，共19页

•・•/ADC+ZAGC=180°,ZFGC+ZAGC=180°

：,AFGC=AADC=6Q°；

(2)如图，连接

由(1)知，是等边三角形

AD=CD

•・•ADAG+ZDCG=180。，ZFCG+ZDCG=180°

/./DAG=ZFCG

•：AAGD=AFGC=60°

「.△AGDSACGF

AGADAGCD

——=——即nn——=——

CGCFCGCF

.•.AGCF=CGCD；

(3)如图，连接£)5

AD=AC

/DAB=30°

•••45是直径，AB=4

NADB=90°

:.DB=-AB=2

2

/.AD="2—22=26=DC

vADAG=AFCG,AF=/尸

AGCFS^DAF

答案第13页，共19页

AFDFAD2732

--_-

''cFGF-cG7r

,DFr

设CF=2m,则AF=4m,GF==加+J3

2

,-.AG=AF-GF=3m-y/3

一:AAGDS^CGF

AGADm3m-V32G

----=----即----7=-=---

CGCFV32m

,机=避二遮（舍去）或加=上+回

66

「口0V3+V39

3

,DCV13-1

：.k=---=------♦

CF2

25

22.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EM=—.

O

【分析】（1）根据平行线的性质可得NG="CG,再根据圆周角定理可得NCM="CG,

即NG=NC£R然后根据三角形相似的判定即可得证；

（2）连接0E,根据等腰三角形的性质可得乙OAE—OEA,根据

题意可得乙4F〃+N〃"=90。，即NGEF+乙4£。=90。，然后切线的判定即可得证；

（3）如图3中，连接OC,设O。的半径为r,在RtaAHC中，利用三角形函数求得

HC=4,在RtaaOC中，利用勾股定理列出关于r的方程，求解方程得到尸一，然后根据

平行线的性质得到进而证明再利用相似三角形的性质求解即

可.

【详解】（1）证明：如图1中，

图1

必CIIEG,

••.NG=ZT!CG,

答案第14页，共19页

-ABLCD,

•••AD=AC

"CEF=UCG,

工乙G=^CEF,

“ECF=A：CG,

:.△ECFs^GCE.

(2)证明：如图2中，连接OE,

图2

・・・GF=GE,

；/GFE=乙GEF=UFH,

-OA=OE,

•-Z-OAE=Z-OEA,

♦"FH+乙FAH=9G。,

.ZGEF+乙4EO=90。,

••ZGEO=90。，

.♦,GE1OE,

・•.EG是。。的切线.

(3)解：如图3中，连接OC,设。。的半径为r,

图3

_,AH

在RtAAHC中，tan乙4C〃=tanNG=—,

/C

答案第15页，共19页

•・•/〃=3,

・・・HC=4,

在RtZJTOC中，'：OC=r,0H=「3,HC=4,

••(r-3)2+42=r2,

25

1・r=一

6

-GMWAC,

"CAH=A4,

•：")EM=UHC,

•••AAHCFMEO,

AH_HC

''~EM~~OE"

34

•••俞一至，

~6