辽宁省普通高中2024-2025学年高二年级上册期中调研测试数学试题（含答案）

辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期11月期中调研试题(1)

高二数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知0,6为两条直线，a,广为两个平面，且满足aua,bu^,aC/3=l,a//l,贝『，。与b异

面”是“直线人与/相交”的()

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.

【详解】当“。与小异面”，若直线b与/不相交，由于仇/u4，则步//,

又a〃/,贝ija//,这与。和b异面相矛盾，故直线b与/相交，

故“。与b异面”是“直线b与I相交”的充分条件；

当直线b与/相交”，若口与6不异面，则a与6平行或相交，

若。与6平行，又。〃/,则〃"，这与直线6和/相交相矛盾；

若口与6相交，设0口6=2,则Nea且Ze夕，得皿,

即/为直线%/的公共点，这与。〃/相矛盾；

综上所述：。与小异面，即“。与小异面，，是“直线6与/相交，，的必要条件；

所以“。与6异面，，是，，直线6与/相交，，的充分必要条件.

故选：c.

2.若方程左-1"3表示双曲线，则实数%的取值范围是（）

A.k〈lB.1〈左<3

C.左〉3D.k<l或k>3

【答案】B

【解析】

【分析】根据双曲线方程的特征，列式求解.

22

%y1

-----------1-----------二1

【详解】若方程左一1左一3表示双曲线，

则（"1）（后-3）<0,得1（人<3.

故选：B

3,两平行直线加x—3y—2=0与4x_6y_7=0之间的距离为（）

V13叵3旧5岳

A26B.13c.26D.26

【答案】C

【解析】

【分析】先由两直线平行求出加=2,再代入两平行直线间距离公式求解即可；

m-3-2

———w—

【详解】由题意知4-6—7,所以加=2,

7

则4x-6y-7=0化为2A3^5=0,

-2+7厂

工23V13

d-—「---------

所以两平行直线2》一3^-2=0与4x—6y—7=°之间的距离为收+（—3丫26.

故选：C.

22

—%।—y=1

4.设N5是椭圆/b-（a>b>°）的长轴，若把一百等分，过每个分点作N8的垂线，交椭圆

的上半部分于尸卜尸2、…、尸99，B为椭圆的左焦点,则由出+1耳引+——什…+14％4的

值是（)

A.98aB.99aC100。D101。

【答案】D

【解析】

【分析】根据椭圆的定义，写出超引+16修=2。，可求出|丹4卜|百片|…|片片"的和，又根据关于

纵轴成对称分布，得到结果.

【详解】设椭圆右焦点为尸2,由椭圆的定义知西冷+1名引=2。（，=1,2,…，99）,

99

Z（IEEI+EED=2"99=198a

i=l.

由题意知4,Q,…，49关于歹轴成对称分布，

99199

EQ片引）=32（出引+/耳i）=99«

i=l2I.

又•.•|片4+|片为=2。，

故所求的值为101a.

故选：D.

5.已知A为直线2》+八4=°上的动点，8为圆（x+iy+V=1上的动点，点。（1,0）,则

1111的最小值为（）

A.4亚B.3Mc.2遥D,至）

【答案】C

【解析】

【分析】设°即°）乃国必），不妨令忸C=2|即，根据两点间的距离公式求出点。的坐标，则要使

2画+四最小,即可期+即）最小，求出附+囱的最小值即可得解.

【详解】设，不妨令忸,1=22必，

则VCV-IJ+J?=27（XI-XO）2+y",

整理得36+1）+3%=-4x0+4石+8X]X0+4

又3Gl+1）2+3疗=3,所以4片-4%-8石%-1=0,

则(2xo+1)(2%-4M-1)=0,解得"2,

所以存在定点45'°1使得的=2|即，

要使21四+忸C最小，即2（四+1即）最小，

则A,B,。三点共线，且ZM垂直于直线2'+^一4二°时取得最小值，如图所示，

2x［-J+0-4

由221Asi+|8。|钻曰一#*2x—r———=24

所以।II।的最小值为山+1

故选：C.

【点睛】关键点点睛：设。（%,。）—（再,%）,令忸q=2即，将所求转化为求朋+|即的最小值,

是解决本题的关键.

6.在四棱锥P—48co中，尸4,平面/8。。,/8,80,二面角尸一⑺—N的大小为

45°,AD+CD=2t若点P,A,B,C,D均在球0的表面上，则球0的表面积最小值为（）

8768V3

----71-71---兀

A.3兀B,27C.3D,2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设易得NC是四边形4sC。外接圆的直径，尸C中点为P-/BCD外接球球心，令

ND=x且°<x<2,求得外接球半径关于x的表达式，求其最小值，即可求表面积最小值.

［详解］由题设，A,B,C,°在一个圆上，故NNOC+N4BC=180°,又AB上BC,

所以NZQC=90°,即NDJ_CZ）,故NC是四边形4SC。外接圆的直径，

p

由尸/，平面4SC£>,BC,CD,ZCu平面45C£）,则尸PA1CD,PALAC,

由=PA,48u平面尸48,则5cL平面尸4g,P8u平面尸48,则8cLp8,

由'/0"=/,PA,4Du平面尸40,则CO,平面尸40,P4u平面尸40,则CD,PZ,

故△PBC,APCD,△尸CN都是以尸C为斜边的直角三角形，故尸C中点为P-4BCD外接球球心,

且/尸。4为二面角尸一CD—N的平面角，故/尸£%=45。，

因为NPZ%=45°,AD+CD=2t

令AD=%且0<x<2,则尸/=x,CD=2-x,

故NC=^AD2+CD2=J2x2-4x+4,

R=-=-yjPA2+AC2=-■V3x2-4x+4kx--）2+-

所以外接球半径2222V33,

_V6.ZA/6.28

XY——R=4兀x（）=—71

当3时，，n3,此时球°的表面积的最小值为33.

故选：C

7.已知曲线°：（丁+力=9（/一/）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线0的图象不关于原点对称

B.曲线°经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

c.若直线了=区与曲线c只有一个交点，则实数%的取值范围为（一叫―1]

D,曲线°上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

【答案】D

【解析】

【分析】将（一北―歹）代入方程，可判断A；结合方程，求解整点坐标，可判断B；联立方程组，结合其解

唯一求出人的范围，判断C；结合方程以及距离公式可判断D.

【详解】对于A,结合曲线=96-力，将Sr）代入，

方程不变，即曲线0的图象关于原点对称，A错误；

对于B,令了=°,则G）=9",解得》=±3,

/<2/0、2-11+J153

令工=±1,贝+9=9。7),解得'—一2—<

,、2,、2-17+V369c

令》=±2,则G+力=9（4—力，解得'2,

故曲线C经过的整点只能是3，。），B错误；

对于C,直线片.与曲线g（xf）=9&-厂）必有公共点（0,0）,

2222

（X+V）=9（X-/）

因此若直线片.与曲线C只有一个交点，则口=依只有一个解（°,°）,

即/（1+公）=9/（1-F）只有一个解为》=0,即XW0时，/（1+尸）=9/（1—左2）无解，

故1-/V0,即实数上的取值范围为（一C°'T]UL+C0）,C错误,

,,9（x2-/）

对于D,由Gy）=（X7）,可得X+y,y=0时取等号，

则曲线C上任意一点到坐标原点。的距离为"=产不<3,即都不超过3,D正确，

故选：D

8.已知平面上两定点A、B,则所有满足户同“〉0且八1）的点尸的轨迹是一个圆心在4B上,

半径为1一分的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.己知棱长为3的

正方体”88-48c2表面上动点尸满足网=2阀，则点P的轨迹长度为（）

4兀/T-4兀V3TI

-----FA/3兀---1----

A.2兀B.3C.32D.

【答案】c

【解析】

【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O位置及半径，P在空间内轨迹为以。为球心的球，球与面

"CD,48与4,8℃田1交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求出在截面内的圆弧的长度即可.

斗

【详解】图①

°3°)泮径为厂，

在平面中，图①中以8为原点以为x轴建系如图，设阿氏圆圆心

■■■\PA\=2|冏,/广2,.」=]2•净=j义3=2

\AM\

J；~f=2=2

设圆。与交于此由阿氏圆性质知〔4码，

•••|BM|=2-\BO|=2-a,.[AM|=2||=4-2a；

二.4—2cl+2—a-6—3a—3,a=1,/.0(1,0)

P在空间内轨迹为以O为球心半径为2的球，

若P在四边形4s44内部时如图②，截面圆与月8,8片分别交于7,R,所以尸在四边形4s与4内的轨

迹为赢,

Rc

NV1——

1R__R-〜、

A>

A。J

图②

,一兀2

••・RO=2,忸。=1,在RLRBO中NROB=600,■-MR-2x^--一兀

3,

2

所以，当尸在面“BAM内部的轨迹长为5”,

2

—JC

同理，当尸在面48co内部的轨迹长为3

当尸在面8℃固时,如图③所示，

面8CG5],平面8CG耳截球所得小圆是以8为圆心，以3尸为半径的圆，截面圆与⑶与'8C分

别交于A,Q,且BP=V0P1—OB2=V4—1=V3,

所以p在正方形BCC^内的轨迹为RQ,

前U储

所以22.

22G4G

—兀+―7TH-------71=-71H---------兀

综上：尸的轨迹长度为33232.

故选：C

【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时

可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法命题正确的是（）

A.已知N=（01，1）,在=（0,0,T）,则万在B上的投影向量为I2，2>

B.若直线/的方向向量为e=（l'0'3）,平面a的法向量为〃I2，0｝；则

OP=—OA+mOB—nOC（n,mGR）

C.已知三棱锥O—/5C,点尸为平面45。上的一点，且2，则

1

m-n=—

2

D.若向量/=底+切+后，（x,y,z都是不共线的非零向量）则称P在基底后”*｝下的坐标为

(m，〃，k),若夕在单位正交基底｛扇3©下的坐标为(123),则夕在基底｛万一以万+B©下的坐标为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据投影向量公式计算判断A,应用向量共线判断B,判断四点共面判断C,根据基底运算判断

D.

【详解】对于A,由于@=(0』/)，3=(0,则7在B的投影向量为

胃5=RfFiW°T）=（（W）

故A错误;

对于B,因为直线/的方向向量为e平面a的法向量为〃I"'ll,所以。历=—2+2=°,

所以〃/a或/ua,B错误;

对于C,因为P为平面N2C上的一点，所以尸，4瓦。四点共面,

OP=—OA+mOB~nOC(n,meR)

则由空间向量共面定理以及2可得,

--rru—ri—Lm-n=—

2，所以2,C正确；

对于D：万在单位正交基底｛用3^｝下的坐标为(123),即夕=0+23+3J

所以夕在基底I/下满足：

x(a-B)+y(a+B)+z己=(x+y)a+(y—x)b+z己=a+2b+3c

x=__V=—

故x+y=l,y—x=2,z=3,可得一2,.2,z=3,

则万在基底但一瓦万+瓦己｝下的坐标为I55人故D正确.

故选：CD.

22

xy_]/〉06〉0)兀

10.已知.，月是双曲线氏/b-a'’的左、右焦点，过片作倾斜角为％的直线分别交

y轴、双曲线右支于点/、点尸，且=W氏L下列判断正确的是（）

n

A.123B.E的离心率等于2G

1----c

C.双曲线渐近线的方程为^=土岳D.△尸片片的内切圆半径是I3>

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知条件可得出尸K'x轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造

2=/?

2212—72

齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合。一=矿+”,得到。,即可求得渐近线方程，可判

断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径厂的表达式与c有关，可判断D项正确.

【详解】如图所示，

/网。\F2x

因为MO分别是尸片，甲^2的中点，所以△耳遥中，PF2//MOt所以尸K,x轴,

NF、PF,=-

A选项中，因为直线尸片的倾斜角为不，所以3,故A正确；

DI72V3DI7473

PF2=----cPF、=--c

B选项中，直角△尸片片中，3=2c,3,3,

2J3

，=G

PFX—PF2=2a=----ce

所以~3,得：a,故B不正确；

2=血

2

C选项中，由，即c?=3a2,即/+b=3片，即。，

y=±--x=±V2x

所以双曲线的渐近线方程为：。,故C正确；

D选项中，△尸片片的周长为©+23〉，设内切圆为厂，根据三角形的等面积法，有

（2+2月卜=2。毡c1=J5,

Vr3,得:<J,故D正确

故选：ACD.

兀

11.在直三棱柱NBC―44G中，A4=AB=BC=2,ZABC5，屈是4B的中点，N是4cl的中

点，点尸在线段及N上，点。是线段CW上靠近〃的三等分点，R是线段/G的中点，若PR〃面

BiCM，则（）.

PR//BQ

XB.P为Q/Y的中点

2

三棱锥尸的体积为------兀

c.3D.三棱锥尸-N5C的外接球表面积为81

【答案】ACD

【解析】

【分析】由线面平行的判定定理得线线平行，从而判断A,并利用平面几何知识证明判断B,证明三棱锥

P—BKM的体积等于三棱锥8-耳。睡的体积，由体积公式计算体积后判断c,确定三棱锥尸-48C的

外接球球心。在冲上（如图），求出球半径后得球表面积判断D.

【详解】对于选项AB,连接3Q并延长交C4于乱连接WS,

由平面几何知识可得：S是a的中点，且N,R,S三点共线，。是△4gC重心，

因为依〃面用加，尸Ru平面用NS巴平面印VSBn平面片CN=4Q,所以网〃相，

作SK//4Q交印V于长，由直棱柱性质有4N〃8S,因此即釐是平行四边形，

BK=SQ=-BS=-BN

X33Y,

又由平面几何知识知火是NS中点，因此尸是NK中点，

NP=—NK=—x—B,N=—B,N\r

从而2233即尸为R“d上靠近N的三等分点，所以A正确，B错误;

对于选项C,B'PBQ因此男0°8是平行四边形，所以AP与用°互相平分，从而尸与8点

到平面83的距离相等，三棱锥尸一片。河的体积等于三棱锥3-g。”的体积,

VVXX2X1X2

B-B.CM=BX-BCM=।।=।

而323所以C正确;

对于选项D,:“BC的外心是s,由鸡〃0G得NS1平面ABC,

/.三棱锥p-4BC的外接球球心一定在直线NS上,

设三棱锥尸一NBC的外接球球心为°半径为R,0S=h,

火2=0/2="2+s02=侦j+%2=2+〃2

则I7

22

2222+（2-/z）=^--4h+h

R=OP=NP+ON=bJ

C,238，275n2c25187

2+7/2=----4/z+h2h=—R=2H------=-----

9,解得：9,8181

球表面积为81,所以D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆G：/+/=16与圆/+/+丘+了+机—16=°交于43两点，当左变化时，

14sl的最小值为4G,则加=.

【答案】±2

【解析】

【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合不等式性质求最值,

进而可得答案.

【详解】一+丁=16与—+/+丘+〉+机—16=°相减，

可得两圆的公共弦所在线的方程为：kx+y+m,

由圆G：-+<=16可得G(o,o),圆的半径为％

\m\

圆心G到N2直线的距离为6+公，

।阳=2^6一4,因为1+左2之1,

J16——>V16-m2

所以Y1+左，左二°时等号成立，

又因为H目的最小值为46，

所以2416一机2=4百，解得加=±2.

故答案为：±2.

13.如图，已知四边形/2CD是菱形，4B=AD=4,点E为的中点，把△NQE沿。£折起，使点

/到达点尸的位置，且平面PDE，平面8CDE,则异面直线与BC所成角的余弦值为.

3

【答案】4##0.75

【解析】

【分析】2%或其补角就是异面直线PD与Be所成的角，在△0D4中结合已知条件得出相关线段的长

度，由余弦定理可得答案.

【详解】因为BC〃幺D,故NPD4或其补角就是异面直线p。与8c所成的角，

连接尸/,易知尸。=幺。=4,PE=AE=2,

因为平面00EC平面5cz>£=£>£,菱形48cZ）中，AB=BD,

即△480是正三角形，E为力B中点，则"£,£）£,所以WDE,又BELDE,

所以NPE8即为平面PDE与平面BCDE所成的二面角的平面角，

因为平面PDE1平面BCDE,

所以NPE5=90。，ZPEA=9Q\所以尸EJ.ZE,

所以PA=VPE2+AE2=2^/2,在APD4中,

PD?—pA2_42+42—（2亚）_3

cos/PDA=

由余弦定理得2PDAD2x4x44,

3

所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为Z.

3

c：『T=i（…）

14.倾斜角为锐角的直线/经过双曲线3机-m的左焦点4,分别交双曲线的两条渐近线

于48两点，若线段48的垂直平分线经过双曲线C的右焦点月，则直线/的斜率为.

立L出

【答案】7##7

【解析】

X1+x2必+必、_1

【分析】设“（』乂）''（/%）,2'2'，依题意，利用点差法推出°MAB3,结合图

kow="A：

形得到NM°K=2NM。,即得1一七，与前式联立消去左。”，计算即得.

设2（再%）,8（%2%）

J=0①

<

心上玉，正巧反-,=0②

则22，且I3

（国十一2）（石一马）

(%-%)(%+%)

①-②可得3

%一％2J

+-2

X]-x2再3kK=1

整理得，2，即。”3（*）,

如图，在孔的此中，1。河《耳口=1叫贝一公2”。

故t-2加。=?即“康

与」，七」，k=也

将此式代入（*）得，1一心3解得"5'依题意，*>0,则""-

V7

故答案为：7

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图所示，三棱柱"C—44G中，侧棱n4垂直于底面，AB=5tN4=NC=3,5C=4,点

分别为'民℃的中点.

(1)求证：BCX.PD.

(2)求点C到平面08G的距离

【答案】(1)证明见解析；

12匹

(2)41.

【解析】

【分析】(1)利用线面垂直的判定、性质推理即得.

(2)连接40,交"G于点E,连接过点C作CP,BE于尸，利用线面垂直的判定、性质推证

W平面8C/,再借助直角三角形求出《下即可.

【小问1详解】

由45=5,4。=3,5。=4,得AB?=AC?+BC?,则N/C5=90°,即BC±AC,

由24,平面48C,5Cu平面48C,则么同,台。，

而幺4nze=Z,44],ZCu平面NCC/1,于是8cJ_平面工℃4,连接^G,

又NGu平面'C,贝"BC"G,由点P，D分别为AB,QB的中点，得ACJ/PD,

所以BCC2

【小问2详解】

连接40，交/q于点E，连接BE,过点C作W8E,尸为垂足,

530

由N4=NC=3,侧棱力4垂直于底面，得CE'"G且2,

又C5-G,CBC\CE=CtC民CEu平面C8E,则平面CBE,

又CFu平面CBE,则CN_LZG,又CF工BE,BEC\ACX=E,5E,NC]u平面45。，

因此CF1平面BC.A,即CF为点c到平面PBCi的距离，

由5C,平面NCG4,CEu平面NCG4,得BCLCE,^^2)2,

43夜

『BCCE’义〒12741

BE-V82-41

所以点C到平面PBCi的距离2

16.已知圆°：/+「=4.

(1)直线4x—3y+a=°截圆。的弦长为2逝，求。的值.

⑵记圆。与x、v轴的正半轴分别交于48两点，动点°满足3=阳°回，问：动点°的轨迹与

圆。是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.

【答案】(1)。=±5

8-

(2)有，公共弦长为5

【解析】

【分析】(1)计算圆心°到直线4x—3.v+a=°距离为5,再根据弦长公式计算得到答案.

⑵设。(xj),根据31=阳泗得到(x+2)2+(y-4)2=16,计算圆心距得到两圆相交，确定公共

弦方程，计算弦长得到答案.

【小问1详解】

.即+停N

圆心0到直线4x—3y+a=0距离为5,故I,JI)，解得。=±5；

【小问2详解】

/(2.0),8(0,2),设0(”)，由|。h=啦|。到得(x-2)2+/=2.2+(了—2月，

化简得：,+>2+4x—8y+4=0,即(x+2)2+(y—4)2=16,

所以动点。的轨迹是以°,彳)为圆心，4为半径的圆E,

圆心距。£=也+42=2后,4-2<26<2+4,两圆相交，

所以两圆有两个公共点，

由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为x—2y+2=°,

磔：22H申

圆心(•°)到公共弦的距离为在+z?石，则公共弦长为VwJ5.

17.如图，四棱锥中，AB=PA=4,CD=CB=2,PD=273；ZABC=60°,平面

R48c平面尸CD=/,且///平面48CD,平面尸40平面4SC。.

(1)求四棱锥P—48c。的体积;

(2)设。为尸C上一点，若Q4=QB,求二面角。一/8-0的大小.

【答案】(1)6；(2)45°.

【解析】

【分析】(1)先由余弦定理依次求出“0,接着求出底面梯形4SC。的高进而求出其面积S,再由己

知条件结合面面垂直性质定理求出W平面4SC3即可由锥体体积公式求出四棱锥的体积.

(2)由AD,ND结合(1)可以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。一位，求出0尸，C4,

CB,设。0=比尸，进而求出3和小，接着由3=08求出；I,从而解出°”和经,进而可求出

\m'n\

平面尸NQ的法向量加，由尸0，平面4SCO得平面48CO的法向量为〃，再由H同计算结合图形即

可得图二面角Q-AB-C的大小.

【小问1详解】

因为/〃平面NBC。，/u平面P48,平面尸48c平面4SCD=45,

所以,同理得〃/。。，所以4B//CD,

因为N8=4,BC=CD=2,AABC=60°,所以NBCD=120。，

所以NDBC=ZBDC=30°且

BD=ylBC2+CD2-2BC-CDcosl200=722+22-2x2x2cosl20°=2G

AD=AB2+BD2-2ABBDcos3Q°=J42+(2百丫-2x4x2V3x—=2

所以〃加=30。且\VJ2

底面梯形ABCD的高为h=BDsinAABD=2Gxsin30°=6,

S=-x(2+4)xV3=3V3

所以底面梯形NBC。的面积2,

在△尸AD中，PA=4,AD=2,0。=2百，

所以尸/2=/。2+心2,所以尸40,

因为平面尸40,平面4®。。，平面040c平面48cz)=4D,PDLAD,POu平面尸4D,

所以尸。，平面48C£),

r=-5-PD=-x3V3x2V3=6

所以四棱锥P—/BCD的体积33

【小问2详解】

因为AD=2,BD=?6AB=4,所以=幺。2+8。2即

所以08,AD,£＞尸两两垂直，可以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。一平,

z」

以—4c

则。(0,0,0),出2,0,0),30，2百C(-l酒,0),P灼,

所以而=1,-百,26)G4=^,-V3,0)Cfi=(i,V3,0)

设函=X而=(X,-房2房),

出+®-2而）/=而_函=1_%凤®-2凤）

因为0/="，所以(3—㈤2+3仅_1)2+1222=(1-2)2+3(1+2)2+12公

7,-百(I_73

2=1QB

(2'2QA

解得2,因此

QBLm

设m=(x,y,z)为平面PAQ的法向量，则〔勿工成，

QBm=-x+^^-y-y/3z=0

<

QA-m=-x-^-y-s[?>z=0

则122,

取k1,则x=5z=2,即加=(百/，2),

因为PD_L平面48CZ),所以平面4SC。的法向量为“=(°，0」),

73x0+1x0+2x11

।-I\m-n\2_V2

"os.二尸而

7A/32+12+22xl2V2-2

设二面角。一48—。为'，则

所以由图二面角Q-AB-C的大小为45°.

。:与+勺=1伍〉6>0）M

18.已知椭圆ab的右焦点为尸，点在C上，且披,X轴，过点M且与

椭圆c有且只有一个公共点的直线与x轴交于点P.

（1）求椭圆°的方程；

（2）点R是椭圆C上异于M的一点，且三角形的面积为24,求直线收？的方程;

(3)过点尸的直线交椭圆°于。，E两点(。在E的左侧)，若N为线段EP的中点，直线NE交直线

披于点0,T为线段。尸的中点，求线段7。的最大值.

x2J2।

【答案】(1)98

8

V=—X

⑵3

(3)2

【解析】

【分析】(1)由题意列方程求出/=9,从=8,即可求得椭圆方程；

(2)利用联立方程的方法求出点P为(9”)，继而证明R关于0对称，即可求得答案；

力%2=9+94—

⑶设0包'凹)，£&/2),赤=2而可推出/%=一%,即而推出—54+4%=4,

j-0=—(x-5)

设直线监的方程为％-5,即可推出轴，即可结合椭圆的几何性质得出答案.

【小问1详解】

由题意知点I在c上，且九田,X轴，设椭圆焦距为2c,

则c=l,

一x2V2b-

C:—+—=l(a>Z)>0)J=±一

将x=c代入ab中，得a,

b^_8

则口3,结合=°2=i,

从而/=9,匕=8,

,椭圆C方程为98.

【小问2详解】

由题意知过点M且与椭圆C有且只有一个公共点的直线的斜率不为°,

22

土+匕=1

故设/:x=M.v+〃，与椭圆98联立，

222

„（8m+9>\y+16mny+Sn-72=0一—心口―人--

得z<^^,由椭圆与直线只有一个交点，

令A=0,即8掰2-〃2+9=0①，

318

又/:》=切+〃过I3人则3②，

m=-3

联立①②可得1〃=9,则/:x=-3y+9,即得点P为（%。）.

18

SAC）PM~—x9x——12Q_r\A

设原点°（°，°）,由23,SMPR=24,

c—7c

故3MPR一乙3OPM,

从而R到1的距离为。至”距离的2倍，即R在/关于。对称的直线上，

又尺在椭圆上，从而拉，尺关于。对称，

8

y=—x

故直线四方程为3

【小问3详解】

设E（x2,y2）DP=8PE,则（9一石，一%）=彳（》2一%%）

几々=9+9%—%]

则[力2=-乂①，

"；+9疗=72

又由〔86%1+9（4为y=72%,

8..+也.西也+9..%一仪=72

可得1+41—A1+41—A②，

结合①②可得，—5'+疝2=4,

又尸（9,0）,N（5,0）,E（x2,y2）

y_0=%（x—5）

则直线他的方程为马-5,

M/'x轴，直线NE与MF交于Q,

_4%_[_

1yo=-------="

则&=L故5f,

八CI\TQ\=-\DF\<-（a+c）=2

故轴，从而।।