安徽省六安市霍邱县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

霍邱县2023-2024学年度第一学期期末考试九年级数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分）1.二次函数的一次项系数是（）A.1 B.2 C. D.32.若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（）A. B. C. D.3.反比例函数的图象一定经过的点是（）A. B. C. D.4.将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（）．A. B.C D.5.据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A. B.C. D.6.如图，某河堤横断面迎水坡的坡度为，则坡角（）A. B. C. D.7.下列多边形一定相似的是（）A.两个等腰三角形 B.两个平行四边形C.两个正五边形 D.两个六边形8.如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（）．A B. C. D.9.如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（）A. B. C. D.10.已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分）11.若为锐角，，则________．12.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为4米，则a约为________米．（结果精确到一位小数）13.下表是一组二次函数自变量与函数值的对应值：11.11.21.31.40.040.59116那么方程的一个近似根是___________；14.如图，在矩形中，，，点E是的中点，点M是的动点．将沿翻折至．再将沿翻折至，使点M，P，Q在同一直线上，折痕交射线于点F．则：（1）___________°；（2）当点M是的中点时，的长为___________．三、解答题（本大题共有9小题，共计90分）15.．16.已知线段a，b，c满足，且．（1）求线段a，b，c的长；（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．（1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1．（2）写出坐标．18.某校数学活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王明同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：综合实践活动报告填写人：王明时间：2023年12月6日活动任务：测量大树高度活动过程：步骤一：设计测量方案，小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．步骤二：准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺．步骤三：实地测量并记录数据，如图③，王明同学站在离大树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪中半圆形量角器的直径刚好到达大树的最高点，如图④．利用测角仪，测量后计算得出仰角a；用皮尺测出眼睛到地面的距离；用皮尺测出所站地方到大树底部的距离．步骤四：计算大树高度．（结果精确到）（参考数据：，，）________，，．请结合图①、图④和相关数据，在前面的横线中写出的度数，并完成步骤四．19.如图，中，，，为内部一点，且.(1)求证：；(2)求证：.20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．（1）求反比例函数的表达式；（2）连接，求的面积；（3）根据图象，请直接写出满足不等式的x取值范围．21.如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C、D在抛物线上，，当时，．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？22.如图，在中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）点是线段上一点，连接，满足平分，交于点，，，求的长．23.为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，第x天的销售额为W元．（1）________，________；（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；（3）在试销售的30天中，销售额超过750元的共有多少天？

霍邱县2023-2024学年度第一学期期末考试九年级数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分）1.二次函数的一次项系数是（）A.1 B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了求多项式中某项的系数，掌握多项式中的项的定义和系数的定义是解题关键．先找出多项式中的一次项，根据系数的定义即可解答．【详解】解：多项式的一次项为，其系数为2．故选B．2.若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．根据“相似三角形周长的比等于相似比”即可解答．【详解】解：两个相似三角形的周长比为，它们对应的相似比为．故选C．3.反比例函数的图象一定经过的点是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：∵反比例函数，∴，A、∵，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；B、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：A．4.将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“上加下减，左加右减”成为解题的关键．直接运用平移规律解答即可．【详解】解：由平移规律可得：抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是．故选D．5.据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解；【详解】解：第三季度总值为；故选：C【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键．6.如图，某河堤横断面迎水坡的坡度为，则坡角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据坡度的定义结合特殊角的三角函数值即可求解．【详解】根据题意可知，∴．故选A．【点睛】本题考查坡度的定义和特殊角的三角函数值．理解坡度的定义是解题关键．7.下列多边形一定相似的是（）A.两个等腰三角形 B.两个平行四边形C.两个正五边形 D.两个六边形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键．根据相似三角形的定义逐项判断即可．【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确；C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确；D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确．故选C．8.如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的面积比等于相似比的平方可得答案，熟记位似图形的性质是解本题的关键.【详解】解：∵与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，∴，∴，∴；故选B9.如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，，，∴，，，∵，∴∴，，∴，则，∴，∵，∴，∴∴，在中，，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10.已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为联立解得：或∴，由，则，对称轴为直线，设，则点在上，∵且，∴点在点的左侧，即，，当时，对于，当，，此时，∴，∴∵对称轴为直线，则，∴的取值范围是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分）11.若为锐角，，则________．【答案】30【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的关键．根据“”即可解答．【详解】解：∵，∴．故答案为：30．12.生活中到处可见黄金分割美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为4米，则a约为________米．（结果精确到一位小数）【答案】2.5【解析】【分析】本题考查了黄金分割，根据，，即可求出的值．【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，，，，的值为米；故答案为2.5．13.下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：11.11.21.31.40.040.591.16那么方程的一个近似根是___________；【答案】1.2【解析】【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2．故答案为：1.2．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．14.如图，在矩形中，，，点E是的中点，点M是的动点．将沿翻折至．再将沿翻折至，使点M，P，Q在同一直线上，折痕交射线于点F．则：（1）___________°；（2）当点M是的中点时，的长为___________．【答案】①.##90度②.##【解析】【分析】（1）由折叠知，.根据图中角的位置，求得；（2）如图，,由折叠可得两点重合．中，，勾股定理得，可证，得，求得，于是，所以．【详解】解：（1）如图，由折叠知，.∴．∴．（2）如图，点M是的中点时，,由折叠知，∴,即两点重合．中，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质；由折叠得到角相等，线段相等是解题的关键．三、解答题（本大题共有9小题，共计90分）15.．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．先根据特殊角的三角函数值化简、然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：．16.已知线段a，b，c满足，且．（1）求线段a，b，c长；（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．（1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长．【小问1详解】解：设，，，∴，即，解得：，∴，，；小问2详解】由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项，∴，即，∴，∵，∴．17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．（1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1．（2）写出的坐标．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图；（2）由（1）中结论即可求解．小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】解：由图可知：【点睛】本题考查位似图形作图．抓住位似比是解题关键．18.某校数学活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王明同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：综合实践活动报告填写人：王明时间：2023年12月6日活动任务：测量大树高度活动过程：步骤一：设计测量方案，小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．步骤二：准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺．步骤三：实地测量并记录数据，如图③，王明同学站在离大树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪中半圆形量角器的直径刚好到达大树的最高点，如图④．利用测角仪，测量后计算得出仰角a；用皮尺测出眼睛到地面的距离；用皮尺测出所站地方到大树底部的距离．步骤四：计算大树高度．（结果精确到）（参考数据：，，）________，，．请结合图①、图④和相关数据，在前面的横线中写出的度数，并完成步骤四．【答案】；大树高度约为【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解．【详解】解：如图所示：在中，，∴∵，，，∴，∴四边形是矩形，，∴答：大树高度约为19.如图，中，，，为内部一点，且.(1)求证：；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出∠PBC=∠PAB，进而得出结论；

（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论.【详解】证明：（1）∵，，∴，又，∴，∴，又∵，∴；（2）∵，∴在中，，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度．20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．（1）求反比例函数的表达式；（2）连接，求的面积；（3）根据图象，请直接写出满足不等式的x取值范围．【答案】（1）反比例函数的表达式为：（2）（3）或【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形面积公式．（1）把点坐标代入中求出，得到反比例函数解析式；（2）利用反比例函数解析式确定点坐标，设直线与轴交于点，则点坐标为，根据三角形面积公式，利用进行计算；（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．【小问1详解】如图所示，点在反比例函数图象上∴，则反比例函数的表达式为：【小问2详解】∵在反比例函数图象上，则，即假设一次函数与y轴交点为C点，则∵C点坐标是，则∴【小问3详解】由图象可得，当时，自变量x的取值范围或．21.如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C、D在抛物线上，，当时，．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？【答案】（1）抛物线所对应的函数表达式为：（2）时，矩形的周长有最大值，最大值是13【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次根式与特殊四边形的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．（1）先确定点C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；（2）先确定点，则，然后用t表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求最值即可解答．【小问1详解】解：设抛物线所对应的函数表达是为：当时，，则，将O、C、E三点坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线所对应的函数表达式为：．【小问2详解】解：由（1）得：抛物线表达式为：，则，，，∵，∴，则，设矩形的周长为C，∴，化简得：∵．∴当时，矩形的周长有最大值，最大值是13．22.如图，在中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）点是线段上一点，连接，满足平分，交于点，，，求的长．【答案】（1）详见解