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文档简介
三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型
2025中考数学专项复习含答案
三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型
弦图,这一蕴含深厚数学智慧的图形,分为内弦图与外弦图,其中内弦图由古代中国数学家赵爽
所发现。它不仅为勾股定理提供了直观的证明途径,还成为了探索数学命题的宝贵工具。弦图题目
的挑战性与其解题方法的多样性并存,使其成为数学教育领域中的不朽传奇。其简约而不失深邃的
美学价值,以及其中蕴含的割补思想、数形结合思想和图形变换思想,都为课堂教学提供了丰富的数
学思想渗透资源。
弦图,这一小巧却能量巨大的几何模型,巧妙地融合了初中平面几何的线与形、位置与数量,以
及方法与思想。它不仅是数学教育的经典之作,更是广大数学教师和数学爱好者竞相研究的热点。
近年来,弦图更频繁地出现在各地中考中,成为检验学生几何素养的重要标尺。
然而,在学习几何模型时,许多学生往往过于注重模型结论,而忽视了证明思路及方法的重要性。这
种本末倒置的做法,无疑会限制学生在数学题目解答中的灵活性。要知道,数学考察的并非一成不
变的知识点,而是学生对知识的理解和运用能力。因此,学数学不能死记硬背,而应在理解的基础上
记忆,这样才能做到对所学知识的灵活运用。
为了真正掌握几何模型,学生需栗做到以下几点:首先,要能够认识几何模型,并能够从题目中
提炼并识别出几何模型;其次,虽然记住结论很重要,但更为关键的是要记住证明思路及方法,这样
才能在遇到类似问题时迅速找到解题思路;最后,要明白模型中常见的易错点,因为多数题目考察的
方面均源自于这些易错点。
当然,以上三点只是基础要求。由于题目的多变性,若想在几何学习中脱颖而出,学生还需栗在
平时的学习过程中通过大量练习,深刻认识几何模型,认真理解每一个题型,做到活学活用。只有这
样,才能在面对各种复杂的几何问题时游刃有余,展现出真正的数学素养。
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例题讲模型...........................................................................1
模型1.弦图模型..................................................................1
模型2.勾股树模型................................................................9
习题练模型..........................................................................15
例题讲模型
模型1.弦图模型
模型解读
“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽,利用面积相等,形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角
三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形,当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型,当弦恰恰是围城正方形的
边长时就叫外弦图模型。
数学具有高度的抽象性,考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型,所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形,
从而增强数学的变化性,培养思维灵活性,为学生提供思维的广泛联想空间,使其在面临问题时能够从多种角度进
行考虑,并迅速地建立起自己的思路,真正做到“举一反三”。
模型证明
(1)内弦图模型:
条件:如图1,在正方形RBCS?中,于点E,EF_LGG于点F,OG于点G,AE于
点H,结论:叁△BCF当△CDG望△DAH;
证明:;4ABe=ABFC=AAEB=90°,A/ABE+AFBC=AFBC+AFCB=90°./.NABE=
AFCB.
又AB=BC,:.4ABE笃△BCF,同理可得4ABE笃ABCF空/XCDG左/\DAH.
⑵外弦图模型:
条件:如图2,在正方形4BCD中,E,F,G,H分别是正方形4BCD各边上的点,EFGH是正方形,
结论:AAHE冬△BEF冬△CFU篓△DGH;+
证明::ZB=ZEFG=ZC=90°,AZBEF+ZEFB=Z.EFB+ZGFC=90°,ABEF=AGFC.
又,:EF=FG,:.^EBFAFCG.同理可得△ERF笃△尸CG笃△GDH笃△H4E.
(3)内外组合型弦图模型:
条件:如图3、4,四边形ABCD、的GH、PQMV、均为正方形;结论:2S正方形瓦丽=SmABCD+
S正方彩PQMN.
证明:由(1)(2)中的证明易得:图3和图4中的八个直角三角形均全等,并用S△表示他们的面积。
S正方形4BCO=S正方形PQMV+&S&;S正方形EFGH=S正方形PQJVW+4SA;
•S正方形ABCD+S正方形PQJVCV=S正方形pQjvcv+8SA+S正方形PQMV=2s正方形PQJVCV+8sA=2s正方形EFGH
上述三类弦图模型除了考查相关证明外,也常和完全平方公式(知二求二)结合考查。•••
(4)半弦图模型
A
条件:如图5,EA_L4B于点A,G®_LAB于点B,EF_LR?,曲=如0,结论:入42加箜△BGF;EA+
GB=AB.
证明::EA,AB于点A,GB,AB于点尸G,乙4=NB=NEFG=90°
...NAFE+乙AEF=NAEF+ABFG=90°.AAFE=ABFG.
5L-:EF=FG,:./\AFE^/\BGF,:.AE=BF,AF=BG,:.EA+GB=BF+AF=ABa
条件:如图6,EA_LAB于点A,GB_LAB于点B,EF_LEG,EF=MG,结论:&«而空△BGF;EA-
GB=AB.
证明:同图5证明可得:4AFE空/\BGF,:.AE=BF,AF=BG,:.EA-GB=BF-AF=AB.
条件:如图7,在Rt△ABE和_R力ABCD中,4B=BC,结论:/lABE^ABCD;AB-CD=
EC。
证明:•//XABE和/\BCD是母△,AE_LBD,:./ABE=ZC=ZAFB=90°。
/.ZA+AABF=AABF+ADBC=90°.Z.ZA=ADBC.
又•:AB=BC,:.4ABE乌岫CD,:.BE=CD,:.AB-OD=BC-BE=EC。
上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形,他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字
眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。
1.(23-24八年级下•北京门头沟•期末)我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”,证明了勾股定理,后人称该
图为“赵爽弦图”.如图,“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.
如果该大正方形面积为49,小正方形面积为4,用为"表示直角三角形的两直角边(rc>y),
下列四个推断:①①2+y2=49;②2;—J/=2;(3)2xy+4=49;@rr+y=7.
其中所有正确推断的序号是().
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
•••
2.(2024•四川眉山・中考真题)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的
“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这
四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为()
3.(2023•山东枣庄•二模)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,汉代数学家赵爽为了证明
勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个
全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形4BCD,正方形正方形儿WXT的面积分别为SiS,
S3.若正方形EFGH的边长为2,则Si+S2+S3=
图②
4.(2024•陕西西安・模拟预测)如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修
饰后的图形,四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形,点〃是DE的中点,阴影部分的面积为27,则
AD的长为
A
B
5.(23—24八年级下•福建龙岩•阶段练习)如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个
全等的直角三角形围成的,若AC=6,8C=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一
倍,得到如图2中右图所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是()
4
B
D.80
6.(2023•河北•八年级期末)如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它
是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的边长为5,小正方形的边
长为L(1)如图1,若用a,b表示直角三角形的两条直角边(aVb),则而=.
(2)如图2,若拼成的大正方形为正方形ABCD,中间的小正方形为正方形EFGH,连接4。,交于点
P,交DE于点、M,SAAFP-S&CGP=_____-
7.(2024•山东济南•二模)公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”.将两
个大小相同的“赵爽弦图”(如图1)中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10
的正方形则空白部分面积为
8.(23-24八年级上•浙江温州•期中)如图,在4ABC中,AACB=90°,AC=,AE是边上的中线,
过点。作CF,AE,垂足为F,过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D.
5
(1)求证:AE=CD.(2)若8。=1,求AE.
9.(23-24八年级下•广东揭阳・期末)综合实践:我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,制作了如图1所示
的“赵爽弦图”,弦图中四边形ABCD,四边形EFCH和四边形IJKL都是正方形.某班开展综合与实践
活动时,选定对“赵爽弦图”进行观察、猜想、推理与拓展.
(1)小亮从弦图中抽象出一对全等三角形如图2所示,请你猜想线段AE,8GA8之间的数量关系:
(2)小红从弦图中抽象出另一对全等三角形如图3所示,请你猜想线段EJ,JK,KG之间的数量关系:
(3)小明将图3中的KG延长至点河,使得=,连接成f与K尸相交于点N,请你在图3中画出图
形.若求线段K/与JK之间的数量关系.
模型2.勾股林模型
模型解读
勾股树,也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形,如下图。
又因为重复多次后的形状好似一棵树,所以被称为勾股树。
模型特征:在直角三角形外,分别以三条边作相同的图形,则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图形的面
积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解,常用来解决相关面积问题。
条件:如图,在直角三角形外,分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形,若分别以两直角边为元素所
作图形的面积为Si,S2,以斜边为元素所作的图形的面积为S3。结论:Si+S2=S3
证明,设图中两直角边为a、6,斜边为c;且a、6、c三边所对应的等边三角形面积分别为&、S?、53。
由等边三角形和勾股定理易得:&的高为:率&;
.Q-1_A/32闩工田Q—V3Q_V32
2l22
,a•—a=-^-ao同理:Sz=b;S^—^co
由题意可得:。2+〃=。2;...8+$2=4a2+?〃=乎(〃+〃)=?c2=s,
由于该类模型的证明基本相同,故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形,也常考等腰直角三角形。
条件:如图,正方形ABCD的边长为a,其面积标记为Si,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形
的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为&,…按照此规律继续下去,结论,Sn=a2证明::
正方形ABCD的边长为a,ACDE为等腰直角三角形,
:.DE2+CE2=CD2,DE=CE,.-.S..+S^S^观察,发现规律:
2222
SI=Q2,S2=yS1=ya,S3=yS2=-^-a,S4=yS3=-1-a,…,Sn=a-号)
条件:如图,“勾股树”是以边长为利的正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别
向外作正方形,重复这一过程所画出来的图形,因为重复数次后的形状好似--棵树而得名.假设下图分别是第
一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树,按照勾股树的作图原理作图,
结论:第n代勾股树中正方形的个数为:乂=2浒1—1;第九代勾股树中所有正方形的面积为:S„.=(n+1)•
m2o证明:由题意可知第一代勾股树中正方形有1+2=3=22—1(个),
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7=23—1(个),
7
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15=2」1(个),
由此推出第n代勾股树中正方形有1+2+22+23+…+2〃=2g1—1(个)。
设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b,斜边长为c,根据勾股定理可得:a2+b2=c2=rr>?,
第一代勾股树中所有正方形的面积为=a2+62+c2=c2+c2=2m2;
同理可得:第二代勾股树中所有正方形的面积为=2a2+262+c2=3c2=3m2;
第三代勾股树中所有正方形的面积为=4c2=4m2;
第n代勾股树中所有正方形的面积为=(n+l)c2=(n+l)-m2.
10.(23-24八年级下•河北承德•期末)如图,已知直角三角形的直角边分别为a、伉斜边为c,以直角三角形的
三边为边(或直径),分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形.那么,这四个图形中,直角
三角形外,其他几个图形面积分别记作Si、$2、S3.
结论I:⑸、$2、53满足$1+$2=$3只有即;
结论H:•••a+b>c,.•.&+$2>$3的有⑴⑵⑶.
对于结论I和n,判断正确的是().
A.I对II不对B.I不对II对C.I和II都对D.I和II都不对
11.(23-24八年级下•河南开封•期中)如图,在四边形ABCD中,ADAB=4BCD=90°,分别以四边形
4BCD的四条边为边向外作四个正方形,面积分别为a,b,c,d.若b+c=12,则a+d=.
12.(23-24九年级上•辽宁盘锦•开学考试)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为&,以CD为斜边
作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,•••.按照
8
此规律继续下去,则s201的值为.
13.(23-24八年级下.山东日照.期中)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角
形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程所画出来的图形,因为重复数次后的形状好似一棵树而
得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树,按照勾股树的作图原理作图,如果
第一个正方形面积为1,则第2024代勾股树中所有正方形的面积为.
14.(2023春・重庆•八年级专题练习)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”:
图⑷
经观察可以发现:图(1)中共有3个正方形,图⑵在图⑴的基础上增加了4个正方形,图⑶在图(2)的
基础上增加了8个正方形,……,照此规律“生长”下去,图⑹应在图⑸的基础上增加的正方形的个数
是()
A.12B.32C.64D.128
15.(2023春・广西南宁•八年级统考期中)勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理,世界上各个文明古国
都对勾股定理的发现和研究做出过贡献,特别是定理的证明,据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧
•••
几里得证明这个定理使用的图形.以7?杈“16。(/人口。=90°)的三边a,b,c为边分别向外作三个正方形:
正方形ACED、正方形4ra8、正方形8CW,再作CG±垂足为G,交AB于P,连接BD,CF.则结
论:①ADAB=ACAF,②/XDAB空/\CAF,③S正方形人重。=2s,④S^AFGP=2S".正确的结论有
()
习题练模型
16.(2023秋.湖北.九年级校联考开学考试)如图,2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我
国古代数学家赵爽的《勾股弦图》,它是由四个全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面积是
16,直角三角形的直角边长分别为Q,b,且稼+b2=Qb+10,那么图中小正方形的面积是()
17.(2024.广西.中考真题)如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点,连接AG,BH,
CE,DF,交点、分别为M,N,P,Q,那么四边形的面积为()
A.1B.2C.5D.10
10
18.(2024•江西吉安・二模)如图,“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正
方形,若E是人尸的中点,入。=5,连接并延长交CD于点则的长为()
AAB.1
A,4,4
19.(2024.广东汕头.一模)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是数形结合的重要纽带.
数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理:以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACH7,正
方形ABED,正方形BCGF,连接,CD,过点。作C0E于点J,交于点K.设正方形ACHI的
面积为$,正方形BCGF的面积为S2,长方形AKJD的面积为S3,长方形KJEB的面积为S4,下列结论:
①2S”CD=SI;②&=S3;③Si+S,j=S2+S3;④后隹=词不瓦.其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
20.(2024.浙江・中考真题)如图,正方形4BCD由四个全等的直角三角形(AABEABCFACDGADAH)和
中间一个小正方形即GH组成,连接。E.若AE=4,BE=3,则小=()
A.5B.2V6C.V17D.4
21.(2024.云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”:
11
图⑷
经观察可以发现:图(1)中共有3个正方形,图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形,图(3)在图(2)的
基础上增加了8个正方形,……,照此规律“生长”下去,图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数
是()
A.12B.32C.64D.128
22.(2024.福建・中考真题)如图,正方形4BCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,4D的中
点,则四边形E尸GH的面积为
23.(2024.北京・中考真题)如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,4F1_LDE于点F,CGLDE于点、G.
若4D=5,CG=4,则△AEF的面积为
24.(23-24九年级上•山西晋中•期末)如图,标号为①,②,③,④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好
拼成对角互补的四边形ABCD,相邻图形之间互不重叠也无缝隙,①和②分别是等腰以和等腰
①△BCF,③和④分别是电△CDG和电△。/旧,⑤是正方形直角顶点E,F,G,"分别在边
BF,CG,DH,AE上.若普=中,43cm,则BE的长是cm.
GTJH.4
12
D
25.(23-24九年级上•湖南长沙•期中)素有“千古第一定理”之称的勾股定理,它是人类第一次将数与形结合
在一起的伟大发现,也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理,它导致了无理数的发现,引
发了第一次数学危机,它使数学由测量计算转变为推理论证.在中国,也被称为“商高定理”,西方则称其
为“毕达哥拉斯定理”,几千年来,太多的溢美之词给了这一定理,由于它迷人的魅力,人们冥思苦索给出
了数百种证明方法,成为了证明方法最多的定理,其中,利用等面积法证明勾股定理最为常见,现有四名
网友为证明勾股定理而提供的图形,其中提供的图形(可以作辅助线)能证明勾股定理的网友是
(填写数字序号即可).
①。(懂得都懂)②YKDS(永远的神)③JAW(觉醒年代)④0GTW(强国有我)
26.(2024.浙江•二模)如图,48,BD于点、B,CD±BD于点DP是BD上一点,且4P=PC,AP,PC.
⑴求证:△4BP笃△PDC;(2)若AB=1,CD=2,求AC的长.
13
27.(23-24八年级下•浙江杭州•期末)综合与实践
问题情境:第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.
如图1,在综合实践课上,同学们绘制了“弦图”并进行探究,获得了以下结论:该图是由四个全等的直角三
角形(ADAE,/\ABF,△BCG,/\CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD,且N4B尸
>ABAF.
特殊化探究:连接设BF=a,AF=b.
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题:(1)若AR=5,尸G=l,求△Ab斤的面积.
AB
图1J图2
“武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题:⑵若b=2a,求证:ABAE=ZBHE.
深入探究:老师进一步提出问题:(3)如图2,连接BE,延长FA到点],使AI=AB,作矩形BFIJ.设矩形
〃的面积为Si,正方形4BCD的面积为S2,若班平分/4BF,求证:S,=S2.请你解答这三个问题.
14
28.(23-24八年级下•湖北武汉•期中)问题发现:梓航在学完勾股定理后,翻阅资料,发现《几何原本》中有一
种很好的勾股定理的证法:如图1,作CG,FH于点G,交于点P,通过证明S正方形ADEC=$长方形4FGP,
S正方形BCNM=S长方形BHGP的方法来证明勾股定理•
爱思考的梓航发现一个结论,如图2,若以H力△ABC的直角边AC,为边向外任意作OADEC,
□BCNM,斜边AB上的DABHF,延长交于点Q,直线QC被OABH尸所截线段为PG,当CQ
=PG时,此时SaADEC+S口BCNM=SaABHF成立.请你帮他完成证明.
问题证明:(1)先将问题特殊化,如图3,当四边形ADEC,四边形BCNM,四边形ABHF均为矩形,且CQ
=PG时,求证:S矩3EC+S矩BCN"=S矩4BHF,(按梓航的分析,完成填空)
分析:过人作KZ〃PQ交直线于K,J,过8作R7V/PQ交于R,T;
可证S矩ADEC=SuAKQC=S口APGJ;同理可证S矩BCNM=SuBCQR=SaBTGp;
另外易得△⑷^笃可得S短ADEC+S矩BCNM=SuABJT=S矩4BHF成立.
(2)再探究一般情形,如图2,当四边形4DEC,四边形BCW,四边形4BHR均为平行四边形,且CQ=
PG时,求证:SuADEC+S口BCNM=SuABHF-
问题探索:(3)将图2特殊化,如图4,若ND=/CMW=/H=60°,AD=m,CN=n,AF=t,^.AQPB
=75°,请你直接写出t的值(用含山,九的式子表示).
29.(24—25八年级上•湖北荆州•阶段练习)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图(如图1,由外到内含三个正方形)中提炼出两个三角形
全等模型图(如图2、图3),即“一线三直角”模型和“K字”模型.
赵爽弦图
图1
【问题发现】(1)如图2,已知,ZVIBC中,CA=CB,乙4cB=90°,一直线过顶点。,过A,B分别作其垂
线,垂足分别为E,八求证:即=4©+89;
【问题提出】⑵如图3,改变直线的位置,其余条件与⑴相同,若加1=4AE,后尸=3,求/\BCF的面积;
⑶如图4,四边形ABCD中,N4BC=/CAB=/4DC=45°,ZVICD的面积为20,且CD的长为8,求
△BCD的面积.
16
30.(2020.山西.模拟预测)综合与实践:正方形内“奇妙点”及性质探究
定义:如图1,在正方形ABCD中,以为直径作半圆。,以。为圆心,D4为半径作曲,与半圆。交于
点P我们称点P为正方形4BCD的一个“奇妙点”.过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置
关系还是数量关系,都具有不少优美的性质值得探究.
性质探究:如图2,连接DP并延长交人口于点E,则DE为半圆O的切线.
证明:连接OP,OD由作图可知,DP=ZX7,OP=OC,
又•••OD=OD△OP。空△OCD.(SSS).•.NO尸。=NOCD=90°,.•.0E是半圆O的切线.
问题解决:⑴如图3,在图2的基础上,连接OE.请判断/8OE和ZCDO的数量关系,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,请直接写出线段DE,BE,CD之间的数量关系;
(3)如图4,已知点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”,点O为的中点,连接DP并延长交AB于点
E,连接CP并延长交AB于点F,请写出BE和AB的数量关系,并说明理由;
⑷如图5,已知点E,尸,G,H为正方形48co的四个“奇妙点”.连接AG,BH,CE,DF,恰好得到一
个特殊的“赵爽弦图”,请根据图形,探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系.
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31.(2024.上海.中考真题)同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形,且内部留白部分也是平行四边形(直
角三角板互不重叠),直角三角形斜边上的高都为瓦
(1)直接写出:①两个直角三角形的直角边(结果用九表示);
②小平行四边形的底、高和面积(结果用拉表示);
(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图,要求:①不与给定的图形状相同;②画出三角形的边.
32.(2024•广东•中考模拟预测)请阅读下列材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=
DH=1,当ZAFQ=ZBGM=ACHN=NDEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.
小明发现,分别延长交E4,的延长线于点A,S,T,W,可得ARQ斤,
/\SMG,/\TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2).
图⑴图(2)''!图⑶
请回答:(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正方形的边长
为;
(2)求正方形MNPQ的面积;(3)参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在等边△ABC各边上分别
截取AD=BE=CR,再分别过点。,E,尸作BC,AC,AB的垂线,得到等边ARPQ.若S^RPQ=
尊,求AO的长.
18
33.(2022.宁夏.中考真题)综合与实践
知识再现:如图1,Rt/\ABC中,ZACB=90°,分别以BC、CA、为边向外作的正方形的面积为&、
$2、S3.当Si=36,S3=100时,$2=.
问题探究:如图,①ZVLBC中,/ACB=90°.
(1)如图2,分别以8。、CA、为边向外作的等腰直角三角形的面积为Si、S”S3,则&、S2、S3之间的
数量关系是,(2)如图3,分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为$4、$5、$6,试
猜想S’、S5、Se之间的数量关系,并说明理由.
实践应用⑴如图4,将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH,△ACE绕点A顺时针旋
转一定角度至△4W,GH、2W相交于点P.求证:$"郎=$四边形PMFG;
(2)如图5,分别以图3中R力△ABC的边8C、C4、为直径向外作半圆,再以所得图形为底面作柱体,
8C、CA、4B为直径的半圆柱的体积分别为H、%、%.若AB=4,柱体的高h=8,直接写出弘+%的
值.
••
三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型
弦图,这一蕴含深厚数学智慧的图形,分为内弦图与外弦图,其中内弦图由古代中国数学家赵爽
所发现。它不仅为勾股定理提供了直观的证明途径,还成为了探索数学命题的宝贵工具。弦图题目
的挑战性与其解题方法的多样性并存,使其成为数学教育领域中的不朽传奇。其简约而不失深邃的
美学价值,以及其中蕴含的割补思想、数形结合思想和图形变换思想,都为课堂教学提供了丰富的数
学思想渗透资源。
弦图,这一小巧却能量巨大的几何模型,巧妙地融合了初中平面几何的线与形、位置与数量,以
及方法与思想。它不仅是数学教育的经典之作,更是广大数学教师和数学爱好者竞相研究的热点。
近年来,弦图更频繁地出现在各地中考中,成为检验学生几何素养的重要标尺。
然而,在学习几何模型时,许多学生往往过于注重模型结论,而忽视了证明思路及方法的重要性。这
种本末倒置的做法,无疑会限制学生在数学题目解答中的灵活性。要知道,数学考察的并非一成不
变的知识点,而是学生对知识的理解和运用能力。因此,学数学不能死记硬背,而应在理解的基础上
记忆,这样才能做到对所学知识的灵活运用。
为了真正掌握几何模型,学生需栗做到以下几点:首先,要能够认识几何模型,并能够从题目中
提炼并识别出几何模型;其次,虽然记住结论很重要,但更为关键的是要记住证明思路及方法,这样
才能在遇到类似问题时迅速找到解题思路;最后,要明白模型中常见的易错点,因为多数题目考察的
方面均源自于这些易错点。
当然,以上三点只是基础要求。由于题目的多变性,若想在几何学习中脱颖而出,学生还需栗在
平时的学习过程中通过大量练习,深刻认识几何模型,认真理解每一个题型,做到活学活用。只有这
样,才能在面对各种复杂的几何问题时游刃有余,展现出真正的数学素养。
O
例题讲模型..........................................................................
模型1.弦图模型..................................................................
模型2.句展树模型...............................................................9
习题练模型.........................................................................15
-o【例题讲模型】O
模型1.弦图模型
1
模型解读
“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽,利用面积相等,形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角
三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形,当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型,当弦恰恰是围城正方形的
边长时就叫外弦图模型。
数学具有高度的抽象性,考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型,所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形,
从而增强数学的变化性,培养思维灵活性,为学生提供思维的广泛联想空间,使其在面临问题时能够从多种角度进
行考虑,并迅速地建立起自己的思路,真正做到“举一反三”。
模型证明
(1)内弦图模型:
条件:如图1,在正方形RBCS?中,于点E,EF_LGG于点F,OG于点G,AE于
点H,结论:叁△BCF当△CDG望△DAH;
证明:;4ABe=ABFC=AAEB=90°,A/ABE+AFBC=AFBC+AFCB=90°./.NABE=
AFCB.
又AB=BC,:.4ABE笃△BCF,同理可得4ABE笃ABCF空/XCDG左/\DAH.
⑵外弦图模型:
条件:如图2,在正方形4BCD中,E,F,G,H分别是正方形4BCD各边上的点,EFGH是正方形,
结论:AAHE冬△BEF冬△CFU篓△DGH;+
证明::ZB=ZEFG=ZC=90°,AZBEF+ZEFB=Z.EFB+ZGFC=90°,ABEF=AGFC.
又,:EF=FG,:.^EBFAFCG.同理可得△ERF笃△尸CG笃△GDH笃△H4E.
(3)内外组合型弦图模型:
条件:如图3、4,四边形ABCD、的GH、PQMV、均为正方形;结论:2S正方形瓦丽=SmABCD+
S正方彩PQMN.
证明:由(1)(2)中的证明易得:图3和图4中的八个直角三角形均全等,并用S△表示他们的面积。
S正方形4BCO=S正方形PQMV+&S&;S正方形EFGH=S正方形PQJVW+4SA;
•S正方形ABCD+S正方形PQJVCV=S正方形pQjvcv+8SA+S正方形PQMV=2s正方形PQJVCV+8sA=2s正方形EFGH
上述三类弦图模型除了考查相关证明外,也常和完全平方公式(知二求二)结合考查。•••
(4)半弦图模型
A
条件:如图5,EA_L4B于点A,G®_LAB于点B,EF_LR?,曲=如0,结论:入42加箜△BGF;EA+
GB=AB.
证明::EA,AB于点A,GB,AB于点尸G,乙4=NB=NEFG=90°
...NAFE+乙AEF=NAEF+ABFG=90°.AAFE=ABFG.
5L-:EF=FG,:./\AFE^/\BGF,:.AE=BF,AF=BG,:.EA+GB=BF+AF=ABa
条件:如图6,EA_LAB于点A,GB_LAB于点B,EF_LEG,EF=MG,结论:&«而空△BGF;EA-
GB=AB.
证明:同图5证明可得:4AFE空/\BGF,:.AE=BF,AF=BG,:.EA-GB=BF-AF=AB.
条件:如图7,在Rt△ABE和_R力ABCD中,4B=BC,结论:/lABE^ABCD;AB-CD=
EC。
证明:•//XABE和/\BCD是母△,AE_LBD,:./ABE=ZC=ZAFB=90°。
/.ZA+AABF=AABF+ADBC=90°.Z.ZA=ADBC.
又•:AB=BC,:.4ABE乌岫CD,:.BE=CD,:.AB-OD=BC-BE=EC。
上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形,他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字
眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。
1.(23-24八年级下•北京门头沟•期末)我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”,证明了勾股定理,后人称该
图为“赵爽弦图”.如图,“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.
如果该大正方形面积为49,小正方形面积为4,用为"表示直角三角形的两直角边(rc>y),
下列四个推断:①①2+y2=49;②2;—J/=2;(3)2xy+4=49;@rr+y=7.
其中所有正确推断的序号是().
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
•••
【答案】B
【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点,正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键.
由题意可得大正方形的边长为7,小正方形的边长为2,再结合图形和勾股定理可得/+靖=49、立一夕=2可
判定①②;然后通过完全平方公式变形求值可判定③④.
【详解】解::大正方形面积为49,小正方形面积为4,
大正方形的边长为7,小正方形的边长为2,x2+y2—,x-y—2,即①、②正确;
(①—y'f=x2+y2—2xy=49—2xy=4,则:/夕=',2xy+4=49,即③正确;
/.(,+y)2="+靖+2xy=49+2xy—49+45—94,:.x+y—V94,即④错误;
综上,正确的有①②③.故选B.
2.(2024・四川眉山・中考真题)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的
“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这
四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为()
A.24B.36C.40D.44
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理,设直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,根据图1,结合已知条件得到a2+〃
=c2=24,(a—b)2=a2+&2-2ab=4,进而求出ab的值,再进一步求解即可.
【详解】解:如图,直角三角形的两直角边为a,6,斜边为c,
)•图1中大正方形的面积是24,二a2+b2=c2=24,
1,小正方形的面积是4,(a—fe)2—a2+b2—2ab—4,.'.ab—10,
图2中最大的正方形的面积=02+4*~1~而=24+2*10=44;故选:D.
3.(2023•山东枣庄•二模)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,汉代数学家赵爽为了证明
勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个
全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形4BCD,正方形跳‘GH,正方形MNXT的面积分别为Si,S2,
S3.若正方形跳‘GH的边长为2,则Si+S?+S3=.
D
G
【答案】12
【分析】本题主要考查了勾股定理,完全平方公式的变形求值,设全等的直角三角形的两条直角边为心6且&>
22
b,则&=(a+bHS2=a+b,S3=((1一6)2,再由正方形石7瓦沿的边长为2得到(12+〃=4,据此可得答案.
【详解】解:设全等的直角三角形的两条直角边为以6且&>6,
由题意可知:S[=(a+b)2,$2=出+〃,$3=(a—bl,
2222222222
Si+S2+S3,—(a+》y+a+b+(a—b)?—a+2ab+b+a+b+a—2ab+b—3(a+6),
;正方形EFGH的边
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