福建省三明市六校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省三明市六校2024-2025学年高二上学期期中联考试题第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1.直线的一个方向向量为（）A B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以直线的斜率为，又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为，故选：C.2.已知空间向量，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，解得，故选：A.3.已知点、，直线经过的中点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的倾斜角等于（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】由题意可知，点.①当直线不过原点时，可设直线的方程为，则，得，此时，直线的方程为，直线的斜率为，倾斜角为；②当直线过原点时，可设直线的方程为，则，，此时，直线的倾斜角为.综上所述，直线的倾斜角为或.故选：C.4.如图,在平行六面体中,为与的交点,若，,，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】=故选：A.5.已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，因为点在双曲线上，则，两式相减可得，整理可得，又线段的中点是，则，所以，又直线过点，得到，所以，得到，故选：C.6.已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知:圆的圆心为，半径，设中点为，则，且，可得，又因为，可知为等腰直角三角形，则，可得，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，因为直线上存在点使得，即直线与圆有交点，即圆心到直线的距离，解得或.故选：A.7.如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，由可得，故，故的周长的取值范围为，故选：D.8.三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，因为为等边三角形，所以，又，且所以，所以,取的中点，易得,又所以平面，又平面，所以平面平面，建立如图所示空间直角坐标系，则，，D0,1,0，令，所以，因为，所以，所以，所以，因为直线AC与BD所成角为，所以，解得，即，如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心，设点A在平面内投影为，作，所以,所以在中，,,所以在中，，解得，所以，三棱锥外接球表面积为，故选：A二、选择题．（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.已知曲线Γ：（），则（）A.Γ可能是等轴双曲线B.若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则C.Γ可能是半径为的圆D.若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则【答案】BCD【解析】对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误；对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故B正确；对于C，Γ是圆，则，解得，半径为2，故C正确；对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得，故D正确.故选：BCD.10.在正方体中，，，则（）A.若，则点的轨迹为线段B.若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段C.若，则三棱锥的体积为定值D.若，则与平面所成角的余弦值的最大值为【答案】BCD【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0、、、、、、、，因为，对于A选项，当时，则点的轨迹为线段，A错；对于B选项，若，即点，此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对；对于C选项，若，即点，其中，，，设平面的法向量为m=x1,则，取，可得，，则点到平面的距离为，因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对；对于D选项，若，则，其中，易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，当时，取最小值，此时取最大值，且，则，因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D对.故选：BCD.11.已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（）A.曲线有4条对称轴 B.曲线围成的图形面积为C.的最大值为 D.的最小值为【答案】BCD【解析】当时，，当时，，当时，，当时，，且曲线过原点，曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，令，有，又各圆半径为，则每个弓形圆弧是圆弧，所以曲线的图形如下图示，由图知，显然对称轴只有轴，A错；曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，面积为，B对；由上分析，易知的最大值为，C对；由表示曲线上点与点所成直线斜率，结合图知，当过的直线与圆右上方相切时斜率最小，令直线为且，联立圆得，所以，则，整理得，所以，可得（正值舍），D对.故选：BCD第II卷（非选择题）三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知，分别为椭圆的左、右焦点，A为上顶点，则的面积为_______.【答案】【解析】由椭圆得,所以，所以，故答案为：13.如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则_______________．【答案】【解析】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得，由椭圆C的方程为，所以,,由椭圆的定义可知：，由椭圆的光学性质得到直线平分，可得.故答案为：.14.若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是__________.【答案】【解析】，当且仅当，等号成立，令，即，代入椭圆方程得，由，解得，，则（可验证等号可取），故的最小值是.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在中，，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上．（1）求边上的高所在直线方程；（2）设过点的直线为，且点与点到直线距离相等，求直线的方程．解：（1）设，，，∵边的中点在轴上，边的中点在轴上，∴，∴，∵，∴，∴所在直线方程为，即.（2）方法一：当斜率不存在时，，不满足题意；当斜率存在时，设,即，依题意得：，解得或，综上所述，直线的方程为：或，即：或.方法二：依题意，所求直线与直线平行或过线段的中点，综上所述，直线的方程为：或，即：或.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值；解：（1）如图以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.设，则，于，，则，由故直线与所成角的余弦值为；（2）如图，连接，由建系知，，设平面的法向量为则故可取设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17.已知圆.（1）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求.（2）在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值.解：（1）由题意可得圆的标准方程为，所以圆心，半径r=1，又直线AB方程为，则圆心C到直线AB的距离，直线AB与圆相交，所以.（2）圆的圆心，半径，则点到直线AB：的距离为，所以点Q到直线AB距离的最大值为，所以面积的最大值为.18.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与（1）求椭圆的方程；（2）若，求MN的方程；（3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.解：（1）由椭圆C:x2a2+得，解得，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立，消去得，由，得，则．，解得或，当时，直线的方程为；当时，直线经过点，不符合题意，舍去．所以当时，的方程为．（3）直线，均不与轴垂直，所以，，则且，所以，所以为定值．19.《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．（1）若，求曲线H的方程；（2）若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由；（3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点．解：（1）当时，定直线：，比值为：.设，则点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，即，两边平方，整理得：，即为曲线的方程.（2）因为动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（），所以，整理得，即，即为曲线的方程.