广东省深圳市龙岗区2024届高三上学期期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市龙岗区2024届高三上学期期末质量监测数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，解得，所以，所以.故选：C.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因为，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为位于第三象限.故选：C.3.已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等差数列的性质可得，.故选：B.4.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，则，又，，所以，所以，则，又.故选：D.5.已知，则（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】，，，.故选：D.6.过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】设圆与圆的圆心分别为O，C，则，当最小时，最小，由于点A在圆O上，则的最小值为，所以的最小值为.故选：B.7.已知函数是偶函数，则的值是（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以，所以，，所以，得，故选：A8.已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为异面直线所成角的范围是，故当时，与AD所成角最大，因为四边形是矩形，所以，而平面，所以平面，因为平面，所以，在直角三角形中，，而，所以，所以.故选：A二、多项选择题9.关于二项式的展开式，下列结论正确的是（）A.展开式所有项的系数和为 B.展开式二项式系数和为C.展开式中第5项为 D.展开式中不含常数项【答案】BCD【解析】A选项：取．有，A错，B选项：展开式二项式系数和为，B对，C选项：由，则时即为第5项为，C对，D选项：由C选项可知恒成立，D对，故选：BCD.10.已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（）A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】ACD【解析】对于选项A，是夹角为的单位向量，则，故，故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，所以，又，所以，故选项C正确；对于选项D，在上的投影向量为，故选项D正确.故选：ACD11.下列说法中正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是C.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D.若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32【答案】AB【解析】A选项，个体m被抽到的概率为，A正确；B选项，已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则，解得，，则这组数据的方差是，B正确；C选项，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是23.5，C错误；D选项，若样本数据的标准差为8，则的方差为64，设的平均数为，则，，又，故，则的标准差为，D错误．故选：AB12.已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由抛物线得，设直线，联立，消去x可得，则，选项A：，故A正确；选项B：因为，所以，故B错误；由抛物线得准线为，则，因为过点P的直线与抛物线交于点A，B，所以直线斜率存在且不为零，故设直线，联立，消去x可得，则，故，，选项C：，故C正确；选项D：，又，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题13.函数的最小正周期为_______．【答案】【解析】由，得函数的最小正周期为.14.有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法【答案】【解析】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有种选法，第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有种选法，第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有种选法，所以共有种选法.故答案为:.15.已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为_________．【答案】【解析】如图，因，所以可设，又，所以，由椭圆定义，，即，又，即B点为短轴端点，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故答案为：16.已知函数且，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】首先注意到，当时，函数在上单调递增，显然满足题设；当时，，显然函数在上单调递增，由于，故存在唯一零点，若只有一个零点，此时也必极值点，又此时，则只需，，，因为解得；综上所述，则实数的取值范用为．故答案为：四、解答题17.记的内角的A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求的面积.解：（1）法一：因为，所以，整理得，所以，又因为，所以；法二：因，所以，由正弦定理得，整理得，因为，所以，又因为，所以；（2）因为，，，所以，即，解得，所以的面积.18.如图，三棱锥中，平面，，.（1）求证：平面；（2）若是的中点，求与平面所成角的余弦值.（1）证明：因为平面，平面，所以，又，，所以，在中，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面；（2）解：（方法一）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，设与平面所成角为，则，，∴，即与平面所成角的余弦值为．（方法二）过点作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，则为与平面所成角的平面角，在中，，在中，，∴在中，，故，即与平面所成角的余弦值为.19.已知数列满足，且对任意正整数m，n都有（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.解：（1）由对任意整数均有，取，得，当时，，当时，，符合上式，所以.（2）当为偶数时，，当为奇数时，若，则，若，则，且当时，满足.综上所述：.20.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．（1）解：当时，，，可得．由双曲线的定义可知，，两边同时平方可得，，所以．①又双曲线的离心率为，所以．②由①②可得，，，所以，所以双曲线的标准方程为．（2）证明：当直线与轴垂直时，点与原点重合，此时，，，所以，，．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由题意知且，将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，则，，．易知点的坐标为，则由，可得，所以，同理可得．所以．综上，为定值．21.某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．（1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；（2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．参考数据：．解：（1）由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以，所以，，所以，由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的.（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，7000，则，，所以，若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，8000，则，，所以，所以，则当时，，应先检测乙部件；