海南省2025届高三上学期学业水平诊断数学试题（一）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1海南省2025届高三上学期学业水平诊断数学试题（一）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意得：集合，所以.故选：B.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，所以.故选：D3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.4.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则，所以，得，又，所以.故选：A5.已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知在上只能是单调递增，所以在上单调递增，所以得.又单调递增，所以.综上得.故选：C6.如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，是的极小值点，由已知得，令，得，得，经验证符合题意，所以，由，，可得，解得.故选：D7.若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若，则当时，，则恒成立，不符合题意.若，函数和函数都是偶函数，且都在上单调递减，在上单调递增，所以为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，要使在上存在零点，只需，即，所以.故选：.8.若函数的图象关于点对称，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为的图象关于点对称，所以函数为奇函数，则，即，且为奇函数，所以，得，所以，故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.自然常数是数学中非常重要的一个常数，17世纪人们在研究经济学中的复利问题时发现了这个数，后来众多数学家对自然常数进行了深入的研究，其字母表示来自数学家欧拉的名字.已知函数，则下列命题为真命题的是（）A.，B.，C.，，D.，，【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，当时，，故B正确；对于C,D，，，，要使选项中所述等式成立，需，当，时，该式不一定成立，当，时，该式成立，故C错误，D正确.故选:ABD.10.已知，，若，，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因为，所以，所以，又因为，，所以，即，所以，所以，所以，，且.故B，C正确，A，D错误.故选：BC11.已知，若函数的图象在点1,f1处的切线与轴平行，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，由题意知.对于A，因为，，所以，所以，故A正确；对于B，同理，所以，故B错误；对于C，若，，，则，故C错误；对于D，由，得，由，得，所以，故D正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知实数，满足，则的最小值为________.【答案】【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为.13.已知函数的导函数为，若，为的导函数，则__________.【答案】【解析】，所以.14.记函数在区间上的最大值为，最小值为，则_________.【答案】【解析】设，则，当，时，（不恒为零），所以是减函数，所以设，则，当时，，单调递增，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的部分图象如图所示，点，（1）求的解析式；（2）将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值.解：（1）由图象知.因为的图象过点，所以，又，所以，所以.又的图象过点，由“五点作图法”可得，所以.所以.（2）由题意知，当时，，所以，则，所以在区间上的最小值为，最大值为1.16.已知函数.（1）求的图象在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积；（2）设函数，若在定义域内单调递减，求实数的取值范围.解：（1）由题意得，则.又因为，所以的图象在点处的切线为，与两个坐标轴的交点分别为和，所求的封闭图形的面积为.（2）的定义域为0,+∞，因为在定义域内单调递减，所以，即，所以.设，则.当时，h'x>0，hx单调递增，当时，h'所以，所以的取值范围是.17.甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过.（1）从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望.（2）用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求.参考数据：.解：(1)由题意知的所有可能取值为1，2，3，且，.所以的分布列为123.（2）设下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数为，乙晨跑路程超过的天数为，则，均服从二项分布则.18.已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点.（1）求的方程；（2）求点关于的对称点的轨迹方程；（3）若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：.解：（1）由题意，可设点，.由，得，解得，所以，将其坐标代入抛物线的方程得，解得，所以的方程为.（2）因为点，关于对称，过点，所以.当绕点旋转时，线段也绕点旋转，所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，故点的轨迹方程为.（3）设，，，，直线的方程为.由题可知直线不过点，则.联立得消去，整理得，恒成立，则，，直线的方程为，即.令，得，则，同理可得，所以，因此.19.记数列的前项和为，已知.（1）证明：为等比数列；（2）任意给定，求满足的数对的个数；（3）若，证明：当时，.解：（1）当时，，得.当时，，两式相减得，得，整理可得，所以是首项为，公比为2的等比数列.（2）由(1