河南省商丘市中州联盟2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省商丘市中州联盟2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若点是椭圆上任意一点,分别是的左、右焦点,则（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由方程可知：，由椭圆的定义可知．故选：D．2.在等比数列中，，，则（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】由等比数列的性质易知.故选：C.3.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设与直线平行直线方程是，代入点，得，解得，所以所求的直线方程是．故选:A4.函数在上的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由题，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.故选：B.5.已知平面的一个法向量是平面内一点，是平面外一点，则“”是“点到平面的距离为1”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，若点到平面的距离为1，则，解得或，故“”是“点到平面的距离为1”的充分不必要条件．故选:A．6.若数列an满足（且），，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，则有，.故.故选：C.7.已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆可化为．可知圆心为，半径，因为圆关于对称，即直线过圆心，则，解得，可得，且，所以．故选：D．8.已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，则，故单调递增.又，故可转化为，即，由单调递增可得，解得或，即不等式的解集为.故选：.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】因为，对于选项A：若，则，所以，A正确；对于选项B：若，则，解得，故B错误；对于选项C：若，则，解得，故C正确；对于选项D：若，则，解得，故D错误．故选：AC．10.已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因为数列为等差数列，则，若始终是一个定值，所以是定值，故B正确；又因为，，所以与也为定值，所以C，D正确；没有足够条件判断A，故A错误；故选：BCD．11.已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】因为双曲线的渐近线方程为，则的右焦点到的距离，即，因为，则，又因为，则，可得，又因为与直线无公共点，则，所以的离心率．故选：BC．12.如图,在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点,且满足，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，若，则C.当时，直线与直线所成角的大小为D.当时，三棱锥的体积的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，当时，分别是线段和线段的中点，所以也是的中点，所以，故A正确；对于B，当时，，所以，，，满足，故B正确；对于C，过作交于，可知面，与直线成角即为，当时，，在中，则，所以，所以，故C错误；对于D，易知是正三角形，三棱锥体积为，当且仅当，即时取等号，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度（单位：m）与时间（单位：s）存在函数关系，则该小球在时的瞬时速度为______m/s.【答案】【解析】由函数，可得，则，所以该小球在时的瞬时速度为.故答案为：.14.已知函数，则________．【答案】【解析】因为，则，令，则，解得，可得，所以．故答案为：.15.已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是________．【答案】【解析】抛物线的焦点的坐标为2,0，准线方程为，由抛物线定义可得点到直线距离等于PF，过点作直线的垂线，垂足为，所以点到直线与到直线的距离之和等于，由两点之间线段最短可得，过作直线的垂线，垂足为，，所以，当且仅当三点共线时等号成立．故答案为：.16.已知数列的前项和为，且，.设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前40项和为______.【答案】973【解析】当时，，解得；当时，由，得，两式相减，得，即，，数列是首项为2，公比为2的等比数列，因此，，即是数列中的第项，，，数列的前40项和是由数列的前45项去掉数列的前5项后构成的，数列的前40项和为．故答案为：973．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记为等差数列的前项和，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列前项和.解：（1）设an的公差为，由，，得,解得.故an的通项公式为.（2）由，，得，所以，由可得数列bn是等差数列，因首项为1，公差为1，故.18.已知函数．（1）求在点处的切线方程；（2）求函数的极值．解：（1）由，的定义域为，得，所以，又，所以在点处的切线方程为，即；（2），由，得，或，当或时，，在上均单调递增；当时，，在上单调递减；故函数在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为.故函数有极大值，也有极小值，极大值为，极小值为.19.如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,，点是的中点，点分别是线段上的点,且．（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）因为平面，平面，且四边形是矩形，所以两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，因为，且.所以．因为，所以，即．（2）由（1）得．设是平面的一个法向量，则，令，得，所以．因为平面，所以平面，所以平面的一个法向量为．因为，结合图形可得：平面与平面夹角的余弦值为．20.已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）因为，当时，；当时，，可得；且符合，所以．（2）由（1）可知，则，可得，两式相减得，所以．21.已知函数，．（1）当时，求函数y=fx在上的值域（）；（2）讨论函数的单调性．解：（1）当a=2时，，定义域为，则，令，得x=1或(舍去)，当时，，，，所以fx在区间单调递减，在区间单调递增，所以当x=1时，fx所以当，，，又因为，因为，此时，，故fx在上的值域为.（2），，当时，，，当，，当，，所以fx在区间单调递减，在区间单调递增；当时，令，得或x=1，当a>0时，时，，当时，，所以fx在区间单调递减，在区间单调递增；当时，当时，，当，，所以fx在区间单调递减，在区间单调递增；当a=-1时，所以fx在区间单调递减；当时，当时，，当时，，所以fx在区间单调递减，在区间单调递增；综上所述：当时，fx在区间单调递减，在区间单调递增；当时，fx在区间单调递减，在区间单调递增；当a=-1时，fx区间单调递减；当时，在区间单调递减，在区间单调递增.22.若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值．解：（1）由题意可设的