三角函数的图像与性质-2025年高考数学一轮复习（天津专用）

第17讲三角函数的图像与性质

（10类核心考点精讲精练）

考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第7题,5分求含正弦（型）函数的值域和最值由正弦（型）函数的周期性求值

求正弦（型）函数的最小正周期求正弦（型）函数的对称轴及对称中心求含

2023年天津卷，第6题,5分

COSX的函数的最小正周期求COSX（型）函数的对称轴及对称中心

求sinx型三角函数的单调性，求含sinx（型）函数的值域和最值，求正弦（型）

2022年天津卷，第9题,5分

函数的最小正周期，描述正（余）弦型函数图象的变换过程

2020年天津卷，第8题,5分结合三角函数的图象变换求三角函数的性质

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握三角函数的图像与性质，能够利用图像解决三角函数的定义域与值域问题

2.能掌握三角函数的奇偶性与对称性问题

3.具备数形结合的思想意识，会借助三角函数图像，解决平移与伸缩变换问题

4.会解三角函数解析式，会根据三角函数的图像特征解决三角函数含参问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查三角函数图像特征与三角函数的周期性与对称

性问题。

•考点梳理•

1

考点一、三角函数的定义域

考点二、三角函数的值域与最值问题

考点三、三角函数的值域与最值求参数

1五.点法作图考点四、三角函数的周期性

知识点一.三角函数的图像2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(考点五、三角函数的单调性

3.常用结论考点六、函数的奇偶性与对称性

考点七、三角函数比较大小

考点八、由图像确定三角函数的解析式

三角函数的图像与性质

1.用五点法画做正弦型函数的图像

2函.数y=sinx的图象经变换

；考点九、三角函数的平移与伸缩变换

3两.种变换的区别

、知识点二.三角函数的平移与伸缩变换1考点十、三角函数的平移与伸缩变换求参

4..两种变换的注意点

5.简谐运动的有关概念与规律

知识讲解

知识点一.三角函数的图像

1.五点法作图

用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:

1

(1)在正弦函数y=sinx,x£[0,2%]的图象中，五个关键点是：(0,，(71,0),，(2兀，0).

e[0,2利的图象中，五个关键点是：(0,1),1?

(2)在余弦函数y=cosx,x°］，(兀，—1)，,(2兀，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数y=sinxy=cosx

另1人要

图象rpkp

IIX^k7l+=

定义域RR

k12J-k"}

值域R

奇偶性奇函数偶函数奇函数

最大值L当且仅当x=2k;i+〉，k£Z最大值1,当且仅当后

2

函数的最2k?r,kGZ时取得:最

时取得；最小值一1,当且仅当X=2k7l无最大值和最小值

值小值一1,当且仅当无

一匹，kez时取得

22k兀一兀，kGZ时取得

增区间：「2k7T一2k7t+：］(k2Z)；减增区间：[21＜兀一兀，2kTr](k

单调性GZ)；减区间：「2k7t,2k兀增区间(女兀一匹，k7i+%(k£Z)

22

区间：［2k7i+.,2kji+(k£Z)

+2(kGZ)

周期周期为2k兀，k，0,kez,最小正周期周期为2k兀，k和，k£Z,周期为km®0,k£Z,最小

性为互最小正周期为空正周期为匹

2

HM,kez院旬,k"

对称中心(km0),k£Z

对称性

对称轴x=k7t+>,k£Zx=k兀，k£Z无对称轴

2

零点k兀，k£Zk?i+匹，k£Zk?i,k£Z

2

3.常用结论

（1）函数y=sinx与y=cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线.

（2）正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中

心与对称轴之间的距离是1个周期.正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.

4

（3）三角函数中奇函数一*般可化为丫=人5亩（0*或丫=人1211（1«的形式，偶函数一般可化为丫=人（：0$0»+6

的形式.

（kit——k7i+西

（4）对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间I2,24kGZ）内为增函数.

知识点二.三角函数的平移与伸缩变换

1.用五点法画y=/sin（。尤+夕）（/>0，。>0，x^R）一个周期内的简图时，要找五个特征点

.__9兀―02兀一0

X

丝2co~~coco2cocoCD

匹3兀

cox+(p0712兀

22

y=Asm(a)x

0A0-A0

+。)

2.函数y=sinx的图象经变换得到y=/sin（0x+p）（/>O，O>0）的图象的两种途径

f—、

步

画出产sin%的图象卜骤X画出产sin%的图象）

LU

向左（右）平移卬个单位长度横坐标变为原来的9倍

步

得到产sinQ+卬）的图象/骤■*［得到尸sin侬4的图象）

原来的白倍_2_/

横坐标变为—\向左（右）平移1鼾个单位长度

步

得到尸sin®%+卬）的图象卜骤｛得到尸sin0%+卬）的图象）

、3，

纵坐标变为原来的4倍z---、纵坐标变为原来的4倍

步

得到y=4sin3%+卬）的图象》骤心导到y=4sin®%+卬）的图象）

、4，

3.两种变换的区别

CD先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是阐个单位长度；②先周期变换（伸缩变换）再相位变换,

平移的量是回®>0）个单位长度.

3

（2）变换的注意点

3

无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量X而言的，即图象变换要看“自变量X”发生多大变化，而不是看

角“3x+<p”的变化.

4.两种变换的注意点

（1）函数y=Asin（o）x+（p）+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.

（2）由y=sincox到y=sin（tox+（p）（a）>0,（p>0）的变换：向左平移必个单位长度而非（p个单位长度.

.3

（3）函数〉=然皿5+0）的对称轴由（后GZ）确定；对称中心由OX+9=E（后GZ）确定其横坐标.

5.简谐运动的有关概念与规律

（1）相关概念

y=/sin((wx+9)振幅周期频率相位初相

(4>0,<w>0),

1=包

x>0A7"==CDX~\-(p

coT2兀9

（2）函数丁=/sin（s+9）+左图象平移的规律：“左加右减，上加下减

（3）由y=sintax到歹=$111伍比+夕）（①>0，夕>0）的变换：向左平移幺个单位长度而非夕个单位长度.

co

考点一、三角函数的定义域

典例引领

1.(2024•浙江金华•模拟预测)若集合力={%卜后[+2)>()},B={x|ln(x+^)<0},则/八8二()

A.AB.BC.0D.A\JB

【答案】B

【分析】借助三角函数的性质与对数函数的性质可计算出集合人B,即可得解.

【详解】由sin(%+.)>0,可得2MlV%+，V2Ml+n(/cEZ),

即A={%|2/CIT—^<%<2fcir+-y(kGZ)j,

由In(%+*)<0，可得0<%+qV1,

即3=—汴％<1—讣可得

故/r\B=B.

故选：B.

2.(2022高三上・河南・专题练习)函数f(x)=E"：)的定义域为()

smx-vx—1

A.(l,=)U(p4)B.(l,n)U(n,4)C.[l,^)U(p4]D.[1,TT)U(TT,4]

4

【答案】B

【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.

x-1>0

【详解】要使/（%）有意义，需满足4一%>0,

、sinxH0

解得1V%V4且％H71.

所以定义域为（l,n）u5,4）.

故选：B.

即时检测

I____________________

1.（22-23高三•全国•对口高考）函数y=*矣的定义域是（）

Ig（sinx）

A.[—4,4]B.卜4,5）11（5,4]

C.[—4,-71）U（0,兀）D.[—4,—兀）U（0,.）U&兀）

【答案】D

【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可.

2

y——2fl6-x>0（-4<x<4

【详解】y=岑三有意义满足《sinx>0，即兀+2E,（kwz）,

18（Sinx）（Ig（sinx）0[、W+2而

解得无€[-4,-兀）U（0,，）U&兀），

故选：D

2.（20-21高三上•江苏镇江•阶段练习）函数y=ln（3-2%-必）+V2sin%-1的定义域是（）

A•["）B.（一1用C.（一3用D.监朗

【答案】A

【分析】由对数真数大于零和根式被开方数大于或等于零得不等式组，解不等式，取交集，得到函数的定

义域.

【详解】由题知，俨12刀一：2乙?

（2sinx-1>0

由3—2%—/>0,解得—3<x<1

由2sin%—1>0解得，-+2/CTT<%<—+2kmkEZ

66

f-3V%<1,

当k=0时，由）兀5兀，解得g<X<1.

当k=1时，区间（一3,1）和（等，等）无交集；

当卜=一1时，区间（一3,1）和（一早,—看）无交集；

5

故选：A.

3.（2022高三•全国・专题练习）函数/（久）=lg7+£的定义域为（）

A.（0,3）B.（x]x<3且％力胃

C.（°，5）UG，3）D.{x|x<0或%>3}

【答案】C

【分析】由对数式的真数大于0,分式的分母不为0,联立不等式组求解.

—>0用f0<x<3

【详解】解:由X信0]+kmkEZ9

cosxH0

•.•°<x<3且工咤

二函数/（%）=1gW+熹的定义域为（呜）Ug,3）.

故选：C.

4.（2024高三・全国・专题练习）函数y=^二二的定义域为

sinx—cosx

【答案】{%|%W3+々兀，攵2}

【详解】

由sinxWcosx,得tanxrl,即x咛+k兀，k£Z,

所以函数丫=.sm%一的定义域为｛%|%Wg+/C7T,/cez].

smx—cosx4

Jcosx-3的定义域为

5.（2020高三•全国•专题练习）函数y=ln（sin%）+

【答案】[x\2kn<x2kn,keZ]

fsinx>0

【分析】首先根据题意得到「小丫>工，再解不等式组即可.

sinx>0(2knV%<兀+2kn

【详解】由题知:cosx>!?所以j—1+2fc7r<%<|+2kn(feez).

解得：2/C7T<%2/CTT,(/C6Z).

所以函数的定义域为{久|2々兀<x<^+2knfkezj

故答案为：{%|2/C7TVx工^+2旧r,kwz}

【点睛】本题主要考查三角函数的定义域，同时考查了对数函数的定义域，属于简单题.

考点二、三角函数的值域与最值问题

典例引领

1.（2024高三•全国・专题练习）若x,y满足^+y2=l,则我％+y的最大值为

6

【答案】3

【分析】利用三角换元求解二元变量的最值即可.

【详解】设x=2cos0,y=sin。，66[0,2TI),

因此戊久+y=2V2cos0+sin。=3sin(0+<p),其中tan(p=f

3sin(8+w)e[—3,3],所以当8+=]+2k兀时，&x+y取到最大值3.

故答案为：3.

2.(2024•江苏•模拟预测)在梯形2BCD中，ABHCD.DA=DB=DC=1,则该梯形周长的最大值为.

【答案】v

【分析】设NB4D=a,ae(0,习，在△力BD和△BCD中，分类利用余弦定理求出4B,BC,再根据三角函数

的性质求出力B+BC的最大值即可得解.

【详解】设NBAD=a,ae(0,习，

则=a,Z.ADB=兀一2a,

在aZBD中，由余弦定理得ZB?=DA2+DB2-2DA•DBcos乙ADB

=2—2cos(7i—2a)=2+2cos2a=4cos2a,

所以=2cosa,

在aBCD中，由余弦定理得=DC2+DB2-2DC•DBcos乙BDC

=2—2cosa=4sin2-,

2

所以BC=2si吟

则力B+BC=2cosa+2sin-=-4sin2-+2sin-+2,

222

因为aE(0弓),所以所以sin£€(0,亨)，

则当sin],时，ZB+BC取得最大值1

所以梯形ZBCO周长的最大值为：+2=

44

故答案为：V.

【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略:

(1)利用正弦定理实现“边化角”；

(2)利用余弦定理实现“角化边”.

7

求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：

(1)找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；

(2)利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.

即电榨(

1.(2020•山东•高考真题)小明同学用"五点法”作某个正弦型函数y=4sin(3x+(p~)(A>0,a)>0,\<p\<］

在一个周期内的图象时，列表如下：

n71n77157r

X

~612312~6

n37T

a)xcp0n2n

2T

Asin®1

030-30

+0)

根据表中数据，求:

(1)实数43,w的值;

(2)该函数在区间［半，手］上的最大值和最小值.

【答案】⑴4=3,3=2,(p=~(2)最大值是3,最小值是—|.

【分析】(1)利用三角函数五点作图法求解43,a的值即可.

(2)首先根据⑴知：丫=35也(2%+*根据题意得到日32%+上?，从而得到函数的最值.

【详解】(1)由表可知Vmax=3,则4=3,

因为T=:―(―］)=",T=",所以§=兀，解得3=2,即y=3sin(2%+R),

因为函数图象过点心3),则3=3sin(2x向+>),即sin(?+?)=1,

所以1+cp=2kli+―9kE.Z,解得g=2/CTT+—,kRZ,

又因为191VM所以0=看

(2)由(1)可知y=3sin卜工+§.

因为彳公工彳,所以工工2尤+萨7

因此，当2久+.手时，即％=,时，y=—|,

当2无+”乎寸，即％=等时，y=3.

所以该函数在区间［牛，,］上的最大值是3,最小值是-/

2.(2021•浙江•高考真题)设函数/(%)=sinx+cosx(xGR).

(1)求函数y=［/(%+］］的最小正周期；

8

(2)求函数y=/(x)f(%—习在[。,才上的最大值.

【答案】(1)兀；(2)1+今

【分析】(1)由题意结合三角恒等变换可得y=1-sin2x,再由三角函数最小正周期公式即可得解；

(2)由三角恒等变换可得y=sin(2x-：)+苧，再由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】(1)由辅助角公式得/(%)=sin%+cos%=A/^sin(x+^)，

则y=[/(%+1)]2=[V2sin(x+Y)]2=2sin2(%+*)=1—cos(2x+y)=1—sin2x,

所以该函数的最小正周期丁=y=7T；

(2)由题意，y=/(%)/(%-3)=V2sin(x+-V2sinx=2sin(%+^)sinx

V2V2

=2sinx•(—sinx+—cosx)=V2sinzx+v2sinxcosx

/7Tl-cos2x.V2.V2.V2.V2.兀、鱼

=V2---------------sinzQx=——sinzQx------coszQxH-----=sin(2x——)H-----,

22222、4，2

由％6[0微]可得[-py]，

所以当2x-.患此=却寸，函数取最大值1+当

考点三、三角函数的值域与最值求参数

5典例引领

1.(21-22高三上,辽宁大连•阶段练习)已知y=f(久)是奇函数，当x<0时，/(%)=cosx+sinx+a,且/住)=

V3,则实数a的值为.

【答案】-1-y

【分析】根据题意，得到f(-])=-(/)=-百，结合函数f(久)的解析式，代入即可求解.

【详解】因为y=/(x)是奇函数，且/(9=遮，可得/(―芸=-//)=—遥

又因为当久<0时，/(x)=cosx+sinx+a,

可得/(-g)=cos(-])+sin(-j)+a=1-y+a=-V3,

解得a=—|■―日，即实数a的值为—I—日.

故答案为：—1--y.

2.(2024•山东济宁•三模)已知函数/(%)=(Bsinx+cos%)cos%-：，若/(%)在区间[一：,河上的值域为[一

24

今1],则实数根的取值范围是()

A.[涓)B.[蓊]口仁^D.脸蜘

9

【答案】D

【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数八式），再借助正弦函数的图象与性质求解即得.

【详解】依题意，函数/'（x）=gsinxcos尤+COS2JC—J='sin2c+：cos2x=sin（2无+：）,

2226

当工€[一：,河时，2%+G[-p2m+^],显然sin（一2）=sin£=—'s呜=1,

且正弦函数y=sin久在已口上单调递减，由/（%）在区间[-9词上的值域为[-£1],

得牌2爪+三?，解得三

263612

所以实数小的取值范围是[£=].

612

故选：D

即时检测

{_______________

1.（2023・四川自贡•一模）函数/（久）=a—Ktan2%在xe[-，可的最大值为7,最小值为3,则ab为（）

A.—B.-C.-D.—

123612

【答案】B

【分析】首先根据区间的定义以及/（无）的有界性确定b的范围，然后再利用正切函数的单调性得到/Q）的单

调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出a,b即可.

【详解】[冶,2b],

根据函数f（x）在％e[-2H的最大值为7,最小值为3,

所以26即根据正切函数g（x）=tanx在（-为单调增函数，

则/（%）=a-V3tan2x,在卜，b]上单调减函数,

二f（一小=a+3=7=>a=4,二f（b）=4—V3tan2b=3,

则tan2b=鼻；2be（-需），二2b=pb=%

3\oZ/o1Z

ab=4x—=

123

故选：B.

2.（2024•河北石家庄•二模）已知函数y=虚汕0—：）在区间[0,团,[0,£1+；]上的值域均为[—1,句，则实数

a的取值范围是.

【答案】律用

【分析】当xe[0,a]时，X-音[—,a—）当xe[0,a+：]时，x——a],在结合正弦函数图像可

兀、兀

d----2-

4

得到5/,求出a即可.

a^T

10

【详解】当％E［O,a］时，》一：E［—a—（］,当％E［O,a+j］时，］—

因为函数y=&sin（%-：）在区间［0,可,［0,a+?］上的值域均为［-1,b］,

而V^sin（-：）——1,V2sin^-=—1,所以b=V2.

又因为让sin（一5）=-l,V2siny=-1,

兀、兀

a-—

所以"J，解得牛WaW也即实数a的取值范围是巾，河

a~A

故答案为：片,争.

L44J

3.（2023・四川成都•模拟预测）当x无，时时，函数/'（尤）=cos（3x+§的值域是卜1,一斗则的取值范

围是（）

A-［=.?］B.《房

C档用D.售用

【答案】D

【分析】解法一：画出函数的图象，由x的范围求出3x+：的范围，根据“X）的值域可得答案；

解法二：由x的范围求出3x+：的范围，根据y=cosx的图象性质和f（x）的值域可得答案.

【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由可知?++g

L6J633

因为/G）=cosy〜苧且/停）=C0S1T=_1，

要使/0）的值域是卜L一等，只要日wmW青

即旌岛济

解法二:由题"可知当W3x+JW3巾+?

L6J633

由y=cosx的图象性质知，要使汽x）的值域是卜1,一日］,

则7iW3m+：wg,解之得me仔，弱.

3bL7loj

故选：D.

11

4.（2024・山东•模拟预测）若函数fO）=cos（x-0）+sin（无+§的最大值为2,则常数0的一个取值

为.

【答案】答案不唯一，满足9=?+2而水€2即可）

66

【分析】利用和（差）角公式化简，再判断sinp+gRO,利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求

出0.

【详解】因为/(%)=cos(x-0)+sin(x+3

兀71

=cosxcos(p+sinxsintp+sinxcos—+cosxsin—

coscp+y)cosx+(^sin(p+0sinx,

若sin0+T=O,则cos0=±j,所以/(久)=0或f(x)=V^cos%,显然不满足f(%)的最大值为2,

所以sing+万H0,

则/(%)=J(sin(p+；)+(cos。+sin(%+8),(其中tan。=吧&■),

依题意可得(sing+g)+(cosg+苧)=4,

即sin@+75cos0=2,所以sin(0+5)=1,

所以W+乙=W+2/c7i,kGZ,解得0=¥+2Mi,fcGZ.

326

故答案为：m(答案不唯一，满足卬=?+2/£兀水62即可)

66

5.（23-24高三上•广东肇庆•阶段练习）已知函数/⑺=3（＞+0）（0＞0）在区间［0闻上的值域为卜1百,

则8=

【答案】号

【分析】根据三角函数值域的知识求得口

【详解】依题意，函数/（%）=cos（%+W）（夕＞0）在区间［0,卬］上的值域为卜1,闿,

由于04%工仍？£%+0420

所以2卬=2兀一.=9,0=9，

oo1Z

此时若+若W华，当x+号=兀,％=看时/⑺取得最小值—1,符合题意,

1Z1Zo1Z1Z

所以0=詈

故答案为：告

考点四、三角函数的周期性

典例引领

12

1.（2024・上海・高考真题）下列函数/（%）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cos%B.sinxcosx

C.sin2%+cos2%D.sin2%—cos2%

【答案】A

【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.

【详解】对A,sin%+cos%=V^sin（%+?）,周期T=2兀，故A正确；

对B,sinxcosx=|sin2x,周期丁二'=兀，故B错误；

对于选项C,sin2%+cos2%=l,是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

对于选项D,sin2%—cos2%=—cos2x,周期7='=兀，故D错误，

故选：A.

2.（2024•江苏盐城•一模）函数/（%）=sin（+cos：的最小正周期是（）

A.6兀B.371C.-D.-

32

【答案】A

【分析】化/（x）=«sinG+3，由正弦型函数的周期性即可求解.

【详解】由题意，得/（久）=鱼sinG+J,

所以/（X）的最小正周期率=6兀.

3

故选：A.

♦即时检测

1.（23-24高三下•陕西西安•阶段练习）函数f（x）=恒把久一cos2M的最小正周期为（）

7T

A.-B.7iC.2兀D.4兀

2

【答案】A

【分析】根据二倍角公式化简，利用周期公式计算，即可结合函数图象的变换求解.

【详解】/（%）=|sin2x—cos2x|=|cos2x|,

由于函数y=cos2x的最小正周期为兀，且为偶函数，

y=|cos2x|是将y=cos2尤在y下方的图象沿着x轴翻折得到，故最小正周期为今

故选：A

2.（2024高三•全国•专题练习）下列函数中，最小正周期为无的奇函数是（）

A.y—sin[2x+B.y—cos（2x+

C.y-sin2x+cos2xD.y—sinx+cosx

【答案】B

13

【分析】利用诱导公式化简，再结合三角函数的性质判断A、B,利用辅助角公式化简，再结合三角函数的

性质判断C、D.

【详解】对于A：y=sin(2x+m=cos2x,可知其最小正周期为兀且为偶函数，故A错误；

对于B：y=cos(2x+=-sin2x,可知其最小正周期为无且为奇函数，故B正确；

对于C：y=sin2x+cos2x=V2sin(2x+最小正周期为兀的非奇非偶函数，故C错误；

对于D：y=sinx+cosx=&sin(%+；),可知其最小正周期为2兀，且为非奇非偶函数，故D错误.

故选：B

3.(2024・湖北荆州•三模)函数f(x)=tan(2%+5)的最小正周期为()

A.itB.-C.-D.-

236

【答案】B

【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果

【详解】由周期公式得7=巴=*

0)2

故选：B

4.(2023•广东•一■模)已知函数/(久)=tan(=云x+0)(a>0)的最小正周期为2兀，贝ija=.

【答案】1

【分析】根据正切函数周期公式求解即可.

【详解】依题意T=±=2兀，

西

整理得a2-2a+1=0,解得a=1.

故答案为：1.

5.(2024高三•全国・专题练习)已知函数/(ri)=2sin(£+3+l(neN*),则/'(1)+f(2)+/(3)+…+

/(2025)=()

A.2025B.2025+V2

C.2026+V2D.2026企

【答案】B

【分析】由周期性可得f(l)+/(2)+f(3)+f(4)=4,即可利用周期求解.

【详解】由f(?i)=2sin(£+J+l(neN*)

得f(4k+m)=2sin(2kn+詈+；)+1=2sin(半+：)+1,(k,meN*),

所以/⑴+f⑵+f⑶+f(4)=2sing+^+2sin管+J+2sin管+£)+2sin管+?+4=4,

所以/'(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=4x竿+2sin+J+1=2025+V2

故选：B.

14

考点五、三角函数的单调性

中典例引领

1.（2024•福建泉州•一模）已知函数f（x）的周期为兀，且在区间e,§内单调递增，则/（久）可能是（）

A./（%）=sin-B./（x）=cos[x—§

C./（%）=sin（2x—D./（%）=cos（^2x—0

【答案】C

【分析】根据函数周期排除AB,根据函数的单调性判断CD即可.

【详解】因为函数f（x）的周期为无，

所以当3>0时，对正、余弦函数来说，w=v=-=2,故排除AB,

当久e（W）时，2%冶6（。,§，

因为y=sinx在（0,§上单调递增，故C正确，D错误.

故选：C

2.（2024•全国•模拟预测）函数f（x）=—3coskx+》的单调递增区间为（）

A.[kit——,kit+—j,/cGZB.|/c7t+—,kji+—j,keZ

C.卜兀一工，k兀一同，keZD.[/ra—■，/CTI+11],keZ

【答案】D

【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.

【详解】/（x）=-3cos（2%+看），令2kn<2x+^<2k兀+n,keZ,

.■.kn-^<x<kn+^,keZ,

故函数fO）的单调递增区间为[e—9E+用北ez.

故选：D.

即时校L

1.（2024高三・全国・专题练习）下列函数中，以兀为周期，且在区间弓，弓）上单调递增的是（）

A.y—|sinx|B.y=cos2xC.y=—tanxD.y=sin|2x|

【答案】B

【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间6,当）上的单调性，即可选择判断.

【详解】对于A,y=|sinx|的最小正周期为兀，在区间（；,,）上单调递减，A不是；

15

对于B,y=cos2x的最小正周期为兀，在区间检,年）上单调递增，B是；

对于C,y=-tanx的最小正周期为兀，在区间仁，号）上单调递减，C不是；

对于D,y=sin|2x|不是周期函数，在区间松，手）上单调递减，D不是.

故选：B

2.（2024•全国.二模）己知函数7"（x）=cos（g—2%），久e[—日,耳，则函数fO）的单调递减区间

为.

【答案】[-y--j]

[分析]利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可.

【详解】由题意知，f（x）=cos（y-2%）=COS（2x-y）,

由2kn<2x——<2kn+n,kGZ,得kn+三<x<kn+—,keZ,

336

令k=一1,得一看4工工一3令k=0,贝吟W%W称,

3636

即函数f（x）的单调递减区间为口.

36

故答案为：[一书,—g]

Jo

3.（2024・四川成都•模拟预测）若函数/（久）=sin（3%）（3>0）在（0,：）上单调递增，则3的取值范围为（）

A.（0,|）B.（0,2）C.（0,1]D.（0,2]

【答案】D

【分析】由已知结合正弦函数的单调性即可求解.

【详解】函数/'（%）=sin（3久）（3>0）在（0,：）上单调递增，

当xe（0,时，MX6（0,:3）,则:3W%解得0<3W2,

故选：D

4.（2024・陕西安康•模拟预测）已知函数/（x）=sin（3x+£）（3〉0）在《,兀）上单调递减，则3的取值范围是

（）

A.d，2]B,[|）1]C.（1曰D.[|,2]

【答案】B

【分析】由+三3+2E,求得单调递减区间，进而可得小I2,求解即可.

262-（^+2fc7t）>7t

、33

【详解】/（%）=Sin（3%+J（3>0）；

令1+2kn工cox+%W曰+2k兀,k.GZ则—售+2々兀）W%工—+2〉兀）,

所以/（%）在[，6+2kjtj+24兀）]是减函数,